1、2023年高考全国甲卷数学（理科）试题一、选择题1. 设集合，U为整数集，（ ）A. B. C D. 2. 若复数，则（ ）A. -1B. 0 C. 1D. 23. 执行下面的程序框遇，输出的（ ） A. 21B. 34C. 55D. 894. 向量，且，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知正项等比数列中，为前n项和，则（ ）A. 7B. 9C. 15D. 306. 有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. 0.17. “”是“”的（ ）A. 充分条件但不
2、是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件8. 已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）A. B. C. D. 9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A. 120B. 60C. 40D. 3010. 已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 411. 在四棱锥中，底面为正方形，则的面积为（ ）A. B. C. D. 12. 己知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，则（ ）A. B. C.
3、 D. 二、填空题13. 若为偶函数，则_14. 设x，y满足约束条件，设，则z的最大值为_15. 在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为_16. 在中，D为BC上一点，AD为的平分线，则_三、解答题17. 已知数列中，设为前n项和，（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和18. 在三棱柱中，底面ABC，到平面距离为1 （1）求证：；（2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的分布列和数学期望；
4、（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.426.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.214.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面22列联表：对照组实验组（ii）根据22列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用参考数
5、据：0.100.050.0102.70638416.63520 已知直线与抛物线交于两点，且（1）求；（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，求面积的最小值21. 已知（1）若，讨论的单调性；（2）若恒成立，求a取值范围四、选做题22. 已知，直线（t为参数），为的倾斜角，l与x轴，y轴正半轴交于A，B两点，（1）求的值；（2）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程23. 已知（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求2023年高考全国甲卷数学（理科）试题一、选择题1. 设集合，U为整数集，（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据整
6、数集的分类，以及补集的运算即可解出【详解】因为整数集，所以，故选：A2. 若复数，则（ ）A. -1B. 0 C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出【详解】因为，所以，解得：故选：C.3. 执行下面的程序框遇，输出的（ ） A. 21B. 34C. 55D. 89【答案】B【解析】【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出【详解】当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，；当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，；当时，判断框条件满足，第三次执行循环体，；当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出故选：B.4. 向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案
7、】D【解析】【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,.故选:D.5. 已知正项等比数列中，为前n项和，则（ ）A. 7B. 9C. 15D. 30【答案】C【解析】【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.【详解】由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.故选:C.6. 有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. 0.1【答案】A【解析】【分析】先算出报名两个俱乐部的人数,
8、从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件概率的知识求解.【详解】报名两个俱乐部的人数为，记“某人报足球俱乐部”为事件,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件，则，所以.故选:.7. “”是“”的（ ）A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当时，例如但，即推不出；当时，即能推出.综上可知，是成立的必要不充分条件.故选：B8. 已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析
9、】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A. 120B. 60C. 40D. 30【答案】B【解析】【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，同理：连续参加了两天社区服务，也各有
10、种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种.故选：B.10. 已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下， 考虑，即处与的大小关系，当时，；当时，；当时，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.11. 在四棱锥中，底面为正方形，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】法一：利用全等三角形的证明方法
11、依次证得，从而得到，再在中利用余弦定理求得，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在中利用余弦定理求得，从而求得，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于的方程组，从而求得，由此在中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.【详解】法一：连结交于，连结，则为的中点，如图，因为底面为正方形，所以，则，又，所以，则，又，所以，则，在中，则由余弦定理可得，故，则，故在中，所以，又，所以，所以的面积为.法二：连结交于，连结，则为的中点，如图，因为底面为正方形，所以，在中，则由余弦定理可得，故，所以，则，不妨记，因为，所以，即，则，整理得，又在中，即，则，两式相加得，故，故在中
