1、江苏省常州市2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题（每小题2分，共16分）1. 若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52. 一元二次方程，配方后可形为（ ）A. B. C. D. 3. 下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）A. B. C. D. 4. 方程的解是( )A B. C. 或D. 或5. 如图，四边形为内接四边形，若四边形为菱形，为（ ）A. 45B. 60C. 72D. 366. 如图，BAC36，点O在边AB上，O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则AFD等于（ ）A. 27B. 29C. 35D. 37
2、7. 若扇形的半径为3，圆心角为60，则此扇形的弧长是（）A. B. C. D. 28. 如图，在中，点D是边上一个动点，以点D为圆心r为半径作，直线与切于点E，若点E关于的对称点F恰好落在边上，则r的值是( )A. B. 1C. D. 二、填空题（每小题2分，共20分）9. 方程的根是_10. 若关于方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_11. 一元二次方程的两根为，则_12. 已知，当时，_13. 已知直角三角形两条的边长是方程的两个根，则这个直角三角形的面积为_14. 如图，是的直径，点在上，若，则_15. 如图，四边形内接于，则_16. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心作与x轴
3、相切，点P是y轴正半轴上一点，则_17. 如图，矩形ABCD对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F若BD4，CAB36，则图中阴影部分的面积为_（结果保留）18. 如图，是的内接三角形，垂足为H，连接，则的最大值是_三、解方程（每小题4分，共16分）19. 解方程（1）；（2）；（3）；（4）四、解答题（第20、23题每小题8分，第21、22题每小题6分，第24、25题每小题10分，共48分）20. 已知关于的一元二次方程有实数根（1）求的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值21. 如图，用长6m的铝合金条制成“日”字形
4、窗框，窗框的宽和高各是多少时，窗户的透光面积为1.5m2 (铝合金条的宽度不计) ?22. 某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件根据以往的销售经验，销售单价每提高1元，月销售量就会减少10件若服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，且销售单价不超过50元，求T恤的销售单价应提高多少元？23. 已知为的直径，C为上一点，连接（1）如图，若C为的中点，求的大小和的长；（2）如图，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像分别交x轴、y铀于点A、B，点C、
5、D分别是射线、射线上的动点，且连接，以为直径作设（1）若，则点D的坐标是_；（2）若点C在线段上且的面积是，求t的值；（3）若直线与相切，求t的值25. 在平面直角坐标系中，已知点，N是线段上一点对于平面内一点P给出如下定义：将点P向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，我们称点是点P的“平移点”，点Q为点P的“移对点”在平面直角坐标系中，已知的半径为2（1）若点，点N是的中点，点，则点P的“平移点”的坐标是_，点P的“移对点”Q的坐标是_；（2）如图，点，点N是OM的中点，点在图中用直尺与圆规作出点P的“移对点”点Q，并求点Q的坐
6、标（不写作法，保留作图痕迹）；（3）若点是上一点，N是线段OM上一点，且，P是外一点，点Q为点P的“移对点”，连接PQ当点M在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差江苏省常州市2022-2023学年九年级上期中数学试题一、选择题（每小题2分，共16分）1. 若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】根据韦达定理，可知另一个根为，再根据韦达定理可知的值为根之和，即可求得【详解】的一个根为2，设另一根为，解得又故选D【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系即韦达定理，熟悉韦达定理是解题的关键2. 一元二次方程，配方后可形为（
7、）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可【详解】解：x2-8x=2，x2-8x+16=18，（x-4）2=18故选：A【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法3. 下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算出各个选项中的的值，然后根据0有两个不等式的实数根，=0有两个相等实数根，0无实数根判断即可【详解】解：在x2-2x-3=0中，=b2-4ac=（-2）2
8、-41（-3）=160，即该方程有两个不等实数根，故选项A不符合题意；在x2+3x+2=0中，=b2-4ac=32-412=10，即该方程有两个不等实数根，故选项B不符合题意；在x2-2x+1=0中，=b2-4ac=（-2）2-411=0，即该方程有两个相等实数根，故选项C不符合题意；在x2+2x+3=0中，=b2-4ac=22-413=-80，即该方程无实数根，故选项D符合题意；故选：D【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确0有两个不等式的实数根，=0有两个相等实数根，0无实数根4. 方程的解是( )A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】先移项，再用因式分解法求解即
9、可【详解】解：，或，故选：C【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握等式的性质和解一元二次方程的方法步骤，注意不能两边同时除以x5. 如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，为（ ）A. 45B. 60C. 72D. 36【答案】B【解析】【分析】根据菱形性质，得；连接，根据圆的对称性，得；根据等边三角形的性质，得，再根据圆周角和圆心角的性质计算，即可得到答案【详解】四边形为菱形 连接 四边形为的内接四边形 ，为等边三角形 故选：B【点睛】本题考查了圆内接多边形、等边三角形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、等边三角形、菱形、圆周角、圆心角的知识；从而完成求解6
