1、第2讲 抛体运动的规律一、平抛运动1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。3.研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动。(2)竖直方向：自由落体运动。图14.基本规律如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴方向，竖直向下为y轴方向建立平面直角坐标系。(1)位移与时间的关系(2)速度与时间的关系【自测1】 一个物体以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，则运动时间为(不计空气阻力，重力加速度为g)()A. B.C. D.答案C二、一般的抛体运动1.定义：将物体以初
2、速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。3.研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动。(2)竖直方向：匀变速直线运动。4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图2所示)图2(1)水平方向：v0xv0cos_，F合x0。(2)竖直方向：v0yv0sin_，F合ymg。【自测2】 有A、B两小球，B的质量为A的两倍，现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力，如图3所示，为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是()图3A. B.C. D.答案A解析物体做斜抛运动的轨迹只与初速度的大小和方向有关，而与物体的质量无
3、关，A、B两小球的初速度相同，则运动轨迹相同，故A项正确。命题点一平抛运动基本规律的应用1.飞行时间由t知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。2.水平射程xv0tv0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。3.落地速度v，以表示落地速度与水平正方向间的夹角，有tan ，落地速度与初速度v0和下落高度h有关。4.速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔t内的速度改变量vgt是相同的，方向恒为竖直向下，如图4所示。图45.两个重要推论(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图5
4、所示，即xB。图5推导 (2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan 2tan 。推导【例1】 (20211月江苏新高考适应性考试，5)某生态公园的人造瀑布景观如图6所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的游泳池中。现制作一个为实际尺寸的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度应为实际的()图6A. B.C. D.答案B解析由题意可知，水流出后做平抛运动的水平位移和竖直位移均变为原来的，则有hgt2，得t，所以时间变为实际的，则水流出的速度v，由于水平位移变为实际的，时间变为实际的，则水流出的速度为实际的，故选B。【变式1】 (20211月湖南普高校招生适应性考试，2)有一圆柱形水井
5、，井壁光滑且竖直，过其中心轴的剖面图如图7所示。一个质量为m的小球以速度v从井口边缘沿直径方向水平射入水井，小球与井壁做多次弹性碰撞(碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，小球竖直方向速度大小和方向都不变)。不计空气阻力，从小球水平射入水井到落至水面的过程中，下列说法正确的是()图7A.小球下落时间与小球质量m有关B.小球下落时间与小球初速度v有关C.小球下落时间与水井井口直径d有关D.小球下落时间与水井井口到水面高度差h有关答案D解析根据分运动的独立性，小球在竖直方向的运动为自由落体运动，由hgt2知，小球下落时间仅与水井井口到水面高度差h有关，D项正确。命题点二有约束条件的平抛运动模
6、型模型1对着竖直墙壁平抛如图8所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t。图8【例2】 (2020山东滨州第二次模拟)如图9所示为一网球发球机，可以将网球以不同的水平速度射出，打到竖直墙上。O、A、B是竖直墙上三点，O与出射点处于同一水平线上，A、B两点分别为两次试验时击中的点，OAh1，OBh2，出射点到O点的距离为L，当地重力加速度为g，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是()图9A.出射速度足够大，网球可以击中O点B.发球间隔时间足够短，两个网球在下落过程中可相遇C.击中A点的网球的初速度大小为LD.网球击中B点时速度大小为答案D解析网球做平抛运动，不论
7、出射速度多大，竖直方向的位移也不为零，所以网球不能击中O点，故A错误；发球间隔时间足够短，但两个网球的水平位移不相等，竖直位移不相等，所以两个网球在下落过程中不可能相遇，故B错误；对于击中A点的网球，根据平抛运动的规律可得Lv0At1，h1gt，解得击中A点的网球的初速度大小为v0AL，故C错误；网球击中B点时，据平抛运动的规律可得Lv0Bt2，h2gt，解得击中B点的网球的初速度大小为v0BL，网球击中B点时速度大小为vB，故D正确。模型2斜面上的平抛问题1.顺着斜面平抛(如图10)图10方法：分解位移。xv0t，ygt2，tan ，可求得t。2.对着斜面平抛(垂直打到斜面，如图11)图11
