1、专题强化十五 电磁感应的综合问题【专题解读】 1.本专题是运动学、动力学、恒定电流、电磁感应和能量等知识的综合应用，高考既以选择题的形式命题，也以计算题的形式命题。2.学好本专题，可以极大地培养同学们数形结合的推理能力和电路分析能力，针对性的专题强化，可以提升同学们解决数形结合、利用动力学和功能关系解决电磁感应问题的信心。3.用到的知识有：左手定则、安培定则、右手定则、楞次定律、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、平衡条件、牛顿运动定律、函数图像、动能定理和能量守恒定律等。命题点一电磁感应中的图像问题1.题型简述借助图像考查电磁感应的规律，一直是高考的热点，此类题目一般分为两类：(1)由给定
2、的电磁感应过程选出正确的图像。(2)由给定的图像分析电磁感应过程，定性或定量求解相应的物理量或推断出其他图像。常见的图像有Bt图、t图、Et图、it图、vt图及Ft图等。2.解题关键弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键。3.解题步骤(1)明确图像的种类，即是Bt图还是t图，或者Et图、It图等。(2)分析电磁感应的具体过程。(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系。(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式。(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。(6)画图像
3、或判断图像。4.常用方法(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是分析物理量的正负，以排除错误的选项。(2)函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。类型1动生问题【例1】 (多选)(20211月广东学业水平选择考适应性测试，10)如图1所示，绝缘的水平面上固定有两条平行的光滑金属导轨，导轨电阻不计，两相同金属棒a、b垂直导轨放置，其右侧矩形区域内存在恒定的匀强磁场，磁场方向竖直向上。现两金属棒分别以初速度2v0和v0同时沿导轨自由运动，先后进入磁场区域。已知a棒离开磁
4、场区域时b棒已经进入磁场区域，则a棒从进入到离开磁场区域的过程中，电流i随时间t的变化图像可能正确的有()图1答案AB解析a棒以初速度2v0先进入磁场区域切割磁感线，产生的感应电流为i0，a棒受安培力做变减速直线运动，感应电流i也随之减小，即it图像的斜率逐渐变小；设当b棒刚进入磁场时a棒的速度为v1，此时的瞬时电流为i1；若v1v0，即i1，此时a、b棒产生的感应电动势相等，方向相反，回路中电流为零，不受安培力，两棒均匀速运动离开磁场，故A正确，C错误；若v1v0，即i1，此时a、b棒产生的电动势不等要抵消一部分，因b棒的速度大，电流方向与原a棒的电流方向相反即为负，大小为i，b棒通电受安培
5、力要减速，a棒受安培力而加速，则电流逐渐减小，故B正确，D错误。【变式1】 (多选)(2020山东卷，12)如图2所示，平面直角坐标系的第一和第二象限分别存在磁感应强度大小相等、方向相反且垂直于坐标平面的匀强磁场，图中虚线方格为等大正方形。一位于Oxy平面内的刚性导体框abcde在外力作用下以恒定速度沿y轴正方向运动(不发生转动)。从图示位置开始计时，4 s末bc边刚好进入磁场。在此过程中，导体框内感应电流的大小为I，ab边所受安培力的大小为Fab，二者与时间t的关系图像可能正确的是()图2答案BC解析第1 s内，ae边切割磁感线，由EBLv可知，感应电动势不变，导体框总电阻一定，故感应电流一
6、定，由安培力FBIL可知ab边所受安培力与ab边进入磁场的长度成正比；第2 s内，导体框切割磁感线的有效长度均匀增大，感应电动势均匀增大，感应电流均匀增大；第23 s内，导体框在第二象限内切割磁感线的有效长度保持不变，在第一象限内切割磁感线的有效长度不断增大，但两象限磁场方向相反，导体框的两部分感应电动势方向相反，所以第2 s 末感应电动势达到最大，之后便不断减小，第3 s末与第1 s末，导体框切割磁感线的有效长度相同，可知第3 s末与第1 s 末线框中产生的感应电流大小相等，A项错误，B项正确；第3 s末ab边进入磁场的长度是第1 s末的3倍，即ab边所受安培力在第3 s末的大小等于第1 s
