1、宁波市鄞州区16校联考2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1. 从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是（）A. B. C. D. 2. 下列说法中不正确的是（）A. 任意两个等边三角形相似B. 有一个锐角是40的两个直角三角形相似C. 有一个角是30的两个等腰三角形相似D. 任意两个正方形相似3. 已知A、B两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺是( )A. 100000:1B. 1000:1C. 1:100000D. 1:10004. 小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若
2、实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离.已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离的长度为（）A. 7mB. 7.5mC. 8mD. 8.5m5. 已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ）A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，)，以原点O为中心，将点A顺时针旋转150得到点A，则点A的坐标为( )A. (0，2)B. (1，)C. (2，0)D. (，1)7. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：，正确结论的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.
3、从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是()（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解；（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是；（4）弧长是，面积是的扇形的圆心角是A B. C. D. 19. 如图，四边形为矩形，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 10. 如图，菱形ABCD中，BAD=60，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG、AE则下列结论：OG=AB；四边形ABDE是菱形；其中正确的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分）11. 根据物理学规律，如
4、果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为_s时，小球达到最高点12. 不透明袋子中有两个小球，上面分别写着数字“”、“”，除数字外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为的概率是_13. 如图有一抛物线形的拱桥，拱高10米，跨度为40米，则该抛物线的表达式为_.14. 晚上，小亮走在大街上他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为
5、1.5米又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为_米15. 如图，ACBC，AC=BC=2，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作C，过点O作BC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是_16. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC顶点C，与BC相交于点D，若P的半径为5，点A的坐标是（0，9），则点D的坐标是_三、解答题17. 如图，点B，C，E在同一条直线上，且点A和点D在的同侧，（1）求证：；（2）若，求CD的长18. 你同意下面的说法吗？说明你的理由在掷骰子游戏中，掷得“”的
6、概率是的意思是：每掷次，一定会有次出现“”九年级班共有名同学其中男同学名，女同学名数学老师任意点一名同学回答问题，点到的同学可能是男同学，也可能是女同学，所以点到男同学的概率是一种福利彩票中奖概率是，李大爷买回一张这种福利彩票，李大爷的孙子说：“您不可能中奖，因为中奖的概率太小了！”19. 计算：（1）；（2）20. 已知：抛物线的对称轴为，与轴交于，两点，与轴交于点，其中、求这条抛物线的函数表达式已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小请求出点的坐标若点是线段上的一个动点（不与点、点重合）过点作交轴于点连接、设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不
7、存在，请说明理由21. 如图，为了测量一个池塘的宽DE，在岸边找一个点C，测得CD=15m，在DC的延长线上找一点A，使AC=10m，过A作ABDE交EC的延长线于点B，测得AB=16m，求池塘的宽DE22. 暑假期间，某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件（销售利润销售总额进货成本）（1）若该纪念品的销售单价为45元时，则当天销售量为 件（2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该纪念品的当天销售利润是2610元（3）当该纪念品的销售单价定为多少元时，该纪念
8、品的当天销售利润达到最大值？求此最大利润23. 如图，是O直径，点在O上， ，垂足为，且，分别交、于点、（1）求证：；（2）求证：是的中点24. 已知正方形，E为对角线上一点【建立模型】（1）如图1，连接，求证：；【模型应用】（2）如图2，F是延长线上一点，交于点G判断的形状并说明理由；若G为的中点，且，求的长【模型迁移】（3）如图3，F是延长线上一点，交于点G，请写出与之间的数量关系，并说明理由宁波市鄞州区16校联考2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1. 从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是（）A. B.
