1、2017 年河北省沧州市东光县中考数学一模试卷一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分）17 的绝对值是（ ）A7 B7 C7 D2计算|6|（ ） 0 的值是（ ）A5 B5 C5 D73下列四个图形中，对称轴最多的图形是（ ）A B C D4若代数式 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）Ax1 Bx2 Cx2 Dx1 且 x25如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于 A，B 两点，P 是线段 AB 上任意一点（不包括端点），过 P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长是（ ）A5 B7.5 C10 D256如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 ACBD
2、，且AC=8，BD=6，DHAB 于 H，则 AH 等于（ ）A B C D7在数轴上实数 a，b 的位置如图所示，化简 |a+b|+ 的结果是（ ）A2ab B2a +b C 2b D2a8如图，已知正方形铁丝框 ABCD 边长为 10，现使其变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为（ ）A50 B100 C150 D2009如图，OA，OB 分别为O 的半径，若 CDOA ，CE OB，垂足分别为D，E， P=70，则DCE 的度数为（ ）A70 B60 C50 D4010如图，在 RtABC 中，ACB=90，BC=12，AC=5，分别以点 A，B
3、 为圆心，大于线段 AB 长度的一半为半径作弧，相交于点 E，F，过点 E，F 作直线 EF，交 AB 于点 D，连接 CD，则ACD 的周长为（ ）A13 B17 C18 D2511在平面直角坐标系中，已知平行四边形 ABCD 的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，1），C（m， n），则关于点 D 的说法正确的是（ ）甲：点 D 在第一象限乙：点 D 与点 A 关于原点对称丙：点 D 的坐标是（2，1）丁：点 D 与原点距离是 A甲乙 B丙丁 C甲丁 D乙丙12下列各式变形中，不正确的是（ ）Ax 4x3=x7 B =|x|C（ x2 ）x=x 1 Dx 2x+1=（x ） 2+13如
4、图，在平面直角坐标系中，线段 AB 经过平移得到线段 AB，其中点A，B 的对应点分别为点 A，B，这四个点都在格点上，则这四个点组成的四边形 ABBA的面积是（ ）A4 B6 C9 D1314若关于 x 的一元二次方程 x2+ x+tana=0 有两个相等的实数根，则锐角a 等于（ ）A15 B30 C45 D6015如图，在任意ABC 中，DEBC，连接 BE 与 CD 相交于点 F，则下列结论一定正确的有几个（ ） = = = = A1 B2 C3 D416已知如图，点 O 为ABD 的外心，点 C 为直径 BD 下方弧 BCD 上一点，且不与点 B，D 重合，ACB=ABD=45，则下
5、列对 AC，BC，CD 之间的数量关系判断正确的是（ ）AAC=BC+CD B AC=BC+CD C AC=BC+CD D2AC=BC+CD二、填空题（本大题有 3 个小题，共 10 分）17计算 3 的结果是 18当 x=2 时，分式（ 1） 的值是 19已知，如下图，我们可以用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭正多边形组成图案，图案需 8 根火柴棒，图案需 15 根火柴棒，按此规律，搭建第n 个图案需要 根火柴棒，搭建第 2017 个图案需要 根火柴棒三、解答题（本大题有 7 个小题，共 68 分）20计算：（1） 101+ 5sin30+（3.14） 0（2）已知 m25=3m，求代数式 2
