1、湖北省武汉市江汉区2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 一元二次方程的二次项系数是2，则一次项系数是（ ）A 3B. C. 1D. 2. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 抛物线的对称轴是（ ）A. B. C. D. 4. 如图，已知为的直径，点，在下方的圆弧上，点在上方的圆弧上，则等于（ ）A. B. C. D. 5. 判断方程的根的情况是（ ）A. 有一个实根B. 有两个相等实根C. 有两个不等实根D. 没有实根6. 抛物线通过下列平移，得到抛物线正确的是（ ）A. 先向右平移1个单位长度
2、，再向上平移3个单位长度B. 先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度C. 先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度D. 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度7. 如图，在中，若是边上任意一点，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则下列结论一定正确的是（ ）A B. C. D. 8. 某区7月份工业生产值达120亿元，7月、8月、9月三个月总产值为450亿元，求8月、9月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为，根据题意得方程（ ）A. B. C. D. 9. 如图，的顶点均在上，且，为弦的中点，弦经过点，且若的半径为4，则弦的长是（ ）A. B. C.
3、D. 10. 若抛物线（为常数）与直线有两个交点，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 第卷（非选择题 共90分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置11. 已知，则的值是_12. 抛物线最高点的坐标是_13. 已知关于的方程的两实数根为，则_14. 如图，以为直径的半圆经过点，点在直径上若，则的度数是_15. 已知抛物线（，为常数且）图像经过，,四点，若，则下列结论：；其中一定正确的是_（填序号）16. 如图，在中，将绕某点逆时针旋转90，得到，与相交于点若是的中点，则的长是_三、解答题（共8题，共72分）下列各题
4、需要在答题卷指定的位置写出文字说明，证明过程，演算步骤或画出图形17. 解方程：18. 将抛物线上四点的坐标列表如下：点 横坐标012纵坐标1（1）求，的值；（2）直接写出，的值19. 如图，要设计一个梯形的花坛，花坛上底长米，下底长米，上下底相距米，在梯形的中位线（两腰中点的连线，图中虚线所示）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等设甬道的宽为米（1）我们知道，梯形的面积等于梯形中位线的长与梯形高的积，请用含的式子表示横向甬道的面积，直接写出结果；（2）当甬道的总面积是梯形面积的四分之一时，求甬道的宽20. 如图，已知的三个顶点都在上，是上一点，于（1）若，求度数；（2
5、）求证：21. 如图是由小正方形组成的66网格，每个小正方形的顶点叫做格点，O经过A，B，C三个格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示（1）在图（1）中画的中点D；（2）在图（1）中的O上画一点E，连接BE，使ABE45；（3）如图（2），延长BA至格点F处，连接CF直接写出F的度数；P为CF上一点，连接BP，将PB绕点B顺时针旋转90得到QB，画出线段QB22. 某公司计划购进一批原料加工为成品销售，加工费用（单位、万元），销售价（单位：万元/t）与原料的质量（单位：t）之间都满足一次函数关系收集相关数据如下表原料的质量1215182730加工费/万元42.443436
6、45.446销售价/(万元/t)1615141110（1）直接写出与之间、与之间的函数关系式；（2）已知在加工过程中原料质量有40%的损耗率，该原料的进价为2.2万元/t设销售总额为P（单位：万元）直接写出与之间的函数关系式；（友情提示，销售总额成品的质量销售价）问原料质量为多少吨时，获销售利润70.2万元？问原料质量为多少吨时，获最大销售利润，最大销售利润是多少万元？23. 问题提出 如图（1），已知，将边绕点顺时针旋转至处，连接，为的中点，为边中垂线上一点，探究的值问题探究 （1）先将问题特殊化如图（2），当时，不存在确定的点，请说明理由；如图（3），当在的延长线上时，连接，发现，请证明这
7、个结论；（2）再探究一般情形如图（1），当时，证明（1）中的结论仍然成立问题拓展 （3）当时，若，请直接写出的值24. 如图（1），已知抛物线：与轴交于，两点（在的右侧），交轴于点（1）直接写出的中点的坐标；（2）直线（，为常数）过的中点，与抛物线：交于，（在的右侧），若点，的水平距离与点，的水平距离相等，求的值；（3）如图（2），将抛物线向右平移得到过原点抛物线，抛物线的对称轴为直线，直线（，为常数，且）与抛物线有唯一公共点，且与直线交与点，点关于轴的对称点为，于，求线段的长湖北省武汉市江汉区2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 一元二
