1、第一章 集合与常用逻辑用语第 1 课时 集合的概念一、 填空题1. 以下对象的全体能够构成集合的是_(填序号) 中国古代四大发明； 地球上的小河流； 方程 x210 的实数解； 周长为 10 cm 的三角形答案：解析：根据集合中元素的特征，可知符合2. 下面有四个命题： 集合 N 中最小的数是 1； 若a 不属于 N，则 a 属于 N； 若 aN，bN，则 ab 的最小值为 2； x 212x 的解集可表示为1，1其中正确命题的个数为_ .答案：0解析： 最小的数应该是 0； 反例：0.5N，但 0.5N； 反例：当a0，b1 时，ab1； 不满足元素的互异性3. 下列集合中表示同一集合的是_
2、(填序号) M(3，2)，N(2，3)； M2，3，N3，2； M(x，y)|xy1，Ny|xy1； M2，3，N(2，3)答案：解析：中的集合 M 表示由点(3，2)所组成的单点集，集合 N 表示由点(2，3)所组成的单点集，故集合 M 与 N 不是同一个集合；中的集合 M 表示由直线 xy1 上的所有点组成的集合，集合 N 表示由直线 xy1 上的所有点的纵坐标组成的集合，即Ny|xy1R，故集合 M 与 N 不是同一个集合；中的集合 M 有两个元素，而集合 N只含有一个元素，故集合 M 与 N 不是同一个集合；对于，由集合元素的无序性，可知M，N 表示同一个集合4. 方程组 的解集是_x
3、 y 1，x2 y2 9)答案：(5，4)解析：由 得 该方程组的解集为(5，4)x y 1，x2 y2 9) x 5，y 4， )5. 设集合 A3，m，B3m，3，且 AB，则实数 m 的值是_答案：0解析：由3，m3m，3，得 m3m，m0.6. 设非空数集 M1，2，3，且 M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合 M 共有_个答案：6解析：集合1，2，3的所有子集共有 238(个)，不含奇数元素的集合有2，共2 个，故满足要求的集合 M 共有 826(个)7. 已知 A1，2，3，BxR|x 2ax10，aA，则 BA 时，a_答案：1 或 2解析：验证 a1 时 B满足条件；验证
4、a2 时 B1 也满足条件验证 a3 时B ，不满足条件3 52 ， 3 52 8. 已知集合 Aa，Bx|x 25x40若 AB，则实数 c 的取值范围是_答案：1，)解析：Ax|ylg(xx 2)x|xx 20(0，1)，Bx|x 2cx0(0，c)，因为 AB，画出数轴，如图所示，得 c1.二、 解答题11. 已知集合 Ax| 0，Bx|x 22xa 22a0若 AB，求实数 a 的取1 xx 7值范围解：Bx|(xa)(xa2)a，即 a1 时，B(a，a2) AB， 解得 a5； a 1，a 2 7， ) 当 a20，函数 f(x) 的定义域为集合 B，则（ 2 x） （ x 3）A
5、B_答案：2，3解析：Bx|2x3AB(0，)2，32，32. 已知集合 A(0，1)，(1，1)，(1，2)，B(x，y)|xy10，x，yZ，则 AB_答案：(0，1)，(1，2)解析：A，B 都表示点集，AB 即是由 A 中在直线 xy10 上的所有点组成的集合，代入验证即可3. (2018河北衡水中学期初)设集合 A ，B ，则x|x22 y2 1 y|y x2 1AB_答案：1， 2解析：由 y 21 得 x ，即 A ， ，由 By|yx 21，得x22 2 2 2 2B1，)，则 AB1， 24. 设全集 UR，Ax|x1，Bx|xa1， RAx|x1如图所示 Bx|x0，b1若
6、集合 AB只有一个真子集，则实数 a 的取值范围是_答案：(1，)解析：由于集合 B 中的元素是指数函数 yb x的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合 AB 只有一个真子集，那么 yb x1(b0，b1)与ya 的图象只能有一个交点，所以实数 a 的取值范围是(1，) 9. 给定集合 A，若对于任意 a，bA，有 abA，且 abA，则称集合 A 为闭集合，给出如下三个结论： 集合 A4，2，0，2，4为闭集合； 集合 An|n3k，kZ为闭集合； 若集合 A1，A 2为闭集合，则 A1A 2为闭集合其中正确的结论是_(填序号)答案：解析：4(2)6A，所以 不正确；
