1、2023年湖南省娄底市娄星区中考一模数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）1. 的相反数是（）A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 2023年3月5日，十四届全国人大一次会议在北京人民大会堂开幕，国务院总理李克强作政府工作报告总理在报告中总结道：“2022年国内生产总值迈上120万亿元新台阶”，将120万亿用科学计数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 一组数据15、6、5、6、6、15的中位数和众数是（ ）A. 6，6B. 5.5，6C. 5，15D. 6，155. 数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，
2、如图是贺老师用几何画板画出的四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 6. 孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，则度数为（ ）A. 25B. 50C. 65D. 758. 某同学在探究弹簧的特点时，得出了弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系如图所示，则弹簧在受到的拉力时，弹簧比原来伸长了（ ）A.
3、B. C. D. 9. 已知圆锥的母线长为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则圆锥的底面半径长为（ ）A. B. C. D. 10. 如图，直线与轴、轴分别相交于点、点，与双曲线在第一象限交于点、，且，则的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 111. 如图，矩形中，为对角线，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交、于点、两点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧交于点，作射线交于点若，则矩形的面积等于（ ）A. 18B. 27C. D. 12. 如图是二次函数图象的一部分，函数图象经过点，直线是对称轴，有下列结论：；若，是抛物线上两点，则；其中正确结论有（ ）A. B. C. D. 二、填空题
4、（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13. 在函数中，自变量取值范围是_.14. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则_15. 已知四根小棒的长度分别为、，从中取出三根小棒，能围成三角形的概率为_16. 如图，在中，弦，则的度数为_17. 如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点若四边形的面积是5，则的长为_18. 对于实数，如果满足，那么称，互为和等积数，点为和等积点如：由，可知4的和等积数为，点为和等积点已知直线与双曲线有一个交点是和等积点，则的值为_三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19. 计算：20. 先化简，再求值：，在2，0，1，2四个数
5、中选一个合适的代入求值四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21. 铜官窑古镇项目是湖南省首个投资超百亿的文旅项目，也是长沙市“湘江古镇群建设三年行动计划”收官之作，被列为全国旅游优选项目，包含有地下河漂流、黑石号特技秀、飞行影院、5D影院、铜官窑传奇秀、铜官水秀等六大世界顶级娱乐体验项目某导游为了了解游客们对其中的“地下河漂流”（A）、“黑石号特技秀”（）、“飞行影院”（）、“5D影院”（）四个不同项目的喜爱情况，在某段时间对体验过这些项目的部分游客进行了抽样调查（每位游客只选其中一个项目），并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图 请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查游客
6、人数是多少人；（2）请直接将两幅统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）（3）若某段时间体验过这些项目的游客有1000人，请估计喜爱A项目“地下河漂流”有多少人？22. 智能手机如果安装了一款测量软件“Smart Measure”后，就可以测量物高、宽度和面积等如图，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度其数学原理如图所示，测量者与被测量者都垂直于地面 （1）如图若手机显示，请确定此时被测量者的身高的长；（2）如图若手机显示，求此时被测量物的高（结果保留根号）（，）五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23. 经过我市全体市
7、民的不懈努力，2020年娄底市获评“全国文明城市”为了巩固创文管卫的成果，我市园林部门准备在某路段种植香樟树（娄底市市树）和玉兰树两种树苗已知购买10棵香樟树和20棵玉兰树共需1100元；购买20棵香樟树和10棵玉兰树共需1000元（1）求购买1棵香樟树和1棵玉兰树各需多少元？（2）若要购买这两种树苗共600棵，购买经费不超过2万元，问香樟树最少要购买多少棵？24. 如图，四边形是平行四边形，、分别是线段、上的点，点是与的交点若将沿直线折叠，则点与点重合（1）求证：四边形菱形；（2）若，且平行四边形的面积为，求的值六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25. 如图，已知的内接锐角
8、三角形中，、所对的边分别记作，（1）如图，若在直径的延长线上取一点，使，求证：是的切线；（2）如图，在（1）条件下，若，求的长度；（3）如图，若设的半径为，求证：26. 如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点、的坐标分别为、，点的坐标为点是抛物线第一象限上一个动点，设点的横坐标为，连接、（1）求抛物线的函数表达式；（2）当四边形的面积最大时，求的值；（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是拋物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由2023年湖南省娄底市娄星区中考一模数学试卷一、选择题（本大题共12
