1、宁波市北仑区十校联考2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40分）1. 下列函数中，是二次函数的是（）A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ）A. （1，2）B. （1，2）C. （1，2）D. （1，2）3. 如图：点A，B，C都在O上，且点C在弦AB所对的优弧上，若AOB72，则ACB的度数是（）A. 18B. 30C. 36D. 724. 如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角AOB120，半径OA为3m，那么花圃的面积为（）A. 6m2B. 3m2C. 2m2D. m25. 如图，AB为O的弦，OCAB于C
2、，AB=8，OC=3，则O的半径长为（ ）A. B. 3C. 4D. 56. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值（）A. 2017B. 2018C. 2019D. 20207. 下列各组条件中一定能推得与相似的是（）A. B. ，且C. ，且D. ，且8. 如图，AB是O直径，四边形ABCD内接于O，若BC=CD=DA=4cm，则O的周长为（ ）A. 5cmB. 6cmC. 9cmD. 8cm9. 如图，在中，是斜边上的高，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 10. 当2x1时，关于x的二次函数y（xm）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A 2B. 2或C. 2或或D
3、. 2或或二、填空题（本大题共6小题，共30分）11. 二次函数yx22x3的开口方向是向_12. 如图，已知ABBD，EDBD，C是线段BD的中点，且ACCE，ED=1，BD=4，那么AB=_13. 已知，且，则的值为_14. 若是二次函数，则_.15. 如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，则_16. 如图所示，在扇形中，半径，点F位于的处且靠近点A的位置点C、D分别在线段、上，E为的中点，连接、在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，阴影部分的周长为_三、解答题（本大题共8小题，第17-19题各8分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分.解答应写出文字
4、说明、证明过程或演算步骤）17. 抛物线与y轴交点坐标是（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求抛物线与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）当x取什么值时，y值随x值的增大而减小？18. 如图，AB是O直径，弦CDAB，垂足为E，连接AC、BC，若BAC30，CD6cm（1）求BCD度数；（2）求O的直径19. 已知如图，D，E分别是的边，上的点，求证：20. 某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径21. 已知：如图，ABC是等边三角形，点D、E分
5、别在边BC、AC上，ADE=60（1）求证：ABDDCE；（2）如果AB=3，EC=，求DC的长22. 某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足函数关系（1）求该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与x之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？23. 如图，C、D两点在以为直径的半圆上，平分，连接交于点E（1）求证：（2）若，连结，求的长24. 在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k1）xk与直线y=kx+1
6、交于A，B两点，点A在点B的左侧（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k1）xk（k0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得OQC=90？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由宁波市北仑区十校联考2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40分）1. 下列函数中，是二次函数的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的定义，
7、逐项判断即可求解【详解】解：A、不是二次函数，故此选项不符合题意；B、是二次函数，故此选项符合题意；C、是反比例函数，故此选项不符合题意；D、是一次函数，故此选项不符合题意故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键2. 抛物线的顶点坐标是（ ）A. （1，2）B. （1，2）C. （1，2）D. （1，2）【答案】D【解析】【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解.【详解】顶点式，顶点坐标是（h，k），抛物线顶点坐标是（1，2）故选：D3. 如图：点A，B，C都在O上，且点C在弦AB所对的优弧上，若AOB72，则A
8、CB的度数是（）A. 18B. 30C. 36D. 72【答案】C【解析】【分析】根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得结果【详解】圆心角AOB与圆周角ACB均对着故选：C【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握此定理是解题的关键4. 如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角AOB120，半径OA为3m，那么花圃的面积为（）A. 6m2B. 3m2C. 2m2D. m2【答案】B【解析】【分析】利用扇形的面积公式计算即可【详解】解:扇形花圃的圆心角AOB120，半径OA为3cm，花圃的面积为3，故选：B【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公
9、式5. 如图，AB为O的弦，OCAB于C，AB=8，OC=3，则O的半径长为（ ）A. B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【详解】试题分析：连接OB，先根据垂径定理求出BC的长，再根据勾股定理求出OB的长即可：如图，连接OB，OCAB于C，AB=8，BC=AB=4，在RtOBC中，OC=3，BC=4，.故选D考点：1.垂径定理；2.勾股定理6. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值（）A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案】D【解析】【分析】先求出的值，再代入代数式进行计算即可【详解】解：抛物线与x轴的一个交点为，故选：D【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的
10、交点，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键7. 下列各组条件中一定能推得与相似的是（）A. B. ，且C. ，且D. ，且【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定条件逐一判断即可【详解】解：A、，与的三组边不是对应成比例，所以不能判定与相似故本选项不符合题意；B、与不是与的对应成比例的两边的夹角，所以不能判定与相似故本选项不符合题意；C、与的两组对应边的比相等且夹角对应相等，所以能判定与相似故本选项符合题意；D、，不是与的对应边成比例，所以不能判定与相似故本选项不符而合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一
11、边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似8. 如图，AB是O的直径，四边形ABCD内接于O，若BC=CD=DA=4cm，则O的周长为（ ）A. 5cmB. 6cmC. 9cmD. 8cm【答案】D【解析】【详解】解：如图，连接OD、OCBC=CD=DA=4cmAOD=COD=COB=60又OA=ODAOD是等边三角形，OA=4cm；O的周长=24=8（cm）故选D【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判
12、定与性质9. 如图，在中，是斜边上的高，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意得出和相似，从而得出答案【详解】解：由题意可得：，即，故选D【点睛】本题主要考查是相似三角形的判定与性质，属于基础题型得出三角形相似是解决这个问题的关键10. 当2x1时，关于x的二次函数y（xm）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A. 2B. 2或C. 2或或D. 2或或【答案】B【解析】【分析】分类讨论：m2，2m1，m1，根据函数的增减性，可得答案【详解】当m2，x2时，y最大（2m）2+m2+14，解得m（舍），当2m1，xm时，y最大m2+14，解得m；当m
13、1，x1时，y最大（1m）2+m2+14，解得m2，综上所述：m的值为-或2，故选B【点睛】考查了二次函数的最值，函数的顶点坐标是最大值，利用函数的增减性得出函数的最值，分类讨论是解题关键二、填空题（本大题共6小题，共30分）11. 二次函数yx22x3的开口方向是向_【答案】上【解析】【分析】根据：a0，抛物线开口向下；a0时抛物线开口向下.【详解】a=10，抛物线的开口向上故答案为上【点睛】对于抛物线y=ax2+bx+c，a0，抛物线开口向下；a0时抛物线开口向下12. 如图，已知ABBD，EDBD，C是线段BD的中点，且ACCE，ED=1，BD=4，那么AB=_【答案】4【解析】【详解】
14、ABBD，EDBDB=D=90，A+ACB=90ACCE，即ECD+ACB=90A=ECDABCCDE AB=413. 已知，且，则的值为_【答案】12【解析】【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案【详解】解：，设a=6x，b=5x，c=4x，a+b-2c=6，6x+5x-8x=6，解得：x=2，故a=12故答案为12【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键14. 若是二次函数，则_.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的定义得到2且，然后解方程即可【详解】解：根据题意得2 解得m1又m-1故答案为-1【点睛】本题考查了二次函数的定
15、义：一般地，形如yax2bxc（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项y=ax2bxc（a、b、c是常数，a0）也叫做二次函数的一般形式15. 如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，则_【答案】1【解析】【分析】利用圆周角定理得到ADB=90，B=ACD=30，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长【详解】解：AB为直径，故答案1【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径1
16、6. 如图所示，在扇形中，半径，点F位于的处且靠近点A的位置点C、D分别在线段、上，E为的中点，连接、在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，阴影部分的周长为_【答案】【解析】【分析】当EF取最小值时，E是OF的中点，根据是等边三角形可以求出BE，再利用弧长公式计算得到弧长【详解】 CD长不变，AOB=90，E为CD的中点， 点E的轨迹是以O为圆心，为半径的作出如图所示，连接OF交于E，连接BF，此时O、E、F三点共线， EF的长度最小，最小值为，E为OF的中点，点F是的三等分点 为等边三角形 在中，又的长为 阴影部分的周长为故答案为：【点睛】本题考查了圆的定义，等边三角形的判定及性质
17、，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，弧长的计算公式，根据圆的定义判断出点E的轨迹以及E为OF中点时EF长最小是解题关键，涉及到动点结合最值考查首先应判断动点的轨迹，再依据基本事实求解三、解答题（本大题共8小题，第17-19题各8分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 抛物线与y轴交点坐标是（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求抛物线与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）当x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？【答案】（1），见解析 （2）抛物线与x轴的交点为，顶点坐标为 （3）当时，y的值随x值的增大而减小
18、【解析】【分析】（1）把代入解析式，可求出m的值，再画出抛物线解析式，即可求解；（2）直接观察抛物线图象，即可求解；（3）直接观察抛物线图象，即可求解【小问1详解】解：与y轴交点坐标是，抛物线的解析式为列表如下：x013y0340函数图象如图【小问2详解】解：由函数图象得，抛物线与x轴的交点为，顶点坐标为；【小问3详解】解：由函数图象可知，当时，y值随x值的增大而减小【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键18. 如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，连接AC、BC，若BAC30，CD6cm（1）求BCD的度数；（2）求O的直径【答案】（1）3
19、0；（2）【解析】【详解】（1）直径ABCD，DCBCAB30（2）直径ABCD，CD=6cm，CE=3cm，在RtACE中，A=30，AC=6cm，AB是直径，ACB=90，在RtACB中，AB=【点睛】本题考查垂径定理及同弧或等弧所对的圆周角相等，得到BCD的度数.从而得ACD为等边三角形，所以AC=CD.因为直径所对的圆周角是直角，所以得ACB90.在直角ACB中，利用锐角三角函数求出O的直径.19. 已知如图，D，E分别是的边，上的点，求证：【答案】见解析【解析】【分析】利用已知数据先证明，结合，从而可得答案【详解】证明：，又，【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两边对应成比例
