1、2023-2024学年甘肃省平凉市庄浪县九年级上期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）下列图形中是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD2（3分）抛物线yx2+2的顶点坐标为（）A（0，2）B（0，2）C（2，0）D（2，0）3（3分）用配方法解方程x26x70，下列配方正确的是（）A（x3）216B（x+3）216C（x2）27D（x3）224（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，使草坪的面积为570m2设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A（32x）（20x）3220570B32x+220x3
2、220570C（322x）（20x）570D32x+220x2x25705（3分）关于x的方程x2+x10的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C有一个实数根D没有实数根6（3分）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，每天安排4场比赛，设比赛组织者邀请了x个队参赛（）Ax（x+1）64Bx（x1）64Cx（x1）6x4Dx（x+1）647（3分）已知方程x22x30的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x2x1x2的值为（）A5B5C1D18（3分）抛物线y2（x1）2的图象上有三个点A（1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1
3、，y2，y3的大小关系是（）Ay1y2y3By2y1y3Cy3y1y2Dy2y3y19（3分）在同一坐标系中，一次函数yax+2与二次函数yx2+a的图象可能是（）ABCD10（3分）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示下列结论：abc0；2a+b0，则a+bam2+bm；ab+c0；若1x2，则x1+x22其中正确的有（）ABCD二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11（3分）如果函数y（k3）+kx+1是二次函数，则k的值是 12（3分）将二次函数yx24x+5化成ya（xh）2+k的形式为 13（3分）若m是方程2x23x10的一个根，则6m29m+2015的
4、值为 14（3分）设抛物线yx2+4xk的顶点在x轴上，则k的值 15（3分）若抛物线yax2+c与y2x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点是（0，3） 16（3分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置，DE2，则AE的长为 三、解答题（一）：本大题共5小题，共42分.应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（8分）用适当的方法解方程（1）x24x+10；（2）4（x+3）29（x2）218（8分）在如图所示的直角坐标（1）分别写出A，B两点的坐标（2）将ABC绕点A顺时针旋转90，画出旋转后的AB1C1（3）分别写出B1，C1两点的坐标
5、19（8分）二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）写出它的开口方向，对称轴、最值20（8分）关于x的一元二次方程ax2+5x+a2+a0的一个根是0，求a的值21（10分）某村2018年的人均收入为20000元，2020年的人均收入为24200元（1）求2018年到2020年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2021年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2021年该村的人均收入是多少元？四、解答题（二）：（本大题共6小题，共60分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算22（8分）已知关于x的方程x2+mx+m2
6、0（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根23（10分）已知关于x的一元二次方程x22x+m10有两个实数根x1，x2（1）求m的取值范围；（2）当x12+x226x1x2时，求m的值24（10分）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，此时水面距拱顶4米（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式；（2）若水位上升3米，就达到警戒线CD，则拱桥内水面的宽CD是多少米？25（10分）如图，一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为12m的住房墙，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，鸡舍面积为64m2？26（10
7、分）某超市经销一种商品，每件成本为50元，为了获取更大利润，当该商品每件60元时，每个月可销售300件，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元（1）当该商品每个月的销售利润为3750元时，则该商品的销售价是多少？（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润为多少？27（12分）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，请求出点N的坐标
8、；若不存在2023-2024学年甘肃省平凉市庄浪县九年级上期中数学试卷参考答案解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（3分）下列图形中是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，因为找不到任何这样的一点；即不满足中心对称图形的定义；B、是轴对称图形；C、不是轴对称图形，沿这条直线对折后它的两部分能够重合是中心对称图形；D、是轴对称图形，因为找不到任何这样的一点；即不满足中心对称图形的定义故选：B【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
9、折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合2（3分）抛物线yx2+2的顶点坐标为（）A（0，2）B（0，2）C（2，0）D（2，0）【答案】A【分析】根据抛物线的顶点式ya（xh）2+k即可求解【解答】解：抛物线yx2+2中a3，h0，顶点坐标为（0，7），故选：A【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数顶点式是解题的关键3（3分）用配方法解方程x26x70，下列配方正确的是（）A（x3）216B（x+3）216C（x2）27D（x3）22【答案】A【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一
