1、第 1 页（共 24 页）2017 年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题（每小题 4 分，共 24 分）1a （a0）等于（ ）A B C D2下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）Ax 2+y2+2x+2y Bx 2+y2+2xy2 Cx 2y2+4x+4y Dx 2y2+4y43在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上， = ，要使 DEBC，还需满足下列条件中的（ ）A = B = C = D =4在 RtABC 中，C=90，如果 AB=m，A=，那么 AC 的长为（ ）Amsin Bmcos Cmtan Dmcot5如果锐角 的正弦值为 ，那么下列结论中正确的是
2、（ ）A=30 B=45 C30 45 D45 606将抛物线 y=ax21 平移后与抛物线 y=a（x1） 2 重合，抛物线 y=ax21 上的点A（2 ，3 ）同时平移到 A，那么点 A的坐标为（ ）A （3 ，4 ） B （1，2） C （3，2） D （1，4）二填空题（每个小题 4 分，共 48 分）716 的平方根是 8如果代数式 有意义，那么 x 的取值范围为 9方程 + =1 的根为 10如果一次函数 y=（m3）x+m2 的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m 的取值范围为 第 2 页（共 24 页）11二次函数 y=x28x+10 的图象的顶点坐标是 12如果点 A（1，
3、4 ） 、B（m，4）在抛物线 y=a（x 1） 2+h 上，那么 m 的值为 13如果ABC DEF，且ABC 与DEF 相似比为 1：4，那么ABC 与DEF 的面积比为 14在ABC 中，如果 AB=AC=10，cosB= ，那么ABC 的重心到底边的距离为 15已知平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，DE 与 AC 相交于点 F，设= ， = ，那么 = （用 ， 的式子表示）16在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ADE ABC ，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么ADE 的周长为 17如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，A
4、C 上，DEBC，BDC=CED，如果 DE=4，CD=6，那么 AD：AE 等于 18一张直角三角形纸片 ABC，C=90，AB=24，tanB= （如图） ，将它折叠使直角顶点 C 与斜边 AB 的中点重合，那么折痕的长为 三、解答题（共 78 分）第 3 页（共 24 页）19计算： 20解方程组： 21已知：如图，第一象限内的点 A，B 在反比例函数的图象上，点 C 在 y 轴上，BCx 轴，点 A 的坐标为（ 2，4） ，且 cotACB=求：（1）反比例函数的解析式；（2）点 C 的坐标；（3）ABC 的余弦值22将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏 OB 与底板 OA 夹角为 1
5、15（如图1） ，侧面示意图为图 2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架 OAC 后，电脑转到 AOB的位置（如图 3） ，侧面示意图为图 4，已知OA=0B=20cm，BOOA，垂足为 C（1）求点 O的高度 OC；（精确到 0.1cm）（2）显示屏的顶部 B比原来升高了多少？（精确到 0.1cm）（3）如图 4，要使显示屏 OB与原来的位置 OB 平行，显示屏 OB应绕点 O按顺时针方向旋转多少度？参考数据：（sin65=0.906 ，cos65=0.423，tan65=2.146cot65=0.446）23已知：如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，BABD=BCB
6、E（1）求证：DEAB=ACBE；第 4 页（共 24 页）（2）如果 AC2=ADAB，求证：AE=AC24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+4 与 x 轴的正半轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，点 C 在线段 OA 上，点 D 在此抛物线上，CDx 轴，且DCB=DAB，AB 与 CD 相交于点 E（1）求证：BDE CAE；（2）已知 OC=2，tanDAC=3，求此抛物线的表达式25如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AC 与 BD 相交于点 O，AC=BC ，点 E 在DC 的延长线上，BEC=ACB，已知 BC=9，cosABC= （1）求证：B
7、C 2=CDBE；（2）设 AD=x，CE=y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果DBCDEB，求 CE 的长第 5 页（共 24 页）2017 年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 4 分，共 24 分）1a （a0）等于（ ）A B C D【考点】分数指数幂；负整数指数幂【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，分数指数幂，可得答案【解答】解：a = = = ，故选：C2下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）Ax 2+y2+2x+2y Bx 2+y2+2xy2 Cx 2y2+4x+4y Dx 2y2+4y4【考点】实数范围