8、方法：分解速度。vxv0，vygt，tan ，可求得t。【例3】 (2018全国卷17)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的()A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍答案A解析如图所示，可知xvt，xtan gt2则vygt2vtan 则落至斜面的速率v落v，即v落v，甲、乙两球抛出速度为v和，则可得落至斜面时速率之比为21。【变式2】 (多选) (2020河北石家庄市二模)如图12所示，倾角为30的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加
9、速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是()图12A.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为B.小球从抛出到落在斜面上的运动时间为C.小球抛出时距斜面底端的高度为D.小球抛出时距斜面底端的高度为答案AD解析设小球恰好垂直打到斜面上的时间为t，根据几何关系可得tan 60解得t，故A正确，B错误；小球垂直打到斜面上，根据平抛运动规律，则有xv0t，ygt2小球落在斜面上，根据几何关系得tan 30将t代入，联立解得h，故C错误，D正确。模型3半圆内的平抛问题如图13所示，半径和几何关系制约平抛运动时间t。图13hgt2，Rv0t，联立两方程可求t。【例4】 (多选)(2020山东济宁市第一次模拟)如
10、图14所示，在竖直平面内固定一半圆形轨道，O为圆心，AB为水平直径，有一可视为质点的小球从A点以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是()图14A.初速度越大，小球运动时间越长B.初速度不同，小球运动时间可能相同C.小球落到轨道的瞬间，速度方向可能沿半径方向D.小球落到轨道的瞬间，速度方向一定不沿半径方向答案BD解析平抛运动的时间由高度决定，与水平初速度无关，初速度大时，与半圆接触时下落的距离不一定比速度小时下落的距离大，故A错误；初速度不同的小球下落的高度可能相等，如碰撞点关于半圆过O点的竖直轴对称的两个点，运动的时间相等，故B正确；若小球落到半圆形轨道的瞬间垂直撞击半圆形
11、轨道，即速度方向沿半径方向，则速度方向与水平方向的夹角是位移方向与水平方向夹角的2倍，因为同一位置速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的两倍，两者相互矛盾，则小球的速度方向不会沿半径方向，故C错误，D正确。【变式3】 (2020四川宜宾市第二次诊断)如图15所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点，已知COD60，且不计空气阻力，则()图15A.两小球同时落到D点B.两小球初速度大小之比
12、为3 C.两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等D.两小球落到D点时的瞬时速率之比为1答案B解析由于A、C两点到D点的竖直高度不同，两球在空中运动时间不同，选项A错误；设圆弧形槽半径为R，对从A点抛出的小球，Rv1tA，tA，则v1R，对从C点抛出的小球，Rsin 60v2tC，tC，则v2，v1v23，选项B正确；设在D点速度方向与OD线夹角为，竖直分速度为vy，水平分速度为v0，则tan ，由v1v23和vy1vy2tAtC1知tan 1tan 2，选项C错误；设A、C两点抛出球落到D点时的瞬时速率分别为vA、vC，vA，vC，则vAvC，选项D错误。命题点三平抛运动的临界和极值问题【
13、例5】 (2020山东青岛市一模)如图16，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内下列说法正确的是()图16A.水从小孔P射出的速度大小为B.y越小，则x越大C.x与小孔的位置无关D.当y时，x最大，最大值为h答案D解析取水面上质量为m的水滴，从小孔喷出时由机械能守恒定律可知mgymv2，解得v，选项A错误；水从小孔P射出时做平抛运动，则xvthygt2解得xv2可知x与小孔的位置有关，由数学知识可知，当yhy
14、，即yh时x最大，最大值为h，并不是y越小x越大，选项D正确，B、C错误。【变式4】 (2020四川内江市上学期一模)套圈游戏是一项趣味活动，如图17，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45 m处水平抛出半径为0.1 m的圆环(圆环面始终水平)，套住了距圆环前端水平距离为1.0 m、高度为0.25 m的竖直细圆筒。若重力加速度大小g10 m/s2，则小孩抛出圆环的初速度可能是()图17A.4.3 m/s B.5.6 m/s C.6.5 m/s D.7.5 m/s答案B解析根据h1h2gt2得t s0.2 s 则平抛运动的最大速度v1 m/s6.0 m/s 最小速度v2 m/s5.0 m/s 则5
15、.0 m/sv6.0 m/s。课时限时练(限时：40分钟)对点练1平抛运动基本规律的应用1.人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，下列图中能表示出速度矢量的变化过程的是()答案C解析小球做平抛运动，只受重力作用，加速度方向竖直向下，所以速度变化的方向竖直向下，C正确。2.在某一高度匀速飞行的战机在离目标水平距离s时投弹，可以准确命中目标，现战机飞行高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则战机投弹时离目标的水平距离应为(不考虑空气阻力)()A.s B.s C.s D.s答案C解析设战机原来的速度大小为v，高度为h，根据平抛运动的规律可知炮弹在竖直方