9、C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意用列举法求概率即可【详解】解：随机抽取两名同学所能产生的所有结果，它们是：甲与乙，甲与丙，乙与丙，所有可能的结果共3种，并且出现的可能性相等，甲与乙恰好被选中的概率：故选：C【点睛】本题主要考查了用列举法求概率，能正确列举出所有等可能结果是做出本题的关键2. 下列说法中不正确的是（）A. 任意两个等边三角形相似B. 有一个锐角是40的两个直角三角形相似C. 有一个角是30的两个等腰三角形相似D. 任意两个正方形相似【答案】C【解析】【分析】直接利用相似图形的性质分别分析得出答案【详解】A任意两个等边三角形相似，说法正确；B有一个锐角是 40的两个直
10、角三角形相似，说法正确；C有一个角是 30的两个等腰三角形相似，30有可能是顶角或底角，故说法错误；D任意两个正方形相似，说法正确故选：C【点睛】本题主要考查了图形的相似，正确把握相似图形的判定方法是解题关键3. 已知A、B两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺是( )A. 100000:1B. 1000:1C. 1:100000D. 1:1000【答案】C【解析】【分析】比例尺=图上距离：实际距离，根据题意可直接求得比例尺【详解】10km=1000000cm，比例尺为10：1000000=1：100000故选C【点睛】掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一比
11、例尺=图上距离：实际距离，图上距离在前，实际距离在后.4. 小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离.已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离的长度为（）A. 7mB. 7.5mC. 8mD. 8.5m【答案】C【解析】【详解】根据出手点A的坐标为求出函数关系式，再令可解得答案【解答】解：把A代入得：，令得，解得（舍去）或，实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，故选：C.【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能用待定系数法求出函数关系式5. 已知二次函数，其中、，则该函数的
12、图象可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案【详解】解：对于二次函数，令，则，抛物线与y轴的交点坐标为，抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，可以排除A选项和D选项；B选项和C选项中，抛物线的对称轴， ，抛物线开口向下，可以排除B选项，故选C【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键6. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，)，以原点O为中心，将点A顺时针旋
13、转150得到点A，则点A的坐标为( )A. (0，2)B. (1，)C. (2，0)D. (，1)【答案】D【解析】【分析】作ABy轴于点B，ACx轴于C，可得AB1、OB，根据正切的定义可得AOB30，由将点A顺时针旋转150得到点A可得AOA=150，OAOA2，可求出AOC=30，根据AOC的正弦值和余弦值即可求出AC和OC的长，即可得答案.【详解】作ABy轴于点B，ACx轴于C，A（-1，）AB1、OB，tanAOB，AOB30将点A顺时针旋转150得到点A，AOA=150，AOC=AOA-BOC-AOB=30，OAOA2，ACOAsin30=1，OCOAcos30=，A(，1)，故选
14、D.【点睛】本题考查旋转的性质及特殊角的三角函数值，熟记各三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键.7. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：，正确结论的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的对称性，即可判断；由开口方向和对称轴即可判断；根据抛物线与x轴的交点已经x=-1时的函数的取值，即可判断；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及abc0，即可判断【详解】对称轴为直线x=1，-2x1-1，3x24，正确， = 1，b=- 2，3a2b= 3a-4a= -a，a0，3a+2b 0，根据题意可
15、知x=-1时，y0，abc0，acb，a0，b=-2a0，ac a+ c，b2ac4ac，正确；抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，a0，cc，a-bc0，b=-2a，3a+c0，c-3a，b=2a，bc，以错误；故选B【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性8. 从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是()（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解；（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是；（4）弧长是，面积是的扇形的圆心角是A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】分别判断
16、各命题的真假，再利用概率公式求解.【详解】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，（2）因式分解，是真命题，（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是，是真命题，（4）设扇形半径为r，圆心角为n，弧长是，则=，则，面积是，则=，则360240，则，则n=360024=150，故扇形的圆心角是，是假命题，则随机抽取一个是真命题的概率是，故选C.【点睛】本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假.9. 如图，四边形为矩形，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，则的最小值为（ ）A. B. C. D
17、. 【答案】D【解析】【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆四边形为矩形点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上连接OB交圆O与点N点B为圆O外一点当直线BM过圆心O时，BM最短，故选：D【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识10. 如图，菱形ABCD中，BAD=60，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG、AE则下列结论：OG=AB；四边形ABDE是菱形；其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】