8、次方程的二次项系数是2，则一次项系数是（ ）A. 3B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】先把方程化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可【详解】解：，所以一次项系数是，故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是（a、b、c为常数，）2. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形、中心对称图形定义进行判断即可【详解】解：A既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合要求；B是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；C既不是轴对
9、称图形，又不是中心对称图形，故不符合要求；D不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；故选：A【点睛】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形3. 抛物线的对称轴是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据抛物线顶点式直接得出抛物线的对称轴即可【详解】解：抛物线是抛物线的顶点式，根据抛物线的顶点式可知抛物线的对称轴是直线，故选：A【点睛】此题考查顶点式抛物线的对称轴，利
10、用抛物线顶点式函数图像的性质求得抛物线对称轴是解题关键4. 如图，已知为的直径，点，在下方的圆弧上，点在上方的圆弧上，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连结，利用圆周角定理即可解决【详解】连结，如图，故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理，这是解本题的关键5. 判断方程的根的情况是（ ）A. 有一个实根B. 有两个相等实根C. 有两个不等实根D. 没有实根【答案】D【解析】【分析】计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可作出判断【详解】，方程无实数根，故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握判别式的符号与一元二次方程根的关系是关键6. 抛物线通过下列平移
11、，得到抛物线正确的是（ ）A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度B. 先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度C. 先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度D. 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度【答案】C【解析】【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点，即可判断是如何平移得到【详解】解：的顶点坐标为，的顶点坐标为，将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移的知识，解题关键是掌握的平移规律和求出关键点顶点坐标7. 如图，在中，若是边上任意一点，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，连接，
12、则下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据旋转的性质、等腰三角形的判定与性质逐项判断即可【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，不一定等于，故选项A不符合题意；，而CAB不一定等于B，不一定等于，与不一定平行，故选项B不符合题意；，和都是等腰三角形且顶角相等，故选项C符合题意；，而AC不一定平分，与不一定垂直，故选项D不符合题意故选：C【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、旋转变换是全等变换等知识点，掌握旋转不变性是解题的关键8. 某区7月份工业生产值达120亿元，7月、8月、9月三个月总产值为450亿元，求8月、9月平均每月的增长率是多
13、少？设平均每月增长的百分率为，根据题意得方程（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设平均每月增长的百分率为，则8月工业生产值为，9月工业生产值为，根据“7月、8月、9月三个月总产值为450亿元，”列出方程，即可求解【详解】解：设平均每月增长的百分率为，根据题意得：故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键9. 如图，的顶点均在上，且，为弦的中点，弦经过点，且若的半径为4，则弦的长是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接、，作于点H，先根据垂径定理证明垂直平分，则经过点D，再根据等腰三角形的“三线合一”证明，则是
14、等边三角形，由，得，则，所以，即可根据勾股定理求得，则【详解】解：连接、，作于点H，如图所示：则，垂直平分，D为弦的中点，经过点D，是等边三角形，于点D，故B正确故选：B【点睛】本题重点考查垂径定理、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理的应用等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键10. 若抛物线（为常数）与直线有两个交点，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由与有两个交点，可知有两个不相等的实根，即，可得关于的不等式；再由，不等式左边展开，利用韦达定理可得关于的不等式，联