7、末所受安培力大小的3倍，C项正确，D项错误。【变式2】 (20211月辽宁普高校招生适应性测试，6)如图3所示，“凹”字形金属线框右侧有一宽度为3L的匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里。线框在纸面内向右匀速通过磁场区域，t0时，线框开始进入磁场。设逆时针方向为感应电流的正方向，则线框中感应电流i随时间t变化的图像可能正确的是()图3答案A解析线框进入磁场0L时，金属线切割磁感线的有效长度为2L，线框中产生逆时针方向电流；线框进入磁场L3L时，金属线切割磁感线的有效长度为3L，线框中产生更大的逆时针方向电流；线框离开磁场0L时，金属线切割磁感线的有效长度为2L，线框中产生顺时针方向电流；线框离
8、开磁场L3L时，金属线切割磁感线的有效长度为3L，线框中产生更大的顺时针方向电流，故A项正确，B、C、D项错误。类型2感生问题【例2】 (2020山东六地市3月在线大联考)如图4甲，一矩形金属线圈abcd垂直匀强磁场并固定于磁场中，磁场是变化的，磁感应强度B随时间t的变化关系图像如图乙所示，则线圈的ab边所受安培力F随时间t变化的图像是图中的(规定向右为安培力F的正方向)()图4答案A解析01 s内，由楞次定律知，感应电流的方向为adcba，根据I，电流为定值，根据左手定则，ab边所受安培力的方向向左，为负值，由FBIL知，安培力均匀减小；12 s内，由楞次定律知，感应电流的方向为abcda，
9、根据I，电流为定值，根据左手定则，ab边所受安培力的方向向右，为正值，由FBIL知，安培力均匀增大。命题点二电磁感应中的平衡和动力学问题1.题型简述感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起。解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(共点力的平衡条件、牛顿运动定律、动能定理等)。2.处理方法状态特征处理方法平衡态加速度为零根据平衡条件列式分析非平衡态加速度不为零根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析3.基本思路解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度最大值或最小值的条件
10、。具体思路如下：【例3】 如图5所示，水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上，t0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动，t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为。重力加速度大小为g。求图5(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；(2)电阻的阻值。答案(1)Blt0(g)(2)解析(1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得Fmgma设金属杆到达磁场左边界时的速度为v
11、，由运动学公式有vat0当金属杆以速度v在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律知产生的电动势为EBlv联立式可得EBlt0(g)(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I，根据欧姆定律I式中R为电阻的阻值。金属杆所受的安培力为F安BlI因金属杆做匀速运动，有FmgF安0联立式得R。【变式3】 如图6所示，一阻值为R、边长为l的匀质正方形导体线框abcd位于竖直平面内，下方存在一系列高度均为l的匀强磁场区，磁场方向均与线框平面垂直，第1磁场区的磁感应强度大小为B1，线框的cd边到第1磁场区上边界的距离为h0。线框从静止开始下落，在通过每个磁场区时均做匀速运动，且通过每个磁场区的速度均
12、为通过其上一个磁场区速度的2倍。重力加速度大小为g，不计空气阻力。求：图6(1)线框的质量m；(2)第n和第n1个磁场区磁感应强度的大小Bn与Bn1所满足的关系。答案(1)(2)BnBn1解析(1)设线框刚进入第一个磁场区的速度大小为v1，由运动学公式得v2gh0，设线框所受安培力大小为F1，线框产生的电动势为E1，电流为I，由平衡条件得F1mg，由安培力的表达式得F1B1Il，E1B1lv1，I，联立解得m。(2)设线框在第n和第n1个磁场区速度大小分别为vn、vn1，由平衡条件得mg，mg，且vn12vn，联立解得BnBn1。命题点三电磁感应中的动力学和能量问题1.题型简述电磁感应过程的实
