1、第二章平面向量及其应用一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分1下列命题正确的是()A若R,ab,则a,b不共线B若|a|b|,则abC若a和b都是单位向量,则abD若m3a2b,nab,则mnD由m2n,得mn.2已知|a|8,e为单位向量,当它们的夹角为时,a在e方向上的投影数量为()A B C4 D4Da在e方向上的投影为|a|cos 84.3若向量(1,2),(4,2),则|()A2 B. 5 C. 20 D. 25B因为(3,4),所以|5.4已知向量a,b满足|a|1,|ab|,a(ab),则|b2a|()A. 2 B2 C4 D4A|b2a|2ab|(ab)a|2.5若向量
2、(3,4),d(1,1),且d5,那么d()A0 B4C4 D4或4Cdd()dd514.6已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若3 20,则等于()A B C1 D2D由已知,得()2()0,即20.2,2.7已知ABC的面积为,外接圆面积为,则这个三角形的三边之积为()A1 B2 C D4A由已知得,外接圆的半径为R1,由三角形的面积公式,得ab sin C,又sin C,abc1.8.如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD120,ABAD1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为()A BC D3A如图,以D为坐标原点,DA,DC所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐
3、标系连接AC,由题意知CADCAB60,ACDACB30,则D(0,0),A(1,0),B,C(0,).设E(0,y)(0y),则(1,y),y2y(0y),当y时,有最小值.故选A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分9已知向量ab(2,8),ab(8,16),则下列结论正确的是()A5B13Ca在b方向上的投影数量为Da在b方向上的投影数量为ABD由已知得a(3,4),b(5,12),所以5,13,ab63.所以a在b方向上的投影为.10黑板上有一道解答正确的解三角形的习题,一位同学不小心把其
4、中一部分擦去了,现在只能看到:在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a2,解得b.根据以上信息,你认为下面哪个选项不可以作为这个习题的其余已知条件()AA30,B45Bc1,cos CCB60,c3 DC75,A45ABC,A错;cos C,B错;cos 60,C错;对于D,由正弦定理得,b,故D正确11已知|a|1,ab,|ab|1,则下列结论正确的是()A|b|1Bb在a方向上的投影数量为C|ab|Da与b的夹角等于ABCD因为|ab|2|a|2|b|22ab1,即1|b|211,故|b|1.又|ab|2|a|2|b|22ab3,所以|ab|,设a与b的夹角为,因为ab|a|
5、b|cos ,且|a|1,所以|b|cos .由得cos .又0,所以.12设点M是ABC所在平面内一点,则下列说法中正确的是()A若,则点M是边BC的中点B若2,则点M在边BC的延长线上C若,则点M是ABC的重心D若xy,且xy,则MBC的面积是ABC面积的ACDA项,即,则点M是边BC的中点,所以A正确;B项,2,即,则点M在边CB的延长线上,所以B错误C项如图,设BC的中点为D,则2,由重心性质可知C正确D项,xy,且xy22x2y,2x2y1,设2,所以2x2y,2x2y1,可知B,C,D三点共线,所以MBC的面积是ABC面积的,所以D正确三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20
6、分把答案填在题中横线上13向量(k,12),(4,5),(10,k),若A,B,C三点共线,则k的值为_2或11(k,12)(4,5)(k4,7),(k,12)(10,k)(k10,12k).因为A,B,C三点共线,所以,所以(k4)(12k)7(k10)0,整理得k29k220,解得k2或11.14如图,在ABC中,P是BN上的一点,若m,则实数m的值为_B,P,N三点共线存在,使.().(1).又m,m1.15在边长为1的正三角形ABC中,设2,3,则_,与夹角的余弦值为_. 选,为基,则,()2211cos 60.又,则与夹角的余弦值为. 16平面直角坐标系中,e是单位向量,向量a满足a
7、e2,且|a|25|ate|对任意实数t成立,则|a|的取值范围是_,2不妨设e(1,0),由于ae2,可设a(2,s),则对任意实数t,有4s2|a|25|ate|5,这等价于4s25|s|,解得|s|1,4,即s21,16,于是|a|,2.四、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知向量a(1,x),b(2x3,x)(xR).(1)若ab,求x的值;(2)若ab,求|ab|.解(1)若ab,则ab(1,x)(2x3,x)2x3x20.即x22x30,解得x1或x3.(2)若ab,则有1(x)x(2x3)0,即x(2x4)0,解得x0
8、或x2.当x0时,a(1,0),b(3,0),|ab|(1,0)(3,0)|(2,0)|2.当x2时,a(1,2),b(1,2),|ab|(1,2)(1,2)|(2,4)|2.18(本小题满分12分)如图所示,甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处,此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处,此时两船相距10海里,问乙船每小时航行多少海里? 解如图所示,连接A1B2.由已知A2B210,A1A23010,A1A2A2B2.又A1A2B218012060,A1
9、A2B2是等边三角形,A1B2A1A210.由已知A1B120,B1A1B21056045.在A1B2B1中,由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200,B1B210.因此,乙船的速度的大小为6030(海里/小时).答:乙船每小时航行30海里19.(本小题满分12分)如图,已知RtOAB中,AOB90,OA3,OB2,M在OB上,且OM1,N在OA上,且ON1,P为AM与BN的交点,求MPN.解设a,b且,的夹角为,则b,a.又ba,ab,5,|,|,cos .又0,.又MPN即为向量,的夹角,MPN.20(本小题满分12分)已知ABC的外接圆
10、圆心为O,AB2,AC3,BC,求.解(),在上的投影数量为|,|2.同理,|.2.21(本小题满分12分)在ABC中,内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c,已知2cos C(a cos Bb cos A)c.(1)求C;(2)若c,求ABC的面积的最大值解(1)由2cos C(a cos Bb cos A)c,得2cos Cc,所以2c cos Cc,所以cos C,又C(0,),所以C.(2)由余弦定理得a2b22ab cos 7,整理得a2b2ab7,又a2b22ab,所以ab7,当且仅当ab时,取等号,所以ABC的面积为ab sin C7,所以ABC的面积的最大值为.22(本小题满分12分)已知ABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且3450.(1)求;(2)求ABC的面积解 (1)3450,345,即(34)2(5)2.可得9224162252.又|OA|OB|OC|1,2221,0.同理,.()()01.(2)|,|,又cos A,则sin A,SABC|sin A.- 10 -