1、江苏省泰州市高港区2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）A B. C. D. 2. 小红连续天的体温数据如下（单位相）：，关于这组数据下列说法正确的是（ ）A. 中位数是B. 众数是C. 平均数是D. 极差是3. 下列图形中不一定是相似图形是（ ）A. 两个圆B. 两个菱形C. 两个等腰直角三角形D. 两个等边三角形4. 如图，AB是O的直径，点C、D、E在O上若BCD100，则AED的度数为（ ）A. 10B. 15C. 20D. 255. 如图，已知点C是线段的黄金分割点，且若表示以为边的
2、正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则与的大小关系为（）A. B. C. D. 无法确定6. 定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形” 如图，点A、B、C是正方网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点D的个数是（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分请把正确答案填在答题卡）7. 在比例尺为的地图上，测得A、B两地间的图上距离为2.5厘米，则其实际距离为_米8. 乒乓球标准直径
3、为40mm，质监部门分别抽取了、两厂生产的乒乓球各10只，对共直径进行检测，将所得的数据绘制如图则抽取的、两厂生产的乒乓球直径的方差大小关系是：_（填“”或“”或“”或“=”）【答案】【解析】【分析】一组数据的波动越大，对应的方差越大，波动越小，对应的方差越小，据此可得答案【详解】解：由图可知，A厂的数据波动程度比B厂的数据波动的程度小，故答案为：【点睛】本题考查了方差，掌握方差的值越小则数据波动程度越小是解题的关键9. 已知圆O的直径为6，点M到圆心O的距离为4，则点M与O的位置关系是_【答案】点M在O外【解析】【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；若设点到
4、圆心的距离为d，圆的半径为r，则dr时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当dr时，点在圆内【详解】O的直径为6，O的半径为3，点M到圆心O的距离为4，43，点M在O外故答案为点M在O外【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的判断解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与半径进行比较，进而得出结论10. 若是关于x的一元二次方程的解，则_【答案】1【解析】【分析】一元二次方程的解的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解据此定义，将代入方程进行计算即可【详解】解：是关于x的一元二次方程的解，故答案为：1【点睛】此题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解
5、的定义是解答此题的关键11. 圆锥的母线长为5，圆锥高为3，则该圆锥的侧面积为_（结果保留）【答案】20【解析】【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径为4，然后利用扇形的面积公式计算该圆锥的侧面积【详解】解：圆锥的底面圆的半径为4，所以该圆锥的侧面积24520故答案为20【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长12. 如图，、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为_【答案】10【解析】【分析】连接AO,BO，根据圆周角定理得到AOB=36，根据中心角定义即可求解【详解】如图，连接AO
6、,BO，AOB=2ADB=36这个正多边形的边数为=10故答案为：10【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理13. 如图，AD是ABC的一条中线，G是ABC的重心，若，则DG的长为_【答案】3【解析】【分析】根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果【详解】解：三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，DG=AG=3故答案为：3【点睛】掌握三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是其道对边中点的距离的2倍运用三角形的中位线定理即可证明此结论14. 如图，在四边形中，E、F分别在和上，且，则的长为_【答案】#【解析】【分析
7、】根据平行线分线段成比例，即可求解【详解】解：，即，解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键15. 如图，中，截三条边所得弦长相等，则_【答案】#110度【解析】【分析】如图所示，根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理得，再根据角平分线的判定定理得，然后根据三角内角和定理求得答案【详解】解：过点分别作，垂足分别是，记：，如图所示，截三条边所得弦长相等，点到三角形三条边的距离相等即，故答案为：【点睛】此题考查了圆的相关定理、角平分线的判定定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理和三角形的内角和定理等定理是