10、次项系数的绝对值一半的平方【解答】解：原方程移项，得x26x8，等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方32，x46x+377+34，（x3）216；故选：A【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤是关键4（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，使草坪的面积为570m2设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A（32x）（20x）3220570B32x+220x3220570C（322x）（20x）570D32x+220x2x2570【答案】C【分析】由道路的宽为xm，可得出种植草坪的部分可合成长为（322x
11、）m，宽为（20x）m的矩形，根据草坪的面积为570m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【解答】解：道路的宽为xm，种植草坪的部分可合成长为（322x）m，宽为（20x）m的矩形根据题意得：（322x）（20x）570故选：C【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键5（3分）关于x的方程x2+x10的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C有一个实数根D没有实数根【答案】A【分析】求出德尔塔的值即可得出结论【解答】解：（）2+60，方程有两个不相等的实数根故选：A【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根
12、与系数的关系是解答此题的关键6（3分）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，每天安排4场比赛，设比赛组织者邀请了x个队参赛（）Ax（x+1）64Bx（x1）64Cx（x1）6x4Dx（x+1）64【答案】B【分析】关系式为：球队总数每支球队需赛的场数比赛场数，把相关数值代入即可【解答】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为x（x7）64，故选：B【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的单循环问题7（3分）已知方程x22x30的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x2x1x2的值为（
13、）A5B5C1D1【答案】B【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x22、x1x23，将其代入x1+x2x1x2中即可求出结论【解答】解：方程x22x30的两个实数根为x1、x2，x1+x26、x1x26，x1+x2x4x22（7）5故选：B【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与系数的关系为：x1+x2，x1x28（3分）抛物线y2（x1）2的图象上有三个点A（1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay1y2y3By2y1y3Cy3y1y2Dy2y3y1【答案】D【分析】根据二次函数的性质可以判断y1，y2，y3的
14、大小关系，从而可以解答本题【解答】解：y2（x1）6，20当x4时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小，抛物线y2（x1）7的图象上有三个点A（1，y1），B（7，y2），C（2，y3），|11|5，|11|6，y2y3y2，故选：D【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答9（3分）在同一坐标系中，一次函数yax+2与二次函数yx2+a的图象可能是（）ABCD【答案】C【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象【解答】解：当a0时，二次函数顶点在y轴负半轴、二、四
15、象限；当a0时，二次函数顶点在y轴正半轴、二、三象限故选：C【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标10（3分）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示下列结论：abc0；2a+b0，则a+bam2+bm；ab+c0；若1x2，则x1+x22其中正确的有（）ABCD【答案】C【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：抛物线开口方向向下，则a0抛物线对称轴位于y轴右侧，则a，即ab0抛物线与
16、y轴交于正半轴，则c5所以abc0故错误抛物线对称轴为直线x8，b2a，即2a+b2，故正确；抛物线对称轴为直线x1，函数的最大值为：ya+b+c；a+b+cam2+bm+c，即a+bam6+bm，故错误；抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，抛物线与x轴的另一个交点在（3，0）的右侧，当x1时，y5，ab+c0，故错误；+bx1+bx2，+bx1bx20，a（x8+x2）（x1x2）+b（x1x2）6，（x1x2）a（x8+x2）+b0，而x6x2，a（x1+x8）+b0，即x1+x6，b2a，x1+x52，故正确综上所述，正确的有故选：C【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会
17、利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11（3分）如果函数y（k3）+kx+1是二次函数，则k的值是0【答案】0【分析】利用二次函数定义可得k23k+22，且k30，再解出k的值即可【解答】解：由题意得：k23k+42，且k38，解得：k0，故答案为：0【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如yax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数12（3分）将二次函数yx24x+5化成ya（xh）2+k的形式为 y（x2）2+1【答案】见试题解答内容【分析】利用配方法整理即可得