6、m26m1 的值21已知直线 l1l 2l 3，等腰直角ABC 的三个顶点 A，B，C 分别在l1，l 2，l 3 上，若ACB=90，l 1，l 2 的距离为 1，l 2，l 3 的距离为 3，求：（1）线段 AB 的长；（2） 的值22旭日商场销售 A，B 两种品牌的钢琴，这两种钢琴的进价和售价如下表所示：A B进价（万元/套） 1.5 1.2售价（万元/套） 1.65 1.4该商场计划购进两种钢琴若干套，共需 66 万元，全部销售后可获毛利润 9 万元（毛利润=（售价进价）销售量）（1）该商场计划购进 A，B 两种品牌的钢琴各多少套？（2）通过市场调查，该商场决定在原计划的基础上，减少
7、A 种钢琴的购进数量，增加 B 种钢琴的购进数量，已知 B 种钢琴增加的数量是 A 种钢琴减少数量的 1.5 倍，若用于购进这两种钢琴的总资金不超过 69 万元，问 A 种钢琴购进数量至多或减少多少套？23在元旦来临之际，腾飞中学举行了隆重的庆祝活动，在校图书馆展开了书法、国学诵读、演讲、征文四个比赛项目（每人只参加一个项目），“希望班”全班同学都参加了比赛，为了解这个班同学参加各项比赛的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的折线统计图（图 1）和扇形统计图（图 2），根据图表中的信息解答下列各题：（1）请求出“ 希望班” 全班人数；（2）请把折线统计图补充完整；（3）欢欢和乐乐参加了比赛，请
8、用“列表法” 或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率24在一条笔直的公路的同侧依次排列着 A，C， B 三个村庄，某天甲、乙两车分别从 A，B 两地出发，沿这条公路匀速行驶至 C 地停止，从甲车出发至甲车到达 C 地的过程，甲、乙两车各自与 C 地的距离 y（km ）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示求：（1）甲的速度是 ，乙的速度是 ；（2）分别求出甲、乙两车各自与 C 地的距离 y（km）与甲车行驶时间 t（h）之间的函数关系式，并写出取值范围；（3）若甲、乙两车到 C 地后继续沿该公路原速度行驶，求甲车出发多少小时，两车相距 350km25如图，在正方形 ABCD 中
9、，AB=4，P 是 BC 边上一动点（不含 B，C 两点），将ABP 沿直线 AP 翻折，点 B 落在点 E 处，在 CD 上有一点 M，使得将CMP 沿直线 MP 翻折后，点 C 落在直线 PE 上的点 F 处，直线 PE 交 CD 于点N，连接 MA，NA发现：CMP 和BPA 是否相似，若相似给出证明，若不相似说明理由；思考：线段 AM 是否存在最小值？若存在求出这个最小值，若不存在，说明理由；探究：当ABPADN 时，求 BP 的值是多少？26如图，已知抛物线 y=x2+2x 经过原点 O，且与直线 y=x2 交于 B，C 两点（1）求抛物线的顶点 A 的坐标及点 B，C 的坐标；（2
10、）求证：ABC=90 ；（3）在直线 BC 上方的抛物线上是否存在点 P，使PBC 的面积最大？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MNx 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，M，N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由2017 年河北省沧州市东光县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分）17 的绝对值是（ ）A7 B7 C7 D【考点】绝对值【分析】当 a 是负有理数时， a 的绝对值是它的相反数，据此求出 7 的绝对值是多少即可【解
11、答】解：7 的绝对值是 7故选：B 2计算|6|（ ） 0 的值是（ ）A5 B5 C5 D7【考点】零指数幂；有理数的混合运算【分析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质分别化简求出答案【解答】解：|6|（ ） 0=61=5故选：A3下列四个图形中，对称轴最多的图形是（ ）A B C D【考点】轴对称图形【分析】分别得出各图形的对称轴条数进而得出答案【解答】解：A、D 不是轴对称图形，B、的对称轴有 6 条，C 的对称轴有 1 条，对称轴最多的图形是 B，故选 B4若代数式 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）Ax1 Bx2 Cx2 Dx1 且 x2【考点】二次根式有意义的条件【分