18、D【解析】【分析】证明四边形ABDE为平行四边形可得OB=OD，由菱形ABCD可得AG=DG，根据三角形中位线定理可判断；根据等边三角形的性质和判定可得ABD为等边三角形AB=BD，从而可判断平行四边形ABDE是菱形，由此判断；借助相似三角形的性质和判定，三角形中线有关的面积问题可判断【详解】解：四边形ABCD是菱形，ABCD，AB=CD=AD，OA=OC，OB=OD，CD=DE，AB=DE又ABDE，四边形ABDE是平行四边形，BG=EG，AB=DE，AG=DG，又OD=OB，OG是BDA是中位线，OG=AB，故正确；BAD=60，AB=AD，BAD是等边三角形，BD=AB，是菱形，故正确；
19、OB=OD，AG=DG，OG是ABD的中位线，OGAB，OG=AB，GODABD（ASA），ABFOGF（ASA），GOD的面积=ABD的面积，ABF的面积=OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，AFG的面积=OGF的面积的2倍，又GOD面积=AOG的面积=BOG的面积，S四边形ODGF=SABF；故正确；故选：D【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识判断的关键是三角形中位线定理的运用，的关键是利用等边三角形证明BD=AB；的关键是通过相似得出面积之间的关系非选择题部分二、填空题（每小题5分，共30分
20、）11. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为_s时，小球达到最高点【答案】2【解析】【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解【详解】根据题意，有，当时，有最大值故答案为：2【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用12. 不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“”、“”，除数字外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为的概率是_【答案
21、】【解析】【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为的情况，再利用概率公式即可求得答案【详解】解：列表如下： 由表可知，共有种等可能结果，其中两次记录的数字之和为的有种结果，所以两次记录的数字之和为的概率为故答案为：【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比13. 如图有一抛物线形的拱桥，拱高10米，跨度为40米，则该抛物线的表达式为_.【答案】【解析】【分析】由题意抛物线过点（40，0），顶点坐标为（20,10），设抛物线的解析式为，从而求出a的
22、值，然后确定抛物线的解析式【详解】解:依题意得此函数解析式顶点为,设解析式为,又函数图象经过,.故答案为 .【点睛】本题主要考查用待定系数法确定二次函数的解析式,解题时应根据情况设抛物线的解析式从而使解题简单,此题设为顶点式比较简单.14. 晚上，小亮走在大街上他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为_米【答案】6.6【解析】【详解】设路灯高为，GHBD，ABBD，GHABEGHEAB同理FGHFCD. 解得EB=11，
23、代入得，解得x=6.6（米）15. 如图，ACBC，AC=BC=2，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作C，过点O作BC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是_【答案】【解析】【分析】如图，图中S阴影=S扇形ACB-S扇形AOD-S扇形ECB-SOCE根据已知条件易求得OA=OC=OD=2，BC=CE=4ECB=OEC=30，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可【详解】如图，连接CEACBC，AC=BC=2，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作，ACB=90，OA=OC=OD=1，BC=CE=2又OEBC，AOE=COE=90在直角O
24、EC中，OC=CE，OEC=30，OE=ECB=OEC=30，S阴影=S扇形ACB-S扇形AOD-S扇形ECB-SOCE=-1=-故答案为：【点睛】本题考查了扇形面积的计算不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算16. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D，若P的半径为5，点A的坐标是（0，9），则点D的坐标是_【答案】（8，1）【解析】【分析】连接，过点作于点，设P与的切点为，连接并延长，与交于点，根据勾股定理求出的长度，即可知，运用垂径定理得出的长度，则结果可得【详解】解：连接，过点作于点，设P与的切点为
25、，连接并延长，与交于点，点A的坐标是（0，9），P的半径为5，根据勾股定理：，即，P与x轴、y轴都相切，轴，根据垂径定理可得：，点D的坐标是，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，勾股定理，圆切线的性质以及垂径定理，熟练掌握相关图形的基本性质是解本题的关键三、解答题17. 如图，点B，C，E在同一条直线上，且点A和点D在的同侧，（1）求证：；（2）若，求CD的长【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）先利用三角形外角的性质证明，即可证明；（2）利用相似三角形的性质得到，再求出，代入求解即可【小问1详解】解：，；【小问2详解】解：，【点睛】本题主要考查了相思三角形的性
26、质与判定，三角形外角的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键18. 你同意下面的说法吗？说明你的理由在掷骰子游戏中，掷得“”的概率是的意思是：每掷次，一定会有次出现“”九年级班共有名同学其中男同学名，女同学名数学老师任意点一名同学回答问题，点到的同学可能是男同学，也可能是女同学，所以点到男同学的概率是一种福利彩票中奖的概率是，李大爷买回一张这种福利彩票，李大爷的孙子说：“您不可能中奖，因为中奖的概率太小了！”【答案】不同意，理由见解析；不同意，理由见解析；不同意，理由见解析.【解析】【分析】（1）要正确理解概率的意义，概率是表示重复很多次，平均6次就有1次发生该事件，它不能说明6次中
