1、专题强化四动态平衡问题平衡中的临界、极值问题目标要求1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题.2.会分析平衡中的临界与极值问题题型一动态平衡问题1动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态2做题流程受力分析画不同状态平衡图构造矢量三角形3三力平衡、合力与分力关系如图，F1、F2、F3共点平衡，三力的合力为零，则F1、F2的合力F3与F3等大反向，F1、F2、F3构成矢量三角形，即F3为F1、F2的合力，也可以将F1、F2、F3直接构成封闭三角形 考向1“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题1一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角
2、形，可作不同状态下的直角三角形，比较力的大小变化，利用三角函数关系确定三力的定量关系基本矢量图，如图所示例1(多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A的圆半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态设墙壁对B的支持力为F1，A对B的支持力为F2，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是()AF1减小 BF1增大CF2增大 DF2减小答案AD解析以球B为研究对象，受力分析如图所示，可得出F1Gtan ，F2，当A向右移动少许后，减小，则F1减小，F2减小，故A
3、、D正确2一力恒定(如重力)，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，恒力之外的两力垂直时，有极值出现基本矢量图，如图所示作与F1等大反向的力F1，F2、F3合力等于F1，F2、F3、F1构成矢量三角形例2(多选)如图所示，在倾角为的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中()A斜面对球的支持力逐渐增大B斜面对球的支持力逐渐减小C挡板对小球的弹力先减小后增大D挡板对小球的弹力先增大后减小答案BC解析对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和挡板的弹力FN2，如图，当挡板绕O点逆时针
4、缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，FN1和FN2的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力FN1逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减小后增大，当FN1和FN2垂直时，弹力FN2最小，故选项B、C正确，A、D错误动态分析常用方法1解析法：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化2图解法：此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况 考向2“一力恒定，另两力方向均变化
5、”的动态平衡问题1一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边相比相等基本矢量图，如图所示基本关系式：例3如图所示为一简易起重装置，(不计一切阻力)AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上开始时，杆BC与AC的夹角BCA90，现使BCA缓慢变小，直到BCA30.在此过程中，杆BC所产生的弹力()A大小不变 B逐渐增大C先增大后减小 D先减小后增大答案A解析以结点B为研究对象，分
6、析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反根据三角形相似得又F合G得F G，FN GBCA缓慢变小的过程中，AB变小，而AC、BC不变，则F变小，FN不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A.2一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化基本矢量图，如图所示例4(多选)(2017全国卷21)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的
7、夹角为()现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变在OM由竖直被拉到水平的过程中()AMN上的张力逐渐增大BMN上的张力先增大后减小COM上的张力逐渐增大DOM上的张力先增大后减小答案AD解析以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角为不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误 考向3“活结”的动态分析如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，Fsin 1Fsin 2，故