10、. 如图，BAC36，点O在边AB上，O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则AFD等于（ ）A. 27B. 29C. 35D. 37【答案】A【解析】【分析】连接OD，根据切线的性质得到ADO90，根据直角三角形的性质得到AOD903654，根据圆周角定理即可得到结论【详解】解：连接OD，O与边AC相切于点D，ADO90，BAC36，AOD903654，故选：A【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键7. 若扇形的半径为3，圆心角为60，则此扇形的弧长是（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据弧长的公式列式计算即可
11、【详解】解：一个扇形的半径长为3，且圆心角为60，此扇形的弧长为故选：B【点睛】本题考查了弧长公式，熟记公式是解题的关键8. 如图，在中，点D是边上一个动点，以点D为圆心r为半径作，直线与切于点E，若点E关于对称点F恰好落在边上，则r的值是( )A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接、，由与相切于点，得，由点与点关于对称，得垂直平分，则，所以，即可证明，由，得，所以，由勾股定理得，则，而，所以，于是得到问题的答案【详解】解：连接、，如图，与相切于点，点与点关于对称，垂直平分，故选：A【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆的切线
12、的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键二、填空题（每小题2分，共20分）9. 方程的根是_【答案】，#，【解析】【分析】由因式分解法解一元二次方程，即可求出答案【详解】解：，或；故答案为：，【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程10. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据根的判别式求出，再求出不等式的解集即可【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，解得：，故答案为：【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，解题的关键是能熟记根的判别式的内容是解此题的关键
13、，注意：已知一元二次方程为常数，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根11. 一元二次方程的两根为，则_【答案】3【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数关系，两根之和等于，代入求值即可【详解】解：一元二次方程的两根为，故答案为：3【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，知道一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于是解题关键12. 已知，当时，_【答案】3或【解析】【分析】把，代入得到方程，解方程即可得到答案【详解】解：，当时，则，解得，即或3，故答案为：3或【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键13. 已知直角
14、三角形两条的边长是方程的两个根，则这个直角三角形的面积为_【答案】6或【解析】【分析】先解此一元二次方程得出x的值，分情况讨论：当求出的两根都是直角边时三角形的的面积；当求出的两根一个为直角边另一个为斜边时三角形的面积.【详解】直角三角形两条的边长是方程的两个根x=3或4当3和4同为直角边时，三角形面积=当3为直角边，4为斜边时，另一条直角边为：，三角形的面积=故答案为6或.【点睛】本题考查的主要是解一元二次方程.14. 如图，是的直径，点在上，若，则_【答案】【解析】【分析】由同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为90然后根据三角形内角和即可求出的度数【详解】，又AB是直径，故答案为：【点
15、睛】此题考查了同弧所对圆周角的性质和直径所对圆周角的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对圆周角的性质和直径所对圆周角的性质15. 如图，四边形内接于，则_【答案】50【解析】【分析】首先利用等腰三角形的性质和底角的度数求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求得答案即可【详解】解：，故答案为：50【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补，难度不大16. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心作与x轴相切，点P是y轴正半轴上一点，则_【答案】11【解析】【分析】设与x轴相切的切点是B，连接AB，过点A作轴于点D，则，证明四边形是矩形，由点A的坐标为得到，在中，由勾股定
16、理得到，即可得到答案【详解】解：如图所示，设与x轴相切的切点是B，连接AB，过点A作轴于点D，则，与x轴相切的切点是B，四边形是矩形，点A的坐标为，所以，在中，故答案为：11【点睛】此题考查了勾股定理、矩形的判定和性质、切线的性质等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线17. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F若BD4，CAB36，则图中阴影部分的面积为_（结果保留）【答案】【解析】【分析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面积公式求解即可【详解】解：矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且B
17、D=4，AC=BD4，OA=OC=OB=OD=2，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，正确的识别图形是解题的关键18. 如图，是的内接三角形，垂足为H，连接，则的最大值是_【答案】#【解析】【分析】连接，由圆周角定理可知，点H的轨迹是以为直径的圆上的优弧，以为直径的圆的圆心设为，连接并延长交弧于点，当H运动到处时，有最大值连接，可证是等腰直角三角形，斜边，可得，则，在直角三角形中，由勾股定理得，则所求的有最大值为【详解】解：如图，连接，点H的轨迹是以为直径的圆上的优弧，如图所示，以为直径的圆的圆心设为，连接并延长交弧于点，连接，是等腰直角三角形，即的最大值为，故答案为：【
18、点睛】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质定理、圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理找到点的运动轨迹是解题的关键三、解方程（每小题4分，共16分）19. 解方程（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）， （2）， （3） （4），【解析】【分析】（1）用直接开平方法求解即可；（2）用因式分解法求解即可；（3）先展开括号，再移项，最后用配方法求解即可；（4）用因式分解法求解即可小问1详解】解：，【小问2详解】解：，【小问3详解】解：，【小问4详解】解：，【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤解一元二次方程的方法有：直接开