15、立不等式组即可【详解】解：因为与有两个交点，所以，即有两个不相等的实根，即，解得：，由整理得：，由韦达定理可知：，代入上式得，解得：，联立解得：，故选：A【点睛】本题结合函数考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是理解图像有两个交点等价于方程有两个不相等实数根，从而得出含的不等式，利用韦达定理展开已知含两根的不等式得出含的不等式第卷（非选择题 共90分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置11. 已知，则的值是_【答案】4【解析】【分析】先利用完全平方公式将等式右边展开，然后对比等式的左边和右边即可解答【详解】解：，即故答案
16、为：4【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键12. 抛物线最高点的坐标是_【答案】【解析】【分析】由抛物线开口方向和顶点坐标求解【详解】解，抛物线开口向下，顶点坐标为，抛物线最高点坐标为故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系13. 已知关于的方程的两实数根为，则_【答案】19【解析】【分析】根据根与系数的关系得出，变形后代入求出即可【详解】解关于的方程的两实数根为a，b，故答案为19【点睛】本题考查了根与系数的关系的应用，能熟记根与系数的关系定理是解此题的关键14. 如图，以为直径的半圆经过点，点在直径上若，则的度数是_
17、【答案】或【解析】【分析】根据题意可分两种情况讨论：当点D在非圆心O的直径上时和当点D在直径上的圆心O时，进而求解即可【详解】解：由题意得分两种情况：当点D在非圆心O的直径上时，连接，如图所示，设的度数是x，则，为半圆的直径，即，解得，当点D在直径上的圆心O时，为等边三角形，综上所述，的度数为或或故答案为：或【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论和等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，利用角之间的关系列方程是解决本题的关键15. 已知抛物线（，为常数且）图像经过，,四点，若，则下列结论：；其中一定正确的是_（填序号）【答案】【解析】【分析】根据题意判定抛物线开口向下，
18、对称轴在和2之间，然后根据点的位置以及到对称轴的距离的大小逐项判断即可【详解】解：抛物线（，为常数且）图像经过，,四点，若，抛物线开口向下，对称轴和2之间a0，故正确，,在x轴的上方，抛物线与x轴有两个交点，故正确；，故正确，离对称轴的距离最小，故错误故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点，判定对称轴的位置是解题的关键16. 如图，在中，将绕某点逆时针旋转90，得到，与相交于点若是的中点，则的长是_【答案】【解析】【分析】由题意可得，；然后由勾股定理可得，再说明，利用相似三角形的性质可得；如图：过点F作于G，再说明，利用相似三角形的性质可得、可得，最
19、后运营勾股定理解答即可【详解】解：由题意可得：是的中点如图：，即，即过点F作于G，即，故答案为【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确做出辅助线、构造相似三角形是解答本题的关键三、解答题（共8题，共72分）下列各题需要在答题卷指定的位置写出文字说明，证明过程，演算步骤或画出图形17. 解方程：【答案】.【解析】【分析】直接应用公式求解.【详解】解：，.原方程的解为：.【点睛】根据方程的特点选择解一元二次方程的方法可以简化计算18. 将抛物线上四点的坐标列表如下：点 横坐标012纵坐标1（1）求，的值；（2）直接写出，的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利
20、用待定系数法求解即可；（2）将分别代入抛物线解析式，即可求得的值【小问1详解】解：根据题意，抛物线经过点，解得；【小问2详解】由（1）可知，该抛物线的解析式为，将代入，可得，将代入，可得，解得或（舍去），【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征等知识，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题关键19. 如图，要设计一个梯形的花坛，花坛上底长米，下底长米，上下底相距米，在梯形的中位线（两腰中点的连线，图中虚线所示）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等设甬道的宽为米（1）我们知道，梯形的面积等于梯形中位线的长与梯形高的积，请用含的式子表示横
21、向甬道的面积，直接写出结果；（2）当甬道的总面积是梯形面积的四分之一时，求甬道的宽【答案】（1）平方米 （2）甬道的宽为1米【解析】【分析】（1）根据梯形的面积等于梯形中位线的长与梯形高的积，即可得出答案；（2）用含x的代数式表示出三条甬道的总面积，然后求出梯形的总面积，根据三条通道的面积是梯形面积的四分之一列方程求解，在求解过程中要注意三条甬道有重合部分【小问1详解】解：横向甬道的面积为：平方米；【小问2详解】依题意：，整理得：，（不符合题意，舍去），答：甬道的宽为米【点睛】考查一元二次方程的应用，得到甬道的总面积是解决本题的易错点注意两个梯形的中位线是同一条20. 如图，已知的三个顶点都在