13、质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功来实现的。安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程；外力克服安培力做功的过程，则是其他形式的能转化为电能的过程。2.解题步骤(1)确定研究对象(导体棒或回路)。(2)弄清电磁感应过程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互转化。(3)根据能量守恒定律或功能关系列式求解。3.两类情况(1)若回路中电流恒定，可以利用电路结构及WUIt或QI2Rt直接进行计算。(2)若电流变化，则利用安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功。利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则减少的机械能等于产生的电能。【例4】 (20211月
14、河北学业水平选择性考试模拟演练，13)如图7甲所示，两条足够长的平行金属导轨间距为0.5 m，固定在倾角为37的斜面上。导轨顶端连接一个阻值为1 的电阻。在MN下方存在方向垂直于斜面向上、大小为1 T的匀强磁场。质量为0.5 kg的金属棒从AB处由静止开始沿导轨下滑，其运动过程中的vt图象如图乙所示。金属棒运动过程中与导轨保持垂直且接触良好，不计金属棒和导轨的电阻，取g10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8。图7(1)求金属棒与导轨间的动摩擦因数；(2)求金属棒在磁场中能够达到的最大速率；(3)已知金属棒从进入磁场到速度达到5 m/s时通过电阻的电荷量为1.3 C，求此过程中电
15、阻产生的焦耳热。答案(1)0.25(2)8 m/s(3)2.95 J解析(1)由图2可知，金属棒进入磁场前的加速度为a4 m/s2受力分析如图，根据牛顿第二定律有mgsin 37mgcos 37ma解得0.25。(2)动生电动势EBLvIFBIL由左手定则知安培力沿斜面向上，则有mgsin 37mgcos 37解得v8 m/s。(3)设金属棒进入磁场后下滑距离为x，E，I，qIt由1.3 C，可得x2.6 m，则hxsin 372.60.6 m1.56 m由能量守恒定律得mv2mvmgxcos 37Qmgh解得Q2.95 J。【变式4】 (2020江苏卷，15)如图8所示，电阻为0.1 的正方
16、形单匝线圈abcd的边长为0.2 m，bc边与匀强磁场边缘重合。磁场的宽度等于线圈的边长，磁感应强度大小为0.5 T。在水平拉力作用下，线圈以8 m/s的速度向右穿过磁场区域。求线圈在上述过程中图8(1)感应电动势的大小E；(2)所受拉力的大小F；(3)感应电流产生的热量Q。答案(1)0.8 V(2)0.8 N(3)0.32 J解析(1)感应电动势EBlv代入数据得E0.8 V。(2)感应电流I拉力的大小等于安培力，FBIl解得F，代入数据得F0.8 N。(3)运动时间t焦耳定律QI2Rt解得Q，代入数据得Q0.32 J。【变式5】 (2020湖南怀化市上学期期末)如图9所示，两平行光滑不计电
17、阻的金属导轨竖直放置，导轨上端接一阻值为R的定值电阻，两导轨之间的距离为d。矩形区域abdc内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，ab、cd之间的距离为L。在cd下方有一导体棒MN，导体棒MN与导轨垂直，与cd之间的距离为H，导体棒的质量为m，电阻为r。给导体棒一竖直向上的恒力，导体棒在恒力F作用下由静止开始竖直向上运动，进入磁场区域后做减速运动。若导体棒到达ab处的速度为v0，重力加速度大小为g。求：图9(1)导体棒到达cd处时速度的大小；(2)导体棒刚进入磁场时加速度的大小；(3)导体棒通过磁场区域的过程中，通过电阻R的电荷量和电阻R产生的热量。答案(1)(2)g(3)(F
18、mg)(HL)mv解析(1)根据动能定理(Fmg)Hmv2解得导体棒到达cd处时速度的大小v。(2)根据牛顿第二定律mgFAFma安培力FABIdIEBdv导体棒刚进入磁场时加速度的大小ag。(3)导体棒通过磁场区域的过程中，通过电阻R的电荷量qt，通过电阻R的电荷量q解得q根据动能定理(Fmg)(HL)WAmv电路中的总热量QWA电阻R中的热量QRQ解得QR(Fmg)(HL)mv。课时限时练(限时：40分钟)对点练1电磁感应中的图像问题1.(2020吉林市第三次调研)如图1所示，空间分布着宽为L，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一金属线框从磁场左边界匀速向右通过磁场区域。规定逆时针方向为电流的