8、解答此题的关键16. 如图，在中，以点C为圆心，为半径作，点E是上一个动点，连接交于点F，则的最大值是_【答案】#【解析】【分析】如图所示，过作于，过点作于，过点作交延长线于点，先求出与的长，然后证明，利用相似三角形的性质得，再利用比例性质得，当线段经过圆心时最大，从而求出答案【详解】解：过作于，过点作于，过点作交延长线于点，如图所示，在中，设，要使最大，则最大，点是上一个动点，线段经过圆心时最大，此时，最大值；故的最大值为：【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、比例的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和比例的性质是解答此题的关键三、解
9、答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解方程（1） （2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）移项后，利用因式分解法解方程；（2）利用配方法解方程即可【详解】解：（1）x(x-3)-2(x-3)=0，（x-3）（x2）=0x-3=0或x2=0，所以x1=3，x2=2；（2） ，x1=，x2=【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题关键是熟练运用因式分解法和配方法解方程18. 已知关于x的方程（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为整数，求m的值【答案】（1）证明见
10、详解； （2）或1【解析】【分析】（1）先求判别式，再证明即得证；（2）根据一元二次方程根据与系数的关系，得，再根据为整数，求出的值，进而求出的值即可【小问1详解】解：根据题意，可知：，无论m取何值，恒成立，无论m取何值，恒成立，无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】解：方程的两个不相等的实数根，均为整数，或，或，或，的值为或1【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握运用根的判别式判别根据的情况，运用根与系数的关系是解答此题的关键19. 某中学为了了解本校学生对排球、篮球、毽球、羽毛球和跳绳五项“大课间”活动的喜欢情况，随机抽查了部分学生进行问卷调查
11、（每名学生只选择一项），将调查结果整理并绘制成如下不完整的统计图表请结合统计图表解答下列问题：抽样调查学生喜欢大课间活动人数的统计表项目人数A排球6B篮球mC毽球10D羽毛球4E跳绳18（1）本次抽样调查的学生有_人，请补全条形统计图；（2）求扇形统计图中，喜欢毽球活动的学生人数所对应圆心角的度数；（3）全校有学生1800人，估计全校喜欢跳绳活动的学生人数是多少？【答案】（1）50人，补全统计图见解析；（2）72；（3）648人【解析】【分析】（1）利用喜欢排球的人数除以所占百分比可得结果，再求出m值，最后补全统计图；（2）用喜欢毽球活动学生人数除以总人数，乘以360即可；（3）用样本中喜欢跳
12、绳的人数除以50，再乘以1800即可.【详解】解：（1）喜欢A排球的人数为6人，所占百分比为12%,612%=50人，m=50-6-10-4-18=12，补全统计图如下：（2）喜欢毽球的有10人，对应圆心角度数为：=72；（3）1800=648人，全校喜欢跳绳活动的学生人数是648人.【点睛】本题考查了统计表与扇形统计图，样本估计总体，解题时要理解题意，读懂图表.20. 如图，点D、E分别在边上，平分，交于M，交于N若，求【答案】【解析】【分析】先证明，得，再证明，得，所以，从而求解详解】解：，又平分，【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的意义等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性
13、质是解答此题的关键21. 第二十届江苏省运动会已于2022年9月在泰州闭幕，吉祥物“泰宝”受到了大家的喜爱，一商场以每件30元的价格购进一批吉祥物“泰宝”，在试销售期间发现，当每件售价定为70元时，每天可销售20件，当每件售价低于70元时，每降低1元，日销售量就增加4件，但每件盈利不得少于15元（1）若每件“泰宝”售价定为60元，每天可销售多少件？该商场日盈利多少元？（2）当每件“泰宝”售价定为多少元时，该商场日盈利1400元？【答案】（1）60；1800； （2）65【解析】【分析】（1）根据题意，先求出每天销售商品的数量，然后再求日盈利；（2）根据每天的盈利每天销售量每件商品的盈利，列方程
