1、河北省保定市定州市2022-2023学年八年级下数学期中试题一、选择题（本大题共12小题，共36分）1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式的是A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形中，则等于（ ）A. 120B. 110C. 70D. 305. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）A. 9，12，15B. 6， 8， 10C. ，2，3D. 1.5，2.5， 3.56. 下列说法正确的是( )A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B. 对角线互
2、相平分的四边形是正方形C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形7. 如图，是的中位线，过点C作交的延长线于点F，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 8. 如图，在中，的平分线与交于点E，则DE的长度为（ ）A. 6B. 4C. 3D. 29. 如图，菱形ABCD的对角线，则该菱形的面积为（ ）A. 50B. 25C. D. 12.510. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得B60，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC40cm，则图1中对角线AC的长为（）A. 20cmB. 30c
3、mC. 40cmD. 20cm11. 如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）A. B. C. D. 12. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB6，BC10，则GH的长度为（）A. B. C. D. 2二、填空题（本大题共6小题，共18分）13. 化简：_14. 如图，菱形的一边中点为M，对角线交于点O，则菱形的周长为_15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A
4、，B的坐标分别为（3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_16. 已知，则的值为_17. 如图，若一个三角形的三边长为5、12、，则使此三角形是直角三角形的的值是_18. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD则正方形ABCD的面积为_（用含a，b的代数式表示）三、解答题（本大题共7小题，共66分）19. 计算：（1） ；（2）20. 要把宣传牌，装订在教室的黑板上面（如图所示）一架梯子（米）靠在宣传牌，底端落在地板E处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌的B处，而底
5、端E向外移到了1米到C处（米）测量得米求宣传牌的高度（结果用根号表示）21. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1（1）线段的长度是_；（2）请在网格中画出线段，且C，D为右侧格点（网格线的交点）；（3）以、三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由22. 小明在解决问题：已知a=，求2a28a+1的值，他是这样分析与解的：a=2 a2=（a2）2=3，a24a+4=3a24a=12a28a+1=2（a24a）+1=2（1）+1=1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简+（2）若a=，求4a28a+1的值23. 如图，菱形ABCD的对角线相交于O点，DEAC，CEBD（1）求证：四边
6、形OCED矩形；（2）若AD =5，BD =8，计算DE的值24. 在ABC 中，BAC90，AD 是 BC 边上的中线，点 E 为 AD 的中点，过点 A 作 AFBC交 BE 的延长线于点 F，连接 CF（1）求证：ADAF；（2）填空：当ACB 时，四边形 ADCF 为正方形；连接 DF，当ACB 时，四边形 ABDF 为菱形25. （1）【发现证明】如图1，在正方形中，点，分别是，边上的动点，且，求证：小明发现，当把绕点顺时针旋转90至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程（2）【类比引申】如图2，在正方形中，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写
7、出，之间的数量关系_（不要求证明）如图3，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则，之间的数量关系是_（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形边长为6，求的长河北省保定市定州市2022-2023学年八年级下数学期中试题一、选择题（本大题共12小题，共36分）1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解【详解】二次根式在实数范围内有意义，x+30，即：，故选A【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方式是非负数，是解题的关键2. 下列二次根式中，最简二次根式的是A
8、. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据最简二次根式的定义选择即可【详解】A，不符合题意；B.，不符合题意；C.是最简二次根式，符合题意；D.，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键3. 下列计算中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二次根式运算法则逐项进行计算即可【详解】解：A. ，原选项错误，不符合题意；B. 和不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意；C. ，原选项正确，符合题意；D. ，原选项错误，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法
9、则，进行准确计算4. 如图，平行四边形中，则等于（ ）A. 120B. 110C. 70D. 30【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，再代入求出答案即可【详解】解：四边形是平行四边形，故选：B【点睛】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质，注意：平行四边形的对边分别平行5. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A. 9，12，15B. 6， 8， 10C. ，2，3D. 1.5，2.5， 3.5【答案】D【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可【详解】解：A、92+122=152，是直角三角形，故不
10、符合题意；B62+82=102，直角三角形，故不符合题意；C（）2+22=32，是直角三角形，故不符合题意；D1.52+2.523.52，故不是直角三角形，故符合题意故选：D【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可6. 下列说法正确的是( )A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B. 对角线互相平分的四边形是正方形C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形【答案】D【解析】【分析】根据菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，进行判定，即可解答.【详解】解：A、对角线互相平