16、向有hgt2，解得t，则在水平方向svtv；现战机高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则应有svt，hgt2，联立解得ss，故C正确，A、B、D错误。3.(2020西北狼联盟一诊联考)一个物体以初速度v0水平抛出，经过一段时间t后其速度方向与水平方向夹角为45，若重力加速度为g，则t为()A. B. C. D.答案B解析将末速度分解为水平和竖直方向的分速度，则有tan 45，解得 t，故B正确，A、C、D错误。4.(2020河南省实验中学砺锋培卓)如图1所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L。假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为，运
17、动员可视为质点，不计空气阻力。则有()图1A.tan 2 B.tan C.tan D.tan 1答案D解析运动员从最高点到落地的过程做平抛运动，根据对称性知平抛运动的水平位移为2L，则有Lgt2，解得t。运动员通过最高点时的速度为v，则有tan 1，故D正确，A、B、C错误。5.(2020黑龙江大庆实验中学开学考试)在做“研究平抛物体的运动”实验时，为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求：(1)将你认为正确的选项前面的字母填在横线上_。A.通过调节使斜槽的末端保持水平B.每次释放小球的位置必须不同C.每次必须由静止释放小球D.用铅笔记录小球位置时，每次必须严格地等距离下降E.小球运
18、动时不应与木板上的白纸(或方格纸)相触F.将球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线(2)如图2所示为一小球做平抛运动的闪光照相照片的一部分，图中背景方格的边长均为5 cm，如果取g10 m/s2，那么图2照相机的闪光频率是_ Hz；小球经过B点时的速度大小是_ m/s。答案(1)ACE(2)102.5解析(1)调节使斜槽末端保持水平，是为了保证小球做平抛运动，故A正确；要画同一运动的轨迹，必须每次释放小球的位置相同，且由静止释放，以保证获得相同的初速度，故B错误，C正确；平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，在相同时间里，位移越来越大，因此木条(或凹槽)下降的距离不应是等距的，故D错误
19、；平抛运动的物体在同一竖直面内运动，固定白纸的木板必须调节成竖直，小球运动时不应与木板上的白纸相接触，以免有阻力的影响，故E正确；球经过不同高度的位置记录在纸上后，取下纸，用平滑的曲线把各点连接起来，故F错误。(2)从图中看出，A、B、C 3个点间的水平位移均相等，x3L，因此这3个点是等时间间隔点。竖直方向两段相邻位移之差是个定值，即ygT22L解得T s0.1 s则闪光频率f Hz10 Hz小球运动中水平分速度的大小vx m/s1.5 m/s小球经过B点的竖直分速度vyB m/s2 m/s则经过B点的速度vB m/s2.5 m/s对点练2有约束条件的平抛运动模型6.(2020陕西渭南市教学
20、质量检测)如图3所示，A点为倾角为30的斜面底部，在A点的正上方某高度P点以初速度v0平抛一小球，小球打在斜面上B点，C为AB的中点。在P点将小球平抛的初速变为v时，小球恰好打在C点，则有()图3A.v B.vC.v0v D.v答案A解析过B点作一水平线，过C点作水平线的垂线交于M点，由几何关系可知，M点即为QB的中点，如果平抛运动的初速度为原来的一半，则轨迹交于M点，由于平抛运动的轨迹越往下则往竖直方向偏，所以落在斜面上C点的平抛运动轨迹与QB交于N点，则水平位移比轨迹交于M点的更小，即v，故A正确。7.(2020河南省六市4月联合调研)如图4所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB
21、为2 m，倾角为37，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为()图4A. m B. m C. m D. m答案A解析设AB高为h，则从A点抛出的小球运动的时间t1从D点抛出的小球运动的时间t2在水平方向上两物体水平位移之差为BC距离的一半有v0t1v0t2xv0t1代入数据得x m，故A正确，B、C、D错误。8.如图5，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1v2为 ()图
22、5A.tan B.cos C.tan D.cos 答案C解析设圆弧半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2。对球1：Rsin v1t1，Rcos gt，对球2：Rcos v2t2，Rsin gt，联立四式可得tan ，C正确。对点练3平抛运动的临界和极值问题9.(多选)如图6所示，一网球运动员将球在边界正上方某处水平向右击出，球的初速度垂直于球网平面，且刚好过网落在对方界内。相关数据如图，不计空气阻力，下列说法正确是()图6A.击球点高度h1与球网高度h2之间的关系为h11.8h2B.若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于，一定落在对方界内C.任意降低击球高度(仍大于h2)，只要球的初速