12、析】直接利用二次根式有意义的条件结合分式有意义的条件得出答案【解答】解：代数式 在实数范围内有意义，x+10，且 x20，解得：x1 且 x2故选：D5如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于 A，B 两点，P 是线段 AB 上任意一点（不包括端点），过 P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长是（ ）A5 B7.5 C10 D25【考点】一次函数图象上点的坐标特征；矩形的性质【分析】根据待定系数法求得直线 AB 的解析式 y=x+5，设 P 点坐标为（m，m+5），然后根据周长公式可得出答案【解答】解：A（5，0），B（0，5），直线 AB 的解析式为 y=x+5，P 是线段 AB
13、上任意一点（不包括端点），设 P 点坐标为（ m，m+5），如图，过 P 点分别作 PDx 轴，PCy 轴，垂足分别为 D、C，P 点在第一象限，PD= m+5，PC=m，矩形 PDOC 的周长为： 2（m m+5）=10，故选 C6如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 ACBD ，且AC=8，BD=6，DHAB 于 H，则 AH 等于（ ）A B C D【考点】平行四边形的性质【分析】易证四边形 ABCD 是菱形，根据菱形的性质得出 BO、CO 的长，在RTBOC 中求出 BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BCAH，即可得出 AH 的长度【解答】解：平行四边形 ABCD 中，
14、ACBD，平行四边形 ABCD 是菱形，CO= AC=3cm，BO= BD=4cm，AOBO，BC=5cm，S 菱形 ABCD= ACBD= 68=24cm2，S 菱形 ABCD=BCAH，BCAH=24，AH= cm故选 A7在数轴上实数 a，b 的位置如图所示，化简 |a+b|+ 的结果是（ ）A2ab B2a +b C 2b D2a【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴【分析】直接利用数轴得出 a+b0，a b0，进而化简求出答案【解答】解：如图所示：可得，a+b0，a b0，故原式= （a+b）（ab）=2a故选：D8如图，已知正方形铁丝框 ABCD 边长为 10，现使其变形为以 A
15、 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为（ ）A50 B100 C150 D200【考点】扇形面积的计算【分析】由正方形的边长为 10，可得 的弧长为 20，然后利用扇形的面积公式：S 扇形 DAB= lr，计算即可【解答】解：正方形的边长为 20， 的长=20，S 扇形 DAB= lr= 2010=100，故选 B9如图，OA，OB 分别为O 的半径，若 CDOA ，CE OB，垂足分别为D，E， P=70，则DCE 的度数为（ ）A70 B60 C50 D40【考点】圆周角定理；垂径定理【分析】先根据圆周角定理求出AOB 的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论
16、【解答】解：P=70，AOB=140CDOA，CEOB，ODC= OEC=90，DCE=180140=40 故选 D10如图，在 RtAB C 中，AC B=90，BC=12，AC=5，分别以点 A，B 为圆心，大于线段 AB 长度的一半为半径作弧，相交于点 E，F，过点 E，F 作直线 EF，交 AB 于点 D，连接 CD，则ACD 的周长为（ ）A13 B17 C18 D25【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质【分析】利用勾股定理可得 AB 的长，然后根据题意可得 EF 是 AB 的垂直平分线，进而可得 AD 的长和 CD 的长，进而可得答案【解答】解：ACB=90，BC=12 ，AC=