9、小题，每小题3分，满分36分）1. 的相反数是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据相反数的定义即可得到答案【详解】解：相反数是故选：C【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方及完全平方公式分别计算并判断【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；B、，原计算错误，故不符合题意；C、，故符合题意；D、，原计算错误，故不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方及
10、完全平方公式，熟练掌握各计算法则是解题的关键3. 2023年3月5日，十四届全国人大一次会议在北京人民大会堂开幕，国务院总理李克强作政府工作报告总理在报告中总结道：“2022年国内生产总值迈上120万亿元新台阶”，将120万亿用科学计数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】120万亿即用科学记数法表示成的形式，其中，代入可得结果【详解】解：120万亿即的绝对值大于表示成的形式，120万亿表示成，故选：D【点睛】本题考查了科学记数法解题的关键在于确定的值4. 一组数据15、6、5、6、6、15的中位数和众数是（ ）A. 6，6B. 5.5，6C. 5，15D. 6，15
11、【答案】A【解析】【分析】根据中位数、众数的定义进行求解即可中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数【详解】解：数据从小到大依次排序为：5、6、6、6、15、15，由中位数为第3、4位平均数可得，中位数为，众数为6，故答案为：A【点睛】本题考查了中位数、众数解题的关键在于正确的计算求解5. 数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，如图是贺老师用几何画板画出的四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据轴对
12、称图形，中心对称图形的定义进行判断即可【详解】解：A不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； B是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合要求；C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合要求；D既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合要求；故选：D【点睛】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形6. 孙子算经是中国古代重要数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人
13、共车，两车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组即可【详解】解：设有人，辆车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车，可得，若每辆车乘坐2人，则有9人步行得，故选：B【点睛】此题考查了列二元一次方程组，正确理解题意找到车与人数的等量关系是解题的关键7. 如图，则的度数为（ ）A. 25B. 50C. 65D. 75【答案】C【解析】【分析
14、】根据平行线的性质得到，利用，求出的度数【详解】解：，故选：C【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，熟记平行线的性质是解题的关键8. 某同学在探究弹簧的特点时，得出了弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系如图所示，则弹簧在受到的拉力时，弹簧比原来伸长了（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出，然后把代入中求出x的值，进而计算得出答案即可【详解】解：设，由题意得，当时，弹簧在受到的拉力时，弹簧比原来伸长了，故选A【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键9. 已知圆锥的母线长为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则圆锥的
15、底面半径长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据展开图的扇形弧长是圆锥底面圆的周长进行求解即可【详解】解：设圆锥的底面半径长为，圆锥的母线长为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，解得，圆锥的底面半径长为，故选C【点睛】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，熟知展开图的扇形弧长是圆锥底面圆的周长是解题的关键10. 如图，直线与轴、轴分别相交于点、点，与双曲线在第一象限交于点、，且，则的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】过点B作轴于点E，过点C作于F，设，求出A，D的坐标得到，利用勾股定理求出，证得是等腰直角三角形，将代入，得，利用根与系数的关系得到
16、，在中，即，又，得到，即，解方程即可求出b的值【详解】解：过点B作轴于点E，过点C作于F，设，将代入，得；将代入，得，轴，轴，,是等腰直角三角形，将代入，得， ，又，在中，C， D在上，即，又，解得或（舍去），故选：B【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数交点问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，正确理解反比例函数与一次函数交点问题是解题的关键11. 如图，矩形中，为对角线，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交、于点、两点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧交于点，作射线交于点若，则矩形的面积等于（ ）A. 18B. 27C. D. 【答案】D【解析】【分析】如图，由题
