1、江苏省镇江市句容市2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、填空题（每小题2分，共24分）1. 一元二次方程x24=0的解是_2. 已知=1是关于方程的一个根，则=_3. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_4. 若一元二次方程配方后为，则_5. 如图，在O中，ABC=50，则AOC等于_6. 如图，已知AB为O的直径，CAB=30，则D=_7. 某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为，底面半径为的圆锥模型，则此圆锥的母线长为_8. 为建设美丽句容，改造老旧小区，我市年投入资金万元，年投入资金万元，现假定每年投入资金的增长率相同求我市改造老旧小区投入资金的年
2、平均增长率_9. 如图，木工用角尺的短边紧靠于点A，长边与相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则的半径为_10. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为_11. 若a是方程根，则代数式的值是_12. 如图，已知O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是AOB、COD，若AOB与COD互补，弦CD4，则弦AB的长为_二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）13. 一元二次方程根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根14. 根据关于一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（ ）A. 解
3、的整数部分是，十分位是B. 解的整数部分是，十分位是C. 解的整数部分是，十分位是D. 解的整数部分是，十分位是15. 如图，PA、PB分别与O相切于A、B两点，点C为O上一点，连AC、BC，若P80，则的ACB度数为（）A. 40B. 50C. 60D. 8016. 我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）A. B. C. D
4、. 17. 如图，、是上的点，且在这个图中，画出下列度数的圆周角：，仅用无刻度的直尺能画出的有（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，18. 如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与正方形的面积的比值为（ ）A. B. C. D. 三、解答题（共78分）19. 解下列方程（1）（2）（3）20. 已知关于x的方程(1)若此方程的一个根为1，求m的值；(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根21. 如图，中，以为直径作，交于点，交的延长线于点，连接、，求证：是的中点22. 如图，O是ABC的外接圆，直径AB=5，（1）尺规作图：作劣弧BC的中点D（保留作图痕迹
5、，不写作法）（2）连接AD，BD，若AC=3，求弦AD的长23. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式的最小值解：， 的最小值是（1）求代数式的最大值；（2）为落实国家关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成、两块矩形劳动实践基地某数学兴趣小组设计了如图施工方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙）当设计为多长时，围成、两块矩形总种植面积为平分米；如果要使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？24. 年世界杯将于本月日在卡塔尔进行，2022卡塔尔世界杯的吉祥物叫（中文名叫拉伊卜，如下
6、图）某电商在对一款成本价为元的进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件通过市场调查发现，每件售价每降低元，日销售量增加件 （1）由于开赛在即，如果日利润保持不变，商家想尽快销售完该款造型商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款商品，标价为每件元为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？25. 如图，已知直线交于A、B两点，是的半径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D（1）求证：为的切线；（2）若，的半径为10，求线段的长26. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为如果将线段绕原点逆时针旋
7、转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是的“关联线段”，其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”（1）如图，如果，线段是的“关联线段”，那么它的“关联角”为 （2）如图，如果、在下列线段中：线段；线段；线段，属于的“关联线段”有 （填序号，可多选）（3）如图，如果、，线段是“关联线段”，那么的取值范围是 （4）如图，如果点的横坐标为，且存在以为端点，长度为的线段是的“关联线段”，那么的最大值是 江苏省镇江市句容市2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、填空题（每小题2分，共24分）1. 一元二次方程x24=0的解是_【答案】x=2【解析】【详解】移项得x2=4，x=2