12、，所以，又，所以，所以的面积为.故选：C.12. 己知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出【详解】方法一：设，所以，由，解得：，由椭圆方程可知，所以，解得：，即，因此故选：B方法二：因为，即，联立，解得：，而，所以，即故选：B方法三：因为，即，联立，解得：，由中线定理可知，易知，解得：故选：B【点睛】本题根据求解的目标
13、可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大二、填空题13. 若为偶函数，则_【答案】2【解析】【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.【详解】因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为：2.14. 设x，y满足约束条件，设，则z的最大值为_【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数过点时，有最大值，由可得，即,所以.故答案为：1
14、515. 在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为_【答案】12【解析】【分析】根据正方体对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图，由题意可知，为球心，在正方体中，即，则球心到的距离为，所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.故答案为：1216. 在中，D为BC上一点，AD为的平分线，则_【答案】【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；方法二：利用
15、余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出【详解】如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，因为，解得：，由可得，解得：故答案为：方法二：由余弦定理可得，因为，解得：，由正弦定理可得，解得：，因为，所以，又，所以，即故答案为：【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规三、解答题17. 已知数列中，设为前n项和，（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据即可求出；（2）根据错位相减法即可解出【小问1详解】因为，当时，即；当时，即，当时，所以，化
16、简得：，当时，即，当时都满足上式，所以【小问2详解】因为，所以，两式相减得，即，18. 在三棱柱中，底面ABC，到平面的距离为1 （1）求证：；（2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面，再由勾股定理求出为中点，即可得证；（2）利用直角三角形求出的长及点到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.【小问1详解】如图， 底面，面，又，平面，,平面ACC1A1，又平面，平面平面， 过作交于，又平面平面，平面，平面到平面的距离为1，在中，设，则，为直角三角形，且，解得，【小问2详解】，过B作，交于D
17、，则为中点，由直线与距离2，所以，在，延长，使，连接，由知四边形平行四边形，平面，又平面，则在中，在中，,又到平面距离也为1，所以与平面所成角的正弦值为.19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.426.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组：5
18、.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.214.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面22列联表：对照组实验组（ii）根据22列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用参考数据：0.100.050.0102.7063.8416.635【答案】（1）分布列见解析， （2）（i）；列联表见解析，（ii）能【解析】【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；（2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；（ii）利用独立性检验的卡
19、方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】依题意，的可能取值为，则，所以的分布列为：故.【小问2详解】（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为，后续依次为，故第20位为，第21位数据为，所以，故列联表为：合计对照组61420实验组14620合计202040（ii）由（i）可得，所以能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.20. 已知直线与抛物线交于两点，且（1）求；（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，求面积的最小值【答案】（1）
20、（2）【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；（2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值【小问1详解】设，由可得，所以，所以，即，因为，解得：【小问2详解】因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，由可得，所以，因为，所以，即，亦即，将代入得，所以，且，解得或设点到直线的距离为，所以，所以的面积，而或，所以，当时，的面积【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.21. 已知（1）若，
21、讨论的单调性；（2）若恒成立，求a的取值范围【答案】（1）答案见解析. （2）【解析】【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.【小问1详解】令,则则当当,即.当,即.所以在上单调递增,在上单调递减【小问2详解】设设所以.若,即在上单调递减,所以.所以当,符合题意.若当,所以.所以,使得,即,使得.当,即当单调递增.所以当,不合题意.综上,的取值范围为.【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.四、选做题22. 已知，直线（t为参数），为的倾斜角，l与x轴，y轴正半轴
22、交于A，B两点，（1）求值；（2）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据的几何意义即可解出；（2）求出直线的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出【小问1详解】因为与轴，轴正半轴交于两点，所以，令，令，所以，所以，即，解得，因为，所以【小问2详解】由（1）可知，直线的斜率为，且过点，所以直线的普通方程为：，即，由可得直线的极坐标方程为23. 已知（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）分和讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若,则,即,解得,即,若,则,解得,即,综上,不等式的解集为.【小问2详解】.画出的草图,则与坐标轴围成与的高为,所以所以,解得
