1、第二章 二次函数 一、选择题(本大题共 8 小题 ，每小题 4 分，共 32 分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1下列函数中，y 是关于 x 的二次函数的是( )Ayax 2bxc Byx(x1)Cy Dy (x 1) 2x 21x22对于二次函数 y( x1) 22 的图象，下列说法正确的是( )A开口向下 B对称轴是直线 x1C顶点坐标是(1，2) D与 x 轴有两个交点3已知二次函数 yx 26x m 的最小值是3，那么 m 的值等于( )A10 B4 C5 D64如图 2Z1，二次函数 yax 2bxc 的图象与 x 轴相交于(2，0)和(4 ，0)两点，当函数值 y0
2、时，自变量 x 的取值范围是( ) 图 2Z1Ax2 B 2x4Cx 0 Dx 45已知二次函数 yax 2bxc 中，y 与 x 的部分对应值如下：x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6y 1.59 1.16 0.71 0.24 0.25 0.76则一元二次方程 ax2bx c 0 的一个根 x 满足条件( )A1.2x1.3 B1.3x 1.4C1.4x1.5 D1.5x 1.66二次函数 yax 2bx c 的图象如图 2Z2 所示，则一次函数 ybxa 的图象不经过( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限图 2Z27如图 2Z3 是二次函数 yax 2bxc 的图
3、象的一部分 ，图象过点 A(3，0)，对称轴为直线 x1，给出四个结论：b 24ac；2ab0；abc0；若点 B，C 为函数图象上的两点 ，则 y1y 2.其中正确的是( ) ( 52， y1) ( 12， y2)图 2Z3A B C D8如图 2Z4，正三角形 ABC 的边长为 4，P 为 BC 边上的任意一点(不与点 B，C重合) ， 且APD 60，PD 交 AB 于点 D.设 BPx ，BDy，则 y 关于 x 的函数图象大致是( ) 图 2Z4图 2Z5二、填空题(本大题共 5 小题 ，每小题 4 分，共 20 分)9将抛物线 y2x 2 先向下平移 3 个单位长度，再向左平移 1
4、 个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是_10已知抛物线 yx 22x 3，若点 P(3，0)与点 Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点 Q 的坐标是_11已知 A(4， y1)，B( 4，y 2)是抛物线 y(x3) 22 上的两点，则 y1_y2.(填“” “”或“”)12如图 2Z6 是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B 两点，桥拱最高点 C 到 AB 的距离为 4 m，AB12 m，D ，E 为拱桥底部的两点，且DEAB，点 E 到直线 AB 的距离为 5 m，则 DE 的长为_m. 图 2Z613二次函数 yx 22x 3 的图象如图 2Z7 所示，若线段
5、AB 在 x 轴上，且 AB为 2 个单位长度，以 AB 为边作等边三角形 ABC，使点 C 落在该函数在 y 轴右侧的图象3上，则点 C 的坐标为_ 图 2Z7三、解答题(本大题共 4 小题 ，共 48 分)14(10 分) 如图 2Z 8，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax 2bx2 过B( 2，6) ，C(2，2)两点(1)试求抛物线的表达式；(2)记抛物线与 y 轴的交点为 D，求BCD 的面积图 2Z815(12 分) “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒 ，成本为 30元/件，每天的销售量 y(件)与销售单价 x(元/件)之间存在一次函数关系，如图 2Z
6、9 所示(1)求 y 与 x 之间的函数关系式(不用写自变量 x 的取值范围)；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240 件，当销售单价为多少元 /件时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出 150 元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于 3600 元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围图 2Z916(12 分) 如图 2Z 10， 在直角坐标系中，已知点 A(8，0)，B(0 ，6)，点 P 由点 B出发沿 BA 方向向点 A 做匀速直线运动，速度为每秒 3 个单位长度，点 Q 由点 A 出发沿AO(O 为坐标原点 )方向向
7、点 O 做匀速直线运动，速度为每秒 2 个单位长度，连接 PQ.若设运动时间为 t(0t )秒，解答下列问题：103(1)当 t 为何值时，APQ 与ABO 相似？(2)设AQP 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值图 2Z1017(14 分) 如图 2Z 11， 已知抛物线 yx 2bxc 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C， 对称轴为直线 x2， AB2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设 P 为对称轴上一动点，求APC 的周长的最小值；(3)设 D 为抛物线上一点 ，E 为对称轴上一点，若以点 A，B，D，E 为顶点的四边形是菱形，则点 D
