1、2023年内蒙古自治区呼伦贝尔市、兴安盟中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1. 的倒数是（ ）A B. C. 5D. 2. 由大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，且，则的度数为（ ）A. B. C. D. 5. 不等式的正整数解的个数有（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个6. 下列命题正确的是（ ）A. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件B. 精确到十分位C. 点关于轴的对称点坐标是D. 甲、乙
2、两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，则甲成绩比乙的稳定7. 某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分某队在12场比赛中得20分设该队胜场，负场，则根据题意，列出关于、的二元一次方程组正确的是（ ）A. B. C. D. 8. 若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9. 如图，在菱形中，顺次连接菱形各边中点、，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ）A. B. C. 或D. 或11. 如图，在中，以点为圆心，以
3、的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（ ）A. B. C. D. 12. 将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P运动的时间的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：；点从点运动到点需要；矩形纸板裁剪前后周长均为其中正确信息个数有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）13. 分解因式：=_14. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，则点的坐标为_
4、15. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：_16. 如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是_17. 观察下列各式：，请利用你所发现规律，计算：_三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）18 计算：19. 先化简，再求值：，其中，20. 如图，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，5，转盘上的数字分别是6，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）（1）转动转盘，转盘指针指向正数
5、的概率是_；（2）若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平21. 某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流宽度如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，在同一条直线上，其中求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）四、（本题7分）22. 为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），组：，组：，组：，组：
6、，组：，并绘制了如下不完整的统计图表请结合统计图表，解答如下问题：学生成绩统计表组别成绩频数2014445 （1）本次调查的样本容量为_，学生成绩统计表中_；（2）所抽取学生成绩的中位数落在_组；（3）求出扇形统计图中“”所在扇形的圆心角度数；（4）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少名？五、（本题7分）23. 如图，是的直径，为上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点（1）求证：为的切线；（2）若，求的长六、（本题9分）24. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商
7、家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同（1）求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；（2）商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：A厂家：一律打8折出售厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折该商家计划购买豆沙粽礼盒盒，设去A厂家购买应付元，去厂家购买应付元，其函数图象如图所示：分别求出，与之间的函数关系；若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？七、（本题9分）25. 已知正方形，是对角线上一点（1）如图1，连接，求证：；（2）如图2，是延长线上一点，交于点，判断的形状并说明理由；（3）在第（
8、2）题的条件下，求的值八、（本题13分）26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标；（3）如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标2023年内蒙古自治区呼伦贝尔市、兴安盟中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1. 的倒数是（ ）A. B. C. 5D. 【答案】A【解析】【分析】两个乘积是1的数互为倒数，0没有倒数，根据倒数的定义
9、即可求解【详解】解：的倒数是故选：A【点睛】本题考查倒数熟悉倒数的概念是关键2. 由大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出左视图即可【详解】解：左视图如图： 故选B【点睛】本题考查三视图熟练掌握三视图的画法，是解题的关键3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式加减的运算性质、积的乘方的运算性质、分式加减的运算性质、分式乘除的运算性质判断即可【详解】A、，运算错误，该选项不符合题意；B、，运算错误，该选项不符合题意；C、，运算错误，该选项不符合题意；D、运算正确，该选项符合题意
10、故选：D【点睛】本题主要考查二次根式加减、积的乘方、分式的加减、分式的乘除，牢记二次根式加减的运算性质、积的乘方的运算性质、分式加减的运算性质、分式乘除的运算性质是解题的关键4. 将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，且，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】平行线的性质，得到，再利用，进行求解即可【详解】解：由题意，得：，；故选B【点睛】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算正确的识图，掌握平行线的性质，是解题的关键5. 不等式的正整数解的个数有（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】【分析】首先利用不等式的基本性质解不等
11、式，再从不等式的解集中找出正整数解得个数【详解】解：，正整数解为：，有个，故选A【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键6. 下列命题正确的是（ ）A. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件B. 精确到十分位C. 点关于轴的对称点坐标是D. 甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，则甲成绩比乙的稳定【答案】C【解析】【分析】A、根据必然事件和随机事件的定义即可判断该命题是否正确；B、根据小数精确度的定义即可判断该命题是否正确；C、根据轴对称图形的性质即可判断该命题是否正确；D、方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越
12、小【详解】A、“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，命题错误，该选项不符合题意；B、精确到百分位，命题错误，该选项不符合题意；C、点关于轴的对称点坐标是，命题正确，该选项符合题意；D、甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，则乙成绩比甲的稳定，命题错误，该选项不符合题意故选：C【点睛】本题主要考查必然事件和随机事件、小数精确度、轴对称图形、方差，牢记必然事件和随机事件的定义、小数精确度的定义、轴对称图形的性质、方差的性质是解题的关键7. 某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分某队在12场比赛中得20分设该队胜场，负场，则根据题意，列出
13、关于、的二元一次方程组正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设该队胜场，负场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，在12场比赛中得20分，列出方程组即可【详解】解：设该队胜场，负场，根据题意得：，故D正确故选：D【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，解题的关键是找出题目中的等量关系8. 若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的解法求出，的值，根据各象限点的特征即可求得【详解】实数，是一元二次方程的两个根，且，,为，在第二象限，故选：B【点睛】此题考查了
14、一元二次方程的解法以及各象限点的特征，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法9. 如图，在菱形中，顺次连接菱形各边中点、，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先利用三角形的中位线定理证得四边形为平行四边形，再求对角线长度，然后利用三角形中位线定理求出此平行四边形边长即可求出周长【详解】解：如图，连接、，相交于点， 点分别是边的中点，同理，四边形是平行四边形，四边形是菱形， ，对角线互相垂直，是等边三角形，在中，四边形的周长为故选：C【点睛】本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，菱形的性质及平行四边形的判定与性质进行计算10.