11、分且垂直的四边形是菱形，故此选项说法错误，不符合题意；B、四条边相等的四边形是菱形，故此选项说法错误，不符合题意；C、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故此选项说法错误，不符合题意；D、对角线相等且相互平分四边形是矩形，故此选项说法正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，解决本题的关键是熟记几种特殊四边形的判定定理7. 如图，是的中位线，过点C作交的延长线于点F，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据三角形的中位线定理得出，然后根据得出，继而根据证得，最后根据全等三角形的性质即可推出【详解】解：是的中位线
12、，为中点，四边形是平行四边形，故A不符合题意；在和中，故B不符合题意，D符合题意；若，而，而，与题干条件矛盾，故C不符合题意；故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是根据中位线定理和平行线的性质得出、，判定三角形的全等8. 如图，在中，的平分线与交于点E，则DE的长度为（ ）A. 6B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】由平行四边形的性质得出，由角平分线的定义得到，则有，根据等角对等边得到，即可求出【详解】解：四边形是平行四边形，平分，故选：D【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，熟练掌握平行四边形的性质
13、，求出是解决问题的关键9. 如图，菱形ABCD的对角线，则该菱形的面积为（ ）A. 50B. 25C. D. 12.5【答案】B【解析】【分析】利用菱形的面积等于菱形两对角线乘积的一半即可求得答案【详解】解：菱形ABCD的对角线AC=5，BD=10，S菱形ABCD=ACBD=510=25，故选：B【点睛】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的面积等于菱形两对角线乘积的一半是解题的关键10. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得B60，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC40cm，则图1中对角线AC的长为（）A. 20cmB. 30cmC
14、. 40cmD. 20cm【答案】C【解析】【分析】在图1，图2中，连接AC在图2中，由勾股定理求出BC，在图1中，只要证明ABC是等边三角形即可解决问题【详解】解：如图1，2中，连接AC在图2中，四边形ABCD是正方形，ABBC，B90，AC40cm，AB2+BC2=AC2，即2AB2=3200，ABBC40cm，在图中，B60，BABC，ABC是等边三角形，ACBC40cm，故选：C【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型11. 如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，要在高速公路上C
15、，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出点位置，进而结合勾股定理得出即可【详解】解：如图所示：作点关于直线的对称点，再连接，交直线于点则此时最小，过点作延长线于点，则，在中，则的最小值为：故选：B【点睛】此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题12. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB6，BC10，则GH的长度为
16、（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到A90，ADBC，根据全等三角形的性质得到PDCF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论【详解】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，四边形ABCD是矩形，A90，ADBC，E，F分别是边AB，BC的中点，AB6，BC10，AEAB63，CFBC105，ADBC，DPHFCH，在PDH与CFH中，PDHCFH（AAS），PDCF5，CHPH，APADPD5，点G是EC的中点，GHEP故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正
17、确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键二、填空题（本大题共6小题，共18分）13. 化简：_【答案】【解析】【分析】先利用二次根式的性质进行化简，然后计算求值即可得到答案.【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的性质.14. 如图，菱形的一边中点为M，对角线交于点O，则菱形的周长为_【答案】24【解析】【分析】由菱形的性质可得，再由三角形的中位线定理可得，即可求解【详解】解：四边形是菱形，又点是的中点，是的中位线，菱形的周长，故答案为：24【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，掌握菱形的的对角线互相平分是解题的关键
18、15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_【答案】（5，4）【解析】【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标【详解】解：菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（2，0），点D在y轴上，AB=5，DO=4，点C的坐标是：（5，4）故答案为：（5，4）16. 已知，则的值为_【答案】【解析】【分析】先计算出，的值，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值二次根式运算的最后，注
19、意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰17. 如图，若一个三角形的三边长为5、12、，则使此三角形是直角三角形的的值是_【答案】【解析】【分析】根据图形可知直角三角形的两边长，明确x是直角边，利用勾股定理求解【详解】解：结合图形可知x是直角三角形的直角边，解得，故使此三角形是直角三角形的x的值是，故答案为: 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键18. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b
20、，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD则正方形ABCD的面积为_（用含a，b的代数式表示）【答案】【解析】【分析】如图，连接AE、AF，先证明GAEHAF，由此可证得，进而同理可得，根据正方形ABCD的面积等于四个相同四边形的面积之和及小正方形的面积即可求得答案【详解】解：如图，连接AE、AF，点A为大正方形中心，AE=AF，EAF=90，AEF=AFE=45，GEF=90，AEG=GEFAEF=45，AEG=AFE，四边形ABCD正方形，DAB=EAF=90，GAE=HAF，在GAE与HAF 中，GAEHAF（ASA），即，同理可得：，即，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质
