1、安徽省顶尖名校联盟2023届高三上学期12月联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合，则（ ）A. PB. QC. RD. S2. 设命题p：，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，3. 如图是函数的部分图象，则在上的值域为（ ）A. B. C. D. 4. 过坐标原点且与曲线相切的直线斜率为（ ）A. 1B. C. D. 5. 如图，中国古代建筑的举架结构的纵截面示意图，其中的线段，都是竖直放置的，线段，都是水平放置的，且.令，若，成公差为0.15的等差数列，且直线OA，OD的斜率分别为0.75，0.45，则（ ）A. 0.595B. 2.55C. 1.
2、6D. 0.72256. 已知函数，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 7. 在长方体中，则BD与平面所成的正弦值为（ ）A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象为曲线E，过E上一点P（位于x轴下方）作E的切线l与x的正半轴，y的负半轴分别交于B，C点，当l，E，x轴及y轴围成阴影部分的面积取得最小值时，P到x轴的距离为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：共4.小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 已知实数a，b满足且，则下列结论正确的有（ ）A. B.
3、 C. D. 10. 如图，正方形ABCD的边长为2，动点P在正方形内部及边上运动，则下列结论正确的有（ ）A. 点P在线段BC上时，为定值B. 点P在线段CD上时，为定值C. 的最大值为2D. 使的P点轨迹长度为11. 古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点，要先走完总路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走，这个人永远走不到终点，由于古代人们对无限认识的局限性，故芝诺得到了错误的结论.设，这个人走的第n段距离为，这个人走的前n段距离总和为，则下列结论正确的有（ ）A. ，使得B.
4、，使得C. ，使得D. ，使得12. 已知正四棱台上、下底面的面积分别为2和8，高为，则下列结论正确的有（ ）A. 正四棱台外接球的表面积的最小值为B. 当时，正四棱台外接球球心在正四棱台下底面下方C. 正四棱台外接球的半径随h的增大而增大D. 当时，正四棱台存在内切球三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13. 假设某地2022年年初的物价为1，每年以5%的增长率递增，则2030年年底物价的数值为_.14. 在长方体（平面为下底面）中，点F为线段的中点，则异面直线与BF所成角的余弦值为_.15. 在三角形ABC中，已知D，E分别为CA，CB上的点，且，AE与BD交于O点，若，则mn的值
5、为_.16. 已知三棱锥的高为3，D，E，F分别为VC，VA，VB的中点，若平面ABD，平面BCE，平面ACF相交于O点，则O到平面ABC的距离h为_.四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知平面向量，.（1）若，求x的值；（2）若（为负实数），求x，的值.18.（12分）已知是公差为3的等差数列，是公比为2的等比数列，且.（1）求，；（2）设的前n项和为，将集合用列举法表示出来.19.（12分）如图，四边形ABCD为正方形，平面平面ABCD，.（1）求三棱锥的体积；（2）求平面AEF与平面ABF夹角的正弦值.20.（12分）记的内角A，B，
6、C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求的面积；（2）若，求的周长.21.（12分）如图，AB是半球的直径，O为球心，C为半大圆弧的中点，P为同一半大圆弧上的任意一点（异于A，B），P在水平大圆面AOB内的射影为Q，过Q作于R，连接PR，OP.（1）若C，P为不同的两点，求证：；（2）若半大圆面ACB与水平大圆面夹角大小为，求三棱锥体积的取值范围.22.（12分）设函数，.（1）求的最小值，并证明：；（2）若不等式：成立，求实数a的取值范围.参考答案1.【答案】D【解析】由题意可知，则.2.【答案】B【解析】由的构成法则，选B.3.【答案】D【解析】由图象知函数的周期，即，即，由五点对应法得
