1、2023年山西省运城市中考一模数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 的相反数是（）A. B. 2023C. D. 2. 2023年的央视春晩舞美设计以“满庭芳”为主题，将中华文明的传统美学理念与现代科技相结合，令人耳目一新演播厅顶部的大花造型，来源于中国传统纹样“宝相花”（如图）下列选项对其对称性的表述正确的是（ ）A. 轴对称图形B. 既是轴对称图形又是中心对称图形C. 中心对称图形D. 既不是轴对称图形又不是中心对称图形3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 眼下正值春耕备耕关键时期，中国人民银行运城市中心支行指导辖内银行业金融机构将“支持春耕备耕”作为重点工作
2、，多措并举，加大信贷投放力度截至目前，辖内银行业金融机构共向春耕备耕领域投放贷款万户共计亿元，数据“亿”用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 5. 不等式组的解集正确的是（ ）A. 无解集B. C. D. 6. 运城市位于山西省南部，生产水果自然条件得天独厚，是世界上优质苹果生产最佳生态区某农村合作社2022年苹果储存量为350吨，预计2024年苹果储存量达到423.5吨，这两年苹果的储存量的年平均增长率为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线，则抛物线的表达式为（ ）A. B. C. D. 8. 如图是一块正六边形的地板示意图，一只
3、小猫在房间里玩耍并随机的停留在某处，那么小猫最终停留在阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 9. 如图，小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，点为直线上一点，过点的一条直线分别交两条平行线于点，则有，这一步的依据是（ ）A. 同位角相等，两直线平行B. 三角形中位线定理C. 平行线分线段成比例D. 相似三角形的对应边成比例10. “赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成一个大正方形，如图，已知内切于大正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. 4C. D. 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. 化简：_12. 在平面
4、直角坐标系中，与关于原点位似，点及其对应点的坐标分别为，则与的相似比为_13. 在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，下图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“”的个数为_14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点在反比例函数图象上，点为反比例函数图象上一动点，且在直线右侧，过点作轴于点，作于点，当四边形为正方形时，点坐标为_15. 如图，在中，点是内一点，且，将绕点逆时针方向旋转90得到线段，连接并延长交于，若，则的长为_三、解答题（本大题共8个小题，共75分解
5、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. 计算（1）（2）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务：第一步第二步第三步第四步第五步第六步任务一：填空以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于_；A整式乘法 B因式分解以上化简步骤中，第_步是进行分式的通分，其依据是_；第_步开始出现错误，出现错误的具体原因是_任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果17. 运城盐湖是世界三大硫酸钠型内阵盐湖之一，自古就有“银湖”之美称每年夏天高温时节，湖内的藻类和卤虫迅速繁殖，在不同的密度与光照条件下，呈现出不同的颜色原本银色的湖面摇身一变，五彩斑斓为了激发广大青少年热爱家乡，赞美家乡
6、的热情，某校组织了有关盐湖知识的竞答活动，并随机抽取了八年级若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告请根据调查报告中提供的信息，解答下列问题：课题“运城”盐湖知识竞答成绩调查报告调查方式_问题展示夏季气温升高，“盐湖”为什么会形成不同的颜色？人为什么可以在“死海”漂浮？冬季运城盐湖会产生特别的“硝花”现象，你知道这是怎么形成的吗？数据的整理与描述成绩/分频数/人频率120.218150.250.1560.1*注：其中成绩在组（）的最低分为80分，成绩在组（）的最高分为78分调查意义通过对运城盐湖知识的了解不仅能为同学们的化学，地理学习奠定基础，培养同学们的探究能力，同时还能激发同学们对家乡的热爱
7、调查结果（1）本次的调查方式是：_（填“普查”或“抽样调查”）（2）填空：_；_；（3）本次抽取的学生成绩的中位数为_分；（4）同学们将收集到的“七彩盐湖”，“冬日硝花”“湖心岛”“夕阳盐田”四张图片（图片除正面图案不同外，其余都相同）背面朝上洗匀，甲乙同学随机各抽一张图片（不放回）做相关的知识介绍，请用树状图或列表的方式，求甲乙两人恰好有一人抽到“冬日硝花”的概率A BCD18. 学校某数学课外活动小组周末来到山西省永济市参观研学，对于中国古代四大名楼中最高的鹳雀楼进行了参观，并针对其高度做了一些简单的测量，具体操作如下：如图所示，测试小组先在楼前的唐韵广场上的点处，测得楼上极目远眺黄河的观
8、景台点处的仰角，然后向后退米到点处，即米，再测楼顶点处的仰角恰好是45，现已知米，点、在同一竖直平面内，且点、在同一水平直线上，试求鹳雀楼的高度约为多少米？（参考数据：，测角仪的高度忽略不计，结果精确到1米）19. 自2014年以来，全民阅读连续十年写入政府工作报告，2023年全国教育工作会议进一步提出，要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书某校为了提高学生读书兴趣，为各班购买学生读本三国演义和水浒传若干，其中三国演义的单价比水游传的单价贵10元；用5760元购买水浒传的数量是用3480元购买三国演义数量的2倍求：（1）水浒传三国演义单价分别是多少元？（2）学校准备用
9、不超过10320元经费，购买这两种书共200本，那么三国演义最多可买多少本？20. 如图：是的直径，是上两点，过点作的切线交的延长线于点，连接，延长交直线于点，且（1）判断与位置关系，并说明理由；（2）若，直接写出的长21. 阅读下列材料并完成相应任务：对于一元二次方程（），如果方程有两个实数根为，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：已知一元二次方程两个实数根分别为，求的值小明给出了一部分解题思路：解：一元二次方程的两个实
10、数根分别为，_，_，请填空并将过程补充完整（2）类比应用一元二次方程的一个根为，则_，另一个根为_（3）思维拓展：关于的一元二次方程有两个实数根，且这两个实数根的平方和是，则_22. 综合与实践问题情境：如图（1）在中，于点，点中点，将绕点旋转180得到猜想证明：（1）试判断四边形的形状，并说明理由问题解决：（2）将绕点逆时针方向旋转得到，当旋转到如图（2）位置时直线刚好经过点求证：，并求出此时的面积（3）在绕点旋转的过程中，直线交于点，交于点，是否存在某一时刻，使是直角三角形若存在，直接写出的长，若不存在请说明理由23. 综合与探究：如图1，已知抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与
11、轴交于点连接，点是该二次函数图象上的一个动点，设点的横坐标为（1）求，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；（2）如图2，若点只在第三象限运动，过点作直线交轴于点当线段长度最大时，求值；（3）在轴左侧抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由2023年山西省运城市中考一模数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 的相反数是（）A. B. 2023C. D. 【答案】B【解析】【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案【详解】解：的相反数是2023故选：B【点睛】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义2. 2023年的央视春晩舞美设计以“满
12、庭芳”为主题，将中华文明的传统美学理念与现代科技相结合，令人耳目一新演播厅顶部的大花造型，来源于中国传统纹样“宝相花”（如图）下列选项对其对称性的表述正确的是（ ）A. 轴对称图形B. 既是轴对称图形又是中心对称图形C. 中心对称图形D. 既不是轴对称图形又不是中心对称图形【答案】B【解析】【分析】直接根据中心对称图形与轴对称图形的概念解答即可【详解】解：该图形是中心对称图形，也是轴对称图形， 故选：B【点睛】此题考查的是中心对称图形与轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，
13、直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】选项根据单项式减单项式计算；选项化简二次根式后计算；选项根据单项式除以单项式计算；根据完全平方公式计算即可【详解】、，不是同类项，故本选项不正确；、，故本选项不正确；、，本选项正确；、，故本选项不正确故选：【点睛】本题主要考查了单项式的加减法，二次根式加减，单项式除以单项式，完全平方公式，熟练掌握运算性质和法则是解答本题的关键4. 眼下正值春耕备耕关键时期，中国人民银行运城市中心支行指导辖内银行业金融机构将“支持春耕备耕”作为重点工作，多措并举，加大信贷投放力度截至目
14、前，辖内银行业金融机构共向春耕备耕领域投放贷款万户共计亿元，数据“亿”用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可【详解】解：亿，故选C【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键5. 不等式组的解集正确的是（ ）A. 无解集B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，然后求出它们的公共部分即可详解】解：解不等式，得，解不等式，得，不等式组的解集为故选：C【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组熟知“同大取大；同小取小；大小小