17、意知，为的平分线，则，由，可得，根据，计算求解即可【详解】解：如图，由题意知，为的平分线，矩形，故选：D【点睛】本题考查了角平分线的做法，矩形的性质，正切等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用12. 如图是二次函数图象的一部分，函数图象经过点，直线是对称轴，有下列结论：；若，是抛物线上两点，则；其中正确结论有（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对称轴为求出，即可判定；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，即可判断；根据二次函数开口向下，离对称轴越远函数值越大即可判断；求出，结合即可判断【详解】解：二次函数对称轴为直线，即，故正确；二次函数经过，二次函数与x轴的另
18、一个交点坐标为，当时，故正确；抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，是抛物线上两点，且，故正确；，即，故正确；故选A【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13. 在函数中，自变量的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解【详解】解：由题意得，x20，解得x2故答案为：x2【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非
19、负14. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则_【答案】10【解析】【分析】由题意知，根据，计算求解即可【详解】解：由题意知，故答案为：10【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用15. 已知四根小棒的长度分别为、，从中取出三根小棒，能围成三角形的概率为_【答案】#【解析】【分析】取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依据三角形三边关系定理将不合题意的方案舍去，最后根据概率计算公式求解即可【详解】解：共有4种方案：取、；由于，能构成三角形；取、；由于，不能构成三角形；取、；由于，能构成三角形；取、；由于，能构成三角形一个有4
20、种等可能性的结果数，其中能构成三角形的结果数有3种，能围成三角形的概率为故答案为：【点睛】此题主要考查了简单的概率计算，构成三角形的条件，解题的关键在于要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去16. 如图，在中，弦，则的度数为_【答案】#80度【解析】【分析】如图，连接，由，可得，证明，则，根据圆周角定理求即可【详解】解：如图，连接，故答案为：【点睛】本题考查了等边对等角，全等三角形的判定与性质，圆周角定理等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用17. 如图，正方形的对角线、交于点，是边上
21、一点，连接，过点作，交于点若四边形的面积是5，则的长为_【答案】【解析】【分析】如图，过作于，于，则四边形是正方形，证明，则，即，解得，根据，计算求解即可【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是正方形，即，解得，（舍去）， ，故答案为：【点睛】本题考查了正方形判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用18. 对于实数，如果满足，那么称，互为和等积数，点为和等积点如：由，可知4的和等积数为，点为和等积点已知直线与双曲线有一个交点是和等积点，则的值为_【答案】或【解析】【分析】设与双曲线的交点是和等积点，利用定义得到，代入一次函数得到，进而得到，求出或，由两个
22、函数图象的相交得到，代入即可求出k的值【详解】解：设与双曲线的交点是和等积点，即，解得或，则，或，故答案为：或【点睛】此题考查了求反比例函数的解析式，解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式，正确理解题意得到是解题的关键三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19. 计算：【答案】【解析】【分析】先分别计算零指数幂，特殊角的正切值，负整数指数幂，绝对值，然后进行加减运算即可【详解】解：【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的正切值，负整数指数幂，绝对值解题的关键在于正确的运算20. 先化简，再求值：，在2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值【答案】，10【解析】【分析】原式括号中两项
23、通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=1代入计算即可求出值【详解】解：原式= =2(x+4)=2x+8当-2，0，2时，分式无意义当x=1时，原式=10【点睛】本题主要考查了分式的化简和代入求值，关键是代入的时候要根据分式有意义的条件选择合适的值代入四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21. 铜官窑古镇项目是湖南省首个投资超百亿的文旅项目，也是长沙市“湘江古镇群建设三年行动计划”收官之作，被列为全国旅游优选项目，包含有地下河漂流、黑石号特技秀、飞行影院、5D影院、铜官窑传奇秀、铜官水秀等六大世界顶级娱乐体验项目某导游为了了解游客们对其中
24、的“地下河漂流”（A）、“黑石号特技秀”（）、“飞行影院”（）、“5D影院”（）四个不同项目的喜爱情况，在某段时间对体验过这些项目的部分游客进行了抽样调查（每位游客只选其中一个项目），并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图 请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的游客人数是多少人；（2）请直接将两幅统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）（3）若某段时间体验过这些项目的游客有1000人，请估计喜爱A项目“地下河漂流”有多少人？【答案】（1）600人 （2）补图见解析 （3）200人【解析】【分析】（1）根据计算求解参加抽样调查的游客人数即可；（2）由题意知，项目的人数为（人