18、解【解答】解：yx24x+3x24x+6+1（x2）5+1，所以，y（x2）2+1故答案为：y（x2）3+1【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：yax2+bx+c（a0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：ya（xh）2+k；（3）交点式（与x轴）：ya（xx1）（xx2）13（3分）若m是方程2x23x10的一个根，则6m29m+2015的值为2018【答案】见试题解答内容【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案【解答】解：由题意可知：2m25m10，7m23m7原式3（2m23m）+20152018故答案为：2018【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是
19、正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型14（3分）设抛物线yx2+4xk的顶点在x轴上，则k的值4【答案】见试题解答内容【分析】把二次函数化为顶点式，求得其顶点坐标，令顶点的纵坐标为0可求得k【解答】解：yx2+4xk（x+3）24k，其顶点坐标为（3，4k），顶点在x轴上，4k5，解得k4，故答案为：4【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握顶点坐标大x轴上时其纵坐标为0是解题的关键15（3分）若抛物线yax2+c与y2x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点是（0，3）y2x23【答案】y2x23【分析】由两条抛物线的形状相同且开口方向相反，可得出两个二次函数表达式中二次项的系
20、数互为相反数，再由抛物线的顶点是（0，3）即可解决问题【解答】解：因为抛物线yax2+c与y2x2的形状相同，开口方向相反，所以a2又该抛物线的顶点坐标为（0，7），所以c3故该抛物线的函数解析式为y2x83故答案为：y2x73【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数一般式中a对抛物线的决定作用是解题的关键16（3分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置，DE2，则AE的长为【答案】见试题解答内容【分析】由旋转的性质可得ADE的面积ABF的面积，可得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，可得AD5，由勾股定理可求解
21、【解答】解：把ADE顺时针旋转ABF的位置，ADE的面积ABF的面积，四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，ADDC5，DE2，RtADE中，AE，故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是本题的关键三、解答题（一）：本大题共5小题，共42分.应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（8分）用适当的方法解方程（1）x24x+10；（2）4（x+3）29（x2）2【答案】（1）x12+，x22（2）x10，x212【分析】（1）配方后得出（x2）23，开方得到方程x2，求出方程的解即可；（2）移项，利用因式分解法求解即可【解答】解：（1
22、）x24x+80，移项得：x23x1，配方得：x23x+41+8，即（x2）25，开方得：x2，解得：x62+，x72（2）7（x+3）22（x2）2，6（x+3）26（x2）28，2（x+3）+2（x2）2（x+5）3（x2）3，5x（x+12）0，3x0或x+120，x20，x212【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握分解因式法，配方法求解一元二次方程18（8分）在如图所示的直角坐标（1）分别写出A，B两点的坐标（2）将ABC绕点A顺时针旋转90，画出旋转后的AB1C1（3）分别写出B1，C1两点的坐标【答案】（1）A（2，0）、B（1，4）；（2）作图见解答过程；（3）B1
23、（2，3），C1（1，1）【分析】（1）根据图形可直接得出A、B的坐标；（2）将点B、C分别绕点A顺时针旋转90得到其对应点，再与点A首尾顺次连接即可；（3）由（2）可直接进行求解【解答】解：（1）由图可知：A（2，0），7）；（2）如图所示，AB1C1即为所求（3）由（2）图可知：B4（2，3），C5（1，1）【点评】本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质19（8分）二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）写出它的开口方向，对称轴、最值【答案】（1）抛物线的解析式为y（x3）2+5；（2）抛物线开口向下，对称轴为直
24、线x3，当x3时函数的最大值为5【分析】（1）设顶点式ya（x3）2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；（2）根据（1）中解析式，由函数的性质得出结论【解答】解：（1）设抛物线的解析式为ya（x3）2+3，将A（1，3）代入上式得3a（13）8+5，解得a，抛物线的解析式为y（x8）2+5；（2）y（x3）2+5，抛物线开口向下，对称轴为直线x3【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解20（8分）关于x的一元二次方程ax2+5x+a2+a0的一个根是0，求a的值【答案】
25、1【分析】代入x0可求出a值，由一元二次方程的定义可确定a值，将其代入原方程利用根与系数的关系结合方程的一根，可求出方程的另一根，此题得解【解答】解：当x0时，a2+a5，解得：a11，a70又原方程为一元二次方程，a1【点评】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程的代入法是关键21（10分）某村2018年的人均收入为20000元，2020年的人均收入为24200元（1）求2018年到2020年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2021年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2021年该村的人均收入是多少元？【答案】（1）10%；（2）26620元【分析】（1）设
26、2018年到2020年该村人均收入的年平均增长率为x，根据某村2018年的人均收入为20000元，2020年的人均收入为24200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由2021年该村的人均收入2018年该村的人均收入（1+年平均增长率），即可得出结论【解答】解：（1）设该村人均收入的年平均增长率为x，则20000（1+x）224，解得x60.110%，x82.1（不合题意，舍去），答：该村人均收入的年平均增长率为10%（2）24200（8+10%）26620（元），答：2021年人均收入是26620元【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确根据题意列出方程是解题
