1、2023年湖南省株洲市渌口区中考二模数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1. 下列各数为负数的是（ ）A. B. C. D. 2. 随着人们生活水平的提高，对环境的保护越来越重视，下列垃圾分类标识的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到已知，则用科学记数法表示是（ ）A. B. C. D. 5. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后
2、发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是（）A. 24B. 18C. 16D. 66. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）A. B. C. D. 7. 为了解学生课外阅读情况，某校随机抽取了一个班的50名学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ）读书时间6小时及以下7小时8小时9小时10小时及以上学生人数512101310A. 10，9B. 10，13C. 8，13D. 8，98. 如图，直线，直线分别交，于点，以点为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点使，则的度数是（ ）A. B. C. D. 9.
3、如图，正五边形内接于，点在弧上若，则的大小为（ ）A. 38B. 42C. 48D. 5810. 如图，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论： （1）；（2）；（3）点，是该抛物线上点，则；（4）；（5）（t为任意实数）其中正确结论的个数是A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）11. 若分式有意义，则的取值范围是_12. 写出一个比大且比4小无理数_13. 因式分解：_14. 某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这个数据的平均数等于_.15. 如图，在中，点D、E、F分别
4、为的中点，若，则的长为_16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形的边在上，反比例函数的图象经过点B，若阴影部分面积为4，则k的值为_ 17. 如图，正方形的边长为3，点E，F分别在上，且，连接交于点P，连接，则的值为_ 18. 新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点如图，已知在的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上，则_；_三、解答题（本大题共8小题，共78分）19. 计算：20 先化简，再求值：，其中21. 如图，点E是正方形的边上的动点，且， （1）求证：；（2）若，求的长22. 如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌，
5、点C、D、E在同一直线上，且，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，且沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米（测角器的高度忽略不计） （1）求点B距水平地面的高度；（2）若市政规定广告牌高度不得大于9米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明23. 2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，某校举行了水资源保护知识竞赛为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表成绩分频数频率150.10.26045 （1）表中，；（2）请补全频数分布直方图；（3）若该校共有3600名学生，
6、估计在知识竞赛中取得90分以上的学生大约有多少名？24. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是反比例函数图象上的一动点过点作轴，垂足为，交直线于点 （1）求与的值；（2）若的面积是2（点P在点A的上方），时点的坐标25. 已知，如图，是直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，点D为的延长线上一点，且（1）求证：是的切线；（2）连接，求证：；（3）若的半径为10，求的长26. 如图1，抛物线经过，两点，与y轴相交于点C，连接，点P为线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交于点G，交x轴于点E（1）求抛物线的表达式（2）过点C作直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P
7、，C，F为顶点的三角形与相似？并求出此时点P的坐标（3）如图2，连接，请问的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由2023年湖南省株洲市渌口区中考二模数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1. 下列各数为负数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据绝对值的意义，乘方的运算法则，相反数的性质对各项判断即可【详解】解：，故项不符合题意；，故B项符合题意；，故C不符合题意；，故D不符合题意故选【点睛】本题考查了绝对值的意义，乘方的运算法则，相反数的性质等相关知识点，熟记对应性质是解题的关键2. 随着人们生活水平的
8、提高，对环境的保护越来越重视，下列垃圾分类标识的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称
9、图形，不符合题意；故选B【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键3. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式的计算法则求解判断即可【详解】解：A、，本选项不符合题意；B、，本选项不符合题意；C、，本选项符合题意；D、，本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键4. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到已知，则用科学记数法表示是（
10、）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解：，28nm=2.810-8m故选：C【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10-n，其中1|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定5. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是（）A. 24