8、故答案是：x=22. 已知=1是关于的方程的一个根，则=_【答案】2【解析】【分析】直接把x1代入方程中即可求出m的值【详解】解：把x1代入得：，解得：，故答案为：2【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值3. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】直接利用根的判别式进而得出k的取值范围【详解】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k1.故答案.【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于运用根的判别式解不等式即可.4. 若一元二次方程配方后为，则_【答案】12【解析】【分析】将配方后的方程化为一般形式，即可
9、得出a=4，b=3，代入代数式求解即可【详解】解：一元二次方程ax+b=0配方后为，将整理为，a=4，b=3，ab=12，故答案为：12【点睛】题目主要考查一元二次方程的配方法及求代数式的值，将配方后的方程展开是解题关键5. 如图，在O中，ABC=50，则AOC等于_【答案】100【解析】【详解】试题分析：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角等于圆周角度数的2倍.根据题意可得：AOC=2ABC=250=100.考点：圆周角和圆心角6. 如图，已知AB为O的直径，CAB=30，则D=_【答案】60【解析】【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形，然后求得另一锐角的度数，从而求得所求的
10、角【详解】解：AB为O的直径，ACB=90，CAB=30，B=60，D=B=60，故答案为：607. 某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为，底面半径为的圆锥模型，则此圆锥的母线长为_【答案】【解析】【分析】设此圆锥的母线长为，利用扇形的面积公式得到，然后解方程即可【详解】解：如图，设此圆锥的母线长为，根据题意得：，解得：，此圆锥的母线长为故答案为：【点睛】本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长掌握圆锥的相关知识是解题的关键8. 为建设美丽句容，改造老旧小区，我市年投入资金万元，年投入资金万元，现假定每年投入资金的增长率相
11、同求我市改造老旧小区投入资金的年平均增长率_【答案】【解析】【分析】设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，利用年投入资金金额2020年投入资金金额，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，依题意得：，解得：，（不合题意，舍去），该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程9. 如图，木工用角尺的短边紧靠于点A，长边与相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则的半径为_【答案】10【解析】【分析】设圆的半径为，连接，过点A作，垂足为D，利用
12、勾股定理，在中，得到，求出r即可【详解】解：连接，过点A作，垂足为D，如图所示：与相切于点B，四边形为矩形，设圆的半径为，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：，即的半径为故答案为：10【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键10. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为_【答案】【解析】【分析】如图，作于，则，利用含度的直角三角形的性质和勾股定理计算出，然后利用扇形的公式计算扇形围成的圆锥的侧面积【详解】解：如图，作于，则，圆和扇形都是轴对称图形，且扇形内接于，扇形围
13、成的圆锥的侧面积为：故答案为：【点睛】本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了圆和扇形的性质，垂径定理，含度的直角三角形，勾股定理掌握圆锥的侧面积等于扇形的面积是解题的关键11. 若a是方程的根，则代数式的值是_【答案】2023【解析】【分析】利用一元二次方程解的定义得到，可得，然后利用整体代入的方法计算代数式的值【详解】解：是方程的根，故答案为：2023【点睛】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解12. 如图，已知O的半径为3，弦AB、CD
14、所对的圆心角分别是AOB、COD，若AOB与COD互补，弦CD4，则弦AB的长为_【答案】【解析】【分析】作直径AE，连接BE，如图，利用等角的补角相等得到BOECOD，则根据圆心角、弧、弦的关系得到BECD4，接着利用圆周角定理得到ABE90，然后利用勾股定理计算AB的长【详解】解：作直径AE，连接BE，如图，AOBCOD180，AOBBOE180，BOECOD，BECD4，AE为直径，ABE90，在RtABE中，故答案为：【点睛】本题主要考查圆的基本性质，解题的关键是应用圆的性质和勾股定理解决问题二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）13. 一元二次方程的根的情况是（ ）A.