19、平方法，配方法，公式法，因式分解法四、解答题（第20、23题每小题8分，第21、22题每小题6分，第24、25题每小题10分，共48分）20. 已知关于的一元二次方程有实数根（1）求的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可；（2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案【详解】（1）由题意可得：解得：即实数m的取值范围是（2）由可得：； 解得：或即的值为-2【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）
20、掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键21. 如图，用长6m的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽和高各是多少时，窗户的透光面积为1.5m2 (铝合金条的宽度不计) ?【答案】宽为1m,高为1.5m.【解析】【分析】设窗户的宽为x，则高为，根据等量关系，列出方程，即可.【详解】设窗户的宽为x，则高为，由题意得：，解得：，=，答：窗框的宽为1m，高为1.5m.【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用几何问题，找出等量关系，列出方程，是解题的关键.22. 某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件根据以往的销售经验，销售
21、单价每提高1元，月销售量就会减少10件若服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，且销售单价不超过50元，求T恤的销售单价应提高多少元？【答案】T恤的销售单价应提高2元【解析】【分析】设T恤的销售单价应提高x元，根据销售单价每提高1元，月销售量就会减少10件若服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元列方程解答即可【详解】解：设T恤的销售单价应提高x元根据题意，得解这个方程，得，当时，当时，不合题意，舍去答：T恤的销售单价应提高2元【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键23. 已知为的直径，C为上一点，连接（1）如图，若C为的中点，求的大小
22、和的长；（2）如图，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）由圆周角定理得，由C为的中点，得，从而，即可求得的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度；（2）证明四边形为矩形，FD=CE= CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案【小问1详解】为的直径，由C为的中点，得，得，在中，；根据勾股定理，有，又，得，；【小问2详解】是的切线，即，垂足为E，同（1）可得，有，四边形为矩形，于是，在中，由，得，【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的
23、关键是利用数形结合的思想解答此题24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像分别交x轴、y铀于点A、B，点C、D分别是射线、射线上的动点，且连接，以为直径作设（1）若，则点D的坐标是_；（2）若点C在线段上且的面积是，求t的值；（3）若直线与相切，求t的值【答案】（1） （2）0或 （3）或4【解析】【分析】（1）一次函数的图像分别交x轴于点，交y轴于点， 所以，则为等腰直角三角形，过点D作轴于H，分别求出和长即可知D点坐标；（2）一次函数的图像分别交x轴于点，交y轴于点，则，由圆的面积可求其直径，过点D作轴于H，在中利用勾股定理列出关于t的方程求解即可；（3）过点D作轴于H，当直线
24、与相切，则为等腰直角三角形，根据图形，分两种情况进行讨论即可得出结论【小问1详解】解：令，则，令，则， ，为等腰直角三角形，当时，如图1， 过点D作轴于H，则，在等腰直角中，故答案为：；【小问2详解】解：一次函数图像分别交x轴于点，交y轴于点，则，如图1，过点D作轴于H，则，的面积是，在中，,【小问3详解】解：过点D作轴于H，则若直线与相切，则，由（2）问可知，为等腰直角三角形，分两种情况：,如图2，当时，当时，由题意可知，点D与点B重合，点H与点O重合，如图3，是等腰直角三角形，综上所述，当与相切时，t的值是或【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，圆与直线相切的
25、性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键25. 在平面直角坐标系中，已知点，N是线段上一点对于平面内一点P给出如下定义：将点P向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点N的对称点为Q，我们称点是点P的“平移点”，点Q为点P的“移对点”在平面直角坐标系中，已知的半径为2（1）若点，点N是的中点，点，则点P的“平移点”的坐标是_，点P的“移对点”Q的坐标是_；（2）如图，点，点N是OM的中点，点在图中用直尺与圆规作出点P的“移对点”点Q，并求点Q的坐标（不写作法，保留作图痕迹）；（3）若点是上一点，N是线段OM上一点，且，P是外一点，点Q为点P的“移对点”
26、，连接PQ当点M在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差【答案】（1）， （2）作图见解析， （3）PQ长的最大值与最小值的差是【解析】【分析】（1）根据题中所给的“平移点”和 “移对点”的定义即可解答；（2）先画出点，以点N为圆心，长为半径画弧，交于x轴交于点Q，点Q即为所求，先求出点的坐标，根据中心对称的定义即可求出点Q的坐标；（3）连接并延长，过点Q作的平行线，交的延长线于点A和点B，先根据中位线定理得出，再根据平行四边形的性质得出，最后根据三角形三边之间的关系，即可得将最大值和最小值表示出来【小问1详解】解：，点P的“平移点”的坐标是，即：，点N是的中点，点关于点N的对称点坐标为：，P的“移对点”Q的坐标是：故答案为：，【小问2详解】作图如下 连接PQ，点P“平移点”的坐标是，即：，过点N作于H，则四边形是矩形，且点Q在x轴上且【小问3详解】的半径为2，点，设点P的坐标为，同理可得：，四边形为平行四边形，连接并延长，过点Q作的平行线，交的延长线于点A和点B，四边形为平行四边形，长的最大值与最小值的差为：【点睛】本题主要考查了圆的综合问题，解题的关键是正确理解题意，明白“平移点”和“移对点”的定义，根据题意做出辅助线，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的性质，中心对称的性质