7、设n1，n 2A，n 13k 1，n 23k 2，k 1，k 2Z，则 n1n 2A，n 1n 2A，所以正确；令A1x|x2k，kZ，A 2x|x3k，kZ，则 A1，A 2为闭集合，但 A1A 2不是闭集合，所以不正确10. 设集合 Ax|x 22x30，集合 Bx|x 22ax10，a0若 AB 中恰含有一个整数，则实数 a 的取值范围是_答案： 34， 43)解析：Ax|x 22x30x|x1 或 x0，f(0)10，即 所以 即 a0， ) a 34，a0，0， a 0，a， a2， a0 时，有 00，Bx|x 24xa0，aR(1) 存在 xB，使得 AB，求 a 的取值范围；(
8、2) 若 ABB，求 a 的取值范围解：(1) 由题意得 B，故 164a0，解得 a4 .令 f(x)x 24xa(x2) 2a4，其对称轴为直线 x2. AB，又 A(，1)(3，)， f(3)4 时，B 是空集，这时满足 ABB；当 164a0 时，a4 .令 f(x)x 24xa，其对称轴为直线 x2. A(，1)(3，)， f(1)b，则 0 且 x20”是“x 1x 20 且 x1x20”的_条件答案：充要解析：由条件显然易得结论，由 x1x20 可得 x1，x 2同号，由 x1x 20 可得 x1，x 2同正5. 已知命题 p：点 P 在直线 y2x3 上；命题 q：点 P 在直
9、线 y3x2 上则使命题“p 且 q”为真命题的点 P 的坐标是_答案：(1，1)解析：命题“p 且 q”为真命题的含义是这两个命题都是真命题，即点 P 既在直线y2x3 上，又在直线 y3x2 上，即点 P 是这两条直线的交点6. 若命题“xR，使得 x2(1a)x10，解得 a3.7. 已知条件 p：|x1|2，条件 q：xa，且綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是_答案：1，)解析：綈 p 是綈 q 的充分不必要条件的等价命题为 q 是 p 的充分不必要条件，即qp，而 p,/)q，条件 p 化简为 x1 或 x0”的否定是“x1，x 2M，x 1x 2，有f(x 1
10、)f(x 2)(x2x 1)0” ； 若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题； 已知 p：x 22x30，q： 1，若(綈 q)p 为真命题，则实数 x 的取值范围13 x是(，3)(1，2)3，)； “x3”是“|x|3”成立的充分条件答案：解析：因为命题“x 1，x 2M，x 1x 2，有f(x 1)f(x 2)(x2x 1)0”的否定是“x1，x 2M，x 1x 2，有f(x 1)f(x 2)(x2x 1)0” ，所以命题 不正确；由于一个命题的逆命题与否命题是等价命题，而且同真假，故命题正确；由于不等式 x22x30的解集是 x1 或 x1 的解集是 211 x2f(2
11、x1)；命题 q：实数 x 满足不等式 x2(m1)xm0.若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围是_答案：(0，2)解析：綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 p 是 q 的必要不充分条件由题意得f(x)为偶函数，且在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减，由 p: f(x1)f(2x1)得 f(|x1|) f(|2x1|)，即|x1|2x1|，解得 02.q：4x 24(m2)x10 无实根 216(m2) 1 m2 40， m2，m 1或 m 3) 当 p 假且 q 真时，有 10，且 AB.求实数 a的取值范围，使命题 p，q 中有且只有一个为真命题解：由
12、 f(a)4.由题意，若 p 真 q 假，则5a4，若 q 真 p 假，则 a7 或 a2.综上， 5a4 或 a7 或 a2.13. 已知两个关于 x 的一元二次方程 mx24x40 和 x24mx4m 24m50，且mZ.求两方程的根都是整数的充要条件解： mx24x40 是一元二次方程， m0.另一方程为x24mx4m 24m50，两方程都要有实根， 解得 m . 两方程的根为整数， 1 16（ 1 m） 0， 2 16m2 4（ 4m2 4m 5） 0， ) 54， 1故和与积也为整数， m1 或 1.当 m1 时，第一个方程 x24x40 的4m Z，4m Z，4m2 4m 5 Z， )根为非整数，而当 m1 时，两方程均有整数根 两方程的根均为整数的充要条件是m1.
