1、第1讲万有引力定律及应用目标要求1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.2.掌握计算天体质量和密度的方法考点一开普勒定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等k，k是一个与行星无关的常量1围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点()2行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大()1行星绕太阳运动的轨
2、道通常按圆轨道处理2.由开普勒第二定律可得l1r1l2r2，v1tr1v2tr2，解得，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小3开普勒第三定律k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间例1(多选)如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积下列关系式正确的有()ATATB BEkAEkBCSASB D.答案AD解析根据开普勒第三定律知，A、D正确；由和Ekmv2可得Ek，因RARB，mAmB，则EkADc
3、到d的时间tcd答案D解析据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度最大，在远日点的速度最小，行星由a到b运动时的平均速率大于由c到d运动时的平均速率，而弧长ab等于弧长cd，故从a到b的运动时间小于从c到d的运动时间，同理可知，从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的运动时间，A、B错误；从a经b到c的时间和从c经d到a的时间均为，可得tabtda，C错误，D正确例3(2021安徽六安市示范高中教学质检)国产科幻巨作流浪地球开创了中国科幻电影的新纪元，引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系假如其中某一过程地
4、球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R，最远距离为7R(R为加速前地球与太阳间的距离)，则在该轨道上地球公转周期将变为()A8年 B6年 C4年 D2年答案A解析由开普勒第三定律得：，解得T18年，选项A正确考点二万有引力定律1内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比2表达式FG，G为引力常量，通常取G6.671011 Nm2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定3适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点(2)质量分布均匀的
5、球体可视为质点，r是两球心间的距离1只有天体之间才存在万有引力()2只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由FG计算物体间的万有引力()3地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心()4两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大()1万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示(1)在赤道上：Gmg1m2R.(2)在两极上：Gmg0.(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和越靠近两极，向心力越小，g值越大由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即mg.2星体表
6、面及上空的重力加速度(以地球为例)(1)地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mgG，得g.(2)地球上空的重力加速度g地球上空距离地球中心rRh处的重力加速度为g，mg，得g.所以.3万有引力的“两点理解”和“两个推论”(1)两点理解两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力(2)星体内部万有引力的两个推论推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即F引0.推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M)对它的万有引力，即FG. 考向1万有引力定律的
7、理解和简单计算例4(2019全国卷14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是()答案D解析在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律FG，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小，但不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D. 考向2不同天体表面引力的比较与计算例5(2020全国卷15)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A0.2 B0.4 C2.0 D2.5答案B解析万
8、有引力表达式为FG，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为0.4，选项B正确 考向3重力和万有引力的关系例6一火箭从地面由静止开始以5 m/s2的加速度竖直向上匀加速运动，火箭中有一质量为1.6 kg的科考仪器，在上升到距地面某一高度时科考仪器的视重为9 N，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面处的重力加速度g取10 m/s2)()A.倍 B2倍 C3倍 D4倍答案C解析在上升到距地面某一高度时，根据牛顿第二定律可得FNmgma，解得g m/s2，因为Gg，可得r4R，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径R的3倍，选C.例7某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的
9、原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为()A. B.C. D.答案C解析在“极点”处：mg2；在其表面“赤道”处：mg1m()2R；解得：R，故选C. 考向4地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算例8假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A1 B1C.2 D.2答案A解析如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等
10、于万有引力，故mgG，又MR3，故gGR；设矿井底部的重力加速度为g，图中阴影部分所示球体的半径rRd，则gG(Rd)，联立解得1，A正确考点三天体质量和密度的计算应用万有引力定律估算天体的质量、密度(1)利用天体表面重力加速度已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.由Gmg，得天体质量M.天体密度.(2)利用运行天体(以已知周期为例)测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.由Gmr，得M.若已知天体的半径R，则天体的密度.若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度 考向1利用“重力加速度法”计算
11、天体质量和密度例9宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；(2)月球的质量M；(3)月球的密度.答案(1)(2)(3)解析(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有hg月t2月球表面的自由落体加速度大小g月(2)不考虑月球自转的影响，有Gmg月得月球的质量M(3)月球的密度. 考向2利用“环绕法”计算天体质量和密度例10(多选)已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1