15、 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根【答案】A【解析】【分析】根据即可判断【详解】解：， 一元二次方程有两个不相等的实数根故选：A【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键14. 根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（ ）A. 解的整数部分是，十分位是B. 解的整数部分是，十分位是C. 解的整数部分是，十分位是D. 解的整数部分是，十分位是【答案】B【解析】【分析】通过观察表格可得时，即可
16、求解【详解】解：由表格可知，当时，当时，时，解的整数部分是，十分位是故选：B【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键15. 如图，PA、PB分别与O相切于A、B两点，点C为O上一点，连AC、BC，若P80，则的ACB度数为（）A. 40B. 50C. 60D. 80【答案】B【解析】【分析】先利用切线的性质得OAPOBP90，再利用四边形的内角和计算出AOB的度数，然后根据圆周角定理计算ACB的度数【详解】解：连接OA、OB，PA、PB分别与O相切于A、B两点，OAPA，OBPB，OAPOBP90，AOB180P18080100，ACBAOB1
17、0050故选：B【点睛】本题考查圆的切线,关键在于牢记圆切线常用辅助线:连接切点与圆心.16. 我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x1）文，利用总价单价数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【详解】解：这批椽的数量为x株，每株
18、椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，一株椽的价钱为3（x1）文，依题意得：3（x1）x6210，故选：A【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键17. 如图，、是上的点，且在这个图中，画出下列度数的圆周角：，仅用无刻度的直尺能画出的有（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】作直径，连接、，在上取一点，连接、，如图，利用圆周角定理得到，利用圆内接四边形的性质得到，根据直角三角形两锐角互余计算可得出【详解】解：如图，作直径，连接、，在上取一点，连接、，、是上的点，且，四边形内接于，为的直径，
19、仅用无刻度的直尺能画出的圆周角有，和故选：D【点睛】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径还考查了圆内接四边形的性质，直角三角形两锐角互余掌握圆周角定理是解题的关键18. 如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与正方形的面积的比值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意知：三个正方形的共用顶点即为圆的圆心，也是等边三角形的重心；可设等边三角形的边长为，作等边三角形的高，再根据三角形重心的性质即可得到正方形的对角线的长；进而可求得等
20、边三角形和正方形的面积，即可得到它们的面积比【详解】解：如图，设圆的圆心为，由题意知：三角形的重心以及三个正方形的共用顶点即为点，过作于，是等边三角形且内接于，必过点，设的边长为，的面积为：，正方形的对角线长为：，面积为：，等边三角形与正方形的面积的比值为：故选：A【点睛】本题考查轴对称图形，垂径定理的推论，等边三角形及正方形的性质，锐角三角函数，三角形重心的性质以及图形面积的求法确定等边三角形和正方形边长是解题的关键三、解答题（共78分）19. 解下列方程（1）（2）（3）【答案】（1）， （2）， （3），【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用配方法得到，然后利用直接开平方
21、法解方程；（3）利用因式分解法解方程【小问1详解】解：，或，；【小问2详解】，；【小问3详解】，或，【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）也考查了配方法解一元二次方程掌握一元二次方程的解法是解题的关键20. 已知关于x方程(1)若此方程的一个根为1，求m的值；(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接把
22、x=1代入方程求出m的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可【详解】解：（1）根据题意，将x=1代入方程，得：，解得：m=（2），不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟记根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键.21. 如图，中，以为直径作，交于点，交的延长线于点，连接、，求证：是的中点【答案】证明见解析【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理得到，从而有，得出，根据圆周角定理的推论可得，然后根据等腰三角形的三线合一的性质即可得证【详解】证明：，为直径，又，即是BC的中点【点睛】本题考查圆
23、周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径也考查了等腰三角形的判定和性质掌握圆周角定理及推论是解题的关键22. 如图，O是ABC的外接圆，直径AB=5，（1）尺规作图：作劣弧BC的中点D（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AD，BD，若AC=3，求弦AD的长【答案】（1）见解析； （2）AD【解析】【分析】（1）根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，作线段BC的垂直平分线交劣弧BC于点D，点D即为所求；（2）设OD交BC于点E，连接AD，BD，根据直径所对的圆周角是直角结合