15、 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可【详解】解：把 ，直线与双曲线交于点和点，当时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方，不等式的解集是：，故选：B【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键11. 如图，在中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据尺规作图可得，
16、是的平分线，可得，由三角形内角和定理可得，由等腰三角形性质可得，根据直角三角形的性质可得，可推出，根据三角形面积公式即可求解【详解】解：由尺规作图可得，是的平分线，在中，即，故选：A【点睛】本题考查基本作图，含角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，角所对直角边长度是斜边的一半12. 将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P运动的时间的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：；点从点运动到点需要；矩形纸板裁剪前后周长均为其中正确信息的个数有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答
17、案】C【解析】【分析】利用图表信息结合面积及逐个运动阶段得到计算数据，逐个判断正误即可【详解】由矩形及点P运动过程可知：时，点P位于点B处，则，正确；时，点P位于点D处，故运动时间为10s，所以正确；，时，点P位于点C处， ，所以错误；周长，所以错误；故正确，正确得有2个，故选C【点睛】本题考查动点面积计算问题，能够在不同位置清晰计算面积及结合图表确认拐点位置是解题的关键二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）13. 分解因式：=_【答案】x（x+2）（x2）【解析】【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可【详解】解：=x（x+2）（x2）故答案为：x（x+2）（x2）【点睛
18、】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键14. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，则点的坐标为_【答案】【解析】【分析】过点作轴于点A，过点作轴于点C，易证，即得出，即【详解】解：如图，过点作轴于点A，过点作轴于点C，将绕点逆时针旋转，得到，又，故答案为：【点睛】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键15. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：_【答案】#【解析】【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解【详解】由数轴位置可知，【点睛】本题考查二次根式化简运算，
19、掌握二次根式的性质是关键16. 如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是_【答案】【解析】【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可【详解】解：正六边形的外角和为，每一个外角的度数为，正六边形的每个内角的度数为，设这个圆锥底面圆的半径是r，根据题意得，解得，故答案为：【点睛】本题考查正多边形和圆及圆锥的计算，解题的关键是求得正六边形的内角的度数，并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长17. 观察下列各式：，请利用你所发现的规律，计算：_【答案】#
20、【解析】【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案【详解】，故答案为：【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）18. 计算：【答案】【解析】【分析】根据实数的混合运算法则即可求解【详解】原式【点睛】本题考查实数的混合运算熟记特殊角的三角函数值、求绝对值法则，负指数幂的运算法则是解题关键19. 先化简，再求值：，其中，【答案】，45【解析】【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可【详解】原式当，时原式【点睛】本题考查的是整式的化简求值，同时考查了二次根式的混合运算，掌握完全
21、平方公式与平方差公式进行简便运算是解题的关键20. 如图，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，5，转盘上的数字分别是6，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）（1）转动转盘，转盘指针指向正数的概率是_；（2）若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平【答案】（1） （2）这个游戏公平，理由见解析【解析】【分析】（1）转盘指针指向正数的概率，据此即可求解；（2）通过列表找出事件的所
22、有等可能结果，分别计算小明获胜的概率、小聪获胜的概率即可进行判断【小问1详解】解：为正数转盘指针指向正数的概率为：【小问2详解】解：列表得：64一共有9种等可能的结果其中的有4种、；其中的有4种、（小聪获胜）；（小明获胜）（小聪获胜）（小明获胜）这个游戏公平【点睛】本题考查了概率的应用熟记概率的计算公式以及列表法（或树状图）是解题关键21. 某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，在同一条直线上，其中求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据
23、：）【答案】河流的宽度约为64米【解析】【分析】过点作于点，分别解、即可【详解】解：过点作于点则四边形是矩形，在中，在中，米答：河流的宽度约为64米【点睛】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题作垂线构造直角三角形是解题关键四、（本题7分）22. 为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图表请结合统计图表，解答如下问题：学生成绩统计表组别成绩频数2014445 （1）本次调查的样本容量为_，学生成绩统计表中_；（2）所抽取学生成绩的中位数落在_组；（