8、123，根据几何关系可知，sin ，若两杆间距离d不变，则上下移动悬线结点，不变，若两杆距离d减小，则减小，2FTcos mg，FT也减小例5如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高)则在此过程中绳中拉力大小()A先变大后不变 B先变大后变小C先变小后不变 D先变小后变大答案A解析对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F1F2，由几何关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等，设为，可知：F1F2如图乙所示，设绳长为L，由几何关系即sin 其
9、中d为两端点间的水平距离，由B点向C点移动过程中，d先变大后不变，因此先变大后不变，由式可知绳中拉力先变大后不变，故A正确题型二平衡中的临界、极值问题1临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等临界问题常见的种类：(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力(2)绳子恰好绷紧，拉力F0.(3)刚好离开接触面，支持力FN0.2极值问题平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题3解题方法(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件
10、必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值例6(2020山东卷8)如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为，设最大静摩擦力等于
11、滑动摩擦力当木板与水平面的夹角为45时，物块A、B刚好要滑动，则的值为()A. B. C. D.答案C解析A、B刚要滑动时受力平衡，受力如图所示对A：FTmgsin 45mgcos 45对B：2mgsin 45FT3mgcos 45mgcos 45整理得，选项C正确例7如图所示，质量m5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向上的拉力F作用下，向右以v02.0 m/s的速度做匀速直线运动已知金属块与地面间的动摩擦因数0.2，g10 m/s2.求所需拉力F的最小值答案2 N解析设拉力与水平方向夹角为，根据平衡条件Fcos (mgFsin )，整理得cos sin ，sin ()(其中sin )，
12、故所需拉力F的最小值Fmin2 N.课时精练1.如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切穿在轨道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为FN.在运动过程中()AF增大，FN增大BF减小，FN减小CF增大，FN减小DF减小，FN增大答案C解析对小球进行受力分析，它受到重力、支持力和拉力的作用，如图所示：根据共点力平衡条件有：FNmgcos ，Fmgsin ，其中为支持力FN与竖直方向的夹角，当小球向上移动时，变大，故FN减小，F增大，故选C.2.如图所示，在水平放置的木棒上的M、N两点，系着一根不可伸长的柔软轻绳，绳上套有
13、一光滑小金属环现将木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度，则关于轻绳对M、N两点的拉力F1、F2的变化情况，下列判断正确的是()AF1和F2都变大BF1变大，F2变小CF1和F2都变小DF1变小，F2变大答案C解析由于是一根不可伸长的柔软轻绳，所以绳子的拉力相等木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度后，绳子之间的夹角变小，绳对小金属环的合力等于小金属环的重力，保持不变，所以绳子上的拉力变小，选项C正确，A、B、D错误3.(多选)(2019全国卷19)如图所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态现用水平向左的
14、拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45.已知M始终保持静止，则在此过程中()A水平拉力的大小可能保持不变BM所受细绳的拉力大小一定一直增加CM所受斜面的摩擦力大小一定一直增加DM所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加答案BD解析对N进行受力分析如图所示，因为N的重力与水平拉力F的合力和细绳的拉力FT是一对平衡力，从图中可以看出水平拉力的大小逐渐增大，细绳的拉力也一直增大，选项A错误，B正确；M的质量与N的质量的大小关系不确定，设斜面倾角为，若mNgmMgsin ，则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大，若mNgF1，故A、D错误，B、C正确5.如图所示，质量分别为3m和m的两个可视为质点的