22、上，是上一点，于（1）若，求的度数；（2）求证：【答案】（1） （2）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，代入已知条件，即可求解；（2）连接，交于点，证明，得出，即可得证【小问1详解】解：，【小问2详解】证明：连接，交于点，垂直平分线段，则，即【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键21. 如图是由小正方形组成的66网格，每个小正方形的顶点叫做格点，O经过A，B，C三个格点仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示（1）在图（1）中画的中点D；（2）在图（1）中的O
23、上画一点E，连接BE，使ABE45；（3）如图（2），延长BA至格点F处，连接CF直接写出F的度数；P为CF上一点，连接BP，将PB绕点B顺时针旋转90得到QB，画出线段QB【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）F45；见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接，延长交于点，点即为所求；（2）作出的中点，连接即可；（3）利用等腰直角三角形的性质判断即可；取格点，连接，延长交于点，作直径，连接，延长交 点，线段即为所求【小问1详解】解：如图1中，点即为所求；【小问2详解】解：如图1中，点即为所求；【小问3详解】解：是等腰直角三角形，；如图2中，线段即为所求【点睛】本题考查作图旋转变换，圆周角
24、定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外心等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题22. 某公司计划购进一批原料加工为成品销售，加工费用（单位、万元），销售价（单位：万元/t）与原料的质量（单位：t）之间都满足一次函数关系收集相关数据如下表原料的质量1215182730加工费/万元42.44343645.446销售价/(万元/t)1615141110（1）直接写出与之间、与之间的函数关系式；（2）已知在加工过程中原料质量有40%的损耗率，该原料的进价为2.2万元/t设销售总额为P（单位：万元）直接写出与之间的函数关系式；（友情提示，销售总额成品的质量销售价）问原料质量为多少吨时
25、，获销售利润70.2万元？问原料质量为多少吨时，获最大销售利润，最大销售利润是多少万元？【答案】（1）， （2）原料质量为19吨或29吨当时，万元【解析】【分析】（1）根据题意和表中数据建立一次函数模型，然后分别代入两组数值，即可求出关系式；（2）根据：销售总额成品的质量销售价列出函数关系式即可；根据总利润=销售总额-总成本-加工费，即可列出关于总利润的函数关系式，然后代入70.2求出x即可；根据总利润的函数关系式，利用顶点坐标即可求出最大销售利润及此时的原料质量【小问1详解】加工费用（单位、万元），销售价（单位：万元/t）与原料的质量（单位：t）之间都满足一次函数关系，可以设，再分别选取两组
26、值代入，列出方程组：，同理，有：，【小问2详解】，令，则，解得：，原料质量为19吨或29吨，开口向下，对称轴是直线，当时，万元【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，属于利润问题，正确理解题意并根据题意和所给数据列出相应的函数关系式是解题关键23. 问题提出 如图（1），已知，将边绕点顺时针旋转至处，连接，为的中点，为边中垂线上一点，探究的值问题探究 （1）先将问题特殊化如图（2），当时，不存在确定的点，请说明理由；如图（3），当在的延长线上时，连接，发现，请证明这个结论；（2）再探究一般情形如图（1），当时，证明（1）中的结论仍然成立问题拓展 （3）当时，若，请直接写出的值【答案】（
27、1）见解析见解析；（2）（3）或【解析】【分析】（1）当时，在图中找到的中垂线，看能否满足即可；先证明，根据，得到，最后利用，即可证明结论；（2）先证明出，得到，再证明出，通过性质可证明出，得到，根据，得到，最后根据，即可得证；（3）仿照（2）的过程依次证明，再通过角的转换即可得到答案【详解】解：（1）当时，为的中位线，经过点的的垂线与的中垂线重合，此时点在的中垂线上任何位置都能满足，故不存在确定的点 证明：连接垂直平分，在的中垂线上，（2）延长至，使得，连接，连接并延长交于点，又，（3）延长至F，使得，连接、并延长交于点G，连接，由（2）可得，当时，延长至F，使得，连接、，同理可得，综上所述
28、，的值为或【点睛】本题考查三角形旋转的综合问题、全等三角形的性质和判定及辅助线作图，解题关键是作出正确的辅助线并找出三角形全等24. 如图（1），已知抛物线：与轴交于，两点（在的右侧），交轴于点（1）直接写出的中点的坐标；（2）直线（，为常数）过的中点，与抛物线：交于，（在的右侧），若点，的水平距离与点，的水平距离相等，求的值；（3）如图（2），将抛物线向右平移得到过原点的抛物线，抛物线的对称轴为直线，直线（，为常数，且）与抛物线有唯一公共点，且与直线交与点，点关于轴的对称点为，于，求线段的长【答案】（1） （2）值为2，或0 （3）【解析】【分析】（1）分别求出C、A的坐标，再由中点坐标公式
29、求出D点坐标即可；（2）设，得出，进而得出或，若，则，解得，若，则，解得；（3）根据平移可得：，得出，则，直线，进而得出Q，N的坐标，即可得出答案【小问1详解】令，则，令，则，解得或，的中点；【小问2详解】设，直线过点，由得：，而|，或，即或，若，则，解得：，若，则，综上所述，的值为2，或0【小问3详解】，将抛物线向右平移得到过原点的抛物线，将抛物线向右平移一个单位即可得到抛物线，点，均向右平移一个单位，抛物线与x轴的交点为，可得抛物线：，即抛物线的对称轴为：，则M点的横坐标为：，联立得：，根据直线与抛物线只有一个交点可知方程的判别式，解方程可得交点P的横坐标为：，直线，M点的横坐标为：，交点P的横坐标为：，点关于轴的对称点为，于，【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键