21、和全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的关键三、解答题（本大题共7小题，共66分）19. 计算：（1） ；（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先化简各二次根式，再计算二次根式除法，最后合并同类二次根式即可；（2）先运用完全平方公式与平方差公式计算，再合并即可求解【小问1详解】解：原式4+3424+3272【小问2详解】解：原式2+2+1(31)2+2+122+1【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则，灵活运用完全平方公式与平方差公式进行计算是解题的关键20. 要把宣传牌，装订在教室的黑板上面（如图所示）一架梯子（米）靠
22、在宣传牌，底端落在地板E处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌的B处，而底端E向外移到了1米到C处（米）测量得米求宣传牌的高度（结果用根号表示）【答案】米【解析】【分析】直接利用勾股定理得出，的长，进而得出答案【详解】解：由题意可得：米，米，米，在中，（米），则（米），在中，（米），故米，答：宣传牌的高度为米【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键21. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1（1）线段的长度是_；（2）请在网格中画出线段，且C，D为右侧的格点（网格线的交点）；（3）以、三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由【答案】（1） （2）见解析 （3）以、三条线段
23、为边能构成直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）利用勾股定理以及数形结合的思想画出图形即可；（3）利用勾股定理的逆定理判断即可【小问1详解】解：故答案为：小问2详解】解：如图，AC，BD即为所求；，；【小问3详解】解：以、三条线段为边能构成直角三角形，理由：，以、三条线段为边能构成直角三角形【点睛】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型22. 小明在解决问题：已知a=，求2a28a+1的值，他是这样分析与解的：a=2 a2=（a2）2=3，a24a+4=3a24a=12a28a
24、+1=2（a24a）+1=2（1）+1=1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简+（2）若a=，求4a28a+1的值【答案】（1）9；（2）5【解析】【详解】试题分析：（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得与分母相乘后，为平方差公式结构，如.(2)先对a值进行化简得 ，若就接着代入求解，计算量偏大模仿小明做法，可先计算 的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值后两种方法都比直接代入计算量小很多.解：（1）原式= （2）， 解法一： ， ，即原式= 解法二 原式= 点睛：（1）把分母有理化的方法：分子分母同乘以分母
25、的有理化因式， 得，去掉根号，实现分母有理化.（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.23. 如图，菱形ABCD的对角线相交于O点，DEAC，CEBD（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若AD =5，BD =8，计算DE的值【答案】（1）证明见解析； （2）3【解析】【分析】（1）首先证明四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的性质可得ACBD，进而得到四边形OCED是矩形；（2）首先根据菱形的性质可得，OC=OA，AD=CD，然后再根据勾股定理可计算出结果【小问1详解】证明：DEAC，CEBD，四边形OC
26、ED是平行四边形，四边形ABCD是菱形，ACBD，DOC=90，四边形OCED是矩形；【小问2详解】解：四边形ABCD是菱形，BD=8，OC=OA，AD=CD，AD=5，OC=，四边形OCED是矩形，DE=OC=3【点睛】题目主要考查菱形的性质及矩形的判定和性质，勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键24. 在ABC 中，BAC90，AD 是 BC 边上的中线，点 E 为 AD 的中点，过点 A 作 AFBC交 BE 的延长线于点 F，连接 CF（1）求证：ADAF；（2）填空：当ACB 时，四边形 ADCF 为正方形；连接 DF，当ACB 时，四边形 ABDF 为菱形【答案】（1
27、）见解析；（2）45；30【解析】【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AD=CD=BD，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；(2)根据菱形的判定定理得到四边形ADCF是菱形，求得DCF=90，于是得到结论；根据平行四边形的性质得到CD=CF，推出DCF是等边三角形，得到DF=BD，于是得到结论【详解】(1)BAC=90，AD是BC边上的中线，AD=CD=BD，点E为AD的中点，AE=DE，AFBC，AFE=DBE， AEF=DEB，AEFDEB(AAS)，AF=BD，AD=AF；(2)当ACB=45时，四边形ADCF为正方形；AD=AF，AF=CD，AFCD，四边形ADCF是菱形，要使四
28、边形ADCF是正方形，则DCF=90，ACD=ACF=45；当ACB=30时，四边形ABDF为菱形；由(1)得AF=BD，AFBC，四边形ABDF是平行四边形，要使四边形ABDF为菱形，AB=BD， 又AD =BD，ABD是等边三角形，ABD=60，ACB=30故答案为：45，30【点睛】本题考查了正方形的判定，菱形的性质和判定，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键25. （1）【发现证明】如图1，在正方形中，点，分别是，边上的动点，且，求证：小明发现，当把绕点顺时针旋转90至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程（2）【类比引申】如图2，在正方形中，如果点，分别是，延长线上的动点，且
29、，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出，之间的数量关系_（不要求证明）如图3，如果点，分别是，延长线上的动点，且，则，之间的数量关系是_（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形的边长为6，求的长【答案】（1）见解析；（2）不成立，结论：；，见解析；（3）【解析】【分析】（1）证明，可得出，则结论得证；（2）将绕点顺时针旋转至根据可证明，可得，则结论得证；将绕点逆时针旋转至，证明，可得出，则结论得证；（3）求出，设，则，在中，得出关于的方程，解出则可得解【详解】（1）证明：把绕点顺时针旋转至，如图1，三点共线，；（2）不成立，结论：；证明：如图2，将绕点顺时针旋转至，；如图3，将绕点逆时针旋转至，即故答案为：（3）解：由（1）可知，正方形的边长为6，设，则，在中，解得：，【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导
