1、第3讲圆周运动目标要求1.熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系.2.掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法.3.会分析圆周运动的向心力来源，掌握圆周运动的动力学问题的分析方法，掌握圆锥摆模型考点一圆周运动的运动学问题1描述圆周运动的物理量定义、意义公式、单位线速度(v)描述圆周运动的物体运动快慢的物理量是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切v(定义式)(与周期的关系) 单位：m/s角速度()描述物体绕圆心转动快慢的物理量是矢量，但不研究其方向(定义式)(与周期的关系) 单位：rad/s与v的关系：vr周期(T)转速(n)频率(f)周期是做匀速圆周运动的物体沿圆周运动一周所用的时间，周
2、期的倒数为频率转速是单位时间内物体转过的圈数T(与频率的关系) T的单位：sn的单位：r/s、r/minf的单位：Hz向心加速度(an)描述线速度方向变化快慢的物理量方向指向圆心an2rrv单位：m/s22匀速圆周运动(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，所做的运动就是匀速圆周运动(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心1匀速圆周运动是匀变速曲线运动()2物体做匀速圆周运动时，其线速度是不变的()3物体做匀速圆周运动时，其合外力是变力()4匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比()1对公式vr的理
3、解当一定时，v与r成正比当v一定时，与r成反比2对an2r的理解在v一定时，an与r成反比；在一定时，an与r成正比3常见的传动方式及特点(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vAvB.(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vAvB.(3)同轴转动：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，AB，由vr知v与r成正比 考向1圆周运动物理量的分析和计算例1(多选)如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图已知质量为60 kg的学员在A点位置，质量为70 kg的教练员
4、在B点位置，A点的转弯半径为5.0 m，B点的转弯半径为4.0 m，则学员和教练员(均可视为质点)()A线速度大小之比为54B周期之比为54C向心加速度大小之比为45D受到的合力大小之比为1514答案AD解析学员和教练员一起做圆周运动的角速度相等，根据vr，知半径之比为54，则线速度大小之比为54，A正确；学员和教练员做圆周运动的角速度相等，根据T，知周期相等，B错误；学员和教练员做圆周运动的角速度相等，半径之比为54，根据ar2，则向心加速度大小之比为54，C错误；所受合力提供做圆周运动所需向心力，根据Fma，向心加速度大小之比为54，质量之比为67，则所受合力大小之比为1514，D正确 考
5、向2圆周传动问题 例2如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转轴上，其半径之比为RBRC32，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦力作用，B轮也随之无滑动地转动起来a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的()A线速度大小之比为322B角速度之比为332C转速之比为232D向心加速度大小之比为964答案D解析A、B靠摩擦传动，则边缘上a、b两点的线速度大小相等，即vavb11，选项A错误；B、C同轴转动，则边缘上b、c两点的角速度相等，即bc，转速之比，选项B、C错误；对a、b两点，由an得，对b、c两
6、点，由an2r得，故aaabac964，选项D正确 考向3圆周运动的多解问题例3如图所示为一个半径为5 m的圆盘，正绕其圆心做匀速转动，当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候，在其圆心正上方20 m的高度有一个小球正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出，取g10 m/s2，不计空气阻力，要使得小球正好落在A点，则()A小球平抛的初速度一定是2.5 m/sB小球平抛的初速度可能是2.5 m/sC圆盘转动的角速度一定是 rad/sD圆盘转动的加速度可能是2 m/s2答案A解析根据hgt2可得t2 s，则小球平抛的初速度v02.5 m/s，A正确，B错误；根据t2n(n1、2、3、)，解得圆盘转动
7、的角速度n rad/s(n1、2、3、)，圆盘转动的加速度为a2rn22r5n22 m/s2(n1、2、3、)，C、D错误考点二圆周运动的动力学问题1匀速圆周运动的向心力(1)作用效果向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小(2)大小Fnmmr2mrmv.(3)方向始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力2离心运动和近心运动(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动(2)受力特点(如图)当F0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动当0Fmr2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动(3)本质：离心