19、正方向，则感应电流随位移变化的关系图像(ix)正确的是()答案D解析线圈位移小于L时，根据楞次定律，感应电流为逆时针方向，为正，且I1，大小不变；位移大于L小于2L时，此时磁通量向里增大，根据楞次定律，感应电流为逆时针方向，为正，且I22I1，大小不变；当位移大于2L小于3L时，磁通量向里减小，根据楞次定律，感应电流为顺时针方向，为负，且I33I1，所以A、B、C错误，D正确。2.(2020山东烟台市高考诊断一模)如图2所示，有两个相邻的有界匀强磁场区域，磁感应强度的大小均为B，磁场方向相反，且与纸面垂直，两磁场边界均与x轴垂直且宽度均为L，在y轴方向足够宽。现有一高和底均为L的等腰三角形导线
20、框，顶点a在y轴上，从图示x0位置开始，在外力F的作用下向右沿x轴正方向匀速穿过磁场区域。在运动过程中，线框bc边始终与磁场的边界平行。线框中感应电动势E大小、感应电流i大小、线框所受安培力F安大小、外力F大小这四个量分别与线框顶点a移动的位移x的关系图像中正确的是 ()图2答案B解析线框从开始进入到全部进入第一个磁场时，因切割的有效长度均匀减小，故由EBLv可知，电动势也均匀减小；由闭合电路欧姆定律得，感应电流也均匀减小；匀速运动，外力F与安培力大小相等，FF安，外力F与安培力不是均匀减小，不是线性关系，故B正确，A、C、D错误。3.(2020广东中山市上学期期末)如图3所示，有一个等腰直角
21、三角形的匀强磁场区域其直角边长为L，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。边长为L、总电阻为R的正方形导线框abcd，从图示位置开始沿x轴正方向以速度v匀速穿过磁场区域，取沿abcda的感应电流为正，则表示线框中电流i随bc边的位置坐标x变化的图像正确的是()图3答案C解析bc边的位置坐标x在L2L过程，线框bc边有效切割长度为lxL，感应电动势为EBlvB(xL)v，感应电流I，电流逐渐增大；根据楞次定律判断出来感应电流方向为abcda，为正值。x在2L3L过程，根据楞次定律判断出来感应电流方向为adcba，为负值，线框ad边有效切线长度为lx2L，感应电动势为EBlvB(x2L)v，感
22、应电流I，电流逐渐增大，选项C正确，A、B、D错误。对点练2电磁感应中的平衡和动力学问题4.(多选)(2020湖北十堰市上学期期末)如图4甲所示，abcd为由金属导体做成的框架，其平面与水平面所成角度为，质量为m的导体棒PQ与ab、cd接触良好，回路的总电阻为R，整个装置放在垂直于框架平面的变化的磁场中，磁场的磁感应强度变化情况如图乙所示(取磁场方向垂直框架平面向上为正)，PQ始终静止。关于PQ与ab、cd间摩擦力Ff在0到t1内变化情况的说法中，有可能正确的是()图4A.Ff一直增大 B.Ff一直减小C.Ff先增大，后减小 D.Ff先减小，后增大答案AD解析根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的
23、欧姆定律可得感应电流IS，其中磁感应强度的变化率为定值，所以在线圈中产生恒定的感应电流，根据楞次定律可知电流方向逆时针，根据左手定则可知开始导体棒PQ受到沿导轨向上的安培力，若开始安培力小于导体棒重力沿导轨向下的分力mgsin ，则摩擦力方向沿导轨向上，其大小为Ffmgsin F安，随着安培力的减小，摩擦力Ff逐渐增大，当安培力为零时，摩擦力达到最大；若开始安培力大于mgsin ，则摩擦力方向沿导轨向下，其大小为FfF安mgsin ，由于安培力逐渐减小，摩擦力逐渐减小，当F安mgsin 时，摩擦力为零并开始反向变为Ffmgsin F安，Ff随着安培力的减小将逐渐增大；综上分析知，A、D正确，B
24、、C错误。对点练3电磁感应中的动力学和能量问题5.(多选)(2020安徽六安市省示范高中教学质检)如图5甲所示，足够长光滑水平导轨MN、PQ间连接两定值电阻R13 ，R26 ，导轨间距L0.5 m，整个装置处在磁感应强度B1 T的匀强磁场中，质量m0.1 kg的导体棒ab垂直导轨放置，在外力F作用下由静止开始做匀加速运动，Ft图像如乙图所示，则下列选项正确的是()图5A.导体棒匀加速运动的加速度a2 m/s2B.导体棒电阻r1 C.t2 s时电阻R1的热功率 WD.02 s内通过R1的电荷量为0.5 C答案AC解析由Ft图像得t0时，F安0，F0.2 N，则a2 m/s2，选项A正确；2 s末
25、速度vat4 m/s，此时F安0.25 N，由F安得R总4 ，又R总r，得r2 ，B错误；在2 s末时刻，电路电流I0.5 A，流过R1电流I1I A，R1的热功率为P1IR1 W，C正确；02 s内，导体棒的位移xat24 m，电路的总电荷量为Q0.5 C，流过R1的电荷量为C，D错误。6.(多选)(2020宁夏石嘴山市4月模拟)如图6所示，足够长的光滑U形导轨宽度为L，电阻不计，其所在平面与水平面的夹角为，上端连接一个阻值为R的电阻，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面向上。现有一质量为m、有效电阻为r的金属杆沿框架由静止下滑，设磁场区域无限大，当金属杆下滑达到最大速度vm时，