12、(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出()A地球的质量m地B太阳的质量m太C月球的质量m月D太阳的平均密度答案AB解析对地球表面的一个物体m0来说，应有m0g，所以地球质量m地，故A项正确；地球绕太阳运动，有m地，则m太，故B项正确；同理，月球绕地球运动，能求出地球质量，无法求出月球的质量，故C项错误；由于不知道太阳的半径，不能求出太阳的平均密度，故D项错误例11(2021全国乙卷18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示科学家认为S2的运动轨迹是半
13、长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为()A4104M B4106MC4108M D41010M答案B课时精练1火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积答案C解析由开普勒第一定律(轨道定律)可
14、知，太阳位于木星运行椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误2.(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中()A从P到M所用的时间等于B从Q到N阶段，机械能逐渐
15、变大C从P到Q阶段，速率逐渐变小D从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功答案CD解析根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以从P到M所用的时间小于从M到Q所用的时间，而从P到Q所用的时间为，所以从P到M所用的时间小于，选项A错误；从Q到N阶段，只有万有引力对海王星做功，机械能保持不变，选项B错误；从P到Q阶段，海王星从近日点运动至远日点，速率逐渐减小，选项C正确；从M到Q阶段，万有引力做负功，从Q到N阶段，万有引力做正功，选项D正确32020年7月23日，我国第一个火星探测器“天问一号”成功升空，飞行约7个月抵达火星，已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地
16、球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，则火星表面的重力加速度为()A0.2g B0.4g C2g D4g答案B解析根据地球表面的物体受到的万有引力近似等于重力，有Gmg得g；同理，火星表面的重力加速度为g0.40.4g，故选B.4(2017北京卷17)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是()A地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离答案D解析因为不考虑地球的自转，所以地球表面物体所受的万有引力等于重力，即mg，得M地，所以根据A
17、中给出的条件可求出地球的质量；根据m卫和T，得M地，所以根据B中给出的条件可求出地球的质量；根据m月r，得M地，所以根据C中给出的条件可求出地球的质量；根据m地r0，得M太，所以根据D中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，故选D.5(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处已知该星球的半径与地球半径之比为R星R地14，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g，空气阻力不计则()Agg15 Bgg52CM星M地120 DM星M地180答案AD解析设初速度为v0，由
18、对称性可知竖直上抛的小球在空中运动的时间t，因此得，选项A正确，B错误；由Gmg得M，则2，选项C错误，D正确6.(2018浙江4月选考9)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2106 km.已知引力常量G6.671011 Nm2/kg2，则土星的质量约为()A51017 kgB51026 kgC71033 kgD41036 kg答案B解析根据“泰坦”的运动情况，由万有引力提供向心力，则Gm2r，化简得到M，代入数据得M51026 kg，故选B.7假设某探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T，已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量为M，
19、地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为()A. B.C. D.答案A解析对绕地球表面运动的物体，由牛顿第二定律可知：Gmg对绕火星表面做匀速圆周运动的物体有：m()2R1结合两个公式可解得：M火，故A对8若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2.已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R，不考虑气体阻力由此可知，该行星的半径约为()A.R B.RC2R D.R答案C解析由平抛运动规律：xv0t，hgt2，得xv0，两种情况下，抛出的速率相同，高度相同，故；由Gmg，可得g，故，解得R行2R，选项C正确9(2
20、020山东卷7改编)质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为()Am BmCm Dm答案B解析着陆器向下做匀减速直线运动时的加速度大小a.在天体表面附近，有mgG，则()2，整理得g火0.4g，由牛顿第二定律知，着陆器减速运动时有Fmg火ma，则制动力Fm(0.4g)，选项B正确10将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体
21、放在地球赤道上时，该物体的重力为mg.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出()Ag0小于gB地球的质量为C地球自转的角速度为D地球的平均密度为答案C解析设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上的重力和物体随地球自转的向心力是万有引力的分力有Gmgm2R，物体在两极受到的重力等于万有引力Gmg0，所以g0g，故A错误；在两极mg0G，解得M，故B错误；由Gmgm2R，mg0G，解得，故C正确；地球的平均密度，故D错误11(2021全国甲卷18)2021年2月，执行我国火星探测任务
22、的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8105 m已知火星半径约为3.4106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为()A6105 m B6106 mC6107 m D6108 m答案C解析忽略火星自转，设火星半径为R，则火星表面处有mg可知GMgR2设与周期为1.8105 s的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为r，由万有引力提供向心力可知mr设近火点到火星中心的距离为R1Rd1设远火点到火星中心的距离为R2Rd2由开普勒第三定律可知
23、 联立可得d26107 m，故选C.12若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)()A. B.C. D.答案C解析设地球的密度为，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小相等，有gG.由于地球的质量为MR3，所以重力加速度的表达式可写成gGR.质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(Rd)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度gG(Rd)，所以有.根据万有引力提供向心力有Gma，“天宫一号”所在处的重力加速度为a，所以，故C正确，A、B、D错误