8、运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力3匀速圆周运动与变速圆周运动合力、向心力的特点(1)匀速圆周运动的合力：提供向心力(2)变速圆周运动的合力(如图)与圆周相切的分力Ft产生切向加速度at，改变线速度的大小，当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时做减速圆周运动指向圆心的分力Fn提供向心力，产生向心加速度an，改变线速度的方向1做匀速圆周运动的物体，当所受合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出()2摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故()3向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力()4
9、变速圆周运动的向心力不指向圆心()1向心力来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力2匀速圆周运动的向心力来源运动模型向心力的来源图示汽车在水平路面转弯水平转台(光滑)圆锥摆飞车走壁飞机水平转弯火车转弯3变速圆周运动的向心力如图所示，当小球在竖直面内摆动时，半径方向的合力提供向心力，FTmgcos m，如图所示4圆周运动动力学问题的分析思路 考向1圆周运动的动力学问题例4如图所示，一个圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的竖直轴匀速转动，角速度为，盘面上有一质量为m的物块随圆盘一起做匀速圆周运动，已知
10、物块到转轴的距离为r，下列说法正确的是()A物块受重力、弹力、向心力作用，合力大小为m2rB物块受重力、弹力、摩擦力、向心力作用，合力大小为m2rC物块受重力、弹力、摩擦力作用，合力大小为m2rD物块只受重力、弹力作用，合力大小为零答案C解析对物块进行受力分析可知物块受重力、圆盘对它的支持力及摩擦力作用物块所受的合力等于摩擦力，合力提供向心力根据牛顿第二定律有F合Ffm2r，选项A、B、D错误，C正确例5如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则()A绳的张力可能为零B桶对物块的弹力不可能为零C随
11、着转动的角速度增大，绳的张力保持不变D随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大答案C解析当物块随圆桶做匀速圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的张力为一定值，且不可能为零，故A、D错误，C正确；当绳的水平分力恰好提供向心力的时候，圆桶对物块的弹力恰好为零，故B错误例6(2020全国卷16)如图，一同学表演荡秋千已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg.绳的质量忽略不计当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为()A200 N B400 NC600 N D800 N答案B解析取该同学与踏板为研究对象，到达
12、最低点时，受力如图所示，设每根绳子中的平均拉力大小为F.由牛顿第二定律知：2Fmg，取g9.8 m/s2，代入数据得F405 N，故每根绳子平均承受的拉力约为405 N，选项B正确 考向2圆锥摆模型例7(2022辽宁六校联考)四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动如图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长)；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同(连接D球的绳较长)，则下列说法错误的是()A小球A、B角速度相等B小球A、B线速度大小相同C小球C、D向心加速度大小相同D小球D受到绳的拉力与小球C受
13、到绳的拉力大小相等答案B解析对题图甲A、B分析：设绳与竖直方向的夹角为，小球的质量为m，小球A、B到悬点O的竖直距离为h，则mgtan m2lsin ，解得，所以小球A、B的角速度相等，线速度大小不相同，故A正确，B错误；对题图乙C、D分析：设绳与竖直方向的夹角为，小球的质量为m，绳长为L，绳上拉力为FT，则有mgtan ma，FTcos mg得agtan ，FT，所以小球C、D向心加速度大小相同，小球C、D受到绳的拉力大小也相同，故C、D正确例8如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方则()A球甲的角速度一定大于球乙的角速度B球甲的线速度一
14、定大于球乙的线速度C球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期D球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力答案B解析对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，设支持力与竖直方向夹角为，根据牛顿第二定律有mgtan mmR2，解得v ，球甲的轨迹半径大，则球甲的角速度一定小于球乙的角速度，球甲的线速度一定大于球乙的线速度，故A错误，B正确；根据T，因为球甲的角速度一定小于球乙的角速度，则球甲的运动周期一定大于球乙的运动周期，故C错误；因为支持力FN，结合牛顿第三定律，球甲对筒壁的压力一定等于球乙对筒壁的压力，故D错误例9如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来
