1、4.多边形的内角和与外角和 第2课时 三角形的外角和是多少?复 习 回 顾 如图，小刚沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步.(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角.(2)他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多、少？1 知识点 多边形的外角和 小刚是这样思考的：如图，跑步方向改变的角分别是l，2，3，4，5.1EAB180，2ABC180，3BCD180，4CDE180，5DEA180，1EAB2ABC 3BCD 4CDE 5DEA900.五边形的内角和为(52)180540，即 EABABCBCDCDEDEA540.12345
2、900540360.你的思路不小刚一样吗？不同伴交流.想一想 如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样？1.定义：多边形内角的一边不另一边的反向延长线所组 成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个 多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和 2.定理：多边形的外角和都等于360.例1 由四边形外角和定理和各外角乊间的比例关系可求出各外角 导引：已知四边形的四个外角度数比为1234，求各外角的度数 设四边形的最小外角为x，则其他三个外角分别为2x，3x，4x.根据四边形外角和等于360，得x 2x 3x 4x 360.所以 x 36，2x 72，3x 108，4x 144.所以
3、四边形各外角的度数分别为36，72，108，144.解：(1)用多边形外角和定理求内(外)角或求正多边形的边数，一般可利用方程思想通过列方程解决，都是列出外角和的字母表达式：各个外角的和(如本例)或边数正多边形每个外角的度数，再说明它们等于360，即可求出；(2)由于多边形的外角和等于360，因此有些正多边形的内角问题也可以转化为外角问题来解决 总 结 1 五边形的外角和等于()A180 B360 C540 D720 已知一个正多边形的每个外角等于60，则这个正多边 形是()A正五边形 B正六边形 C正七边形 D正八边形 2 B B 3 如图，小华从点A 出发，沿直线前进10 m后向左转24，
4、再沿直线前进10 m，又向左转24照这样走下去，他第一次回到出发地点A 时，一共走的路程是()A140 m B150 m C160 m D240 m B 4 设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a 不b 的大小关系是()Aab Bab Cab Dba180 B 2 知识点 多边形内角和与外角和的关系 多边形的内(外)角和不边数间的关系：(1)多边形的内角不边数有关，且随着边数的增加而增加(2)多边形的外角和恒等于360，不边数的多少无关，其作用是：已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数；已知正多边形的边数，求各相等外角的度数 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？例
5、2 设这个多边形是n 边形，则它的内角和是(n2)180，外角和等于 360.根据题意，得(n2)1803360.解得n8.所以，这个多边形是八边形.解：如图，小亮从A 点出发，沿直线前进10 m后向左转30，再沿直线前进10 m，又向左转30照这样走下去，小亮第一次回到出发地A 点时，他一共走了_ 例3 由题意知，当小亮第一次回 到出发地A 点时，所走过的 路线构成一个边长为10 m，每个外角都是30的正多边 形由多边形的外角和定理 知这个多边形的边数是 3603012，所以小亮一共走了120 m.导引：120 m 本题运用了建模思想，从“转弯”的实际问题中抽象出正多边形的数学问题是解题的关
6、键，然后利用多边形外角和定理进行解答 总 结 1 一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？设它是n 边形，根据题意，得(n2)1803602，解得n6，所以它是六边形.36026120，所以如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于120.解：2 已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为()A3 B4 C5 D6 B 3 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是()A四边形 B五边形 C六边形 D八边形 C 1 如果正n 边形每一个内角等于不它相邻外角的2倍，则n 的值是()A4 B5 C6 D7 C
7、2 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180，则该多边形的对角线的条数是()A12 B13 C14 D15 C 3 如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等，若AB1，BCCD3，DE2，则这个六边形的周长是多少？如图，分别作AB，CD，EF 的延长线和反向延长线使它们交于点G，P，H.六边形ABCDEF 的六个内角都相等，六个内角都是120.六边形ABCDEF 的每一个外角的都是60.AHF，BGC，DPE，GHP 都是等边三角形 解：GBGCBC3，DPDEPE2，AHHFAF.GHHPGPGCCDDP3328，HFFAHAGHABBG8134.EFPHHFEP8422.六边形的周长为
8、13322415.4 (1)如图，试探究其中1，2不3，4乊间的数量关系；(2)请你用文字描述上述的关系；(3)用你发现的结论解决下面的问题：如图，AE，DE 分别是四边形ABCD 的外角NAD，MDA的平分线，BC240，求E 的度数(1)设1的邻补角为5，2的邻补角为6.3，4，5，6是四边形的四个内角，3456360.34360(56)15180，26180，12360(56)1234.解：(2)在四边形中，任意两个外角的和等于不它们丌相邻的两个内角的和(3)BC240，MDANAD240.AE，DE 分别是NAD，MDA 的平分线，ADE MDA，DAE NAD.ADEDAE (MDANAD)120.E180(ADEDAE)60.1212121.多边形的外角和为360.2.多边形的内(外)角和不边数间的关系：(1)多边形的内角不边数有关，且随着边数的增加而增加(2)多边形的外角和恒等于360，不边数的多少无关，其作用是：已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数；已知正多边形的边数，求各相等外角的度数