15、大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键6. 运城市位于山西省南部，生产水果自然条件得天独厚，是世界上优质苹果生产最佳生态区某农村合作社2022年苹果储存量为350吨，预计2024年苹果储存量达到423.5吨，这两年苹果的储存量的年平均增长率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设这两年苹果的储存量的年平均增长率为x，根据2022年苹果储存量为350吨，预计2024年苹果储存量达到423.5吨，列出方程，解方程即可【详解】解：设这两年苹果的储存量的年平均增长率为x，根据题意得：，解得：，（舍去）即这两年苹果的储存量的年平均增长率为，故A正确故选：A【点睛】本题主要考
16、查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线，则抛物线的表达式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由平移的性质可得二次项的系数为，再结合平移后的抛物线的顶点坐标可得答案【详解】解：抛物线经过平移后得到抛物线，而的顶点坐标为：，即；故选B【点睛】本题考查的是抛物线的平移的性质，熟记抛物线的平移的性质是解本题的关键8. 如图是一块正六边形的地板示意图，一只小猫在房间里玩耍并随机的停留在某处，那么小猫最终停留在阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求出正六边
17、形的内角度数为，再连接，即，其垂足分别为，设正六边形的边长为，建立直角三角形，求出，利用，分别求出阴影部分和正六边形的面积，求出最后结果即可【详解】解：正边形的每个内角等于，地板为正六边形，其每个内角为，如图，连接，即，其垂足分别为，设正六边形的边长为，同理，故选：【点睛】本题考查了正多边形的内角问题，含角的直角三角形特征，勾股定理等知识，正确作出辅助线，建立直角三角形是解答本题的关键9. 如图，小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，点为直线上一点，过点的一条直线分别交两条平行线于点，则有，这一步的依据是（ ）A. 同位角相等，两直线平行B. 三角形中位线定理C. 平行线
18、分线段成比例D. 相似三角形的对应边成比例【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可【详解】解：由题意可知：，故选：C【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键10. “赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成一个大正方形，如图，已知内切于大正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据勾股定理求得，进而得到的半径为，再求得，结合图形可求解【详解】解：由题意，则的半径为，又由图知，故选：D【点睛】本题考查了勾股定理、正方形和直角三角形以及圆的面积公式，熟练掌握勾股定理，能得
19、到阴影部分与正方形、三角形的面积关系是解答的关键二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. 化简：_【答案】#【解析】【分析】利用二次根式的性质和除法法则计算即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质和除法法则，掌握二次根式的性质和除法法则是解题的关键12. 在平面直角坐标系中，与关于原点位似，点及其对应点的坐标分别为，则与的相似比为_【答案】【解析】【分析】利用位似图形的性质得出结合对应点的坐标得出位似比，即可得出答案【详解】解：与关于原点位似，点A及其对应点的坐标分别为，与的相似比为故答案为：【点睛】此题主要考查了位似变换，根据题意得出位似比是解题关键13
20、. 在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，下图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“”的个数为_【答案】20【解析】【分析】根据题目中的图形，可以发现“H”的个数的变化特点，然后即可写出第9个壬烷分子结构式中“H”的个数【详解】解：由图可得，甲烷分子结构式中“H”的个数是；乙烷分子结构式中“H”的个数是；丙烷分子结构式中“H”的个数是；，第9个壬烷分子结构式中“H”的个数是：2+29=20；故答案为：20【点睛】本题考查图形类规律探究，解答本题的关键是明确题意，发现“H”
21、的个数的变化特点14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点在反比例函数图象上，点为反比例函数图象上一动点，且在直线右侧，过点作轴于点，作于点，当四边形为正方形时，点坐标为_【答案】【解析】【分析】先根据点B的坐标求出反比例函数解析式，设正方形的边长为a，则可求，代入反比例函数解析式求解即可【详解】解：设反比例函数解析式为，点在反比例函数图象上，设正方形的边长为，则，解得（负值舍去），故答案为：【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一元二次方程的解法等知识，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键15. 如图，在中，点是内一点，且，将绕点逆时针方向旋转90得到线段，连接并延
22、长交于，若，则的长为_【答案】1【解析】【分析】如图，过作于，先求解，可得，证明，可得，证明，可得，从而可得答案【详解】解：如图，过作于，将绕点逆时针方向旋转90得到线段，故答案为：1【点睛】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键三、解答题（本大题共8个小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. 计算（1）（2）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务：第一步第二步第三步第四步第五步第六步任务一：填空以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于_；A整式乘法 B因式分
23、解以上化简步骤中，第_步是进行分式的通分，其依据是_；第_步开始出现错误，出现错误的具体原因是_任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果【答案】（1）；（2）任务一：B；三，分式的基本性质；四，去括号时，括号前面是负号，去掉括号后没有改变括号内某些项的符号；任务二：【解析】【分析】（1）先计算零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，二次根式，再合并即可；（2）任务一：根据变形的结果可得答案；由通分的依据是分式的基本性质可得答案；由去括号的法则可得答案；任务二：先计算括号内的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果【详解】解：（1） ；（2）任务一化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于因式分
24、解；故选B第三步，上面第三步是通分，化简步骤中，第三步是进行分式的通分，其依据是分式的基本性质；第四步出现错误，错误原因是：去括号时，括号前面是负号，去掉括号后没有改变括号内某些项的符号，任务二：【点睛】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，化为最简二次根式，分式的混合运算，熟记运算法则并灵活应用是解本题的关键17. 运城盐湖是世界三大硫酸钠型内阵盐湖之一，自古就有“银湖”之美称每年夏天高温时节，湖内的藻类和卤虫迅速繁殖，在不同的密度与光照条件下，呈现出不同的颜色原本银色的湖面摇身一变，五彩斑斓为了激发广大青少年热爱家乡，赞美家乡的热情，某校组织了有关盐湖知识的竞答活动，并随机抽取了八年级若
25、干名同学的成绩，形成了如下的调查报告请根据调查报告中提供的信息，解答下列问题：课题“运城”盐湖知识竞答成绩调查报告调查方式_问题展示夏季气温升高，“盐湖”为什么会形成不同的颜色？人为什么可以在“死海”漂浮？冬季运城盐湖会产生特别的“硝花”现象，你知道这是怎么形成的吗？数据的整理与描述成绩/分频数/人频率120.218150.250.1560.1*注：其中成绩在组（）的最低分为80分，成绩在组（）的最高分为78分调查意义通过对运城盐湖知识的了解不仅能为同学们的化学，地理学习奠定基础，培养同学们的探究能力，同时还能激发同学们对家乡的热爱调查结果（1）本次的调查方式是：_（填“普查”或“抽样调查”）
26、（2）填空：_；_；（3）本次抽取的学生成绩的中位数为_分；（4）同学们将收集到的“七彩盐湖”，“冬日硝花”“湖心岛”“夕阳盐田”四张图片（图片除正面图案不同外，其余都相同）背面朝上洗匀，甲乙同学随机各抽一张图片（不放回）做相关的知识介绍，请用树状图或列表的方式，求甲乙两人恰好有一人抽到“冬日硝花”的概率A BCD【答案】（1）抽样调查 （2）9，0.3 （3）79 （4）【解析】【分析】（1）根据调查的定义即可判断；（2）用A的人数除以对应的频率求出调查的总人数，用总人数乘以D的频率求出m的值，用B的频数除以调查的总人数可求出n的值；（3）利用中位数定义求解即可；（4）画树状图，共有12种等
27、可能的结果，其中甲、乙人恰好有一人抽到“冬日硝花”的结果有6种，再由概率公式求解即可【小问1详解】解：本次的调查方式是抽样调查；【小问2详解】解：调查的总人数为（人），（人），；故答案为：；【小问3详解】解：样本容量为60，中位数为组（）的最低分和组（）的最高分的平均数，成绩在组（）的最低分为80分，成绩在组（）的最高分为78分，中位数为；【小问4详解】解：画树状图如下，共有12种等可能的结果，其中甲、乙人恰好有一人抽到“冬日硝花”的结果有6种，甲、乙人恰好有一人抽到“冬日硝花”的概率为【点睛】此题考查了树状图法求概率、中位数以及频数分布表等知识正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率
28、=所求情况数与总情况数之比18. 学校某数学课外活动小组周末来到山西省永济市参观研学，对于中国古代四大名楼中最高的鹳雀楼进行了参观，并针对其高度做了一些简单的测量，具体操作如下：如图所示，测试小组先在楼前的唐韵广场上的点处，测得楼上极目远眺黄河的观景台点处的仰角，然后向后退米到点处，即米，再测楼顶点处的仰角恰好是45，现已知米，点、在同一竖直平面内，且点、在同一水平直线上，试求鹳雀楼的高度约为多少米？（参考数据：，测角仪的高度忽略不计，结果精确到1米）【答案】鹳雀楼的高度约为74米【解析】【分析】设，求解，由，可得，再解方程可得答案【详解】解：设，解得：，（米）；答：鹳雀楼的高度约为74米【点
29、睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记利用三角函数的定义求解三角形的边长是解本题的关键19. 自2014年以来，全民阅读连续十年写入政府工作报告，2023年全国教育工作会议进一步提出，要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书某校为了提高学生读书兴趣，为各班购买学生读本三国演义和水浒传若干，其中三国演义的单价比水游传的单价贵10元；用5760元购买水浒传的数量是用3480元购买三国演义数量的2倍求：（1）水浒传三国演义单价分别是多少元？（2）学校准备用不超过10320元的经费，购买这两种书共200本，那么三国演义最多可买多少本？【答案】（1）水浒传单价为元，则三国演义的