24、3）求出扇形统计图中“”所在扇形的圆心角度数；（4）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少名？【答案】（1）400，176 （2） （3）扇形统计图中“”所在扇形的圆心角度数为 （4）估计该校成绩优秀的学生约有300名【解析】【分析】（1）利用组频数除以组所占百分比即可计算本次调查的样本容量；利用样本容量乘以组所占百分比即可计算的值；（2）根据中位数定义分析判断即可；（3）首先计算的值，再计算扇形统计图中“”所在扇形的圆心角度数即可；（4）首先计算本次调查学生成绩优秀的百分比，然后利用该百分比乘以该校总人数即可获得答案【小问1详解】本次调查的样本容量为
25、，故答案为：400，176；【小问2详解】此次共抽取了400名学生成绩，将学生成绩按从低到高排序，排在最中间的是第200个、第201个，这两个数的平均数是中位数，中位数落在组故答案为：；【小问3详解】，扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数为，答：扇形统计图中“”所在扇形的圆心角度数为【小问4详解】，答：估计该校成绩优秀的学生约有300名【点睛】本题主要考查了频数分布统计表、扇形统计图、中位数、样本估计总体等知识，熟练掌握相关知识是解题关键五、（本题7分）23. 如图，是的直径，为上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点（1）求证：为的切线；（2）若，求的长【答
26、案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，根据点是的中点可得，进而证，从而得证即可；（2）解法一：连接交于，根据及勾股定理求出，再证明，从而得到，即可求出的值；解法二：过点作于点，按照解法一步骤求出，然后证明四边形是矩形，再证明，求得，进而求出的值【小问1详解】证明：连接，点是的中点，是半径，是的切线；【小问2详解】解法一：连接交于，在中，或（不符合题意，舍去），点是的中点，是半径，垂直平分，是的中位线，是直径，；解法二：过点作于点，在中，或（不符合题意，舍去），四边形是矩形，【点睛】本题考查切线的判定，圆的相关性质，勾股定理，平行线间线段成比例，相似三角形的的判定与性质，掌握并理解
27、相关性质定理并能综合应用是关键六、（本题9分）24. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同（1）求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；（2）商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：A厂家：一律打8折出售厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折该商家计划购买豆沙粽礼盒盒，设去A厂家购买应付元，去厂家购买应付元，其函数图象如图所示：分别求出，与之间的函数关系；若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？【答案
28、】（1）每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元 （2）（且整数）；购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去厂家购买划算【解析】【分析】（1）设每盒豆沙粽的进价为元，则每盒肉粽的进价为元，列分式方程求解即可；（2）根据售价与数量、单价间的关系即可列一次函数得解；由得，解得，结合图象即可得解【小问1详解】解：设每盒豆沙粽的进价为元，则每盒肉粽的进价为元方程两边乘，得解得检验：当时，是原方程的解答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元【小问2详解】解：（且为整数）当且为整数时，当且为整数时，当且为整数，
29、时由图象可知：购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去厂家购买划算【点睛】本题考查了求一次函数得解析式，分式方程的应用以及一次函数的图像及性质，正确找出等量关系列分式方程是解题的关键七、（本题9分）25. 已知正方形，是对角线上一点（1）如图1，连接，求证：；（2）如图2，是延长线上一点，交于点，判断的形状并说明理由；（3）在第（2）题的条件下，求的值【答案】（1）见解析 （2）是等腰三角形，理由见解析 （3）【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得出，进而即可得到；（2）先判断出，进而判断出，即可得到结论；（3）
30、先求出的长，可证明是等腰直角三角形从而得到的长，再利用，可证得，进而得到，从而可得到答案【小问1详解】解：四边形是正方形，是对角线，在和中【小问2详解】解：是等腰三角形，理由如下：，四边形是正方形，是等腰三角形【小问3详解】解：，又，是等腰直角三角形，【点睛】本题考查四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形，等腰三角形以及相似三角形，熟练掌握等腰三角形以及全等三角形的判定与性质是解题的关键八、（本题13分）26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴
31、平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标；（3）如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标【答案】（1） （2）的最大值为，点的坐标为 （3）符合条件的点坐标为：或【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线的解析式，设，则，得到，利用二次函数的性质求解即可；（3）先求得抛物线的顶点，对称轴为，分当点在轴上和点在轴负半轴上时，两种情况讨论，当点在轴负半轴上时，证明，求得，再证明，求得点的坐标为，由点在抛物线上，列式计算求解即可【小问1详解】解：抛物线与轴交于点，与轴交于点解得抛物线的解析式为：；【小问2详解】解
32、：当时，解得，设直线的解析式为：，把，代入得：，解得直线的解析式为，设，轴，点的纵坐标为，又点在直线上，轴，当时，有最大值，最大值为，当时，点的坐标为；答：的最大值为，点的坐标为；【小问3详解】解：，则抛物线的顶点，对称轴为，情况一：当点在轴上时，为抛物线的顶点，四边形为矩形，与纵坐标相同，；情况二：当点在轴负半轴上时，四边形为矩形，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，设，则，又，抛物线对称轴为，点在对称轴上，即，点的坐标为，点在抛物线上，解得，（舍去），综上所述：符合条件点坐标为：或【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想的应用