17、5，AB= =13，根据题意可得 EF 是 AB 的垂直平分线，D 是 AB 的中点，AD= AB=6.5，CD= AB=6.5，ACD 的周长为：13+5=18，故选：C 11在平面直角坐标系中，已知平行四边形 ABCD 的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，1），C（m， n），则关于点 D 的说法正确的是（ ）甲：点 D 在第一象限乙：点 D 与点 A 关于原点对称丙：点 D 的坐标是（2，1）丁：点 D 与原点距离是 A甲乙 B丙丁 C甲丁 D乙丙【考点】平行四边形的性质；两点间的距离公式；关于原点对称的点的坐标【分析】由点的坐标特征得出点 A 和点 C 关于原点对称，由平行四边形
18、的性质得出 D 和 B 关于原点对称，即可得出点 D 的坐标，再由勾股定理求出即可【解答】解：A（m，n），C（ m，n），点 A 和点 C 关于原点对称，四边形 ABCD 是平行四边形，D 和 B 关于原点对称，B（ 2， 1），点 D 的坐标是（2，1），点 D 到原点的距离= = 故选：B 12下列各式变形中，不正确的是（ ）Ax 4x3=x7 B =|x|C（ x2 ）x=x 1 Dx 2x+1=（x ） 2+【考点】分式的混合运算；同底数幂的乘法；完全平方公式；二次根式的性质与化简【分析】A、根据同底数幂的乘法法则计算即可求解；B、根据二次根式的性质化简即可求解；C、根据分式的除法计
19、算即可求解；D、根据完全平方公式计算即可求解【解答】解：A、x 4x3=x7 是正确的，不符合题意；B、 =|x|是正确的，不符合题意；C、（ x2 ）x=x ，原来的是错误的，符合题意；D、x 2x+1=（x ） 2+ 是正确的，不符合题意故选：C 13如图，在平面直角坐标系中，线段 AB 经过平移得到线段 AB，其中点A，B 的对应点分别为点 A，B，这四个点都在格点上，则这四个点组成的四边形 ABBA的面积是（ ）A4 B6 C9 D13【考点】坐标与图形变化平移【分析】首先根据平移的性质得出 ABAB，且 AB=AB，那么四边形ABBA是平行四边形，再利用勾股定理求出 AB=BB，那么
20、ABBA是正方形，根据正方形的面积公式即可求解【解答】解：线段 AB 经过平移得到线段 AB，ABAB ，且 AB=AB，四边形 ABBA是平行四边形，AB= = ，BB= = ，AB=BB，ABBA是正方形，四边形 ABBA的面积=AB 2=13故选 D14若关于 x 的一元二次方程 x2+ x+tana=0 有两个相等的实数根，则锐角a 等于（ ）A15 B30 C45 D60【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值【分析】由方程有两个相等的实数根得出=34 tana=0，求得 tana 的值即可得出答案【解答】解：方程 x2+ x+tana=0 有两个相等的实数根，=3 4 tana=0，
21、解得：tana= ，则锐角 a 等于 60，故选：D15如图，在任意ABC 中，DEBC，连接 BE 与 CD 相交于点 F，则下列结论一定正确的有几个（ ） = = = = A1 B2 C3 D4【考点】相似三角形的判定与性质【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可【解答】解：DEBC， = ， 正确，= ， 错误，= ，错误，错误，故选 A16已知如图，点 O 为ABD 的外心，点 C 为直径 BD 下方弧 BCD 上一点，且不与点 B，D 重合，ACB=ABD=45，则下列对 AC，BC，CD 之间的数量关系判断正确的是（ ）AAC=BC+CD B AC=BC+CD C AC=BC
22、+CD D2AC=BC+CD【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质【分析】在 CD 延长线上截取 DE=BC，连接 EA，证明ABC ADE ，得到EAF 是等腰直角三角形即可得出结论【解答】解：在 CD 的延长线上截取 DE=BC，连接 EA，ABD= ACB=ABD=45 ，AB=AD，ADE +ADC=180，ABC+ADC=180 ，ABC=ADE ，在ABC 与 ADE 中，ABC ADE（SAS），BAC=DAE ，BAC+ CAD=DAE+CAD，BAD= CAE=90，ACD= ABD=45，CAE 是等腰直角三角形， AC=CE， AC=CD+DE=CD+BC，