26、运动的位移为x，则()图6A.在此过程中金属杆的速度均匀增加B.金属杆下滑的最大速度C.在此过程中流过电阻R的电荷量为D.在此过程中电阻R产生的焦耳热为mgxsin mv答案BC解析对金属杆受力分析，根据牛顿第二定律有mgsin BILma根据闭合电路欧姆定律有I联立解得mgsin ma可知，随着速度的增大，加速度不断减小，故金属杆做加速度减小的加速运动，所以速度不是均匀增大；当加速度为零时，速度达到最大，则有mgsin 0解得vm，故A错误，B正确；在此过程中流过电阻R的电荷量为qt，又，联立解得q，故C正确； 根据能量守恒定律得，在此过程中回路中产生的总热量为Qmgxsin mv，电阻R产
27、生的焦耳热为QRQ(mgxsin mv)，故D错误。7.(2020天津市红桥区第一次模拟)如图7所示，竖直放置的固定平行光滑导轨ce、df的上端连一电阻R09 ，导体棒ab水平放置在一水平支架MN上并与竖直导轨始终保持垂直且接触良好，在导轨之间有图示方向磁场，磁感应强度随时间变化的关系式为B3t(T)，abdc为一正方形，导轨宽L1 m，导体棒ab质量m0.9 kg，电阻R1 ，导轨电阻不计。(g取10 m/s2)求：图7(1)t2 s时导体棒ab对水平支架的压力大小为多少；(2)t2 s以后磁场保持恒定，某时刻撤去支架MN使ab从静止开始下落，求ab下落过程中达到的最大速度vm。答案(1)7
28、.2 N(2)2.5 m/s解析(1)根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势EL231 V3 V根据闭合电路的欧姆定律可得I A0.3 A根据楞次定律可知电流方向从a到b。t2 s时，B6 T，根据安培力的计算公式可得FBIL60.31 N1.8 N，方向向上；FNmgF0.910 N1.8 N7.2 N。由牛顿第三定律知FNFN7.2 N。(2)在棒ab下落过程中，安培力F与棒ab的重力相等时导体棒达到最大速度，由EmBLvm，Im，FBImL，可得Fmg，解得vm2.5 m/s。8.(2020福建厦门市五月质检)如图8所示，质量M1 kg的绝缘板静止在水平地面上，与地面间的动摩擦因数10.1
29、。金属框ABCD放在绝缘板上，质量m2 kg，长L12 m，宽L21 m，总电阻为0.1 ，与绝缘板间的动摩擦因数20.2。S1、S2是边长为L0. 5 m的正方形区域，S1中存在竖直向下、均匀增加的磁场B1，其变化率2 T/s；S2中存在竖直向上的匀强磁场，大小为B22 T。将金属框ABCD及绝缘板均由静止释放，重力加速度g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求释放时：图8(1)金属框ABCD所受安培力的大小与方向；(2)金属框ABCD的加速度大小。答案(1)5 N水平向右(2) m/s2解析(1)释放时，由法拉第电磁感应定律得EL2IFB2IL解得F5 N，方向水平向右。(2)
30、假设金属框与绝缘板能相对静止，一起匀加速，则对整体而言F1(Mm)g(Mm)a解得a m/s2设此时金属框与绝缘板间的摩擦力大小为Ff，由牛顿第二定律FFfma解得Ff N而金属框与绝缘板之间的最大静摩擦力为Ffm2mg4 N由于FfFfm假设成立，金属框与绝缘板能相对静止一起加速，金属框此时的加速度大小为a m/s2。9.(2020江苏苏北四市第一次调研)如图9所示，竖直放置的光滑金属导轨水平间距为L，导轨下端接有阻值为R 的电阻。质量为m、电阻为r的金属细杆ab与竖直悬挂的绝缘轻质弹簧相连，弹簧上端固定。整个装置处在磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面的匀强磁场中。现使细杆从弹簧处于原长位置由静止释放，向下运动距离为h时达到最大速度vm, 此时弹簧具有的弹性势能为Ep。导轨电阻忽略不计，细杆与导轨接触良好，重力加速度为g，求：图9(1)细杆达到最大速度vm时，通过R的电流大小I；(2)细杆达到最大速度vm时，弹簧的弹力大小F；(3)上述过程中，R上产生的焦耳热Q。答案(1)(2)mg(3)(mghEpmv)解析(1)细杆切割磁感线，产生动生电动势EBLvm，I，可得I。(2)细杆向下运动h时，a0，有mgFBIL，可得Fmg。(3)由能量守恒定律得mgh EpmvQ总，QQ总，可得电阻R上产生的焦耳热Q(mghEpmv)。