14、求解即可得解【小问1详解】解：每件“泰宝”售价定为60元，每天可销售量为：（件）；该商场日盈利为：（元）答：每件“泰宝”售价定为60元，每天可销售60件，该商场日盈利1800元；【小问2详解】解：设每件“泰宝”售价定为元，则每天可销售：（件）；根据题意，可得，整理，得，或，又每件盈利不得少于15元，元，元；答：当每件“泰宝”售价定为65元时，该商场日盈利1400元【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找出等量关系列出方程是解答此题的关键22. 如图，点C在以为直径的圆上，D在线段的延长线上，且（1）求证：与相切；（2）若，求图中阴影部分的面积【答案】（1）见解析 （2）【解析】【
15、分析】（1）连接，由圆周角定理得出，即，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，则，即可得出结论；（2）证明，得出，由直角三角形的性质得出，图中阴影部分的面积的面积减去扇形的面积，代入数据计算即可【小问1详解】证明：连接，如图所示：是的直径，即，又，即，是的半径，与相切；【小问2详解】解：，由（1）得：， ，为等边三角形，图中阴影部分的面积=【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质、扇形面积公式、三角形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键23. 如图，是的外接圆（1）分别只用一次直尺和圆规，在上确定点
16、D，使；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若，的半径为2，求的长【答案】（1）答案见详解； （2）【解析】【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，交于点（异于点），连接交于点即可；（2）利用圆周角定理的推论，推出，得线段为直径，然后在等腰直角中求出的长，然后利用相似三角形的对应边成比例，列式计算求得的长【小问1详解】解：如图1所示，点为所作；，又，；【小问2详解】解：如图2所示，连接，为直径，为等腰直角三角形；的半径为2，又，【点睛】此题考查了尺规作图、相似三角形的判定与性质、圆周角定理的推论等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、圆周角定理的推论是解答此题的关键24. 如图，四边
17、形是正方形，下列几个信息：是的中点； 从以上信息中选择两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（1）你选择的条件是_；结论是_（2）证明你构造的命题【答案】（1）； （2）证明见详解【解析】【分析】（1）选择条件，证明结论；（2）根据正方形的性质，利用两边对应成比例以及夹角相等证明，得，然后再证明即可【小问1详解】解：选择的条件是：；结论是：；故答案为：；【小问2详解】证明：四边形是正方形，是的中点，又，又，【点睛】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键25. 如图1所示，在等腰三角形中，点是边上一动点，点在边上，且
18、（1）求证：；（2）当时，求长；（3）如图2，点在上，且，当时，求长【答案】（1）证明见详解； （2）； （3）6【解析】【分析】（1）根据已知，证，得，推出，进而可证；（2）根据已知得出，推出，然后利用相似三角形性质即可列式得解；（3）先证，再证，推出，再由得出，从而得即可得解【小问1详解】证明：如图1，又，又，；【小问2详解】解：如图1，；【小问3详解】解：如图2，又，又，又，即，即，；【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键26. 如图1，在矩形中，点以的速度从点向点运动，点以的速度从点向点运
19、动，两点同时出发，设运动时间为，是的外接圆（1）当时，的半径是_，与边的位置关系是_（2）连接，则长的取值范围是_（3）如图2，连接，当与线段相切时，求t的值；（4）如图3，当与边相切时，点是优弧上一动点，交直线于点，连接，求的最小值【答案】（1）；相交； （2）； （3）； （4）【解析】【分析】（1）由勾股定理计算的长即可求出半径；过点作直线于，交于，求出的长与半径比较大小即可得出答案；（2）先求出的长，然后用勾股定理求得，再根据，求的取值范围即可；（3）过点作于，如图2所示，先证，得，由此即可解出t的值；（4）先确定过三点的外接圆是一个定圆，动点的轨迹为此定圆的一部分即，如图所示，然后再
20、由点与点重合时，的中点即为此定圆的圆心，当直线经过圆心时，最小，从而求解得出答案【小问1详解】解：当时，的半径是；过点作直线于，交于，如图1所示，矩形中，是矩形，与边的位置关系：相交；故答案为：；相交；【小问2详解】解：如图1所示，连接，则， ，当时，取最小值；当时，取最大值4；故答案为：；【小问3详解】解：过点作于，如图2所示，在中，与线段相切，解得，；故t的值为：；【小问4详解】解：当与边相切时，如图所示，此时，即，； 点是优弧上一动点，如图所示，又交直线于点，为定值，故过三点的外接圆是一个定圆，可知动点即在此定圆上，点是优弧上一动点，动点的轨迹为此定圆的一部分即，如图所示，当点与点重合时，此时的中点即为此定圆的圆心，其半径为，当直线经过圆心时，最小，此时最小值为：【点睛】此题是矩形与圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理的推论、直角三角形的性质、定点与圆上动点距离的最小值问题等知识，熟练掌握相关的性质与定理是解答此题的关键