8、内分解因式【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可【解答】解：A、原式不能分解；B、原式=（x +y） 22=（x+ y+ ） （x+y ） ；C、原式=（x+y） （xy ）+4（x +y）=（x +y） （x y+4） ；D、原式=x 2（y2） 2=（x+y2） （xy+2） ，故选 A3在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上， = ，要使 DEBC，还需满足下列条件中的（ ）第 6 页（共 24 页）A = B = C = D =【考点】平行线分线段成比例【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出ADEABC，根据相似推出ADE=B，根据平行线的判定得出即可【
9、解答】解：只有选项 D 正确，理由是：AD=2，BD=4 ， = ， = = ，DAE= BAC，ADE ABC，ADE= B ，DEBC，根据选项 A、B、C 的条件都不能推出 DEBC，故选 D4在 RtABC 中，C=90，如果 AB=m，A=，那么 AC 的长为（ ）Amsin Bmcos Cmtan Dmcot【考点】锐角三角函数的定义【分析】根据余角函数是邻边比斜边，可得答案【解答】解：由题意，得cosA= ，AC=ABcosA=mcos，故选：B第 7 页（共 24 页）5如果锐角 的正弦值为 ，那么下列结论中正确的是（ ）A=30 B=45 C30 45 D45 60【考点】锐
10、角三角函数的增减性【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ，可得答案【解答】解：由 ，得3045，故选：C6将抛物线 y=ax21 平移后与抛物线 y=a（x1） 2 重合，抛物线 y=ax21 上的点A（2 ，3 ）同时平移到 A，那么点 A的坐标为（ ）A （3 ，4 ） B （1，2） C （3，2） D （1，4）【考点】二次函数图象与几何变换【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点 A 的平移规律，易得点 A的坐标【解答】解：抛物线 y=ax21 的顶点坐标是（0，1） ，抛物线 y=a（x 1） 2 的顶点坐标是（1，0） ，将抛物线 y=ax21 向右平移 1 个单
11、位，再向上平移 1 个单位得到抛物线y=a（x1） 2，将点 A（2，3）向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到点 A的坐标为（3，4） ，故选：A二填空题（每个小题 4 分，共 48 分）716 的平方根是 4 【考点】平方根【分析】根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得x2=a，则 x 就是 a 的平方根，由此即可解决问题【解答】解：（4） 2=16，第 8 页（共 24 页）16 的平方根是4故答案为：48如果代数式 有意义，那么 x 的取值范围为 x 2 【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式
12、即可【解答】解：由题意得，x+20 ，解得，x2，故答案为：x29方程 + =1 的根为 x=2 【考点】解分式方程【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：x5+2x+2=x 21，整理得：x 23x+2=0，即（x 2） （x 1）=0 ，解得：x=1 或 x=2，经检验 x=1 是增根，分式方程的解为 x=2，故答案为：x=210如果一次函数 y=（m3）x+m2 的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m 的取值范围为 m2 【考点】一次函数图象与系数的关系【分析】根据一次函数的性质，一次函数 y=（m3）x+m
13、2 的图象一定经过第三、第 9 页（共 24 页）第四象限，那么图象一定与 y 轴的负半轴有交点，即可解答【解答】解：一次函数 y=（m3）x+m2 的图象一定经过第三、第四象限，图象一定与 y 轴的负半轴有交点，m20，m2，故答案为：m211二次函数 y=x28x+10 的图象的顶点坐标是 （4，6 ） 【考点】二次函数的性质【分析】将二次函数化为顶点式后即可确定其顶点坐标【解答】解：y=2x 28x+10=2（x 4） 26，顶点坐标为（4，6） ，故答案为：（4，6） 12如果点 A（1，4 ） 、B（m，4）在抛物线 y=a（x 1） 2+h 上，那么 m 的值为 3 【考点】二次函
14、数图象上点的坐标特征【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案【解答】解：由点 A（1，4） 、B（m，4）在抛物线 y=a（x 1） 2+h 上，得（1 ，4）与（m，4）关于对称轴 x=1 对称，m1=1（1） ，解得 m=3，故答案为：313如果ABC DEF，且ABC 与DEF 相似比为 1：4，那么ABC 与DEF 的面积比为 1：16 第 10 页（共 24 页）【考点】相似三角形的性质【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论【解答】解：ABCDEF，且ABC 与DEF 相似比为 1：4，ABC 与DEF 的面积比=（ ） 2=1：16故答案为：1：1614在ABC 中