15、，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为，重力加速度为g，则下列说法正确的是()Aa、b 两小球都是所受合外力充当向心力Ba、b两小球圆周运动的半径之比为tan Cb小球受到的绳子拉力为Da小球运动到最高点时受到的绳子拉力为答案C解析小球a速度变化，只有在最低点时所受合外力充当向心力，而小球b做匀速圆周运动，所受合外力充当向心力，故A错误；由几何关系可知，a、b两小球圆周运动的半径之比为，故B错误；根据矢量三角形可得Fbcos mg，即Fb，故C正确；a小球到达最高点时速度为零，将重力正交分解有
16、Famgcos ，故D错误圆锥摆模型1.如图所示，向心力F向mgtan mm2r，且rLsin ，解得v，.2稳定状态下，角越大，对应的角速度和线速度v就越大，小球受到的拉力F和运动所需向心力也越大 考向3生活中的圆周运动例10列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为(很小，可近似认为tan sin )，重力加速度为g，下列说法正确的是()A列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用B列车过转弯处的速度v时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨C列车过转弯处的速度v时，列车轮缘会挤压外轨D若减小角，可提高列车安全过转弯处的
17、速度答案B解析列车以规定速度转弯时受到重力、支持力，重力和支持力的合力提供向心力，A错误；当重力和支持力的合力提供向心力时，则mmgtan mg，解得v，列车轮缘不会挤压内轨和外轨，B正确；列车过转弯处的速度v时，转弯所需的合力Fmgtan ，故此时列车内轨受挤压，C错误；若要提高列车速度，则列车所需的向心力增大，故需要增大，D错误课时精练1(2021全国甲卷15)“旋转纽扣”是一种传统游戏如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为()A1
18、0 m/s2 B100 m/s2C1 000 m/s2 D10 000 m/s2答案C解析根据匀速圆周运动的规律，此时2n100 rad/s，向心加速度a2r1 000 m/s2，故选C.2.(多选)在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为236，当齿轮转动的时候，关于小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点，下列说法正确的是()AA点和B点的线速度大小之比为11BA点和B点的角速度之比为11CA点和B点的角速度之比为31DA点和B点的线速度大小之比为13答案AC解析题图中三个齿轮边缘线速度大小相等，则A点和B点的线速度大小之比为11，由vr可知，线速度一定时，角速度与半径成反比，则A点和B点角
19、速度之比为31，故A、C正确，B、D错误3.未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力为达到上述目的，下列说法正确的是()A旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大B旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小C宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大D宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小答案B解析根据向心力的公式manm2r，可得an2r，要想使宇航员在旋转舱内受到侧壁的弹力等于站在地球表面受到地面的支持力，旋转舱
20、的向心加速度an应等于重力加速度，旋转舱的半径越大，转动的角速度应该越小，选项A错误，B正确；旋转舱的角速度与宇航员的质量无关，选项C、D错误4.如图所示，汽车正在水平路面上沿圆轨道匀速率转弯，且没有发生侧滑下列说法正确的是()A汽车转弯时由车轮和路面间的静摩擦力提供向心力B汽车转弯时由汽车受到的重力与支持力的合力提供向心力C汽车转弯时由车轮和路面间的滑动摩擦力提供向心力D汽车转弯半径不变，速度减小时，汽车受到的静摩擦力可能不变答案A解析汽车转弯时靠静摩擦力提供向心力，故A正确，B、C错误；根据FfFnm知，半径不变，速度减小时，向心力减小，则汽车受到的静摩擦力减小，故D错误5.(多选)飞机飞
21、行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼倾斜(如图所示)，以保证重力和机翼升力的合力提供向心力设飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动时机翼与水平面成角，飞行周期为T.则下列说法正确的是()A若飞行速率v不变，增大，则半径R增大B若飞行速率v不变，增大，则周期T增大C若不变，飞行速率v增大，则半径R增大D若飞行速率v增大，增大，则周期T可能不变答案CD解析对飞机进行受力分析，如图所示，根据重力和机翼升力的合力提供向心力，得mgtan mmR，解得：v，T2.若飞行速率v不变，增大，由v知，R减小，则再由T2知，