23、故选：B 二、填空题（本大题有 3 个小题，共 10 分）17计算 3 的结果是 2 【考点】二次根式的加减法【分析】首先化简二次根式，进而合并求出答案【解答】解：3 =3 3= 3=2 故答案为：2 18当 x=2 时，分式（ 1） 的值是 2 【考点】分式的化简求值【分析】先化简所求的式子，然后将 x 的值代入即可解答本题【解答】解：（ 1） = ，当 x=2 时，原式 = ，故答案为：219已知，如下图，我们可以用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭正多边形组成图案，图案需 8 根火柴棒，图案需 15 根火柴棒，按此规律，搭建第n 个图案需要 7n+1 根火柴棒，搭建第 2017 个图案需要
24、14120 根火柴棒【考点】规律型：图形的变化类【分析】（1）根据图案、中火柴棒的数量可知，第 1 个图形中火柴棒有 8 根，每多一个多边形就多 7 根火柴棒，由此可知第 n 个图案需火柴棒8+7（n1）=7n+1 根；www-2-1-cnjy-com（2）根据（1）的结果，当 n=2017 时可得结果【解答】解：（1）图案需火柴棒：8 根；图案需火柴棒：8+7=15 根；图案需火柴棒：8+7+7=22 根；图案 n 需火柴棒：8+7（n1）=7n+1 根；（2）当 n=2017 时，7n+1=72017+1=14120，搭建第 2017 个图案需要 14120 根火柴棒；故答案为：7n+1；
25、14120三、解答题（本大题有 7 个小题，共 68 分）20计算：（1） 101+ 5sin30+（3.14） 0（2）已知 m25=3m，求代数式 2m26m1 的值【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【分析】（1）原式利用算术平方根、立方根定义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式变形后，将已知等式整理代入计算即可求出值【解答】解：（1）原式=110.1+3 2.5+1=12.4；（2）m 25=3m，即 m23m=5，原式=2 （m 23m）1=10 1=921已知直线 l1l 2l 3，等腰直角ABC 的三个顶点 A
26、，B，C 分别在l1，l 2，l 3 上，若ACB=90，l 1，l 2 的距离为 1，l 2，l 3 的距离为 3，求：（1）线段 AB 的长；（2） 的值【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形【分析】（1）过 A 作 AN直线 l3 于 N，过 B 作 BMl 3 于 M，根据全等三角形的判定得出BMC CNA，根据全等得出 BM=CN，AN=CM，求出 BM和 CM，根据勾股定理求出 BC、AC，再求出 AB 即可；（2）根据平行线性质得出DBC=BCM ，根据相似三角形的判定得出 BCDCMB，得出比例式，求出 BD，即可求出答案【解答】解：（1）过 A
27、 作 AN直线 l3 于 N，过 B 作 BMl 3 于 M，则BMC=ANC= BCA=90，BCM+MBC=90，BCM +ACN=90 ，MBC=ACN，在BMC 和CNA 中BMCCNA，BM=CN，AN=CM，l 1，l 2 的距离为 1，l 2，l 3 的距离为 3，BM=CN=3，CM=AN=1+3=4，在 Rt BMC 中，由勾股定理得： BC=AC= =5，在 Rt ACB 中，由勾股定理得：AB= =5 ；（2）直线 l2直线 l3，DBC=BCM，BCD=BMC=90，BCD CMB， = ， = ，BD= ，AB=5 ， = = 22旭日商场销售 A，B 两种品牌的钢琴
28、，这两种钢琴的进价和售价如下表所示：A B进价（万元/套） 1.5 1.2售价（万元/套） 1.65 1.4该商场计划购进两种钢琴若干套，共需 66 万元，全部销售后可获毛利润 9 万元（毛利润=（售价进价）销售量）（1）该商场计划购进 A，B 两种品牌的钢琴各多少套？（2）通过市场调查，该商场决定在原计划的基础上，减少 A 种钢琴的购进数量，增加 B 种钢琴的购进数量，已知 B 种钢琴增加的数量是 A 种钢琴减少数量的 1.5 倍，若用于购进这两种钢琴的总资金不超过 69 万元，问 A 种钢琴购进数量至多或减少多少套？【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用【分析】（1）首先设该商