27、一定会出现1次；（2）利用概率公式计算根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数二者的比值就是其发生的概率的大小（3）不管概率多么的小，他都有中奖的概率【详解】解：（1）不同意概率是表示重复很多次，平均6次就有1次发生该事件（2）不同意，因全班共59名同学，男同学35名，故点到男同学的概率是（3）不同意，尽管概率很小，但仍有发生的可能，只是可能性较小【点睛】本题考查的是概率公式和概率的意义，我们应该认真理解，多加运用19. 计算：（1）；（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，代入计算即可；（2）运用完全平方公式，锐角三角函数知识
28、先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可求解【小问1详解】解：原式【小问2详解】解：【点睛】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，完全平方公式是解题的关键20. 已知：抛物线的对称轴为，与轴交于，两点，与轴交于点，其中、求这条抛物线的函数表达式已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小请求出点的坐标若点是线段上的一个动点（不与点、点重合）过点作交轴于点连接、设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）时，【解析】【分析】（1）已知抛物线过C（0，-2）点，那么c=-2；根据对称轴为x
29、=-1，因此-=-1，然后将A点的坐标代入抛物线中，通过联立方程组即可得出抛物线的解析式；（2）本题的关键是确定P点的位置，由于A是B点关于抛物线对称轴的对称点，因此连接AC与抛物线对称轴的交点就是P点可根据A，C的坐标求出AC所在直线的解析式，然后根据一次函数的解析式求出与抛物线对称轴的交点，即可得出P点的坐标；（3）PDE的面积=OAC的面积-PDC的面积-ODE的面积-AEP的面积，OAC中已知A，C的坐标，可求出OAC的面积PDC中以CD为底边，P的横坐标的绝对值为高，即可表示出PDC的面积ODE中可先用m表示出OD的长，然后根据ODE与OAC相似，求出OE的长，根据三角形的面积计算公
30、式可用m表示出ODE的面积PEA中以AE为底边（可用OE的长表示出AE），P点的纵坐标的绝对值为高，可表示出PEA的面积由此可表示出ODE的面积，即可得出关于S，m的函数关系式然后根据函数的性质，求出三角形的最大面积以及对应的m的值【详解】设，则，解得，此抛物线的解析式为；如图，连接、因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点设直线的表达式为，则，解得，此直线的表达式为，把代入得点的坐标为；（3）存在最大值，理由：如图，即，即，当时，【点睛】本题考查了二次函数综合题, 待定系数法求一次函数解析式, 待定系数法求二次函数解析式, 相似三角形的判定
31、与性质，解题的关键是先求出二次函数解析式再求坐标和面积.21. 如图，为了测量一个池塘的宽DE，在岸边找一个点C，测得CD=15m，在DC的延长线上找一点A，使AC=10m，过A作ABDE交EC的延长线于点B，测得AB=16m，求池塘的宽DE【答案】池塘的宽DE为24m【解析】【分析】利用ABDE可判断ABCDEC，然后利用相似比可计算出DE的长【详解】ABDE，ABCDEC，=，即=，DE=24（m）答：池塘的宽DE为24m【点睛】考查相似三角形的应用，相似三角形的对应边成比例是解题的关键.22. 暑假期间，某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念
32、品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件（销售利润销售总额进货成本）（1）若该纪念品的销售单价为45元时，则当天销售量为 件（2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该纪念品的当天销售利润是2610元（3）当该纪念品的销售单价定为多少元时，该纪念品的当天销售利润达到最大值？求此最大利润【答案】（1）230；（2）当该纪念品的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元；（3）当该纪念品的销售单价定为49元时，该纪念品的当天销售利润达到最大值，最大利润为3610元【解析】【分析】（1）当销售单价为45元时，比40元增加了5元，从而可得每天的
33、销售数量减少的数量，即可得出答案；（2）设纪念品的销售单价为x元，先求出对应的当天的销售量，再根据“销售利润销售总额进货成本”建立方程求解即可；（3）设纪念品的销售单价为x元，纪念品的当天销售利润为y元，同题（2）的思路，可得出y关于x的一个二次函数，再利用二次函数的性质即可得【详解】（1）由题意得：（件）故答案为：230；（2）设该纪念品的销售单价为x元，则当天的销售量为件因此，销售总额为元；进货成本为元由题意得：整理得：解得：（不合题意，舍去），答：当该纪念品的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元；（3）设该纪念品的销售单价为x元，当天销售利润为y元，则当天的销售量为件同理
34、（2）可得：由二次函数的性质可知：抛物线的开口向下，当时，y取得最大值，最大值为元答：当该纪念品的销售单价定为49元时，该纪念品的当天销售销售利润达到最大值，最大利润为3610元【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用、二次函数的实际应用，依据题意正确建立方程和函数是解题关键23. 如图，是O直径，点在O上， ，垂足为，且，分别交、于点、（1）求证：；（2）求证：是的中点【答案】（1）答案见详解 （2）答案见详解【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理及垂直的定义得到，进而求证；（2）由，所以，再根据，得出，所以，即可得出【小问1详解】解：是O的直径，；【小问2详解】解：，是的中点【点睛】此题主
35、要考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，注意直径所对的圆周角是直角24. 已知正方形，E为对角线上一点【建立模型】（1）如图1，连接，求证：；【模型应用】（2）如图2，F是延长线上一点，交于点G判断的形状并说明理由；若G为的中点，且，求的长【模型迁移】（3）如图3，F是延长线上一点，交于点G，请写出与之间的数量关系，并说明理由【答案】（1）见解析 （2）为等腰三角形，理由见解析； （3），理由见解析【解析】【分析】（1）先判断出，进而判断出，进而得出结论；（2）根据（1）证明出；过点F作于H，先求出，进而求出,最后用勾股定理即可求出答案；（3）先判断出，由（1）知，由（2）知，即可判断出结论【小问1详解】证明：是正方形的对角线，；【小问2详解】解：为等腰三角形，理由：四边形是正方形，由（1）知，是等腰三角形；如图，过点F作于H，四边形为正方形，点G为的中点，由知， ，在与中，在中，；【小问3详解】解：，在中，由（1）知，由（2）知，【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，以及三角函数，熟练掌握正方形的性质、勾股定理和三角函数是解题的关键