27、关键四、解答题（二）：（本大题共6小题，共60分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算22（8分）已知关于x的方程x2+mx+m20（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接把x1代入方程x2+mx+m20求出m的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可【解答】解：（1）根据题意，将x1代入方程x2+mx+m20，得：1+m+m50，解得：m；（2）m242（m2）m27m+8（m2）5+40，不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根【点评】此题考查了一元二次方程a
28、x2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根23（10分）已知关于x的一元二次方程x22x+m10有两个实数根x1，x2（1）求m的取值范围；（2）当x12+x226x1x2时，求m的值【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据一元二次方程x22x+m10有两个实数根，可得0，据此求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系求出x1+x2，x1x2的值，代入x12+x226x1x2求解即可【解答】解：（1）原方程有两个实数根，（2）26（m1）0，整理得：84m+47，解得：m2；（2）x1+x52，x1x6m1
29、，x13+x228x1x2，（x4+x2）28x1x23x1x2，即48（m1），解得：mm2，符合条件的m的值为【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式24（10分）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，此时水面距拱顶4米（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式；（2）若水位上升3米，就达到警戒线CD，则拱桥内水面的宽CD是多少米？【答案】（1）yx2；（2）拱桥内水面的宽CD是10米【分析】（1）设抛物线的解析式为yax2，将点B（10，4）代入求出a的值即可；（2）求出y1时x的值，据此可得答案【解答】解：（1
30、）设抛物线的解析式为yax2，将点B（10，4）代入，解得：a，抛物线的解析式为yx2；（2）当y5+31时，x21，解得：x6或x5，CD5（7）10（米），拱桥内水面的宽CD是10米【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式25（10分）如图，一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为12m的住房墙，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，鸡舍面积为64m2？【答案】所围矩形鸡舍的长为8m，宽为8m时，鸡舍面积为64m2【分析】设垂直于住房墙的一边长为xm，则平行于住房墙的一边长为（23+12x）m，根据鸡舍面积为64m2，可列出关于x的一元
31、二次方程，解之可得出x的值，再结合住房墙的长为12m，即可确定结论【解答】解：设垂直于住房墙的一边长为xm，则平行于住房墙的一边长为（23+12x）m，根据题意得：x（23+32x）64，整理得：x212x+324，解得：x14，x68，当x4时，23+42x23+1541612，舍去；当x8时，23+42x23+148812答：所围矩形鸡舍的长为3m，宽为8m时2【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键26（10分）某超市经销一种商品，每件成本为50元，为了获取更大利润，当该商品每件60元时，每个月可销售300件，则每个月的销售量将减少10件，设该
32、商品每件的销售价为x元（1）当该商品每个月的销售利润为3750元时，则该商品的销售价是多少？（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润为多少？【答案】（1）75或65；（2）每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元【分析】（1）根据等量关系“利润（售价进价）销量”列出函数表达式，把销售利润3750代入即可求得；（2）由（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值【解答】解：（1）设每个月的销售利润为w元，根据题意得：w（x50）30010（x60）10x2+1400x45000，当w3750时，10x2+1400x450003750，
33、解得x575，x265，答：当该商品每个月的销售利润为3750元时，该商品的销售价是75元或65元；（2）由（1）知：w10x2+1400x45000，w10（x70）4+4000，每件销售价为70元时，获得最大利润【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式是解题的关键27（12分）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，请求
34、出点N的坐标；若不存在【答案】见试题解答内容【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为ya（x1）（x5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点A关于对称轴的对称点A的坐标为（6，4），连接BA交对称轴于点P，连接AP，此时PAB的周长最小，可求出直线BA的解析式，即可得出点P的坐标（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4）（0t5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案【解答】解：（1）
35、根据已知条件可设抛物线的解析式为ya（x1）（x5），把点A（6，4）代入上式得：a，y（x3）（x5）x2x+87，抛物线的对称轴是：直线x3；（2）存在，P点坐标为（2，）理由如下：点A（2，4），点A关于对称轴的对称点A的坐标为（6，7）如图1，连接BA交对称轴于点P，此时PAB的周长最小设直线BA的解析式为ykx+b，把A（6，8），0）代入得，解得，yx，点P的横坐标为3，y3，P（4，）（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4）（0t4），如图2，过点N作NGy轴交AC于G，由点A（0，6）和点C（5x+4，把xt代入得：yt+4，t+4），此时：NGt+4（t2t+7）t7+4t，AD+CFCO5，SACNSANG+SCGNADNG+NGOCt2+4t）32t2+10t3（t）5+，当t时，CAN面积的最大值为，由t，得：yt4t+46，N（，3）【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用
