1、江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P在（ ）A. 外B. 内C. 上D. 无法确定2. 下列方程中，没有实数根的是（ ）A. B. C. D. 3. 20名同学参加某比赛的成绩统计如下表，则成绩的众数和中位数（单位：分）分别为（ ）成绩/分80859095人数/人2864A. 85，85B. 85，C. 85，90D. 90，904. 已知关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值是（ ）A. 0B. 1C. 0或1D. 0或5. 如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的
2、度数为（ ）A. B. C. D. 6. 如图，在一张纸片中，是它的内切圆小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 8二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 方程解为_8. 已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系是_9. 某校图书馆9月份借阅图书500册，11月份借阅图书845册，设这两个月借阅图书的月平均增长率为x，根据题意可列方程为_10. 设是一元二次方程的两个根，则_11. 正六边形内接于的半径为1，则由半径和围成的扇形的面积为_12. 若一组数据的平均数是
3、a，另一组数据的平均数是b，则a_b（填写“”、“”或“”）13. 将半径为面积为的扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），该圆锥的底面半径为_14. 如图，圆的内接五边形满足，则_15. 已知m是方程一个根，则_16. 如图，在平面直角坐标系中，的半径是1过上一点P作等边三角形，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则的取值范围是_三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解下列方程（1）；（2）18. 如图，四边形内接于一圆，是边的延长线（1）求证；（2）若，求的度数19. 一部电影的评分越高，说明这部电影越受欢迎，
4、电影的评分是由这部电影的“星级”评价（5星、4星、3星、2星、1星）计算得来已知电影A，B的星级评价统计如下：约定5星为10分，4星为8分，3星为6分，2星为4分，1星为2分通过计算电影的评分，比较电影A，B哪部更受欢迎20. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米（1）求主桥拱所在圆半径；（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度21. 如图，已知，M是射线上一点，以点M为圆心、r为半径画（1）当与射线相切时，求r值；（2）写出与射线的公共点的个数及对应的r的取值范围22. 如图，是的直径，射线交于点C（1）尺规作图：求作的中点D（保留作图痕
5、迹）（2）过点D画垂足为E求证：是的切线23. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每天可卖出300件经过市场调研发现，在一定范围内调整售价：每涨价1元，每天要少卖出10件；每降价1元，每天可多卖出20件如果只能调整一次售价，如何调整使每天的利润为6250元？24. 解新类型的方程（组）时，可以通过去分母、换元等方法转化求解（1）请按要求填写下表原方程转化设，则 求解 检验，2都是原方程的解结论 （2）解方程组：25. 已知关于x的方程（1）证明：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两根分别为 ，且，证明：26. 构造合适的图形，可以用线段的长表示一元二次方程的正
6、根（1）如图，的两直角边分别为和n，在斜边上截取，请说明的长为关于x的方程的一个根（2）已知关于x的方程，请构造合适的图形表示该方程的正根（要求有必要的文字说明，并在图中作必要标注）27. 以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？I若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图、）；若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图）；若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图）（1）在图、中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆；（2）在图中，画O经过点A，B，D（图）假设点C落在外，交于点E，连接，可得 ，所以 ，得出矛盾；同
7、理点C也不会落在内，即A，B，C，D共圆结论同理可证（3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点已知：如图，锐角三角形的高，相交于点H，射线交于点F求证：是的高（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）（4）如图，点P是外部一点，过P作直线，的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上求证：点P在的外接圆上江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P在（ ）A. 外B. 内C. 上D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】根据点与圆的位置关系即可进行解答【详解】解：的