23、度合适，球一定能落在对方界内D.任意增加击球高度，只要球的初速度合适，球一定能落在对方界内答案AD解析由题意可知球通过水平位移s和s，所用的时间之比为23，则在竖直方向上，根据hgt2，可得，解得h11.8h2，故A正确；竖直方向上，根据hgt2，可得时间t，若保持击球高度不变，球恰不越界时，运动时间t1，故可得球的最大初速度v01；球恰好过网时，运动时间t2，故可得球的最小初速度v02s，故球初速度的取值范围是sv0，选项B错误；任意降低击球高度(仍大于h2)，存在一个临界高度h0，这个临界高度值满足h0h2gt2g()2，h0gt2g()2，联立得该临界高度h0h2，球的初速度v0，低于这
24、一高度击球，球不能落在对方界内，故选项C错误；增加击球高度，只要球的初速度合适，球一定能落到对方界内，故D正确。10.如图7所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为，网高为h，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，不计空气阻力，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是()图7A.Hh B.HhC.Hh D.Hh答案C解析将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线
25、时，则有v0，v0，联立解得Hh，故选项C正确。11.如图8所示是消防车利用云梯(未画出)进行高层灭火，消防水炮离地的最大高度H40 m，出水口始终保持水平且出水方向可以水平调节，着火点在高h20 m的楼层，其水平射出的水的初速度在5 m/sv015 m/s之间，可进行调节，出水口与着火点不能靠得太近，不计空气阻力，重力加速度g10 m/s2，则()图8A.如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x最大为40 mB.如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x最小为10 mC.如果出水口与着火点的水平距离x不能小于15 m，则射出水的初速度最小为5 m/sD.若该着火点高度为40 m，该消防车仍
26、能有效灭火答案B解析出水口与着火点之间的高度差为h20 m，又hgt2，t2 s，又5 m/sv015 m/s，因此出水口与着火点的水平距离x的范围为10 mx30 m，故A错误，B正确；如果出水口与着火点的水平距离不能小于15 m，则最小出水速度为7.5 m/s，故C错误；如果着火点高度为40 m，保持出水口水平，则水不能到达着火点，故D错误。12.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图9所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v
27、在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是()图9A.vL1B.vC.vD.v答案D解析发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动。当速度v最小时，球沿中线恰好过网，有：3hhv1t1联立得v1当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有v2t23hgt联立得v2所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范围为v，选项D正确。13.(多选)(20211月广东学业水平选择考适应性测试，8)如图10所示，排球比赛中运动员将排球从M点水平击出，排球飞到P点时，被对方运动员击出，球又斜向上飞出后落到M点正下方的N点，N点与P点等高，轨迹的最高点Q与M等高
28、，不计空气阻力，下列说法正确的有()图10A.排球两次飞行过程中加速度相同B.排球两次飞行过程中重力对排球做的功相等C.排球离开M点的速率比经过Q点的速率大D.排球到达P点时的速率比离开P点时的速率大答案ACD解析排球在空中的抛体运动只受重力而做匀变速曲线运动，加速度均为重力加速度g，故A正确；设排球的抛体高度为h，第一次从M到P，重力做正功为WGmgh，第二次做斜上抛运动从P到Q到N点，重力做功为零，即两次飞行过程重力对球做功不相等，故B错误；排球从M到P和从Q到N都是平抛运动，在M、Q点均只有水平方向的速度，高度h相同，由hgt2知运动时间t相同，但xMPxQN，由xv0t可知离开M点的速
29、率大于经过Q点的速率，故C正确；将排球从P到Q的斜上抛运动由逆向思维法可看成从Q到P的平抛运动，则由M到P和Q到P的平抛运动比较，运动高度相同，则运动时间相同，竖直分速度vy一样，但M到P的水平位移大，则水平速度v0较大，由v，可知从M到P的末速度大小大于从P到Q的初速度大小，故D正确。14.在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一固定的竖直杆，竖直杆上的三个水平支架上有三个完全相同的小球A、B、C，它们离地面的高度分别为3h、2h和h，当小车遇到障碍物P时，立即停下来，三个小球同时从支架上水平抛出，先后落到水平路面上，如图11所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是()图11A.三个小球落地时间差与车速有关B.三个小球落地点的间隔距离L1L2C.三个小球落地点的间隔距离L1L2D.三个小球落地点的间隔距离L1L2答案C解析平抛运动中，落地时间只与下落的高度有关，故A项错误；三个小球在竖直方向上做自由落体运动，由公式t可得下落时间之比为tAtBtC1，由于三个小球初速度相同，故水平位移之比xAxBxC1，则L1L2()(1)，故L1L2，故C正确，B、D错误。