22、T减小，故A、B错误；若不变，飞行速率v增大，由v知，R增大，故C正确；若飞行速率v增大，增大，R的变化不能确定，则周期T可能不变，故D正确6.如图所示为室内场地自行车赛的比赛情景，运动员以速度v在倾角为的粗糙倾斜赛道上做匀速圆周运动已知运动员质量为m，圆周运动的半径为R，重力加速度为g，将运动员视为质点则运动员()A所受合力方向沿赛道面向下B所受自行车的作用力方向竖直向上C合力大小为mD速度不能超过答案C解析运动员和自行车组成的整体受重力、支持力、摩擦力作用，靠合力提供向心力，合力的方向始终指向圆心，A错误；运动员所受重力、支持力的合力提供其做圆周运动的向心力，故自行车对运动员的作用力应斜向
23、左上方，B错误；运动员所受的合力提供运动员做圆周运动的向心力，根据向心力公式可得F向m，C正确；以运动员和自行车整体为研究对象，受到的重力和赛道的支持力的合力提供向心力时，向心力为F向m总m总gtan ，解得v，当运动员和自行车的速度略大于时，整体会受到赛道的沿着赛道面向下的摩擦力，仍能做匀速圆周运动，D错误7.如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是()AA的速率比B大BA与B的向心加速度大小相等C悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小答案D
24、解析A、B绕竖直轴匀速转动的角速度相等，即AB，但rArB，根据vr得，A的速率比B的小，选项A错误；根据a2r得，A的向心加速度比B的小，选项B错误；A、B做圆周运动时的受力情况如图所示，根据F向m2r及tan 知，悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角小，选项C错误；由图知FT，所以悬挂A的缆绳受到的拉力小，选项D正确8.小球a、b分别通过长度相等的轻绳拴在O点，给a、b适当的速度，使两小球分别在不同水平面内做匀速圆周运动，Oa与竖直方向夹角为60，Ob与竖直方向夹角为30，则a做圆周运动的周期与b做圆周运动的周期之比为()A. B. C. D.答案B解析对球受力分析，根据牛顿第二定律得mgtan
25、mLsin ，解得T，则，故B正确，A、C、D错误9.(多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，重力加速度为g，则()A子弹在圆筒中的水平速度为v0dB子弹在圆筒中的水平速度为v02dC圆筒转动的角速度可能为D圆筒转动的角速度可能为3答案ACD解析子弹在圆筒中运动的时间与自由下落高度h的时间相同，即t，则v0d，故A正确，B错误；在此段时间内圆筒转过的圈数为半圈的奇数倍，即t(2n1)(n0,1,2，)，所以(2n1)(n0,1,2，)，故C、D正确10(2022广东惠州市
26、调研)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球Q，细线穿过小孔(小孔光滑)另一端连接在金属块P上，P始终静止在水平桌面上，若不计空气阻力，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)实际上，小球在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用因阻力作用，小球Q的运动轨道发生缓慢的变化(可视为一系列半径不同的圆周运动)下列判断正确的是()A小球Q的位置越来越高B细线的拉力变小C小球Q运动的角速度变大DP受到桌面的静摩擦力变大答案B解析由于小球受到空气阻力作用，线速度减小，则所需要的向心力减小，小球做近心运动，小球的位置越来越低，故A项错误；设细线与竖直方向的夹角为，细线的拉力大小为FT，细线的长度为L，当小球做
27、匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图所示，则有FT，mgtan mm2Lsin ，解得，由于小球受到空气阻力作用，线速度减小，减小，cos 增大，因此，细线的拉力FT减小，角速度减小，故B项正确，C项错误；对金属块P，由平衡条件知，P受到桌面的静摩擦力大小等于细线的拉力大小，则静摩擦力变小，故D项错误11.(多选)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B(m1m2)设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则()A两球运动的周期相等B两球的向心加速度大小相等C球A、B到P
28、的距离之比等于m2m1D球A、B到P的距离之比等于m1m2答案AC解析对其中一个小球受力分析，其受到重力和绳的拉力FT，设绳与竖直方向的夹角为，重力与拉力的合力提供向心力，设该小球到P的距离为l，则有mgtan mlsin ，解得周期为T22，因为任意时刻两球均在同一水平面内，故两球运动的周期相等，选项A正确；连接两球的绳的拉力FT相等，由于向心力为FnFTsin m2lsin ，故m与l成反比，即，又小球的向心加速度a2htan ()2htan ，故向心加速度大小不相等，选项C正确，B、D错误12水平转盘上距转轴1.2 m处放置一个10 kg的物体(可视为质点)，物体与转盘间的动摩擦因数为0.13.当转盘转动后，可使物体以0.5 m/s2的切向加速度做加速圆周运动，经过多长时间物体和转盘发生相对滑动？(滑动摩擦力等于最大静摩擦力，g10 m/s2)答案2.4 s解析物体做加速圆周运动，所以静摩擦力不指向圆心，(如图)把静摩擦力分解，可知Ff1maFf2m当物体恰好滑动时：(mg)2Ff12Ff22联立以上三式，解得v1.2 m/s物体沿圆周做加速运动，所以t2.4 s.