8、半径为=，点P到圆心O的距离为d=，d=r，点P在上故选：C【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握：当点到圆心距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离小于半径时，点在圆内2. 下列方程中，没有实数根的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】逐项解方程或求出根的判别式，根据判别式的符号即可得到结论【详解】解：A，方程解，故本选项不合题意；B，此方程没有实数根，故本选项符合题意；C，此方程有两个相等的实数根，故本选项不合题意；D，此方程有两个不相等的实数根，故本选项不合题意故选B【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式
9、，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系3. 20名同学参加某比赛的成绩统计如下表，则成绩的众数和中位数（单位：分）分别为（ ）成绩/分80859095人数/人2864A. 85，85B. 85，C. 85，90D. 90，90【答案】B【解析】【分析】利用众数的定义和中位数的定义分别求出解答即可【详解】解：在这一组数据中85是出现次数最多的，故众数是85；在这20个数中，处于中间位置的第10个和第11个数据，中位数是这两个数的平均数：，故选B【点睛】本题考查了众数和中位数的的定义，解决本题的关键是掌握众数的定义：一组数据中出现次数最多的数值；中位数的定义：按顺序
10、排列的一组数据中居于中间位置的一个数或两个数的平均数4. 已知关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值是（ ）A. 0B. 1C. 0或1D. 0或【答案】A【解析】【分析】将带入，得到一个关于m的方程，求出m的值，再根据一元二次方程的定义，排除不符合题意的m的值。【详解】解：将带入得：，解得：或；原方程为一元二次方程，即，故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用5. 如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称
11、图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为【详解】解：四边形是正方形，是等边三角形，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，是所对的圆周角，所对的圆心角等于，的度数为，故选D【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键6. 如图，在一张纸片中，是它的内切圆小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得
12、的周长【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、，连接、，四边形是正方形，由切线长定理可知，是的切线， ，是的内切圆，内切圆的半径，的周长故选：C【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 方程解为_【答案】【解析】【分析】利用直接开平方法解答即可【详解】解：方程的解为故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，掌握解答的方法是关键8. 已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系是_【答案】相离【解析】【分
13、析】根据圆心到直线的距离与半径的大小关系即可得出答案【详解】解：圆心到直线的距离大于半径，直线l与相离，故答案为：相离【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系的判断方法是解题的关键9. 某校图书馆9月份借阅图书500册，11月份借阅图书845册，设这两个月借阅图书的月平均增长率为x，根据题意可列方程为_【答案】【解析】【分析】根据题意，找出等量关系即可列出方程9月份借阅册数（1+增长率）=11月份借阅册数【详解】解：设这两个月借阅图书的月平均增长率为x，根据题意可列方程为：，故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，熟练掌握
14、增长率模型的公式10. 设是一元二次方程的两个根，则_【答案】【解析】【分析】根据根与系数的关系先求出的值，然后代入计算即可【详解】解：是一元二次方程的两个根，故答案为：【点睛】本题考查了根与系数的关系，若是一元二次方程的两根时，11. 正六边形内接于的半径为1，则由半径和围成的扇形的面积为_【答案】【解析】【分析】根据扇形面积公式即可得出结论【详解】解：正六边形内接于，由半径径和围成的扇形的面积为，故答案为：【点睛】本题考查了正多边形与圆，扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解决本题的关键12. 若一组数据的平均数是a，另一组数据的平均数是b，则a_b（填写“”、“”或“”）【答案】【解
15、析】【分析】根据的平均数是a，可得，再根据的平均数是b，可得进而即可得到解答【详解】解：的平均数是a，故答案为：【点睛】本题考查了算术平均数的的定义（是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数），灵活运用所学知识求解是解决本题的关键13. 将半径为面积为的扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），该圆锥的底面半径为_【答案】1【解析】【分析】设圆锥体的底面圆的半径为，根据扇形面积公式：列出方程求解即可【详解】解：设圆锥体的底面圆的半径为，解得：故答案为：1【点睛】本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，解题的关键是掌握扇形的弧长等于围城圆锥体的地面周长，扇形面积公式：14. 如图，圆的内