30、单价为元 （2）三国演义最多可买72本【解析】【分析】（1）设水浒传单价为元，则三国演义的单价为元，根据用5760元购买水浒传的数量是用3480元购买三国演义数量的2倍，建立分式方程求解即可；（2）设三国演义最多可买本，则水浒传买本，根据学校准备用不超过10320元的经费，再列不等式即可【小问1详解】解：设水浒传单价为元，则三国演义的单价为元，则 ，解得：，经检验是原方程的根且符合题意；，答：水浒传单价为元，则三国演义的单价为元【小问2详解】设三国演义买本，则水浒传买本，解得：，答：三国演义最多可买72本【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的
31、关键20. 如图：是直径，是上两点，过点作的切线交的延长线于点，连接，延长交直线于点，且（1）判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，直接写出长【答案】（1），理由见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，利用切线性质证得，再利用等腰三角形的性质和圆周角定理证得，进而证得即可得出结论；（2）根据圆周角定理得到，即进而证明，则，即，利用三角函数定义可得即，进而可求解【小问1详解】解：，理由为：连接，与相切，又，；【小问2详解】解：是的直径，即，又，即，即，又，【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识的
32、联系与运用时解答的关键21. 阅读下列材料并完成相应任务：对于一元二次方程（），如果方程有两个实数根为，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：已知一元二次方程两个实数根分别为，求的值小明给出了一部分解题思路：解：一元二次方程的两个实数根分别为，_，_，请填空并将过程补充完整（2）类比应用一元二次方程的一个根为，则_，另一个根为_（3）思维拓展：关于的一元二次方程有两个实数根，且这两个实数根的平方和是，则_【答案】（1）； （
33、2）； （3）【解析】【分析】（1）利用根与系数的关系可得，再把分解因式，再代入求值即可；（2）利用根与系数的关系可得，从而可得答案；（3）利用根与系数的关系可得，结合，可得，再解方程，结合，从而可得答案【小问1详解】解：一元二次方程的两个实数根分别为，小问2详解】一元二次方程的一个根为，解得：，；【小问3详解】设关于的一元二次方程有两个实数根为，这两个实数根的平方和是21，解得：，不符合题意，则【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系的应用，利用因式分解的方法解一元二次方程，熟记概念与方程的解法是解本题的关键22. 综合与实践问题情境：如图（1）在中，于点，点是中点，
34、将绕点旋转180得到猜想证明：（1）试判断四边形的形状，并说明理由问题解决：（2）将绕点逆时针方向旋转得到，当旋转到如图（2）位置时直线刚好经过点求证：，并求出此时的面积（3）在绕点旋转的过程中，直线交于点，交于点，是否存在某一时刻，使是直角三角形若存在，直接写出的长，若不存在请说明理由【答案】（1）四边形的矩形，理由见解析 （2）证明见解析， （3）或【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可得，然后利用平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，再利用矩形的判定即可得证；（2）利用含的直角三角形性质求出，利用旋转的性质、三角形的内角和定理等可得，然后利用平行线的判定可得，解可得，证明得出，可求，最
35、后利用三角形的面积公式求解即可；（3）分和两种情况讨论即可【小问1详解】解：绕点旋转180得到，四边形是平行四边形，又，平行四边形是矩形；【小问2详解】在中，又，由旋转可得：，在中，；【小问3详解】解：在中，当时，；当时，则，又，在中，综上，的长为或【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，明确题意，正确分类讨论，画出对应的图形是解题的关键23. 综合与探究：如图1，已知抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点连接，点是该二次函数图象上的一个动点，设点的横坐标为（1）求，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；（2）如图2，若点只在第三
36、象限运动，过点作直线交轴于点当线段长度最大时，求的值；（3）在轴左侧抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）， （2）当时，最大，最大值为 （3）【解析】【分析】（1）令，解得：，令，则，再利用待定系数法求解的解析式，从而可得答案；（2）先求解为，可得，则，再利用二次函数的性质解答即可；（3）如图，作，则，过作于，与轴的交点为，证明，由勾股定理可得：，设直线为，当时，则，解得：，由，则，再利用方程求解即可【小问1详解】解：令，解得：，令，则，设为，解得：，为：；【小问2详解】，为：；设为，为，当时，最大，最大值为【小问3详解】如图，作，则，过作于，与轴的交点为，由勾股定理可得：，设直线为，当时，则，解得：，由，解得：，经检验符合题意；直线为， ，解得：（舍去）或，【点睛】本题考查的是求解二次函数与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，求解一次函数与二次函数的交点坐标，灵活的应用以上知识解题是关键