7、，得，则，因为，所以，所以.4.【答案】B【解析】因为，所以，设切点为，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程的斜率为.5.【答案】A【解析】设，则，依题意，所以，所以，所以，所以.6.【答案】C【解析】由题意，为奇函数，同时也为上的增函数，因为，所以，所以，因为，所以，若不等式恒成立，只需，所以.7.【答案】C【解析】设，连接OD，因为平面，所以BD与平面所成角为，所以.8.【答案】A【解析】因为抛物线与x轴围成的面积为定值，所以l、E、x轴及y轴围成阴影部分的面积取得最小值等价于三角形BOC的面积取得最小值.设，所以切线l的斜率为，所以切线方程为，所以，且，所以，
8、记，令得，当时，当时，所以在单调递减，在单调递增.所以当时，取得最小值，此时P到x轴的距离为.9.【答案】AB【解析】且，故A正确.，当且仅当即，时等号成立，故B正确.，故C错误.，故D错误.10.【答案】AC【解析】如图，建立平面直角坐标系，设，则，所以点P在线段BC上时，故A正确.点P在线段CD上时，不为定值，故B错误.得，所以，当即点P与点C重合时，取得最大值2，故C正确.由得，易求得直线在正方形内线段长度为，故D错误.11.【答案】BC【解析】由已知得，不难得到，所以A错误.走n段距离后，剩下距离为，所以，所以B正确.，所以C正确，D错误.12.【答案】ABD【解析】设正四棱台上、下底
9、面的外接圆的半径分别为，外接球的半径为R，球心为O，因为正四棱台的上、下底面面积分别为2和8，所以上、下底面的边长分别为，所以，设球心O到上底面的距离为d，则或，所以，所以，当时，外接球半径最小，此时，所以外接球的表面积的最小值为，故A正确.易知和时，故C不正确.当时，所以，所以外接球球心在正四棱台下底面下方，故B正确.正四棱台内切球存在时，内切球大圆是图中梯形ABCD的内切圆，圆心E是上、下底面中心、连线的中点，设圆的半径为r，则，由可知，同理，故可知，在中，所以，.故D正确.13.【答案】【解析】从2022年年初到2030年年底经过了9年，所以2030年年底的物价为.14.【答案】【解析】
10、在长方体的上方补一个全等的长方体，则直线，所以，所以，异面直线与BF所成角的余弦值为.15.【答案】【解折】过E作，交DB于F，则，因为，所以，即，所以，所以，所以.16.【答案】【解析】如图所示，平面ABD与平面BCE交于BQ，平面ABD与平面ACF交于AP，所以O为AP与BQ的交点.因为D，E，F分别为VC，VA，VB的中点，所以P，Q分别为三角形VBC，VAC的重心，所以，连接DO并延长交AB于H，连接PQ，设PQ与DO交于S，则，所以，所以，设三棱锥的高为，所以，所以.17.【解析】（1）因为，所以，因为，所以，所以；（2）因为（为负实数），所以，因为，所以，解得，或，当时，所以；当时
11、，所以，不合题意，舍去，所以，.18.【解析】（1）因为，所以，解得，；（2）由得，所以，因为，所以，令，8，16，32，64，128，经过检验得，只有，5，21满足，所以.19.【解析】（1）因为平面平面ABCD，所以平面ABCD，平面ABCD，则，三棱锥的体积为；（2）以D为坐标系的原点，射线DA，DC，DE分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，所以，设平面AEF的法向量为，所以，令得，又平面AFB的一个法向量为，设平面AEF与平面ABF夹角为，所以.20.【解析】（1）由题意得，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，所以，；（2）因为，所以，由正弦定理得，所以，所以.21.【解析】（1）因为PQ垂直于水平大圆面AOB，所以，因为，所以平面PQR，所以，因为C为半大圆弧的中点，所以，因为C，P为不同的两点，且AB，OC，PR在同一个平面内，所以；（2）由，得，为半大圆面ACB与水平大圆面夹角的平面角，所以，设，由于对称性，不妨设，因为，所以，所以，所以三棱锥体积，设，所以，令，得，进一步得，当且仅当时，V取得最大值为，所以三棱锥体积的取值范围为.22.【解析】（1）令得，当时，时，所以，因为，所以，因为时，所以在上单调递减，所以，化简得，；（2）等价于，当，因为，所以，所以，由（1）得，所以；当时，即时，不成立，即不成立，综上，实数a的取值范围为.