15、，如果 AB=AC=10，cosB= ，那么ABC 的重心到底边的距离为 2 【考点】三角形的重心；等腰三角形的性质；解直角三角形【分析】根据等腰三角形的三线合一，知三角形的重心在 BC 边的高上根据勾股定理求得该高，再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2 倍，求得 G 到 BC 的距离【解答】解：AB=AC=10，ABC 是等腰三角形三角形的重心 G 在 BC 边的高cosB= ，在 BC 边的高 =6，根据三角形的重心性质G 到 BC 的距离是 2故答案为：215已知平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，DE 与 AC 相交于点 F，设= ， = ，那么 =
16、 （用 ， 的式子表示）【考点】*平面向量；平行四边形的性质第 11 页（共 24 页）【分析】根据平行四边形的性质及中点的定义得 BCAD 、BC=AD=2EC，再证ADFCEF 得 = ，根据 = = = （ ）可得答案【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 是边 BC 的中点，BC AD，BC=AD=2EC，ADFCEF ， ， = =2，则 = ， = = （ ）= （ + ）= ，故答案为： 16在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ADE ABC ，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么ADE 的周长为 【考点】相似三角形的性质【分析】根据题意画
17、出图形，根据相似三角形的性质求出 DE 及 AE 的长，进而可得出结论【解答】解：如图，ADEABC ， = = ，即 = = ，解得 DE= ，AE= ，第 12 页（共 24 页）ADE 的周长 =AD+AE+DE=3+ + = ；故答案为： 17如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DEBC，BDC=CED，如果 DE=4，CD=6，那么 AD：AE 等于 3：2 【考点】相似三角形的判定与性质【分析】由 DEBC，推出EDC=BCD ， = ，由BDCCED，推出= = = ，由此即可解决问题【解答】解：DEBC，EDC=BCD， =BDC=DEC，BDCCED，
18、= = = ， = 故答案为 3：2第 13 页（共 24 页）18一张直角三角形纸片 ABC，C=90，AB=24，tanB= （如图） ，将它折叠使直角顶点 C 与斜边 AB 的中点重合，那么折痕的长为 13 【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】根据直角三角形的性质求出 CD，得到DCB=B ，根据垂直的定义、等量代换得到OEC=B，根据正切的定义、勾股定理计算即可【解答】解：CD 是斜边 AB 上的中线，DC=DB= AB=12，DCB=B，由题意得，EF 是 CD 的垂直平分线，OEC+OCE=90，又DCB +OCE=90，OEC=B，设 CF=2x，则 CE=3x，由勾股定理得，
19、EF= x，2x3x= x6，解得，x= ，EF= =13，故答案为：13三、解答题（共 78 分）第 14 页（共 24 页）19计算： 【考点】特殊角的三角函数值【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案【解答】解：原式= 20解方程组： 【考点】高次方程【分析】由得出 x3y=2，由得出 x（xy+2） =0，组成四个方程组，求出方程组的解即可【解答】解：由得：（x3y） 2=4，x3y=2，由得：x（xy+2）=0 ，x=0，xy+2=0，原方程组可以化为： ， ， ， ，解得，原方程组的解为： ， ， ， 21已知：如图，第一象限内的点 A，B 在反比例函数的图象上，点 C 在 y 轴第
20、 15 页（共 24 页）上，BCx 轴，点 A 的坐标为（ 2，4） ，且 cotACB=求：（1）反比例函数的解析式；（2）点 C 的坐标；（3）ABC 的余弦值【考点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形【分析】 （1）待定系数法求解可得；（2）作 AE x 轴于点 E， AE 与 BC 交于点 F，则 CF=2，根据 cotACB= =得 AF=3，即可知 EF，从而得出答案；（3）先求出点 B 的坐标继而由勾股定理得出 AB 的长，最后由三角函数可得答案【解答】解：（1）设反比例函数解析式为 y= ，将点 A（2，4）代入，得：k=8，反比例函数的解析式 y= ；（2）过点 A
21、 作 AEx 轴于点 E，AE 与 BC 交于点 F，则 CF=2，cotACB= = ，AF=3，EF=1，第 16 页（共 24 页）点 C 的坐标为（ 0，1 ） ；（3）当 y=1 时，由 1= 可得 x=8，点 B 的坐标为（1，8） ，BF=BCCF=6，AB= =3 ，cosABC= = = 22将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏 OB 与底板 OA 夹角为 115（如图1） ，侧面示意图为图 2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架 OAC 后，电脑转到 AOB的位置（如图 3） ，侧面示意图为图 4，已知OA=0B=20cm，BOOA，垂足为 C（1）求点 O的高度 OC；