24、勾股定理求出BC，然后可得BE，根据中位线定理求出OE，然后可得DE，再利用勾股定理求出BD、AD即可【小问1详解】解：如图所示，点D即为所求【小问2详解】解：设OD交BC于点E，连接AD，BD，AB是直径，AB5，ACB90，OD，AC3，BC4，OD垂直平分BC，CEBEBC2，点E是BC的中点，点O是AB的中点，OEAC，DEODOE，BD，AD【点睛】此题考查了尺规作线段垂直平分线，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，中位线定理等知识，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题关键23. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式的最小值解：， 的最小值
25、是（1）求代数式的最大值；（2）为落实国家关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成、两块矩形劳动实践基地某数学兴趣小组设计了如图施工方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙）当设计为多长时，围成、两块矩形总种植面积为平分米；如果要使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？【答案】（1） （2）；BC应设计长为时，总种植面积最大，此时最大面积为【解析】【分析】（1）根据得出最小值，再根据不等式的性质得出，从而得出结论；（2）根据矩形的面积公式列出方程，解方程即可，注意：所得的结果需符合题意；根据矩形的面积公式
26、列出代数式，再根据阅读理解提供的方法求解【小问1详解】解：， ，代数式的最大值为【小问2详解】设长为，则长度为，根据题意得：，解得：，当时，不符合题意，舍去；长为；设长为，则长度为，依题意得：两块矩形总种植面积为：，当时，总种植面积有最大值为，当时，符合题意，BC应设计为时，总种植面积最大，此时最大面积为【点睛】本题考查配方法，非负数的性质及应用，完全平方公式，一元二次方程的应用，矩形的面积，列代数式等知识点解题的关键是根据阅读理解提供的方法进行实际应用24. 年世界杯将于本月日在卡塔尔进行，2022卡塔尔世界杯的吉祥物叫（中文名叫拉伊卜，如下图）某电商在对一款成本价为元的进行直播销售，如果按
27、每件元销售，每天可卖出件通过市场调查发现，每件售价每降低元，日销售量增加件 （1）由于开赛在即，如果日利润保持不变，商家想尽快销售完该款造型商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款商品，标价为每件元为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？【答案】（1） （2）八折【解析】【分析】（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用总利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合商家想尽快销售完该款商品，即可得出答案；（2）设该商品需打折销售，利
28、用售价原价折扣率，结合售价格不超过（1）中的售价，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论【小问1详解】解：设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，依题意，得：，解得：，商家想尽快销售完该款造型商品，答：每件售价为元【小问2详解】设该商品至少打折，根据题意得：，解得：答：该商品至少需打几折销售【点睛】本题考查一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式25. 如图，已知直线交于A、B两点，是的半径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D
29、（1）求证：为的切线；（2）若，的半径为10，求线段的长【答案】（1）见解析 （2）4【解析】【分析】（1）如图所示，连接，先根据等边对等角和角平分线的定义证明，得到，再由，得到，即可证明是切线（2）过点O作于，则四边形矩形，得到，设，则，在中，由勾股定理得到，解方程即可得到答案【小问1详解】解：如图所示，连接点在上，平分，是切线【小问2详解】解：过点O作于，四边形是矩形，可设，则，在中，解得或0（舍），【点睛】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，勾股定理，角平分线的定义，等边对等角，平行线的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键26. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为如果将线段
30、绕原点逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是的“关联线段”，其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”（1）如图，如果，线段是的“关联线段”，那么它的“关联角”为 （2）如图，如果、在下列线段中：线段；线段；线段，属于的“关联线段”有 （填序号，可多选）（3）如图，如果、，线段是的“关联线段”，那么的取值范围是 （4）如图，如果点的横坐标为，且存在以为端点，长度为的线段是的“关联线段”，那么的最大值是 【答案】（1） （2）， （3） （4）【解析】【分析】（1）作与相切，可得，结合“关联线段”的定义即可求解；（2）判断线段的两个端点到原点的距离在和之间即可；（3）
31、以为圆心，半径为作圆，以为端点作射线与相切，结合（1）可得：，根据图形即可得出答案；（4）先根据题意画出图形，通过数形结合并利用勾股定理即可求解【小问1详解】解：如图所示，作与相切，连接，此时的角度最小，且，切点在线段上，的“关联角”故答案：【小问2详解】如图所示：连接，切点不在线段上，不是的“关联线段”，是的“关联线段”，是的“关联线段”故答案为：，【小问3详解】，线段绕点旋转的路线是半径为1的上，当与相切时，切点为，由（1）可得：，当时，线段是的“关联线段”故答案为：【小问4详解】如图所示，当取最大值时，点运动最小半径是到过点的直线的距离是，此时以为端点，长度为的线段是的“关联线段”， 的最大值为故答案为：【点睛】本题是新定义下的阅读理解，考查直线与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理，点到原点的距离，图形的旋转等相关知识解题的关键是数形结合，理解新定义并能灵活运用所学知识解决问题
