1、5.7三角函数的应用课标要求素养要求1.会用三角函数解决简单的实际问题.2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养.教材知识探究温州市区著名景点江心屿，江心屿上面有座寺庙江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联.上联是：云朝朝朝朝朝朝朝朝散；下联是：潮长长长长长长长长消.该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：江心屿时间0136891215182124水深66.257.552.842.557.552.55问题1.仔细观察表格中
2、的数据，你能从中得到一些什么信息？2.以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？提示1.水深随时间的变化呈周期变化.2.若用平滑的曲线连结各点，则大致呈正弦曲线.1.在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数yAsin(x)，x0，)表示，其中A0，0.理清三角函数模型的物理意义是解决问题的关键(1)A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；(2)简谐运动的周期是T=，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；(3)简谐运动的频率由公式f=给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；(4)
3、x称为相位；x0时的相位称为初相.)2.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，在刻画周期变化预测其未来等方面发挥着十分重要的作用.具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.教材拓展补遗微判断1.数据拟合问题实际是根据提供的数据画出简图，求出相关的函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制.()2.某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)102sin，t0，24).则实验室这一天的最大温差为4 .()微训练1.电流I(A)随时间t(s)变
4、化的关系式是I5sin，则当t s时，电流I为_A.解析I5sin5cos2.5(A).答案2.52.振动量ysin(x)(0)的初相和频率分别为和，则它的相位是_.解析T，3，初相为，相位为3x.答案3x3.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s6sin，则单摆来回摆动一次所需的时间为_s.解析因为单摆运动的周期为T1，故单摆来回摆动一次所需时间为1 s.答案1微思考1.现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？提示三角函数模型.2.在建模过程中，散点图的作用是什么？提示利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然后利用这种
5、关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.题型一已知三角函数图象解决应用问题【例1】已知电流I与时间t的关系为IAsin(t). (1)如图所示的是IAsin(t)(0，|)在一个周期内的图象，根据图中数据求IAsin(t)的解析式；(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流IAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？解(1)由题图知A300，设t1，t2，则周期T2(t2t1)2.150.又当t时，I0，即sin0，而|0)，300942，又N*，故所求最小正整数943.规律方法已知三角函数图象解决应用问题，首先由图象确定三角函数
6、的解析式，其关键是确定参数A，同时在解题中注意各个参数的取值范围.【训练1】弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点，求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移.解(1)设振幅为A，则2A20 cm，所以A10 cm.设周期为T，则0.5 s，所以T1 s，所以f1 Hz.(2)振子在1 s内通过的路程为4A，故在5 s内通过的路程s54A20A2010200(cm).5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.题型二已知三角函数解析式解决应用问题【例2】一根细线的一端固定，另一端
7、悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：厘米)与时间t(单位：秒)的函数关系是：s6sin(2t).(1)画出它一个周期的图象；(2)回答以下问题：小球开始摆动(即t0)，离开平衡位置是多少厘米？小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？小球来回摆动一次需要多少时间？解(1)周期T1(秒).列表：t012t226sin(2t)360603描点画图：(2)小球开始摆动(t0)，离开平衡位置为3 厘米.小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 厘米.小球来回摆动一次需要1 秒(即周期).规律方法在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数yAsin(x)来表示运动的位移y随时
8、间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数.【训练2】已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y10sin20，x4，16.(1)求该地区这一段时间内的最大温差；(2)若有一种细菌在15 到25 之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？解(1)x4，16，则x.由函数解析式易知，当x，即x14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ，当x，即x6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温
9、度为10 ，所以最大温差为301020( ).(2)令10sin2015，可得sin，而x4，16，所以x.令10sin2025，可得sin，而x4，16，所以x.故该细菌在这段时间内能存活(小时).题型三建立确定的三角函数模型【例3】如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设点B与地面距离为h. (1)求h与间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式.解(1)由题意可作图如图.过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于