29、场计划购进 A 种品牌的钢琴 x 套，B 种品牌的钢琴y 套，根据题意即可列方程组 ，解此方程组即可求得答案；（2）首先设 A 种钢琴购进数量减少 a 套，则 B 种钢琴购进数量增加 1.5a 套，根据题意即可列不等式 1.5（20a）+1.2（30+1.5a） 69，解此不等式组即可求得答案【解答】解：（1）设该商场计划购进 A 种品牌的钢琴 x 套，B 种品牌的钢琴y 套，依题意有，解得： 答：该商场计划购进 A 种品牌的钢琴 20 套，B 种品牌的钢琴 30 套；（2）设 A 种钢琴购进数量减少 a 套，则 B 种钢琴购进数量增加 1.5a 套，1.5（20a）+1.2（30+1.5a）
30、69，解得：a10 答：A 种钢琴购进数量至多减少 10 套23在元旦来临之际，腾飞中学举行了隆重的庆祝活动，在校图书馆展开了书法、国学诵读、演讲、征文四个比赛项目（每人只参加一个项目），“希望班”全班同学都参加了比赛，为了解这个班同学参加各项比赛的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的折线统计图（图 1）和扇形统计图（图 2），根据图表中的信息解答下列各题：（1）请求出“ 希望班” 全班人数；（2）请把折线统计图补充完整；（3）欢欢和乐乐参加了比赛，请用“列表法” 或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；折线统计图【分析】（1）由演讲人数 12
31、人，占 25%，即可求得九（2）全班人数；（2）首先求得书法与国学诵读人数，继而补全折线统计图；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们参加的比赛项目相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：（1）演讲人数 12 人，占 25%，九（2）全班人数为：1225%=48（人）；（2）国学诵读占 50%，国学诵读人数为：4850%=24（人），书法人数为：4824126=6（人）；补全折线统计图；（3）分别用 A，B，C ， D 表示书法、国学诵读、演讲、征文，画树状图得：共有 16 种等可能的结果，他们参加的比赛项目相同的有 4 种情况，他们参加的比赛项目相
32、同的概率为： = 24在一条笔直的公路的同侧依次排列着 A，C， B 三个村庄，某天甲、乙两车分别从 A，B 两地出发，沿这条公路匀速行驶至 C 地停止，从甲车出发至甲车到达 C 地的过程，甲、乙两车各自与 C 地的距离 y（km ）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示2-1-c-n-j-y求：（1）甲的速度是 60km/h ，乙的速度是 80km/h ；（2）分别求出甲、乙两车各自与 C 地的距离 y（km）与甲车行驶时间 t（h）之间的函数关系式，并写出取值范围；（3）若甲、乙两车到 C 地后继续沿该公路原速度行驶，求甲车出发多少小时，两车相距 350km【考点】一次函数的应用【分
33、析】（1）根据速度=路程时间即可算出甲、乙两车的速度；（2）根据 y 甲 =240速度时间即可列出 y 甲 关于 t 的函数关系式；当 0t1时，y 乙 =240；当 1t4 时，根据 y 乙 =240速度时间即可列出 y 乙 关于 t 的函数关系式；（3）当两车经过 C 地继续行驶时，先分析二者相距 350km 时，乙车有没有到达 A 地，再根据时间=路程 速度和+4 即可求出二者相距 350km 的时间【解答】解：（1）2404=60（km/h）；240（41）=80（km/h）故答案为：60km/h；80km/h（2）根据题意得：y 甲 =60t+240（0t4）当 0t1 时，y 乙
34、=240；当 1t4 时，y 乙 =24080（t 1）= 80t+320y 乙 = （3）当甲、乙两车经过 C 地继续行驶时，350（80+60）= （h），80 =200（km），200 240，当甲、乙两车离开 C 地并相距 350km 时，乙车尚未到达 A 地， +4= （ h）答：甲车出发 h 时，两车相距 350km25如图，在正方形 ABCD 中，AB=4，P 是 BC 边上一动点（不含 B，C 两点），将ABP 沿直线 AP 翻折，点 B 落在点 E 处，在 CD 上有一点 M，使得将CMP 沿直线 MP 翻折后，点 C 落在直线 PE 上的点 F 处，直线 PE 交 CD 于