16、接五边形满足，则_【答案】#度【解析】【分析】连接，根据圆的内接四边形的性质可求出的度数，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可求出【详解】解：连接，四边形是圆的内接四边形，故答案为：【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形的性质，解题的关键是熟练画出辅助线，构造圆的内接四边形，掌握圆的内接四边形对角互补15. 已知m是方程的一个根，则_【答案】3【解析】【分析】由题意知，m是方程的一个根，则可把代入原方程，即可求解【详解】解：m是方程的一个根，把代入原方程得：，故答案为：3【点睛】本意主要考查了对一元二次方程的根的理解，知道了方程得一个根，就可把根代入原方程求解再计算过程中注意，得到一个关于m
17、得方程后，把当作一个整体，直接移项可求解，不需要算出m得值16. 如图，在平面直角坐标系中，的半径是1过上一点P作等边三角形，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】找到最大值与与最小值位置，分别进行解题求出取值范围的临界值即可【详解】解：如图，过点P作于点M，连接，设，为等边三角形，M为中点，根据勾股定理可得，解得：；如图，过点P作于点M，连接，设，同理可得，解得：；综上，的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了圆的概念，等边三角形的性质，三角形三条边的关系，和勾股定理，找准临界位置是解题的关键三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卡指定区域内作答，解
18、答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解下列方程（1）；（2）【答案】（1）， （2），【解析】【分析】（1）先移项，再用因式分解法求解即可；（2）用公式法求解即可【小问1详解】解：，或，【小问2详解】解：，【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤解一元二次方程的方法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法18. 如图，四边形内接于一圆，是边的延长线（1）求证；（2）若，求的度数【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论；（2）根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可
19、【小问1详解】证明：四边形内接于圆，；【小问2详解】解：，【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补19. 一部电影的评分越高，说明这部电影越受欢迎，电影的评分是由这部电影的“星级”评价（5星、4星、3星、2星、1星）计算得来已知电影A，B的星级评价统计如下：约定5星为10分，4星为8分，3星为6分，2星为4分，1星为2分通过计算电影的评分，比较电影A，B哪部更受欢迎【答案】电影A哪部更受欢迎【解析】【分析】算出电影A，B各自的评分即可得到解答【详解】解：根据题意可得，A：，B：，电影A哪部更受欢迎【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，准确的计算是
20、解决本题的关键20. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米（1）求主桥拱所在圆的半径；（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度【答案】（1）主桥拱所在圆的半径 （2）此时水面的宽度【解析】【分析】（1）以O为圆心，连接，根据三线合一定理可得，设，则，再根据勾股定理即可求出半径；（2）由题意得，水面下降为，连接，根据水面下降1米，可得，再根据勾股定理即可求得答案【小问1详解】如图，以O为圆心，连接，由题意可得，D为弧的中点，设，则，在中，解得：，主桥拱所在圆的半径；【小问2详解】由题意得，水面下降为，连接，水面下降1米，则，即水面的宽度为【点
21、睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键21. 如图，已知，M是射线上一点，以点M为圆心、r为半径画（1）当与射线相切时，求r的值；（2）写出与射线的公共点的个数及对应的r的取值范围【答案】（1）r的值为1 （2）见解析【解析】【分析】（1）作于N，根据等腰直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的关系得到当时，与射线相切；（2）根据直线与圆的关系进行分类讨论即可【小问1详解】作于N，如图所示：，当与射线相切时，r的值为1；【小问2详解】由（1）可知，根据直线与圆的关系得到：当时，与射线相切，只有一个公共点；当时，与射线相离，没有公共点；当时，与射线相交，有两个公共
22、点；当时，与射线只有一个公共点【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键22. 如图，是的直径，射线交于点C（1）尺规作图：求作的中点D（保留作图痕迹）（2）过点D画垂足为E求证：是的切线【答案】（1）图见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交于点D，则点D为的中点； （2）连接连接交于F，先利用垂径定理的推论得到，再根据圆周角定理得到，则，接着证明，然后根据切线的性质得到结论【小问1详解】如图，点D为所作，【小问2详解】证明：连接交于F，如图，点D为的中点，是的直径，是的半径，是的切线【点睛】本题考查了作图复杂作图、
23、垂径定理、圆周角定理和切线的判定，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键23. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每天可卖出300件经过市场调研发现，在一定范围内调整售价：每涨价1元，每天要少卖出10件；每降价1元，每天可多卖出20件如果只能调整一次售价，如何调整使每天的利润为6250元？【答案】涨价5元【解析】【分析】根据“总利润单件利润销售量”列出方程，解方程解题【详解】解：设涨价x元，使每天的利润为6250元，解得，设降y元，使每天的利润为6250元， 整理的，方程无解，答：涨价5元，每天的利润为6250元【点睛】本题考查列一元二次方程解应用题，找等量列方程找到符合实际的解是