22、（精确到 0.1cm）（2）显示屏的顶部 B比原来升高了多少？（精确到 0.1cm）（3）如图 4，要使显示屏 OB与原来的位置 OB 平行，显示屏 OB应绕点 O按顺时针方向旋转多少度？参考数据：（sin65=0.906 ，cos65=0.423，tan65=2.146cot65=0.446）【考点】解直角三角形的应用【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论；（2）如图 2，过 B 作 BDAO 交 AO 的延长线于 D，根据三角函数的定义即可得到结论；（3）如图 4，过 O作 EFOB 交 AC 于 E，根据平行线的性质得到FEA=BOA=115，于是得到结论第 17 页（共 24 页）【
23、解答】解：（1）BOOA，垂足为 C，AOB=115，AOC=65 ，cosCOA= ，OC=OAcosCOA=20cos65=8.468.5（cm） ；（2）如图 2，过 B 作 BDAO 交 AO 的延长线于 D，AOB=115，BOD=65，sin BOD= ，BD=OBsinBOD=20sin65=18.12，OB+OCBD=20+8.4618.12=10.34 10.3 （cm） ，显示屏的顶部 B比原来升高了 10.3cm；（3）如图 4，过 O作 EFOB 交 AC 于 E，FEA=BOA=115，FOB=EOC= FEA OCA=115 90=25，显示屏 OB应绕点 O按顺时
24、针方向旋转 25 度第 18 页（共 24 页）23已知：如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，BABD=BCBE（1）求证：DEAB=ACBE；（2）如果 AC2=ADAB，求证：AE=AC【考点】相似三角形的判定与性质【分析】 （1）由 BABD=BCBE 得 ，结合 B=B ，证ABC EBD 得，即可得证；（2）先根据 AC2=ADAB 证ADC ACB 得ACD=B，再由 证BAEBCD 得BAE=BCD，根据AEC=B + BAE，ACE= ACD+BCD 可得AEC=ACE，即可得证【解答】证明：（1）BABD=BCBE， ，又B= B，ABCEBD ， ，D
25、EAB=ACBE；（2）AC 2=ADAB， ，DAC=CAB，ADCACB ，ACD=B，第 19 页（共 24 页） ，B=B，BAEBCD，BAE=BCD，AEC=B+BAE，ACE=ACD+BCD ，AEC=ACE，AE=AC24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+4 与 x 轴的正半轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，点 C 在线段 OA 上，点 D 在此抛物线上，CDx 轴，且DCB=DAB，AB 与 CD 相交于点 E（1）求证：BDE CAE；（2）已知 OC=2，tanDAC=3，求此抛物线的表达式【考点】二次函数综合题【分析】 （1）根据相似三
26、角形的判定定理得到BECDEA，根据相似三角形的性质定理得到 = ，根据相似三角形的判定定理证明即可；（2）设 AC=m，根据正切的定义得到 DC=3m，根据相似三角形的性质得到DBA=DCA=90，根据勾股定理列出算式，求出 m 的值，利用待定系数法求出抛物线的解析式【解答】 （1）证明：DCB=DAB ，BEC= DEA，BECDEA ， = ，又 BED=CEA，第 20 页（共 24 页）BDE CAE；（2）解：抛物线 y=ax2+bx+4 与 y 轴相交于点 B，点 B 的坐标为（0，4） ，即 OB=4，tanDAC=3 ， =3，设 AC=m，则 DC=3m，OA=m+2，则点
27、 A 的坐标为（m+2，0） ，点 D 的坐标为（2， 3m） ，BDE CAE，DBA=DCA=90，BD 2+BC2=AD2，即 22+（ 3m4） 2+（m+2） 2+42=m2+（3m） 2，解得，m=2，则点 A 的坐标为（4，0） ，点 D 的坐标为（2，6） ， ，解得， ，抛物线的表达式为 y=x2+3x+425如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AC 与 BD 相交于点 O，AC=BC ，点 E 在DC 的延长线上，BEC=ACB，已知 BC=9，cosABC= （1）求证：BC 2=CDBE；（2）设 AD=x，CE=y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域；（
28、3）如果DBCDEB，求 CE 的长第 21 页（共 24 页）【考点】相似形综合题【分析】 （1）只要证明DACCEB ，得到 = ，再根据题意 AC=BC，即可证明（2）过点 C 作 CFAB 于 F，AG BC 于 G，DH BC 于 H由CEBDAC，得 = ，由此即可解决问题（3）首先证明四边形 ABCD 是等腰梯形，再证明 ABGDCH，推出CH=BG=2，推出 x=GH=BCBGCH=922=5，再利用（ 2）中即可即可解决问题【解答】解：（1）DCB=ACD+ACB，DCB=EBC+BEC ，ACB= BEC，ACD=EBC，ADBC，DAC=ACB=CEB，DACCEB ，
29、= ，BCAC=CDBE，AC=BC，BC 2=CDBF（2）过点 C 作 CFAB 于 F，AG BC 于 G，DH BC 于 H在 RtCBF 中，BF=BCcos ABC=9 =3，第 22 页（共 24 页）AB=6，在 RtABG 中， BG=ABcosABC=6 =2，ADBC，DH=AG，DH 2=AG2=AB2BG2=6222=32，AGDH，GH=AD=x，CH=BCBGGH=7x ，CD= = = ，CEBDAC， = ， = ，y= ，y= （x 0 且 x9） （3）DBCDEB ， CDB=BDE，CBD DBC ，DBC=DEB=ACB ，OB=OC，ADBC， = ，AC=BD，四边形 ABCD 是等腰梯形，第 23 页（共 24 页）AB=CD， ABC=DCB ，AGB= DHC=90，ABGDCH ，CH=BG=2，x=GH=BCBGCH=922=5 CE=y= 第 24 页（共 24 页）2017 年 2 月 12 日