10、点M.当时，BOM.h|OA|0.8|BM|5.64.8 sin；当0，1cos，故不适合；代入，得0，0)，则从表中数据可以得到A4，又由4sin 4.0，得sin 1，取，则y4sin，即y4cost.答案y4cost一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、数学建模素养.2.三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.(3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.二、素养训练1.如图所示的一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角()与时间t(
11、s)满足函数关系式sin，则当t0时，角的大小及单摆的频率是()A.， B.2，C.， D.2，解析当t0时，sin，由函数解析式易知，单摆的周期为，故单摆的频率为，故选A.答案A2.已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是()A.， B.，C.， D.，解析由题意可知，A，3252，则T8，ysin.由图象过点得sin ，sin ，|0，0，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t150天时，油价最低，则最小值为_.解析A6080得A20，且1502k，kZ，即k1时，最小值为.答案5.已知某种交流电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟
12、合为函数I5sin，t0，)，则这种交流电在0.5 s内往复运动_次.解析据I5sin(100t)知100 rad/s，该电流的周期为T0.02 s，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行次数为n22 s50(次).答案50基础达标一、选择题1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A.5 B.6 C.8 D.10解析由题意可知当sin(x)取最小值1时，函数取最小值ymin3k2，得k5，y3sin(x)5，当sin(x)取最大值1时，函数取最大值ymax358.答案C2.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断
13、正确的是()A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为5 cmC.该质点在0.1 s和0.5 s时速度最大D.该质点在0.3 s和0.7 s时加速度最大解析由图形可知振幅为5，故选B.答案B3.已知简谐运动f(x)2sin的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为()A.T6， B.T6，C.T6， D.T6，解析由题意知f(0)2sin 1，又|0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：x123y10 0009 500？则此楼盘在第三季度的平均单价大约是()A.10 000元 B.9 500元 C.9 000元 D.8 500元解析因为y500sin(x)9 50
14、0(0)，所以当x1时，500sin()9 50010 000；当x2时，500sin(2)9 5009 500，所以可取，可取，即y500sin9 500.当x3时，y9 000.答案C二、填空题6.简谐运动ysin(x2)的频率f_.解析f.答案7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d_，其中t0，60.解析将解析式可写为dAsin(t)的形式，由题意易知A10，当t0时，d0，得0；当t30时，d10，可得，所以d10sin .答案10sin 8.某城市一年中
15、12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos (x1，2，3，12，A0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ，12月份的月平均气温最低，为18，则10月份的平均气温值为_.解析由题意得y235cos，当x10时，y23520.5.答案20.5三、解答题9.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示坐标系中，轮胎以角速度 rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点(O)的距离为r. (1)求气针(P)的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期；(2)当，r1时，作出其图象.解(1)过P作x轴的
16、垂线，设垂足为M，则MP就是正弦线.yrsin(t)，因此T.(2)当，r1时，ysin，如图，其图象是将ysin t的图象向左平移个单位长度得到.10.如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角为 t t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h10sin t12(t0).(2)
17、由10sint1217，得sint，则t. 故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.能力提升11.已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作：yf(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcos tb.(1)根据以上数据，求函数yAcos tb的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供
18、冲浪者进行运动？解(1)由表中数据知周期T12，由t0，y1.5，得Ab1.5.由t3，y1.0，得b1.0.A0.5，b1，ycos t1.(2)由题意知，当y1时才可对冲浪者开放，cos t11，cos t0，2kt2k，kZ，即12k3t0，0，0|)，根据条件，可知这个函数的周期是12；由可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)f(2)400，故该函数的振幅为200；由可知，f(x)在2，8上单调递增，且f(2)100，所以f(8)500.根据上述分析可得，12，故，且解得根据分析可知，当x2时，f(x)最小，当x8时，f(x)最大，故sin1，且sin1.又因为0|，故.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)200sin300.(2)由条件可知，200sin300400，化简得sin2kx2k，kZ，解得12k6x12k10，kZ.因为xN*，且1x12，所以x6，7，8，9，10.即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物.