24、解题的关键24. 解新类型的方程（组）时，可以通过去分母、换元等方法转化求解（1）请按要求填写下表原方程转化设，则 求解 检验，2都是原方程的解结论 （2）解方程组：【答案】（1）；2或； （2），【解析】【分析】（1）利用换元法解方程即可；（2）利用完全平方公式将第一个方程变形为，则，分别与第二个方程结合，再利用根与系数得关系解方程即可【小问1详解】，设，则方程变形为，解得或，或（无解），解得，故答案：；2或；【小问2详解】，由第一个方程得，当时，x、y是一元二次方程得两个根，解得或，；当时，x、y是一元二次方程得两个根，解得或，综上所述，这个方程组得解，【点睛】本题考查了转化思想在高次方程
25、、分式方程和二元二次方程组的应用，明确如何转化及一元二次方程的基本解法是解决本题的关键25. 已知关于x的方程（1）证明：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为 ，且，证明：【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）化成一般式，求根的判别式，当时，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系求出两根和，再把化为，再根据求根公式求出，并判断出即可【小问1详解】证明：，即，无论k取何值时，总有，无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】由（1）得，即，【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是掌握根与系数的
26、关系26. 构造合适的图形，可以用线段的长表示一元二次方程的正根（1）如图，的两直角边分别为和n，在斜边上截取，请说明的长为关于x的方程的一个根（2）已知关于x的方程，请构造合适的图形表示该方程的正根（要求有必要的文字说明，并在图中作必要标注）【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得，带入数据即可进行解答（2）构造图形，用和（1）相同的方法即可进行解答【小问1详解】解：在方程中，方程的正根为：在中，根据勾股定理可得：，整理得：，解得：是的一个正根【小问2详解】在方程中，原方程的正根为：如图：的斜边为，直角边，在直角边的延长线上截取，中，根据勾股定理可得：，即：，
27、整理得：，解得：是的一个正根【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解一元二次方程，解题的关键是正确理解图形，根据勾股定理建立方程进行解答27. 以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？I若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图、）；若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图）；若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图）（1）在图、中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆；（2）在图中，画O经过点A，B，D（图）假设点C落在外，交于点E，连接，可得 ，所以 ，得出矛盾；同理点C也不会落在内，即A，B，C，D共圆结论同
28、理可证（3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点已知：如图，锐角三角形的高，相交于点H，射线交于点F求证：是的高（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）（4）如图，点P是外部一点，过P作直线，的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上求证：点P在的外接圆上【答案】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）； （3）；B、E、D、C； （4）证明见解析【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；（2）根据结论可知：，再利用得到，利用外角性质可得，相互矛盾即可证明点C在圆上；（3）以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接，
29、得到，再利用，得到，即可证明；（4）连接，由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆，证明，由结论可得点A、B、C、P四点共圆，即点P在的外接圆上【小问1详解】解：连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：，故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；【小问2详解】解：假设点C落在外，交于点E，连接，可得：，是的一个外角，相互矛盾，故点C在圆上，故答案为：；【小问3详解】证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接A、E、H、D四点共圆，B、E、D、C四点共圆，即是的高故答案为：；B、E、D、C；【小问4详解】证明：连接，由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆，又点D，E，F在同一条直线上，由结论可得点A、B、C、P四点共圆，即点P在的外接圆上【点睛】本题考查四边形外接圆的综合问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角性质，解题的关键是掌握以上相关知识点，并能够综合运用，难度较大，考查学生对整体知识的应用