11、B. 18C. 16D. 6【答案】C【解析】【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数【详解】解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，摸到白球的频率为，口袋中白色球的个数可能是个故选：C【点睛】大量反复试验下频率稳定值即概率关键是算出摸到白球的频率6. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先解不等式，再在数轴上表示其解集【详解】解：，解不等式得到：，不等式的解集为，在数轴上表示如图：， 故选：B【点睛】本题考查不等式解集在数轴上的表示，关键是要掌握解不等式，先将不等式的解集求出来，再在数轴上表示解集7. 为了解学
12、生课外阅读情况，某校随机抽取了一个班的50名学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ）读书时间6小时及以下7小时8小时9小时10小时及以上学生人数512101310A. 10，9B. 10，13C. 8，13D. 8，9【答案】D【解析】【分析】根据众数与中位数的定义可以直接得到答案【详解】解：因全班抽取了人，所以一共有50个数据，且表中数据已是从小到大排列的，最中间两个数据都是8，8，所以这一组数据的中位数是，这一组数据中出现次数最多的是9，所以众数是9故选：D【点睛】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫
13、做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数8. 如图，直线，直线分别交，于点，以点为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点使，则的度数是（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用作法得到，利用等腰三角形的性质得到，于是可以计算出，再根据平行线的性质得到，然后根据邻补角的定义得到的度数【详解】解：如图所示，由作法得：，故选：A【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本
14、作图，逐步操作，也考查了平行线的性质，等腰三角形的性质9. 如图，正五边形内接于，点在弧上若，则的大小为（ ）A. 38B. 42C. 48D. 58【答案】C【解析】【分析】连接，根据五边形是正五边形，可求出的度数，由，可得的度数，再根据圆周角定理进一步求解即可【详解】如图，连接，五边形是正五边形，正五边形内接于，故选：C【点睛】本题考查了圆周角定理、正多边形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解10. 如图，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论： （1）；（2）；（3）点，是该抛物线上的点，则；（4）；（5）（t为任意实数）其中正确结论的个
15、数是A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】根据抛物线与x轴有两个交点可得，即可判断（1）；根据抛物线的对称轴公式即可判断（2）；根据抛物线的增减性即可判断（3）；根据抛物线的对称性可知：抛物线与x轴的另一个交点的横坐标应该在0与1之间，可得当时，即，结合（2）的结论即可判断（4）；根据抛物线的顶点即可判断（5）.【详解】解：由图象可得：抛物线与x轴有两个交点，所以，故（1）正确；抛物线的对称轴是直线，即，故（2）正确；抛物线开口向下，点离对称轴越近，函数值越大，故（3）错误；由抛物线的对称性可知：抛物线与x轴的另一个交点的横坐标应该在0与1之间，当时，即，即，故（4）正确；
16、抛物线的对称轴是直线，对于任意的，都有，即，故（5）正确；综上，正确的有4个，故选：C.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题关键.二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）11. 若分式有意义，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可【详解】解：分式有意义，故答案为：【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于012. 写出一个比大且比4小的无理数_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据实数的大小比较即可求出答案【详解】解：111316， 比大
17、且比4小的无理数为，故答案为：【点睛】本题考查实数比较大小，解题的关键是熟练运用实数比较大小的法则，本题属于基础题型13. 因式分解：_【答案】【解析】【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可【详解】解： ，故答案为：【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键14. 某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这个数据的平均数等于_.【答案】.【解析】【分析】根据加权平均数的基本求法，平均数等于总和除以个数，即可得到答案.【详解】平均数等于总和除以个数，所以平均数.【点睛】本题考查求加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的基
18、本求法.15. 如图，在中，点D、E、F分别为中点，若，则的长为_【答案】5【解析】【分析】由题意知，是的中位线，是斜边的中线，则，计算求解即可【详解】解：由题意知，是的中位线，是斜边的中线，故答案：5【点睛】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形的边在上，反比例函数的图象经过点B，若阴影部分面积为4，则k的值为_ 【答案】8【解析】【分析】可设，则，由，根据矩形得出，可证，求出，又B在反比例函数图象上，即可得知k值【详解】解：可设，交于M， 则，四边形与四边形均为
19、矩形，在和中，则，又B在反比例函数图象上，故答案为：8【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数，矩形的性质和全等三角形的性质和判定，不规则图形面积，掌握待定系数法求反比例函数方法，矩形的性质和全等三角形的性质和判定，把不规则图形面积转化为规则图形面积是解题关键17. 如图，正方形的边长为3，点E，F分别在上，且，连接交于点P，连接，则的值为_ 【答案】【解析】【分析】首先证明，再利用角的关系求得，证明A、P、F、D四点共圆，得，可得结论【详解】解：连接， 四边形是正方形，又，A、P、F、D四点共圆， ，故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆的性质、三角函数
20、的定义，解决的关键是证明18. 新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点如图，已知在的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上，则_；_【答案】 . 4 . #【解析】【分析】由正方形面积减去三个直角三角形面积可求，过作于，用面积法可求的长，在中可得；【详解】解：过作于，如图： 由图可得：， ，故答案为：4，；【点睛】本题考查勾股定理，三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握勾股定理，三角形面积，求锐角三角函数三、解答题（本大题共8小题，共78分）19. 计算：【答案】2【解析】【分析】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值代入运算即可【详解】解：【点睛】本