35、点N，连接 MA，NA发现：CMP 和BPA 是否相似，若相似给出证明，若不相似说明理由；思考：线段 AM 是否存在最小值？若存在求出这个最小值，若不存在，说明理由；探究：当ABPADN 时，求 BP 的值是多少？【考点】相似形综合题【分析】发现：先证明MPA=90，然后依据同角的余角相等可证明CPM=PAB，结合条件C=B=90 ，可证明量三角形相似；思考：设 PB=x，则 CP=4x，依据相似三角形的性质可得到 CM= x（4x），作 MGAB 于 G，依据勾股定理可得到 AM= ，则 AG 最小值时，AM最小，然后由 AG=ABBG=ABCM 得到 AG 与 x 的函数关系，依据二次函数
36、的性质可求得当 x=2 时，AG 最小值=3 ；探究：依据全等三角形的性质和翻折的性质可得到PAB=DAN=EAP=EAN=22.5，在 AB 上取一点 K 使得 AK=PK，设PB=z然后可证明 BPK 为等腰直角三角形，故此得到 PB=BK=z，AK=PK=z，最后依据 AK+BK=4 列出关于 z 的方程求解即可【解答】解：发现APB=APE ，MPC= MPN，CPN+NPB=180，2NPM +2APE=180，MPN + APE=90，APM=90 ，CPM+APB=90 ，APB +PAB=90 ，CPM= PAB又C=B=90，CMPBPA思考：设 PB=x，则 CP=4xCM
37、PBPA， ，CM= x（4x）如图 1 所示：作 MGAB 于 GAM= = ，AG 最小值时，AM 最小AG=ABBG=ABCM=4 x（4x）= （x2） 2+3，x=2 时，AG 最小值=3AM 的最小值= =5探究：ABPADN，PAB=DAN，AP=AN，又PAB=EAP，AEP=B=90，EAP=EAN ，PAB=DAN=EAP=EAN=22.5如图 2：在 AB 上取一点 K 使得 AK=PK，设 PB=zKPA= KAP=22.5，PKB=KPA +KAP=45，BPK=BKP=45 ，PB=BK=z，AK=PK= z，z+ z=4，z=4 4PB=4 426如图，已知抛物线
38、 y=x2+2x 经过原点 O，且与直线 y=x2 交于 B，C 两点（1）求抛物线的顶点 A 的坐标及点 B，C 的坐标；（2）求证：ABC=90 ；（3）在直线 BC 上方的抛物线上是否存在点 P，使PBC 的面积最大？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；21cnjy（4）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MNx 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，M，N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得 A 点坐标，联立抛物线与直线的解析式可求得 B、C 的坐
39、标；（2）由 A、B、C 的坐标可求得 AB2、BC 2 和 AC2，由勾股定理的逆定理可判定ABC 是直角三角形；（3）过点 P 作 PGy 轴，交直线 BC 于点 G，设出 P 点坐标，则可表示出 G点坐标，从而可表示出 PG 的长，则可表示出PBC 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时 P 点坐标；（4）设出 M、N 的坐标，则可表示出 MN 和 ON 的长度，由相似三角形的性质可得到关于 N 点坐标的方程可求得 N 点坐标【解答】解：（1）y= x2+2x=（x1） 2+1，抛物线顶点坐标 A（1，1），联立抛物线与直线解析式可得 ，解得 或 ，B（ 2，0），C （1， 3）；（2）证明：由（1）可知 B（2，0），C（ 1，3），A（1，1），AB 2=（12） 2+12=2，BC 2=（1 2） 2+（3） 2=18，AC 2=（11） 2+（3 1）2=20，AC 2=AB2+BC2，ABC 是直角三角形，ABC=90 ；（3）如图，过点 P 作 PGy 轴，交直线 BC 于点 G，设 P（t，t 2+2t），则 G（t，t2），