25、）， 组的占比为，组的占比为，然后补图即可；（3）根据，计算求解即可【小问1详解】解：由题意知，参加抽样调查的游客人数是（人），参加抽样调查的游客人数是600人；【小问2详解】解：由题意知，项目的人数为（人）， 组的占比为，组的占比为，补全图形如下：【小问3详解】解：由题意知，估计喜爱A项目“地下河漂流”有（人），估计喜爱A项目“地下河漂流”有300人【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体等知识解题的关键在于从统计图中获取正确的信息22. 智能手机如果安装了一款测量软件“Smart Measure”后，就可以测量物高、宽度和面积等如图，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部
26、按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度其数学原理如图所示，测量者与被测量者都垂直于地面（1）如图若手机显示，请确定此时被测量者的身高的长；（2）如图若手机显示，求此时被测量物的高（结果保留根号）（，）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）证明为等边三角形，即可得到；（2）过点D作于H，利用三角函数求出，得到，再根据勾股定理求出【小问1详解】解：，为等边三角形，答：此时测试者的身高长为1.7m；【小问2详解】过点D作于H，在中，被测量物的高是【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确掌握各三角函数的计算法则是解题的关键五、解答题（本大题共2小题，每
27、小题9分，共18分）23. 经过我市全体市民的不懈努力，2020年娄底市获评“全国文明城市”为了巩固创文管卫的成果，我市园林部门准备在某路段种植香樟树（娄底市市树）和玉兰树两种树苗已知购买10棵香樟树和20棵玉兰树共需1100元；购买20棵香樟树和10棵玉兰树共需1000元（1）求购买1棵香樟树和1棵玉兰树各需多少元？（2）若要购买这两种树苗共600棵，购买经费不超过2万元，问香樟树最少要购买多少棵？【答案】（1）购买1棵香樟树需30元，1棵玉兰树需40元 （2）400棵【解析】【分析】（1）设购买1棵香樟树需元，1棵玉兰树需元，由题意得，计算求解即可；（2）设香樟树购买棵，则玉兰树购买棵，由
28、题意得，计算求解即可【小问1详解】解：设购买1棵香樟树需元，1棵玉兰树需元，由题意得，解得，购买1棵香樟树需30元，1棵玉兰树需40元；小问2详解】解：设香樟树购买棵，则玉兰树购买棵，由题意得，解得，香樟树最少要购买400棵【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用解题的关键在于根据题意正确的列等式、不等式24. 如图，四边形是平行四边形，、分别是线段、上的点，点是与的交点若将沿直线折叠，则点与点重合（1）求证：四边形是菱形；（2）若，且平行四边形的面积为，求的值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得，则，由折叠的性质可得，则，进而结论得
29、证；（2）设，则，由，即，可得是直角三角形，且，则四边形是矩形，由平行四边形的面积为，可得，即，解得，根据 ，计算求解即可得的值【小问1详解】证明：四边形是平行四边形，由折叠的性质可得，四边形是平行四边形，四边形是菱形；【小问2详解】解：由题意设，则，即，是直角三角形，且，四边形是矩形，平行四边形的面积为，即，解得， ，即，的值为【点睛】本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，菱形的判定与性质，等角对等边，勾股定理逆定理，矩形的判定与性质解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25. 如图，已知的内接锐角三角形中，、所对的边分别记作，（1）如
30、图，若在直径的延长线上取一点，使，求证：是的切线；（2）如图，在（1）的条件下，若，求的长度；（3）如图，若设的半径为，求证：【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析【解析】【分析】（1）如图，连接，由是直径，可得，证明，则，即，由，可得，则，即，进而结论得证；（2）设，则，由，可得，即，解得，（舍去），则，在中，由勾股定理得，即，计算求解满足要求的值即可；（3）证明：如图，连接并延长交于，连接，由知，则，即，连接并延长交于，连接，连接并延长交于，连接，同理可证，进而结论得证【小问1详解】证明：如图，连接，是直径，即，即，是半径，是的切线；【小问2详解】解：设，则，即，解得，（舍去）
31、，在中，由勾股定理得，即，解得，（舍去），的长度为；【小问3详解】证明：如图，连接并延长交于，连接，则，即，如图，连接并延长交于，连接，则，同理可得，即，如图，连接并延长交于，连接，则，同理可得，即，【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，切线的判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，正弦等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用26. 如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点、的坐标分别为、，点的坐标为点是抛物线第一象限上一个动点，设点的横坐标为，连接、（1）求抛物线的函数表达式；（2）当四边形的面积最大时，求的值；（3）在（2）的条件下
32、，若点是轴上一动点，点是拋物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2） （3）或或或【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）先求出直线的表达式，设点，则点，可得，故当时，有最大值6；求出，推出当最大时，也最大，则当最大时，；（3）分是边、是对角线两种情况，利用图象平移的性质和中点公式即可求解【小问1详解】解：设抛物线解析式为，把代入中得：，解得，；【小问2详解】解： 设直线的表达式为，把点，代入中得：，解得：，直线的表达式为，如图所示，过点作轴的平行线交直线于点，设点，则，当时，有最大值6；，当最大时，也最大，当最大时，；【小问3详解】解：在中，当时，点，设点，点，则，当是边时， 点向左平移2个单位向上平移个单位得到点，同样点向左平移2个单位向上平移个单位得到点，故或，联立得：或并解得：（舍去）或或或；故点的坐标为或或；当是对角线时， 由中点公式得：，联立，解得或（舍去），故点的坐标为；综上，点的坐标为或或或【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏
