1、5.5分式方程【知识点1 分式方程】（1）分式方程：分母中含有未知数的方程（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。（3）分式方程解方程的步骤：利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程解整式方程验根-检验整式方程解得的根是否符合分式方程作答【题型1 解分式方程（基本法）】【例1】（2021春碑林区校级月考）解方程：（1）32-13x-1=56x-2；（2）xx-1-3(x-1)(x+2)=1【变式1-1】（2021潍坊）若x2，且1x-2+|x2|+x10，则x 【变式1-2】（2021宜都市一模）解方程：3x+6x-1
2、-x+5x2-x=0【变式1-3】（2021北碚区校级开学）解分式方程：（1）3x-5-1=2x-1x-5（2）12x2-4-x-1x+2=6-xx-2【题型2 解分式方程（新定义问题）】【例2】（2021春宝安区期末）定义新运算：a#b=1b2-ab，例如2#3=132-32=13，则方程x#21的解为 【变式2-1】（2021怀化）定义ab2a+1b，则方程3x42的解为（）Ax=15Bx=25Cx=35Dx=45【变式2-2】（2021春甘孜州期末）定义运算“”：ab=2a-b，abbb-a，ab，如果5x2，那么x的值为 【变式2-3】 （2021秋信都区校级月考）运符号“abcd”，
3、称为二阶行列式，规定它的运算法则为：abcd=adbc，请你根据上述规定，求出下列等式中x的值：2111-x1x-1=1【知识点2 分式的运算技巧-裂项法】解题技巧：裂项相消法：【题型3 裂项法解分式方程】【例3】观察下面的变形规律：112=11-12；123=12-13；134=13-14；解答下面的问题：（1）若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想1n(n+1)=1n-1n+1（2）说明你猜想的正确性（3）计算：112+123+134+120182019=20182019（4）解关于n的分式方程112+123+134+1n(n+1)=n+7n+9【变式3-1】（2020春京口区校级月
4、考）观察下列算式：16=123=12-13，112=134=13-14，120=145=14-15，（1）由此可推断：142=16-17；（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律1m(m+1)=1m-1m+1；（3）仿照以上方法解方程：1(x-1)(x-2)+1x(x-1)=1x【变式3-2】（2020秋五华区期末）观察下列式：112=1-12，123=12-13，134=13-14将以上三个等式两边分别相加的：112+123+134=1-12+12-13+13-14=34（1）猜想并填空：1n(n+1)=1n-1n+1；112+123+134+14849=484912+1
5、6+112+120+130+19900=99100（2）化简：1n(n+1)+1(n+1)(n+2)+1(n+2)(n+3)+1(n+2019)(n+2020)（3）探索并作答：计算：124+146+168+120182020；解分式方程：1x-2+1(x-2)(x-3)+1(x-3)(x-4)=1【变式3-3】（2020秋天心区校级月考）观察下列等式：112=1-12，123=12-13，134=13-14，将以上三个等式两边分别相加得：112+123+134=1-12+12-13+13-14=1-14=34，（1）猜想并写出：1n(n+1)=1n-1n+1（2）直接写出下列各式的计算结果：
6、112+123+134+120162017=20062007；112+123+134+1n(n+1)=nn+1（3）若113+135+157+1(2n-1)(2n+1)的值为1735，求n的值【知识点3 换元法解分式方程】换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系例解方程： 另（xy）=u，则原方程转换为： 方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。【题型4 换元法解分式方程】【例4】（2021春平阴县期末）请阅读下面解方
7、程（x2+1）22（x2+1）30的过程解：设x2+1y，则原方程可变形为y22y30解得y13，y21当y3时，x2+13，x2当y1时，x2+11，x22，此方程无实数解原方程的解为：x1=2，x2=-2我们将上述解方程的方法叫做换元法，请用换元法解方程：（x-1x）22（x-1x）80【变式4-1】（2021春松江区期末）用换元法解方程2xx2-1-x2-1x+70时，可设y=xx2-1，那么原方程可化为关于y的整式方程是 【变式4-2】（2020春青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题解方程：x-1x-4xx-1=0解：设y=x-1x，则原方程化为：y-4y=0，方程两边同时乘y得：
8、y240，解得：y2，经检验：y2都是方程y-4y=0的解，当y2时，x-1x=2，解得：x1，当y2时，x-1x=-2，解得：x=13，经检验：x1或x=13都是原分式方程的解，原分式方程的解为x1或 x=13上述这种解分式方程的方法称为换元法问题：（1）若在方程x-14x-xx-1=0中，设y=x-1x，则原方程可化为： ；（2）若在方程x-1x+1-4x+4x-1=0中，设y=x-1x+1，则原方程可化为： ；（3）模仿上述换元法解方程：x-1x+2-3x-1-1=0【变式4-3】（2021春玄武区校级期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为
9、元所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化换元的实质是转化，关键是构造元和设元例如解方程组1x+1y=122x+1y=20，设m=1x，n=1y，则原方程组可化为m+n=122m+n=20，解之得m=8n=4，即1x=8，1y=4.所以原方程组的解为x=18，y=14.运用以上知识解决下列问题：（1）求值：(1+111+113+117)(111+113+117+119)-(1+111+113+117+119)(111+113+117)= （2）方程组6x+y+3x-y=59x+y-2x-y=1的解为x=2y=1（3）分解因式：（x2+4x+3）
10、（x2+4x+5）+1 （4）解方程组32x+2-3y+1=111，2x+1+23y=86.（5）已知关于x、y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=9y=5，求关于x、y的方程组a1x2-2a1x+b1y=c1-a1a2x2-2a2x+b2y=c2-a2的解【知识点4 增根的讨论】方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。【题型5 增根的讨论】【例5】（2020秋荷塘区校级期中）已知关于x的分式方程4x+1+3x-1=kx2-1（1）若方程有增根，求k的值（2）若方程的解为负数，求k的取值范围【变式5-
11、1】（2021岳麓区校级模拟）若解关于x的方程2x-5x-2+m2-x=1时产生增根，那么常数m的值为（）A4B3C4D1【变式5-2】（2021春桐城市期末）已知关于x的分式方程m-2xx-2=13（1）若该方程有增根，则增根是 （2）若该方程的解大于1，则m的取值范围是 【变式5-3】（2020春百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根对于分式方程：2x-3+mxx2-9=3x+3（1）若该分式方程有增根，则增根为 （2）在（1）的条件下，求出m的值，【知识点5 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】（1）方程无解，即方程的根为增根；（2）方程
12、的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根0，求解出字母取值范围；（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根0，求解出字母取值范围【题型6 根据分式方程解的情况求值】【例6】（2021市中区校级二模）已知关于x的分式方程|2x|-a|x|-2=12有解，则a的取值范围是 【变式6-1】（2021秋北碚区校级期中）关于x的不等式组3x-46+1x+23x-2a22-x2-1有解且最多5个整数解，且使关于y的分式方程ay+3y-3+2=2y-33-y的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为（）A3B4C6D12【变式6-2】（2020秋雨花区校级月考）请你利用我们学习的“分式方
13、程及其解法”解决下列问题：（1）已知关于x的方程2mx-1x+2=1的解为负数，求m的取值范围；（2）若关于x的分式方程3-2xx-3+2-nx3-x=-1无解，求n的取值范围【变式6-3】（2021秋岱岳区校级月考）如果关于x的方程x+1x+2-xx-1=ax+2(x-1)(x+2)无解，求a的值 5.5分式方程【知识点1 分式方程】（1）分式方程：分母中含有未知数的方程（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。（3）分式方程解方程的步骤：利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程解整式方程验根-检验整式方程解得的根是否
14、符合分式方程作答【题型1 解分式方程（基本法）】【例1】（2021春碑林区校级月考）解方程：（1）32-13x-1=56x-2；（2）xx-1-3(x-1)(x+2)=1【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：（1）去分母得：3（3x1）25，去括号得：9x325，移项合并得：9x10，解得：x=109，检验：把x=109代入得：2（3x1）0，x=109是分式方程的解；（2）去分母得：x（x+2）3（x1）（x+2），整理得：x2+
15、2x3x2+x2，解得：x1，检验：把x1代入得：（x1）（x+2）0，x1是增根，分式方程无解【变式1-1】（2021潍坊）若x2，且1x-2+|x2|+x10，则x1【分析】先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以x2，求出方程的解，再进行检验即可【解答】解：1x-2+|x2|+x10，x2，方程为1x-2+2x+x10，即1x-2=-1，方程两边都乘以x2，得1（x2），解得：x1，经检验x1是原方程的解，故答案为：1【变式1-2】（2021宜都市一模）解方程：3x+6x-1-x+5x2-x=0【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解
16、答】解：去分母得：3（x1）+6x（x+5）0，去括号得：3x3+6xx50，移项合并得：8x8，解得：x1，检验：把x1代入得：x（x1）0，x1是增根，分式方程无解【变式1-3】（2021北碚区校级开学）解分式方程：（1）3x-5-1=2x-1x-5（2）12x2-4-x-1x+2=6-xx-2【分析】（1）方程两边同乘（x5），将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验（2）方程两边同乘（x2）（x+2），将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验【解答】解：（1）方程两边同乘（x5），得3x+52x1，解得x3，经检验，x3是原方程的解；
17、（2）方程两边同乘（x5）（x+2），得12（x1）（x2）（6x）（x+2），解得x2，经检验，x2是增根，原方程无解【题型2 解分式方程（新定义问题）】【例2】（2021春宝安区期末）定义新运算：a#b=1b2-ab，例如2#3=132-32=13，则方程x#21的解为 x=32【分析】根据新定义列出方程，解出这个方程即可【解答】解：根据题意得，x#2=122-2x=1，即222x10，解得x=32，经检验，x=32是原方程的解，故答案为：32【变式2-1】（2021怀化）定义ab2a+1b，则方程3x42的解为（）Ax=15Bx=25Cx=35Dx=45【分析】利用题中的新定义化简已知等
18、式，求出解即可得到x的值【解答】解：根据题中的新定义得：3x23+1x，4224+12，3x42，23+1x=24+12，解得：x=25，经检验，x=25是分式方程的根故选：B【变式2-2】（2021春甘孜州期末）定义运算“”：ab=2a-b，abbb-a，ab，如果5x2，那么x的值为 4或10【分析】根据定义运算，分5x或5x两种情况列方程求解，注意分式方程的结果要进行检验【解答】解：当5x时，25-x=2，去分母，可得：22（5x），解得：x4，检验：当x4时，5x0，且符合题意，x4是原方程的解；当5x时，xx-5=2，去分母，得：x2（x5），解得：x10，检验：当x10时，x50，
19、且符合题意，x10是原方程的解；综上，x的值为4或10，故答案为：4或10【变式2-3】 （2021秋信都区校级月考）运符号“abcd”，称为二阶行列式，规定它的运算法则为：abcd=adbc，请你根据上述规定，求出下列等式中x的值：2111-x1x-1=1【分析】利用题中的新定义化简所求方程，求出解即可【解答】解：根据题中的新定义化简所求方程得：2x-1-11-x=1，去分母得：2+1x1，解得：x4，当x4时，x130，x4是分式方程的解，故x的值为4【知识点2 分式的运算技巧-裂项法】解题技巧：裂项相消法：【题型3 裂项法解分式方程】【例3】观察下面的变形规律：112=11-12；123
20、=12-13；134=13-14；解答下面的问题：（1）若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想1n(n+1)=1n-1n+1（2）说明你猜想的正确性（3）计算：112+123+134+120182019=20182019（4）解关于n的分式方程112+123+134+1n(n+1)=n+7n+9【分析】（1）由题意可得1n(n+1)=1n-1n+1；（2）利用通分即可证明等式成立；（3）原式1-12+12-13+13-14+12018-12019，再计算即可求解；（4）方程可以化简为1-1n+1=n+7n+9，再解分式方程即可求解【解答】解：（1）1n(n+1)=1n-1n+1，故答案为
21、：1n-1n+1；（2）1n-1n+1=n+1n(n+1)-nn(n+1) =1n(n+1)，1n(n+1)=1n-1n+1成立；（3）112+123+134+1201820191-12+12-13+13-14+12018-120191-12019=20182019；（4）112+123+134+1n(n+1)1-12+12-13+13-14+1n-1n+11-1n+1=n+7n+9 1-2n+9，1n+1=2n+9，方程两边同时乘（n+1）（n+9），得n+92（n+1），去括号，得n+92n+2，解得n7，经检验，n7是方程的解，原方程的解为n7【变式3-1】（2020春京口区校级月考）观
22、察下列算式：16=123=12-13，112=134=13-14，120=145=14-15，（1）由此可推断：142=16-17；（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律1m(m+1)=1m-1m+1；（3）仿照以上方法解方程：1(x-1)(x-2)+1x(x-1)=1x【分析】（1）观察已知等式得到所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）方程利用得出的规律变形，计算即可求出解【解答】解：（1）根据题意得：142=167=16-17；（2）根据题意得：1m(m+1)=1m-1m+1；（3）方程整理得：1x-2-1x-1+1x-1-1x=1x，即1x-2=2
23、x，去分母得：x2x4，解得：x4，经检验x4是分式方程的解故答案为：（1）16-17；（2）1m(m+1)=1m-1m+1【变式3-2】（2020秋五华区期末）观察下列式：112=1-12，123=12-13，134=13-14将以上三个等式两边分别相加的：112+123+134=1-12+12-13+13-14=34（1）猜想并填空：1n(n+1)=1n-1n+1；112+123+134+14849=484912+16+112+120+130+19900=99100（2）化简：1n(n+1)+1(n+1)(n+2)+1(n+2)(n+3)+1(n+2019)(n+2020)（3）探索并作答
24、：计算：124+146+168+120182020；解分式方程：1x-2+1(x-2)(x-3)+1(x-3)(x-4)=1【分析】（1）观察已知等式得到拆项的方法，计算即可；（2）原式利用拆项法变形，计算即可求出值；（3）原式利用拆项法变形，计算即可求出值；方程利用拆项法变形，计算即可求出解【解答】解：（1）1n(n+1)=1n-1n+1，112+123+134+14849=1-12+12-13+13-14+148-149=1-149=4849；12+16+112+120+130+19900=112+123+134+145+156+199100=1-12+12-13+199-1100=1-1
25、100=99100；故答案为：1n-1n+1；4849；99100；（2）原式=1n-1n+1+1n+1-1n+2+1n+2-1n+3+1n+2019-1n+2020=1n-1n+2020=2020n(n+2020)；（3）原式=12（12-14+14-16+16-18+12018-12020）=12（12-12020）=10094040；方程整理得：1x-2+1x-3-1x-2+1x-4-1x-3=1，即1x-4=1，解得：x5，经检验x5是分式方程的解【变式3-3】（2020秋天心区校级月考）观察下列等式：112=1-12，123=12-13，134=13-14，将以上三个等式两边分别相加
26、得：112+123+134=1-12+12-13+13-14=1-14=34，（1）猜想并写出：1n(n+1)=1n-1n+1（2）直接写出下列各式的计算结果：112+123+134+120162017=20062007；112+123+134+1n(n+1)=nn+1（3）若113+135+157+1(2n-1)(2n+1)的值为1735，求n的值【分析】（1）根据已知等式猜想得到所求即可；（2）各式利用拆项法变形，计算即可求出值；（3）根据题意列出方程，利用拆项法变形，计算即可求出n的值【解答】解：（1）猜想得：1n(n+1)=1n-1n+1；（2）原式1-12+12-13+12016-1
27、20171-12017=20162017；原式1-12+12-13+1n-1n+11-1n+1=nn+1；（3）根据题意得：113+135+157+1(2n-1)(2n+1)=1735，整理得：12（1-13+13-15+15-17+12n-1-12n+1）=1735，即1-12n+1=3435，移项合并得：12n+1=135，即2n+135，解得：n17，经检验n17是分式方程的解，则n的值为17【知识点3 换元法解分式方程】换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系例解方程： 另（xy）=u，则原方程转换为： 方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求
28、解，以简化计算。注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。【题型4 换元法解分式方程】【例4】（2021春平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）22（x2+1）30的过程解：设x2+1y，则原方程可变形为y22y30解得y13，y21当y3时，x2+13，x2当y1时，x2+11，x22，此方程无实数解原方程的解为：x1=2，x2=-2我们将上述解方程的方法叫做换元法，请用换元法解方程：（x-1x）22（x-1x）80【分析】根据材料的提示，可以利用换元法解答分式方程，设x-1x=a，把分式方程化为整式方程，解出并
29、验根即可【解答】解：（x-1x）22（x-1x）80，设x-1x=a，则a22a80，解得a2或a4，当a2时，x-1x=-2，解得x=13，经检验x=13是分式方程的解，当a4时，x-1x=4，解得x=-13，经检验x=-13是分式方程的解，原分式方程的解是x1=13，x2=-13【变式4-1】（2021春松江区期末）用换元法解方程2xx2-1-x2-1x+70时，可设y=xx2-1，那么原方程可化为关于y的整式方程是 2y2+7y10【分析】根据题意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可【解答】解：设y=xx2-1，则x2-1x=1y，原方程可变行为：2y-1y+70，去分母，得：2y2+
30、7y10，故答案为：2y2+7y10【变式4-2】（2020春青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题解方程：x-1x-4xx-1=0解：设y=x-1x，则原方程化为：y-4y=0，方程两边同时乘y得：y240，解得：y2，经检验：y2都是方程y-4y=0的解，当y2时，x-1x=2，解得：x1，当y2时，x-1x=-2，解得：x=13，经检验：x1或x=13都是原分式方程的解，原分式方程的解为x1或 x=13上述这种解分式方程的方法称为换元法问题：（1）若在方程x-14x-xx-1=0中，设y=x-1x，则原方程可化为：y4-1y=0；（2）若在方程x-1x+1-4x+4x-1=0中，设y=
31、x-1x+1，则原方程可化为：y-4y=0；（3）模仿上述换元法解方程：x-1x+2-3x-1-1=0【分析】（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；（3）利用换元法解分式方程，设y=x-1x+2，将原方程化为y-1y=0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可【解答】解：（1）将y=x-1x代入原方程，则原方程化为y4-1y=0；（2）将y=x-1x+1代入方程，则原方程可化为y-4y=0；（3）原方程化为：x-1x+2-x+2x-1=0，设y=x-1x+2，则原方程化为：y-1y=0，方程两边同时乘y得：y210解得：y1，经检验：y1都是方程y-1y=0的解当y1时，x-1
32、x+2=1，该方程无解；当y1时，x-1x+2=-1，解得：x=-12；经检验：x=-12是原分式方程的解，原分式方程的解为x=-12【变式4-3】（2021春玄武区校级期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化换元的实质是转化，关键是构造元和设元例如解方程组1x+1y=122x+1y=20，设m=1x，n=1y，则原方程组可化为m+n=122m+n=20，解之得m=8n=4，即1x=8，1y=4.所以原方程组的解为x=18，y=14.运用以上知识解决下列问题
33、：（1）求值：(1+111+113+117)(111+113+117+119)-(1+111+113+117+119)(111+113+117)=119（2）方程组6x+y+3x-y=59x+y-2x-y=1的解为x=2y=1（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1（x+2）4（4）解方程组32x+2-3y+1=111，2x+1+23y=86.（5）已知关于x、y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=9y=5，求关于x、y的方程组a1x2-2a1x+b1y=c1-a1a2x2-2a2x+b2y=c2-a2的解【分析】（1）设111+113+117=a，代入原
34、式化简即可得出结论；（2）设1x+y=a，1x-y=b，将原方程组变形，求得a，b，进而求出原方程组的解；（3）设x2+4x+3m，展开后因式分解，再将m代入即可得出结论；（4）将原方程组变形为122x-33y=11122x+23y=86，设2xm，3yn，解关于m，n的方程组，进而求得xy的值；（5）将关于x、y的方程组a1x2-2a1x+b1y=c1-a1a2x2-2a2x+b2y=c2-a2，变为a1(x2-2x+1)+b1y=c1a2(x2-2x+1)+b2y=c2，利用关于x、y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=9y=5，可得：x2-2x+1=9y=5，解这个
35、方程组可得原方程组的解【解答】解：（1）设111+113+117=a，原式（1+a）（a+119）（1+a+119）aa+119+a2+119aaa2-119a=119故答案为：119（2）设1x+y=a，1x-y=b，原方程组变为：6a+3b=59a-2b=1解得：a=13b=1x+y=3x-y=1解得：x=2y=1经检验，x=2y=1是原方程组的解故答案为：x=2y=1（3）设x2+4x+3m，原式m（m+2）+1m2+2m+1（m+1）2（x2+4x+3+1）2（x+2）22（x+2）4故答案为：（x+2）4（4）原方程组变形为：122x-33y=11122x+23y=86，设2xm，3
36、yn，则12m-3n=1112m+2n=86解得：m=16n=272x=163y=27x=4y=3（5）将关于x、y的方程组a1x2-2a1x+b1y=c1-a1a2x2-2a2x+b2y=c2-a2整理得：a1(x2-2x+1)+b1y=c1a2(x2-2x+1)+b2y=c2关于x、y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=9y=5，x2-2x+1=9y=5即：(x-1)2=9y=5解这个方程组得：x1=4y1=5，x2=-2y2=5原方程组的解为：x1=4y1=5，x2=-2y2=5【知识点4 增根的讨论】方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先
37、求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。【题型5 增根的讨论】【例5】（2020秋荷塘区校级期中）已知关于x的分式方程4x+1+3x-1=kx2-1（1）若方程有增根，求k的值（2）若方程的解为负数，求k的取值范围【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，代入整式方程计算即可求出k的值（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为负数求出k的范围即可；【解答】解：（1）分式方程去分母得：4（x1）+3（x+1）k，由这个方程有增根，得到x1或x1，将x1代入整式方程得：k6，将x1代入整式方程得：k8，则k的值为6或8（2
38、）分式方程去分母得：4（x1）+3（x+1）k，去括号合并得：7x1k，即x=k+17，根据题意得：k+170，且k+171且k+17-1，解得：k1，且k8【变式5-1】（2021岳麓区校级模拟）若解关于x的方程2x-5x-2+m2-x=1时产生增根，那么常数m的值为（）A4B3C4D1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，x3+m，由分式方程有增根，得到3+m2，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值【解答】解：方程两边都乘以x2，得：2x5mx2，x3+m方程有增根，3+m2，m1，故选：D【变式5-2】（2021春桐城市期末）已知关于x的分式方程m-2xx-2=13（1）若该方程有
39、增根，则增根是 2（2）若该方程的解大于1，则m的取值范围是 m53，且k4【分析】（1）根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，即可求出x的值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为负数求出m的范围即可【解答】解：（1）这个方程有增根，x20，x2故答案为：2；（2）分式方程去分母得：3（m2x）x2，去括号合并得：7x23m，即x=3m+27，根据题意得：3m+271，且3m+272，解得：m53，且m4故答案为：m53，且m4【变式5-3】（2020春百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根对于分式方程：2x-3+mx
40、x2-9=3x+3（1）若该分式方程有增根，则增根为x13，x23（2）在（1）的条件下，求出m的值，【分析】（1）分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x290，故方程产生的增根有两种可能：x13，x23；（2）由增根的定义可知，x13，x23是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m的值【解答】解：（1）2x-3+mxx2-9=3x+3，方程两边都乘（x+3）（x3）得2（x+3）+mx3（x3）原方程有增根，x290，解得x13，x23故答案为：x13，x23；（2）当x3时，m4，当x3时，m6故m的值为4或6【知识点5 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范
41、围】（1）方程无解，即方程的根为增根；（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根0，求解出字母取值范围；（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根0，求解出字母取值范围【题型6 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】【例6】（2021市中区校级二模）已知关于x的分式方程|2x|-a|x|-2=12有解，则a的取值范围是 a1且a4【分析】解分式方程用a表示|x|，根据关于x的分式方程有解得|x|0且|x|20，列不等式组求解集【解答】解：|2x|-a|x|-2=12，2|2x|2a|x|2，4|x|x|2a2，3|x|2a2，|x|=2a-23，关于x的分式方
42、程有解，2a-230，且|x|20，即2a-232，解得a1且a4故答案为：a1且a4【变式6-1】（2021秋北碚区校级期中）关于x的不等式组3x-46+1x+23x-2a22-x2-1有解且最多5个整数解，且使关于y的分式方程ay+3y-3+2=2y-33-y的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为（）A3B4C6D12【分析】根据分式方程的解法、一元一次不等式组的解法解决此题【解答】解：3x-46+1x+23，3x4+62（x+2）3x+22x+43x2x42x2x-2a22-x2-1，x2a2x2x+x2a+222x2axaax2关于x的不等式组3x-46+1x+23x-2a22-x2-1有解且最多5个整数解，4a2ay+3y-3+2=2y-33-y，ay+3+2（y3）32yay+3+2y632yay+2y+2y3+63（a+4）y6y=6a+4关于y的分式方程ay+3y-3+2=2y-33-y的