15、小球a、b，中间用一细线连接，并通过另一细线将小球a与天花板上的O点相连，为使小球a和小球b均处于静止状态，且Oa细线向右偏离竖直方向的夹角恒为37，需要对小球b朝某一方向施加一拉力F.若已知sin 370.6，cos 370.8.重力加速度为g，则当F的大小达到最小时，Oa细线对小球a的拉力大小为()A2.4mg B3mgC3.2mg D4mg答案C解析以两个小球组成的整体为研究对象，作出F在三个方向时整体的受力图根据平衡条件得知F与FT的合力与总重力总是大小相等、方向相反的，由力的合成图可以知道当F与绳子Oa垂直时F有最小值，即图中2位置，此时Oa细线对小球a的拉力大小为FT4mgcos
16、373.2mg，故C正确，A、B、D错误6.(多选)如图所示，倾角为的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物体a放在斜劈的斜面上，轻质细线一端固定在物体a上，另一端绕过光滑的定滑轮1固定在c点，滑轮2下悬挂物体b，系统处于静止状态若将固定点c向右移动少许，而物体a与斜劈始终静止，则()A细线对物体a的拉力增大B斜劈对地面的压力减小C斜劈对物体a的摩擦力减小D地面对斜劈的摩擦力增大答案AD解析对滑轮2和物体b受力分析，受重力和两个拉力作用，如图甲所示根据平衡条件有mbg2FTcos ，解得FT，若将固定点c向右移动少许，则增大，拉力FT增大，A项正确；对斜劈、物体a、物体b整体受力分析，受重力、细线的拉力
17、、地面的静摩擦力和支持力作用，如图乙所示，根据平衡条件有FNG总FTcos G总，恒定不变，根据牛顿第三定律可知，斜劈对地面的压力不变，B项错误；地面对斜劈的静摩擦力FfFTsin tan ，随着的增大，摩擦力增大，D项正确；对物体a受力分析，受重力、支持力、拉力和静摩擦力作用，由于不知道拉力与重力沿斜面向下的分力的大小关系，故无法判断斜劈对物体a的静摩擦力的方向，即不能判断静摩擦力的变化情况，C项错误7.如图所示，竖直墙面AO光滑，水平地面OB粗糙另有一根轻杆两端各固定有可视为质点的小球P和Q，当轻杆与水平方向的夹角为时，P、Q处于静止状态若使夹角增大些，P、Q仍能静止，则下列说法正确的是(
18、)A轻杆对小球P的弹力增大B竖直墙面AO对小球P的弹力增大C水平地面OB对小球Q的摩擦力减小D水平地面OB对小球Q的支持力增大答案C解析对P、Q受力分析如图，对P，有FNP，F，当增大时，轻杆对P的弹力F减小，竖直墙面AO对P的弹力FNP减小，故A、B错误；对Q，有Fcos Ff，FF，F减小，增大，cos 减小，则小球Q受到的摩擦力Ff减小，故C正确；对P、Q整体受力分析，水平地面对整体的支持力FNFNQGPGQ，大小不变，故D错误8.(2021湖南卷5)质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为
19、m的小滑块用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是()A推力F先增大后减小B凹槽对滑块的支持力先减小后增大C墙面对凹槽的压力先增大后减小D水平地面对凹槽的支持力先减小后增大答案C解析对滑块受力分析，由平衡条件有Fmgsin ，FNmgcos ，为F与水平方向的夹角，滑块从A缓慢移动到B点时，越来越大，则推力F越来越大，支持力FN越来越小，所以A、B错误；对凹槽与滑块整体受力分析，墙面对凹槽的压力为FNFcos mgsin cos mgsin 2，则越来越大时，墙面对凹槽的压力先增大后减小，所以C正确；水平地面对凹槽的支
20、持力为FN地(Mm)gFsin (Mm)gmgsin2则越来越大时，水平地面对凹槽的支持力越来越小，所以D错误9.(多选)如图，表面粗糙的楔形物块A静置在水平地面上，斜面上有小物块B，用平行于斜面的力F拉B，使之沿斜面匀速上滑现逆时针缓慢旋转该力至图中虚线位置，并保证在旋转该力过程中物块B一直处于匀速上滑状态，且在B运动的过程中，楔形物块A始终保持静止则在力F旋转的过程中，下列关于各力变化的说法正确的是()AF可能一直减小B物块B受到的摩擦力可能不变C物块对斜面的作用力一定减小D地面受到的摩擦力大小可能不变答案AC解析拉力F平行斜面向上时，先对物块B受力分析如图：根据平衡条件，平行斜面方向FF
21、fmgsin 垂直斜面方向FNmgcos 其中FfFN解得Fmg(sin cos )，Ffmgcos 拉力改变方向后，设其与斜面夹角为，根据平衡条件，平行斜面方向Fcos Ffmgsin 垂直斜面方向FNFsin mgcos 其中FfFN解得FFf(mgcos Fsin )比较两式得到滑动摩擦力减小，拉力F可能变大，也可能减小，故A正确，B错误；对A受力分析，受重力、支持力、B对A的压力、B对A的滑动摩擦力、地面对A的静摩擦力，如图；由牛顿第三定律知FfFf，FNFN，根据平衡条件，水平方向有Ff静FNsin Ffcos 结合前面A、B选项分析可知，当拉力改变方向后，FN和Ff都减小，故Ff和
22、FN的合力一定减小因B对A的力就是Ff和FN的合力，即物块对斜面的作用力一定减小；地面受到的静摩擦力也一定减小，故D错误，C正确10(多选)如图所示，某工厂将圆柱形工件a放在倾角为的斜面上，为防止工件滚动，在其下方垫一段半径与a相同的半圆柱体b.若逐渐减小斜面倾角，a、b始终处于静止状态，不计a与接触面的摩擦，b的质量很小则()A斜面对a的弹力变大B斜面对a的弹力先变大后变小Cb对a的弹力逐渐变小Db对a的弹力不变答案AC解析对a进行受力分析，如图甲所示根据平衡，斜面对a的弹力F1、b对a弹力F2的合力与a的重力等大反向，则在斜面倾角逐渐减小过程中，斜面对a的弹力F1 和b对a的弹力F2 的变化过程如乙图所示分析可得，斜面对a的弹力F1变大，b对a的弹力F2逐渐变小故选A、C.
