2.6.1(第4课时)余弦定理与正弦定理的应用 课后练习(含答案解析)新教材北师大版必修第二册

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1、2.6.1(第4课时)余弦定理与正弦定理的应用一、选择题1从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系为()A BC90D180B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图,如图知,故选B.2.如图所示,在河岸AC测量河的宽度BC,图中所标的数据a,b,c,是可供测量的数据下面给出的四组数据中,对测量河宽较适宜的是()Ac和 Bc和bCc和 Db和Db在岸上比较好测量,和任选其一测量即可3一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为()A n mile/h B34 n mile/hC n

2、mile/h D34 n mile/hA如图所示,在PMN中,MN34,v(n mile/h).故选A.4在地面上点D处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60和30,已知建筑物底部高出地面D点20 m,则建筑物高度为()A20 m B30 m C40 m D60 mC如图,设O为建筑物顶端在地面的射影,在RtBOD中,ODB30,OB20,BD40,OD20.在RtAOD中,OAODtan 6060.ABOAOB40.故选C.5一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过 h,该船实际航程为()A2 km B6 kmC2

3、km D8 kmB如图所示,在ACD中,AC2,CD4,ACD60,AD2124822436.AD6.即该船实际航程为6 km.故选B.二、填空题6某人从A处出发,沿北偏东60行走3 km到B处,再沿正东方向行走2 km到C处,则A,C两地的距离为_km.7如图所示,由题意可知AB3,BC2,ABC150.由余弦定理,得AC2274232cos 15049,AC7.则A,C两地的距离为7 km.7如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30,45,且BAC135.若山高AD100 m,汽车从C点到B点历时14 s,则这辆

4、汽车的速度为_m/s.(精确到0.1,参考数据:1.414,2.236)22.6由题意,AB200 m,AC100 m,由余弦定理可得BC316.2(m),这辆汽车的速度为316.21422.6(m/s).8我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里记载了这样一个题目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里里法三百步欲知为田几何”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为_平方千米21设在ABC中,a13里,b14里,c15里,所以cos C,所以sin C,故ABC的面积为13145

5、00221(平方千米).三、解答题9.如图所示,在ABC中,ABAC2,BC2,点D在BC边上,ADC45,求AD的长度. 解在ABC中,由余弦定理,有cos C,则C30.在ACD中,由正弦定理,有,AD,即AD的长度等于.10济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字,其造型流畅别致,成了济南的标志和象征小明同学想测量泉标的高度,于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60,他又沿着泉标底部方向前进15.2 m,到达B点,又测得泉标顶端的仰角为80.你能帮小明同学求出泉标的高度吗?(精确到1 m)解如图所示,点C,D分别为泉标的底部和顶端依题意,得BAD60,CBD80,AB15.2 m,则ABD1

6、00,故ADB180(60100)20.在ABD中,根据正弦定理,得,BD38.5(m).在RtBCD中,CDBD sin 8038.5sin 8038(m),即泉城广场上泉标的高约为38 m11.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了三种测量方案(ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c):测量A,B,b;测量a,b,C;测量A,B,a.则一定能确定A,B间距离的所有方案的个数为()A3 B2 C1 D0A对于,利用内角和定理先求出CAB,再利用正弦定理解出c;对于,直接利用余弦定理c2a2b22ab cos C即可解出c;对于

7、,先利用内角和定理求出CAB,再利用正弦定理解出c.故选A.12甲船在湖中B岛的正南A处,AB3 km,甲船以8 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12 km/h的速度向北偏东60方向驶去,则行驶15 min时,两船的距离是()A km B kmC km D kmB由题意知AM82,BN123,MBABAM321,所以由余弦定理,得MN2MB2BN22MBBN cos 12019213()13,所以MN km.故选B.13.如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个四边形ABCD区域改造成公园,经过测量得到AB1 km,BC2 km,CD3 km,AD4 km,且ABC120,

8、则这个区域的面积是_km2.连接AC(图略),在ABC中,AB1 km,BC2 km,ABC120,利用余弦定理得AC2BC2AB22ABBC cos ABC412127,即AC km.在ACD中,因为AC km,CD3 km,AD4 km,所以AC2CD2AD2,则ACD为直角三角形,且ACD90.故S四边形ABCDSABCSACDABBCsin ABCACCD12sin 1203(km2).14.某班设计了一个八边形的班徽,它由腰长为1,顶角为的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形组成该八边形的面积为_2sin 2cos 2 三角形的底边长为x,S4S三角形S正方形411sin x22si

9、n 22cos 2sin 2cos 2.15为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1 km处不能收到手机信号检查员抽查青岛市一考点,在考点正西 km有一条北偏东60方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12 km的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格?解如图所示,考点为A,检查开始处为B,设检查员行驶到公路上C,D两点之间时收不到信号,即公路上C,D两点到考点的距离为1 km.在ABC中,ABkm,AC1 km,ABC30,由正弦定理,得sin ACBAB,ACB120(ACB60不合题意),BAC30,BCAC1 km.在ACD中,ACAD1 km,ACD60,ACD为等边三角形,CD1 km.605(min),在BC上需5 min,CD上需5 min.最长需要5 min检查员开始收不到信号,并持续至少5 min才算合格- 5 -

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