20、且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键20. 某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径【答案】10cm【解析】【分析】先过圆心O作半径COAB，交AB于点D设半径为r，得出AD、OD的长，在RtAOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径【详解】解：过点O作OCAB于D，交O于C，连接OB，OCABBD=AB=16=8cm由题意可知，CD=4cm设半径为xcm，则OD=（x4）cm在RtBOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x4）2+82
21、=x2解得：x=10答：这个圆形截面的半径为10cm【点睛】此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解21. 已知：如图，ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，ADE=60（1）求证：ABDDCE；（2）如果AB=3，EC=，求DC长【答案】（1）见解析；（2）DC=1或DC=2【解析】【分析】（1）ABC是等边三角形，得到B=C=60，AB=AC，推出BAD=CDE，得到ABDDCE；（2）由ABDDCE，得到，然后代入数值求得结果【详解】（1）证明：ABC是等边三角形，B=C=60，AB=AC，B+BAD=ADE+CDE，B=ADE=60，BA
22、D=CDEABDDCE；（2）解：由（1）证得ABDDCE，设CD=x，则BD=3x，=x=1或x=2，DC=1或DC=2【点睛】考点：相似三角形的判定与性质22. 某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足函数关系（1）求该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与x之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）； （2）当销售单价为48元，该商店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元【
23、解析】【分析】（1）根据销售问题公式：销售利润单件利润销售量，即可求出w与x之间的函数关系式；根据销售价高于进价，但不能高于进价的即可写出自变量的取值范围；（2）根据二次函数的性质将（1）中所得关系式写成顶点式即可得到结论【小问1详解】解：根据题意，得：，每件儿童玩具的销售利润不高于进价的，即，x的取值范围是即；【小问2详解】解：， ，对称轴为直线，当时，w随x的增大而增大当时，w取得最大值，最大值为：（元）答：当销售单价为48元，该商店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意找出等量关系求出函数解析式，将实际问题转化为
24、求函数最值问题，从而来解决实际问题23. 如图，C、D两点在以为直径的半圆上，平分，连接交于点E（1）求证：（2）若，连结，求的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据等腰三角形的性质得出，求出，再根据平行线的判定得出即可；（2）根据圆周角定理得出，根据平行线的性质得出，根据勾股定理求出，根据三角形的中位线求出，求出，根据相似求出，再根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出即可【小问1详解】证明：平分，；【小问2详解】解：设交于，是的直径，由勾股定理得：，解得：，则，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，圆周角定理，
25、等腰三角形的性质，三角形的中位线，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能求出长和是解此题的关键，综合性比较强24. 在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k1）xk与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k1）xk（k0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得OQC=90？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）A(-
26、1,0) ，B(2,3)（2）ABP最大面积s=; P（，）（3）存在；k=【解析】【分析】（1） 当k=1时，抛物线解析式为y=x21，直线解析式为y=x+1，然后解方程组即可；（2） 设P（x，x21）过点P作PFy轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1），所以利用SABP=SPFA+SPFB，用含x的代数式表示为SABP=x2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可（3） 设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，用k分别表示点E的坐标，点F的坐标，以及点C的坐标，然后在RtEOF中，由勾股定理表示出EF的长，假设存在唯一一点Q，使得OQC=90，则以OC为直径的圆与直线AB相
27、切于点Q，设点N为OC中点，连接NQ，根据条件证明EQNEOF，然后根据性质对应边成比例，可得关于k的方程，解方程即可.【详解】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x21，直线解析式为y=x+1联立两个解析式，得：x21=x+1，解得：x=1或x=2，当x=1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，A（1，0），B（2，3）（2）设P（x，x21）如答图2所示，过点P作PFy轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）PF=yFyP=（x+1）（x21）=x2+x+2SABP=SPFA+SPFB=PF（xFxA）+PF（xBxF）=PF（xBxA）=PFSABP=（x2+x+2）=（x
28、）2+当x=时，yP=x21=ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，）（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（，0），F（0，1），OE=，OF=1在RtEOF中，由勾股定理得：EF=令y=x2+（k1）xk=0，即（x+k）（x1）=0，解得：x=k或x=1C（k，0），OC=k假设存在唯一一点Q，使得OQC=90，如答图3所示，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时OQC=90设点N为OC中点，连接NQ，则NQEF，NQ=CN=ON=EN=OEON=NEQ=FEO，EQN=EOF=90，EQNEOF，即：，解得：k=，k0，k=存在唯一一点Q，使得OQC=90，此时k=考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.