8、的坐标为_ 图 2Z11详解详析1解析 B A当 a0 时 ，ybxc 不是二次函数；B. yx(x1)x 2x 是二次函数；C.y 不是二次函数；D. y( x1) 2x 22x 1 为一次函数故选 B.1x22答案 C3解析 D 原二次函数可化为 y(x3) 29m ，函数的最小值是3，9m3，m6.故选 D.4解析 B 二次函数 yax 2bxc 的图象与 x 轴交于( 2，0)和(4，0) 两点，函数图象开口向下，函数值 y0 时，自变量 x 的取值范围是2x4，故选 B.5解析 C 由表可以看出， 当 x 取 1.4 与 1.5 之间的某个数时，y 0，即这个数是关于 x 的一元一次
9、方程 ax2bxc0 的一个根则一元二次方程 ax2bx c 0 的一个根 x 的取值范围为 1.4x 1.5.故选 C.6答案 D7解析 B 由抛物线与 x 轴有两个交点，知 b24ac0，所以正确因为对称轴为直线 x 1，所以 1，即 2ab0，所以错误因为抛物线经过点b2aA( 3，0) ，对称轴为直线 x 1，所以抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为(1，0) ，于是有abc0，所以 错误点 B 在对称轴左侧 1.5 个单位长度处，点 C( 52， y1)在对称轴右侧 0.5 个单位长度处，找出相应的点 ，显然 y1y 2，所以正确故( 12， y2)选 B.8解析 C ABC 是正三角
10、形，BC60，BPDAPDCCAP ，APD 60，BPDCAP，BPDCAP， BP ACBDPC. 正三角形 ABC 的边长为4，BP x，BDy ，x 4 y(4 x )，y x2x.故选 C.149答案 y2(x 1) 2310答案 (1，0)11答案 解析 由 y(x 3) 22 可知抛物线的对称轴为直线 x 3.抛物线开口向上，而点 A(4，y 1)到对称轴的距离比点 B(4，y 2)到对称轴的距离远，y 1y 2.12答案 18 解析 如图所示，建立平面直角坐标系，x 轴在直线 DE 上，y 轴经过最高点 C.设 AB 与 y 轴交于点 H，AB12，AH BH6，由题可知：OH
11、5，CH4，OC549，B(6，5) ，C(0，9)设该抛物线的表达式为 yax 2k ，顶点为 C(0，9)，yax 29.把 B(6，5) 代入 ，得 536a 9，解得 a ，19抛物线的表达式为 y x29.19当 y0 时，0 x29，解得 x9，19E(9，0) ，D(9，0)，OEOD 9 ，DEOD OE 9918(m)故答案为 18.13答案 (1 ，3)或(2， 3)7解析 ABC 是等边三角形，且 AB2 ，AB 边上的高为 3.又点 C 在二次函3数的图象上，点 C 的纵坐标为 3.将 y3 代入 yx 22x3，得 x1 或 0 或 2.点7C 落在该函数在 y 轴右
12、侧的图象上，x0，x1 或 2，点 C 的坐标为(1 ，3)7 7或(2， 3)14解：(1)由题意得 4a 2b 2 6，4a 2b 2 2， )解得 a 12，b 1.)抛物线的表达式为 y x2x 2.12(2)当 x0 时，y2，故点 D 的坐标为(0 ，2)连接 BD，CD，BC .C，D 两点的纵坐标相同，CDx 轴，点 B 到 CD 的距离为 624.CD202，S BCD 244.1215解析 (1)可用待定系数法来确定 y 与 x 之间的函数关系式；(2)根据利润销售量单件的利润，然后将(1)中的函数关系式代入其中，求出利润和销售单价之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利
13、润；(3)首先得出 w150 与 x 之间的函数关系式，进而利用所获利润等于 3600 元时，求得对应的 x 值，根据增减性，求出 x 的取值范围解：(1)由题意得 解得40k b 300，55k b 150， ) k 10，b 700. )故 y 与 x 之间的函数关系式为 y10x700，(2)由题意，得10x700240，解得 x46.设每天获取的利润为 w 元， 则 w(x30)y( x30)( 10x700)10x 21000 x21000 10(x50) 24000.100，当 x50 时，w 随 x 的增大而增大，当 x46 时，w 最大 10(46 50) 240003840.
14、答：当销售单价为 46 元/件时 ，每天获取的利润最大，最大利润是 3840 元(3)令 ww15010x 21000x210001503600，10(x 50)2250，x505，x155，x 245.如图所示，由图象得当 45x55 时，捐款后每天剩余利润不低于 3600 元16解：(1)在 RtABO 中，由勾股定理得：AB 10.OA2 OB2当 时，APQABO，PAAB AQOA即 ，解得 t ；10 3t10 2t8 2011当 时，APQ AOB，APOA AQAB即 ，解得 t .10 3t8 2t10 5023综上所述，当 t 或 t 时，APQ 与ABO 相似2011 5
15、023(2)如图所示，过点 P 作 PD x 轴于点 D.PDx 轴，OBx 轴，OBPD， ，APAB PDOB即 ，10 3t10 PD6PD6 t.95由三角形的面积公式可知：S AQPD 2t(6 t)6t t2，12 12 95 95S 与 t 之间的函数关系式为 S t26t(0t )95 103S t26t (t )25，95 95 53当 t 时，S 有最大值，最大值为 5.5317解：(1)AB2，对称轴为直线 x2，点 A 的坐标为(1，0) ，点 B 的坐标为(3，0)把 A，B 两点的坐标代入 yx 2bxc 中，得 1 b c 0，9 3b c 0， )解得 b 4，c 3， )抛物线的函数表达式为 yx 24x 3.(2)连接 AC，BC ，BC 交对称轴于点 P，连接 PA(如图)由(1)知抛物线的函数表达式为 yx 24x3，点 A，B 的坐标分别为(1，0)，(3 ，0)，点 C 的坐标为(0，3)，BC 3 ，AC .32 32 2 32 12 10点 A，B 关于对称轴直线 x2 对称，PAPB，PAPCPBPC，此时 PBPC BC ，当点 P 在对称轴上运动时，PAPC 的最小值等于 BC，APC 的周长的最小值ACPAPC BCAC3 .2 10(3)(2， 1)
