1、2023年安徽省合肥蜀山区九年级中考一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1. 倒数是（ ）A. 3B. C. D. 2. 2022年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有280万的卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施，数据2200亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 如图，该几何体的俯视图是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，直线，等边的顶点C在直线b上，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 6. 若直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（ ）A. B. C.
2、 D. 7. 如图，正方形和等边三角形均内接于，则的值为（ ）A B. C. D. 8. 某社区要从A、B、C三名志愿者中任意抽调两人助力全民核酸检测工作，恰好抽到志愿者B和C的概率是（ ）A. B. C. D. 9. 已知关于x的方程有且仅有两个不同的实数解，则a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 10. 已知，D是线段上的动点且于点G，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 不等式组解集是_12. 在半径为3的圆中，圆心角所对的弧长是_13. 如图，矩形中，点A在双曲线上，点B、C在x轴上，延长至点E，使，连接交y轴于点F
3、，连接，已知的面积为6，则_14. 已知点是抛物线上一动点（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是_；（2）当点M到直线的距离不大于时，b的取值范围是，则的值为_三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 计算：16. 如图，网格中小正方形的边长均为1，是格点三角形（即三角形的顶点都在格点上），请仅用无刻度的直尺作图（1）在图（1）中作出的中线；（2）请在图（2）中找一格点E，使得四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17. 如图所示，一梯子斜靠着墙，梯子与地面夹角为，若梯子底端A向右水平移动至点B，此时梯子顶端向上移动至点D，此时，求长度（参考数据：，）18. 观
4、察下列等式，探究发现规律，并解决问题（1）_；（2）_；（3）_五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点，与x轴相交于点B（1）求n和k的值；（2）如图，以为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接，求20. 已知等腰，且，连接交于点E，以为直径的上有一点F，使得，连接交于点G，若（1）判断与的关系，并说明理由；（2）若，求的值六、（本题满分12分）21. 2022年是我国航天事业辉煌的一年，神舟十四号和神舟十五号两个飞行乘组6位航天员在太空会师，在神州大地上掀起了航天热潮某学校为了解本校学
5、生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了50名学生的成绩，整理并制成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图组号成绩频数频率122a318495bm62合计50其中这一组数据如下：61，62，62，63，64，64，64，64，64，64，64，64，64，64，66，67，67，69根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）表格中_，_，_；（2）抽取的50名学生竞赛成绩的众数是_；（3）若以组中值（每组正中间数值）为本组数据的平均数，全校共有1000名学生参与竞赛，试估计所有学生成绩的平均分七、（本题满分12分）22. 已知四边形，相交于点P，且，设，（1）
6、如图1，当时，时，_；_；如图2，当时，时，_；_；（2）观察（1）中的计算结果，利用图3证明，三者关系（3）如图4，在平行四边形中，点E，F，G分别是的中点，求的长八、（本题满分14分）23 已知抛物线C：yx22bx+c；（1）若抛物线C的顶点坐标为(1，3)，求b、c的值；（2）当cb+2，0x2时，抛物线C的最小值是4，求b的值；（3）当cb2+1，3xm时，x22bx+cx2恒成立，则m的最大值为_2023年安徽省合肥蜀山区九年级中考一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1. 的倒数是（ ）A. 3B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据乘积为1的
7、两个数互为倒数求解即可【详解】解：的倒数是，故选：B【点睛】本题考查倒数，理解倒数定义是解答的关键2. 2022年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有280万的卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施，数据2200亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表现形式为 ，其中 ，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数的绝对值小于1时，是负数【详解】解：2200亿，2200亿用科学记数法表示为：，故选：C【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形
8、式为 ，其中 ，为整数，确定与的值是解题的关键3. 下列运算中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方和单项式除以单项式的计算法则求解判断即可【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；B、，计算正确，符合题意；C、，计算错误，不符合题意；D、，计算错误，不符合题意；故选B【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方和单项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂乘法指数是相加，积的乘方和幂的乘方指数是相乘4. 如图，该几何体的俯视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据俯视图是从上面看到
9、的图形求解即可【详解】解：从上面看，看到的图形是一个长方形，在靠近右侧和靠近中间分别有1条竖直的直线，即看到的图形为，故选C【点睛】本题主要考查了判断简单几何体的三视图，熟知俯视图是从上面看到的图形是解题的关键5. 如图，直线，等边的顶点C在直线b上，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先利用三角形外角性质得到，然后利用平行线性质得出结果【详解】解：是等边三角形，又，又，故选：B【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，在图形中识别外角和内错角是解决问题的关键6. 若直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（ ）A. B. C. D. 【答案】B
10、【解析】【分析】根据直线经过一、二、四象限，可得，从而得到，即可求解【详解】解：直线经过一、二、四象限，直线的图象经过一、二、三象限，选项B中图象符合题意故选：B【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、二、四象限”是解题的关键由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论7. 如图，正方形和等边三角形均内接于，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】如图所示，连接，由正方形的性质得到，则是直径，即可得到，解得到，再由等边三角形的性质和圆周角定理得到，解得到，由此即可得到答案【详解】解：如图所示，连接，四边形是正方形，是直径，在中，是等边三角形
11、，在中，故选D【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键8. 某社区要从A、B、C三名志愿者中任意抽调两人助力全民核酸检测工作，恰好抽到志愿者B和C的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可【详解】解：列表如下：ABCAB，AC，ABA，BC，BCA，CB，C由表知，共有6种等可能结果，其中恰好抽到志愿者和的有2种结果，所以恰好抽到志愿者和的概率为故选：A【点睛】本题考查了列表法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比利用列表法或树状图法找出
12、所求情况数和总情况数是解答本题的关键9. 已知关于x的方程有且仅有两个不同的实数解，则a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分，三种情况讨论，前两种情况不合题意，第三种情况原方程化为，整理得或因为的判别式为，方程必有两个不同实根而原方程只有两个不同实根，故方程无实根，所以它的判别式，得到【详解】解：当时，原方程无解，不合题意；当时，则，解得，方程只有1个实数根，不符合题意；当时，原方程化为，整理得或判别式，且当时，方程不成立，方程必有两个不同实根原方程只有两个不同实根，当时，方程不成立，方程无实根，它的判别式，解得故选D【点睛】本题主要考查了绝对值，分式方程，一
13、元二次方程根的判别式，解决问题的关键是熟练运用绝对值的非负性，解分式方程，由根的情况写出根判别式的取值范围10. 已知，D是线段上的动点且于点G，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据，可得点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，当点O，G，B三点共线时，的最小， 再由勾股定理求出的长，即可求解【详解】解：，即，点G在以为直径的圆上，取的中点O，当点O，G，B三点共线时，的最小， ，即的最小值为故选：C【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，根据题意得到点G在以为直径的圆上是解题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 不等式组的解