21、题考查特殊角的三角函数值的运算，以及负整数指数幂，熟记特殊角的三角函数值是解题关键20. 先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值【详解】解：，当时，原式【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则21. 如图，点E是正方形的边上的动点，且， （1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）证明，即可证明；（2）作于P，求得，利用勾股定理即可求解【小问1详解】证明：四边形是正方形，在和中，即【小问2详解】
22、解：如图，过点F作于点P， ，四边形是矩形由(1)知，四边形是正方形，在中，由勾股定理，得【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题22. 如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌，点C、D、E在同一直线上，且，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，且沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米（测角器的高度忽略不计） （1）求点B距水平地面的高度；（2）若市政规定广告牌的高度不得大于9米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明【答案】（1）点B距水平地面的高度为5米；
23、（2）符合要求理由见解析【解析】【分析】（1）过点B作交延长线于M，根据坡度的意义，求出，再利勾股定理求解即；（2）过点B作于E，先求出米，然后证明四边形是矩形，得到，米，即可求出的长，再求出的长即可得到答案【小问1详解】解：如图所示，过点B作交延长线于M， 山坡的坡度比，即，即，米，点B距水平地面的高度为5米；【小问2详解】解：过点B作于E， 由（1）得米，四边形是矩形，米，在中，（米），符合要求【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的性质与判定，坡度等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解23. 2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，某校举行了水资源保护知识竞赛
24、为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表成绩分频数频率150.10.26045 （1）表中，；（2）请补全频数分布直方图；（3）若该校共有3600名学生，估计在知识竞赛中取得90分以上的学生大约有多少名？【答案】（1）30，0.4，0.3 （2）见解析 （3）估计在知识竞赛中取得90分以上的学生有1080名【解析】【分析】（1）由抽取的人数减去其它三个组的频数得出a的值，再由频率的定义求出b、c即可解答；（2）由（1）中a的值，补全频数分布直方图即可；（3）用360乘以90分以上的学生的频率即可解答【小问1详解】解：
25、由题意得：，故答案为：30，0.4，0.3【小问2详解】解：补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】解：名答：在知识竞赛中取得90分以上的学生大约有1080【点睛】本题主要考查了频数分布表、频数分布图、用样本频数估计整体频数等知识点，理解频数分布表、频数分布图是解答本题的关键24. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是反比例函数图象上的一动点过点作轴，垂足为，交直线于点 （1）求与的值；（2）若的面积是2（点P在点A的上方），时点的坐标【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）先把点A坐标代入正比例函数解析式求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可得到答案
26、；（2）设，则，则，求出，并据此建立方程求解即可【小问1详解】解：把点代入到中得：，把代入到中得：，；【小问2详解】解：由（1）得反比例函数解析式为，设，则，是反比例函数图像上的一动点，点P在点A方，的面积是2，解得（负值舍），【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数比例系数的几何意义，灵活运用所学知识是解题的关键25. 已知，如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，点D为的延长线上一点，且（1）求证：是的切线；（2）连接，求证：；（3）若的半径为10，求的长【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）15【解析】【分析】（1）先由圆周角定理和已知条件说明，
27、再证，进而证得即可证明结论；（2）如图：连接，由垂径定理得出得出、，再由公共角可得，由相似三角形的性质可得即可得出结论；（3）如图：连接，由圆周角定理得出，由三角函数求出，再根据勾股定理求出，得出，由（2）的结论求出，然后根据勾股定理求出即可【小问1详解】解：，即，是的半径，是的切线；【小问2详解】解：如图：连接， ，；【小问3详解】解：如图：连接BE， 是O的直径，O的半径为10，AB=20，在中，【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系定理，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造三角形相似成为解答本题的关键26. 如图1，抛物
28、线经过，两点，与y轴相交于点C，连接，点P为线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交于点G，交x轴于点E（1）求抛物线的表达式（2）过点C作直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与相似？并求出此时点P的坐标（3）如图2，连接，请问面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由【答案】（1） （2） （3）能，的面积的最大值为8【解析】【分析】（1）将点，的坐标代入函数表达式，即可求解；（2）先由函数解析式求得点C的坐标，从而得到为等腰直角三角形，可得此当时，以P，C，F为顶点的三角形与相似设设点P的坐标为，则，可得，可列
29、出列出关于m的方程，从而可求得m的值，于是可求得点P的坐标；（3）连接设点P的坐标为，则，然后依据列出的面积与a的函数关系式，从而可求得三角形的最大面积【小问1详解】解：将点，的坐标代入函数表达式，得：，解得，抛物线的解析式为【小问2详解】解：令得：，点，为等腰直角三角形，当时，以P，C，F为顶点的三角形与相似设点P的坐标为，则，解得，（舍去），点P的坐标为【小问3详解】解：S能取得最大值如图2所示，连接设点P的坐标为，则，当时，的面积S有最大值此时，的面积的最大值为8【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定，（3）问中用含a的式子表示相关线段的长度，然后列出的面积与a的函数关系式是解题的关键
