1、6.3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)一、选择题1已知空间两个角，与的两边对应平行，且60，则等于()A60 B120C30 D60或120D由等角定理，知与相等或互补，故60或120.2分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A一定平行 B一定相交C一定异面 D相交或异面D可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).3一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A相交 B异面C相交或异面 D平行C如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与B
2、C异面4空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是()A梯形 B矩形C平行四边形 D正方形D如图，因为BDAC，且BDAC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊BD，HG綊EF綊AC.所以FGHG，且FGHG.所以四边形EFGH为正方形5异面直线a，b，有a，b且c，则直线c与a，b的关系是()Ac与a，b都相交Bc与a，b都不相交Cc至多与a，b中的一条相交Dc至少与a，b中的一条相交D若c与a，b都不相交，c与a都在内，ac.又c与b都在内，bc.由基本事实4，可知ab，与已知条件矛盾如图，只有以下三种情况二、填空题6如图，正方体AB
3、CDA1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是_60连接AD1，则AD1BC1.CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACAD1CD1，CAD160，即AC与BC1所成的角为60.7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上结论正确的为_(填序号)把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，ABEF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确8.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为_60连
4、接BC1，AD1(图略)，MNBC1AD1，D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1(图略).ACD1是等边三角形，D1AC60.三、解答题9.如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1ABCD的棱A1A，C1C的中点求证：四边形B1EDF是平行四边形证明设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.E是AA1的中点，EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，EQ綊B1C1(基本事实4).四边形EQC1B1为平行四边形B1E 綊C1Q.又Q，F是DD1，C1C两边的中点，QD綊C1F.四边形QDFC1为平行四边形C1Q綊DF.B1E綊DF. 四边形B1EDF为平
5、行四边形10.如图所示，在长方体ABCDEFGH中，ABAD2，AE2.(1)求直线BC和EG所成的角；(2)求直线AE和BG所成的角解(1)连接AC(图略).EGAC，ACB即是BC和EG所成的角在长方体ABCDEFGH中，ABAD2，AE2，tan ACB1，ACB45，直线BC和EG所成的角是45.(2)AEBF，FBG即是AE和BG所成的角易知tan FBG，FBG60，直线AE和BG所成的角是60.11在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A相交 B异面C平行 D垂直A如图所示，连接BD1，CD1，CD1与C1D
6、交于点F，由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，所以EFBD1，所以直线A1B与直线EF相交，故选A.12在三棱锥ABCD中，ACBD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是()A菱形 B矩形C梯形 D正方形B如图，在ABD中，点H，E分别为边AD，AB的中点，所以HE綊BD，同理GF綊BD，所以HE綊GF，所以四边形EFGH为平行四边形又ACBD，所以HGHE，所以四边形EFGH是矩形，故选B.13.如图，空间四边形ABCD的对角线AC8，BD6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与
7、BD所成的角为90，则MN等于_5取AD的中点P，连接PM，PN，则BDPM，ACPN，MPN即异面直线AC与BD所成的角，MPN90，PNAC4，PMBD3，MN5.14如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填序号).中，G，M是中点，AG綊BM，GM綊AB綊HN，GHMN，即G，H，M，N四点共面；中，H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；中，G，M是中点，GM綊CD，GM綊HN，H，G，M，N四点共面；中，同，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面15在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60，BAC90，且ABACAA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值解如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDCA1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1AC1，则A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角设ABa，AA1与AC，AB所成的角均为60，且ABACAA1，A1Ba，BD1AC12AA1cos 30a.又BAC90，在矩形ABDC中，ADa，A1D1a，A1DA1B2BD，BA1D190，在RtBA1D1中，cos A1BD1.- 5 -