14、集是_【答案】#【解析】【分析】先分别求出每个不等式得解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可【详解】解： 解不等式得：，解不等式得：，不等式组的解集为，故答案为：【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键12. 在半径为3的圆中，圆心角所对的弧长是_【答案】【解析】【分析】根据弧长公式计算即可【详解】弧长故答案为：【点睛】本题考查的是弧长计算，掌握弧长公式：是解题的关键13. 如图，矩形中，点A在双曲线上，点B、C在x轴上，延长至点E，使，连接交y轴于点F，连接，已知的面积为6，则_【答案】8【解析】【分析】设，则，证，由相似的性质即可求解；【详解】解：
15、设，则，轴，故答案为：8【点睛】本题主要考查相似三角形的应用、反比例函数，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键14. 已知点是抛物线上一动点（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是_；（2）当点M到直线的距离不大于时，b的取值范围是，则的值为_【答案】 . # . 0或5#5或0【解析】【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，根据点M到y轴的距离不大于1，得出，根据二次函数的增减性，求出b的取值范围即可；（2）根据点到直线的距离不大于，得出，即，从而得出，然后根据，求出a的范围，即可得出【详解】解：（1），抛物线的对称轴为直线，点M到y轴的距离不大于1，此时点M在对称轴的左侧，在对称
16、轴的左侧随x的增大而减小，当时，b取最大值，且最大值为，当时，b取最小值，且最小值为，b的取值范围是；故答案为：；（2）点到直线的距离不大于，即，令，代入，即，解得：，令，代入，即，解得：，点M应为或上的动点，当时，当时，综上分析可知，的值为0或5；故答案：0或5【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，二次函数，当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 计算：【答案】【解析】【分析】针对绝对值，二次根式
17、化简，零指数幂，特殊角的三角函数值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【详解】解：原式【点睛】本题考查了绝对值，二次根式的性质，零指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握各运算法则是解题的关键16. 如图，网格中小正方形的边长均为1，是格点三角形（即三角形的顶点都在格点上），请仅用无刻度的直尺作图（1）在图（1）中作出的中线；（2）请在图（2）中找一格点E，使得【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）取格点E，F，连接交于点D，连接即可；（2）利用等高模型解决问题即可【小问1详解】解：如图，即为所求，理由：，四边形是平行四边形，是的中线；【小问2详解】解：如图，即为所求
18、，理由：连接，根据勾股定理，可求，四边形是平行四边形，C，E到的距离相等，【点睛】本题考查了格点作图，掌握三角形等面积法，勾股定理，平行四边形的判定与性质是解题的关键四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17. 如图所示，一梯子斜靠着墙，梯子与地面夹角为，若梯子底端A向右水平移动至点B，此时梯子顶端向上移动至点D，此时，求长度（参考数据：，）【答案】【解析】【分析】由，得，设，则，因为，得进入即可求解；【详解】解：，设，则，解得，【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，根据题意结合特殊三角函数知识正确列出方程是解题的关键18. 观察下列等式，探究发现规律，并解决问题（1）_；（2）_；
19、（3）_【答案】（1）20 （2） （3）【解析】分析】（1）按规律改写各个乘法算式，并整理计算即可；（2）根据（1）总结规律，整理计算即可；（3）按规律计算即可【小问1详解】解：故答案为：20【小问2详解】解：；故答案为：【小问3详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，根据数字的变化规律化简原式是解题的关键五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点，与x轴相交于点B（1）求n和k的值；（2）如图，以为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接，求【答案】（1）； （2）【解析
20、】【分析】（1）把点代入一次函数，得到n的值为3；再把点代入反比例函数，得到k的值为12；（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为，过点A作轴，垂足为G，根据勾股定理得到，再根据菱形的性质可得，即可求解【小问1详解】解：把点代入一次函数，得：；点，把点代入反比例函数，得：，解得：；【小问2详解】解：一次函数与轴相交于点B，当时，解得，点B的坐标为， 如图，过点A作轴，垂足为G， ， ，在中，四边形是菱形，【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉及了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键20. 已知等腰，且，连接交于点E，以为直径的上有一点F，使得，连接交
21、于点G，若（1）判断与的关系，并说明理由；（2）若，求的值【答案】（1）与相切，理由见解析 （2）【解析】【分析】（1）如图所示，连接，先由三角形内角和定理和对顶角相等证明，再根据等边对等角证明，即可得到结论；（2）如图所示，连接交于H，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，再证明四点共圆，得到，进而证明，则由角平分线的性质得到，再证明，推出，则，即可求出，利用勾股定理求出，再由，是的直径，得到，则；证明，即可得到【小问1详解】解：与相切，理由如下：如图所示，连接，即，与相切；小问2详解】解：如图所示，连接交于H，连接，是的直径，四点共圆，是的直径，又，【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理
22、，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键六、（本题满分12分）21. 2022年是我国航天事业辉煌的一年，神舟十四号和神舟十五号两个飞行乘组6位航天员在太空会师，在神州大地上掀起了航天热潮某学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了50名学生的成绩，整理并制成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图组号成绩频数频率122a318495bm62合计50其中这一组的数据如下：61，62，62，63，64，64，64，64，64，64，64，64，64，64，66，67，67，69根据以
23、上提供的信息，解答下列问题：（1）表格中_，_，_；（2）抽取的50名学生竞赛成绩的众数是_；（3）若以组中值（每组正中间数值）为本组数据的平均数，全校共有1000名学生参与竞赛，试估计所有学生成绩的平均分【答案】（1）， （2）64 （3）【解析】【分析】（1）用接受调查的总人数乘以这一组别的频数即可求出a，进而求出b，再用b除以接受调查的总人数即可得到答案；（2）根据众数的定义进行求解即可；（3）根据加权平均数的定义求出样本中的加权平均成绩进而估计总体的平均成绩即可【小问1详解】解：由题意得，故答案为：，；【小问2详解】解：成绩为64出现了10次，出现的次数最多，抽取的50名学生竞赛成绩的
24、众数是64，故答案为：64；【小问3详解】解：，估计所有学生成绩的平均分为【点睛】本题主要考查了频数与频率分布表，求众数和加权平均数，用样本估计总体，灵活应用所学知识是解题的关键七、（本题满分12分）22. 已知四边形，相交于点P，且，设，（1）如图1，当时，时，_；_；如图2，当时，时，_；_；（2）观察（1）中的计算结果，利用图3证明，三者关系（3）如图4，在平行四边形中，点E，F，G分别是的中点，求的长【答案】（1），；， （2），证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）先证明得到，则，利用勾股定理求出；再由平行线的性质证明，则即可得到；由含30度角的直角三角形的性质得到，则，由勾股定理
25、得；再证明，得到，则；（2）证明，得到，设，则，再利用勾股定理分别用m、n表示出，即可得到结论；（3）如图所示，连接，先证明四边形是平行四边形，得到；再证明是得中位线，推出；证明，得到，则由（2）的结论可知，据此求解即可【小问1详解】解：，在中，由勾股定理得；，同理可得；故答案为：，；，在中，由勾股定理得；，；故答案为：，；【小问2详解】解：，证明如下：，设，则，由勾股定理得，；【小问3详解】解：如图所示，连接，四边形是平行四边形，E、F分别是得中点，四边形是平行四边形，；G是中点，是得中位线，；，由（2）的结论可知，【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质与判
26、定，三角形中位线定理，证明第二问的结论是解题的关键八、（本题满分14分）23. 已知抛物线C：yx22bx+c；（1）若抛物线C的顶点坐标为(1，3)，求b、c的值；（2）当cb+2，0x2时，抛物线C的最小值是4，求b的值；（3）当cb2+1，3xm时，x22bx+cx2恒成立，则m的最大值为_【答案】（1）b1，c2 （2）b的值为6或 （3）4【解析】【分析】（1）抛物线C的顶点坐标为（1，3），代入解析式即可求解；（2）将cb+2代入抛物线解析式，可得对称轴为xb，分三种情况讨论当b0时，当0b2时，当b2时，根据抛物线C的最小值是4，列出方程组即可求解；（3）当cb2+1时，抛物线C
27、的解析式为y（xb）2+1，即抛物线C的顶点在直线y1上移动，设抛物线C与直线yx2除顶点外的另一个交点为M，此时点M的横坐标即为m的最大值，结合图象列出不等式组，解不等式组即可求解【小问1详解】解：抛物线C的顶点坐标为（1，3），y（x1）23x22x2，2b2，b1，c2；【小问2详解】cb+2yx22bx+cx22bx+b+2，对称轴为xb，当b0时，由题意可知b+24，解得b6，符合题意；当0b2时，解得b13，b22，不合题意舍去；当b2时，根据题意可知224b+b+24，解得b，符合题意；综上所述，所求b的值为6或【小问3详解】当cb2+1时，抛物线C的解析式为y（xb）2+1，如图所示，抛物线C的顶点在直线y1上移动，当3xm时，x22bx+cx2恒成立，则可知抛物线C的顶点坐标为（3，1），设抛物线C与直线yx2除顶点外的另一个交点为M，此时点M的横坐标即为m的最大值，由解得x13，x24，m的最大值为4【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数与一次函数交点问题，待定系数法求解析式，二次函数最值问题，数形结合是解题的关键
