1、江西省南昌市初中十校联考九年级江西省南昌市初中十校联考九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）方程 x280 的解为（ ） Ax14，x24 Bx12，x22 Cx10，x22 Dx2 2 （3 分）下列说法正确的是（ ） A为了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式 B从只装有白球和红球的袋中任意摸出一个球，摸出红球是确定事件 C某种彩票中奖的概率是，买 1000 张这种彩票一定会中奖 D在一定条件下大量重复试验时，某个事件发生的
2、频率稳定在 0.6 附近摆动，估计该事件发生的概率为0.6 3 （3 分）关于抛物线 yx2+2x3 的判断，下列说法正确的是（ ） A抛物线的开口方向向上 B抛物线的对称轴是直线 x1 C抛物线对称轴左侧部分是下降的 D抛物线顶点到 x 轴的距离是 2 4 （3 分）如图，AB 是O 的弦，AC 与O 相切于点 A连接 OA，OB，若O140，则BAC 的度数是（ ） A60 B65 C70 D75 5 （3 分）如图是甲、乙两张完全相同的菱形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼接一个与原来面积相等的矩形，则（ ） A甲、乙都可以 B甲、乙都不可以 C甲不可以、乙可以 D甲可以、乙不可以
3、 6 （3 分） 如图， 点 P 是边长为的正方形 ABCD 的对角线 BD 上的动点， 过点 P 分别作 PEBC 于点 E，PFDC 于点 F，连接 AP 并延长，交射线 BC 于点 H，交射线 DC 于点 M，连接 EF 交 AH 于点 G，当点 P 在 BD 上运动时（不包括 B、D 两点） ，以下结论中：MFMC；AHEF；AP2PMPH；EF 的最小值是其中正确结论是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）若关于 x 的方程 x2+ax20 有一个根是 1，则 a 8 （3
4、分）若从2，0，1 这三个数中任取两个数，其中一个记为 a，另一个记为 b，则点 A（a，b）恰好落在 x 轴上的概率是 9 （3 分）如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，其位似中心为点 O，且，则 10 （3 分）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为 m（米） ，某车在标有 R300 处的弯道上从点 A 行驶了 100 米到达点 B，则线段 AB 米 11 （3 分）如图，点 A 在反比例函数 y（x0）的图象上，点 B 在 x 轴负半轴上，直线 AB 交 y 轴于点C，若，AOB 的面积为 6，则 k 的值为 12 （3 分）在半径为 5 的O 中，弦 AB8，P 是
5、弦 AB 所对的优弧上的动点，连接 AP，过点 A 作 AP 的垂线交射线 PB 于点 C，当PAB 是等腰三角形时，线段 BC 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 个小题，共个小题，共 30 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13 （3 分）解方程组 14 （3 分）如图，E，F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AD、BC 边上的点，且 AECF，连接 BE，DF求证：四边形 BFDE 是平行四边形 15 （6 分）如图，ABC 是O 内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图 （1）在图 1 中，画出一条与
6、 BC 相等的弦； （2）在图 2 中，画出一个与ABC 全等的三角形 16 （6 分）已知：关于 x 的一元二次方程 x2+x20 有两个实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）设方程的两根为 x1、x2，且满足（x1x2）2170，求 m 的值 17 （6 分）如图，已知平行四边形 OABC 中，点 O 为坐标原点，点 A（3，0） ，C（1，2） ，函数 y（k0）的图象经过点 C （1）求 k 的值及直线 OB 的函数表达式： （2）求四边形 OABC 的周长 18 （6 分）一副直角三角板叠放如图所示，现将含 45角的三角板 ADE 固定不动，把含 30角的三角板ABC 绕顶点 A
7、 顺时针旋转（BAD 且 0180） ，使两块三角板至少有一组边平行 （1）如图， 时，BCDE； （2）请你分别在图、图的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出 ，并完成各项填空： 图中 时， ；图中 时， 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 3 个小题：每小题个小题：每小题 8 分共分共 24 分，解应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 19 （8 分） 2020 年， 一场突然而来的新型冠状病毒肺炎疫情阻挡了学生们开学的脚步， 多地学校进行了 “战役在家，线上课堂”活动，保证学生离校不离学，为减少初中生被网络诈骗的案件，因此要求学生掌握防
8、诈骗知识并进行网络测评为了解某校学生的测试情况，从中随机抽取部分学生的成绩进行统计，并把测试成绩分为 ABCD 四个等次，绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题： （1）a ，b ，c （2）请将条形统计图补充完整，并计算表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数 （3）学校决定从 A 等次的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机选取两名学生参加全市中学生防网络诈骗知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名学生同时被选中的概率 20 （8 分）已知二次函数 yx2+2x+m （1）如果二次函数的图象与 x 轴有两个交点，求 m 的取值范围； （2）如图，二次函数的图象过点 A（3，0）
9、，与 y 轴交于点 B，直线 AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点 P，求点 P 的坐标 21 （8 分）已知 BC 是O 的直径，点 D 是 BC 延长线上一点，ABAD，AE 是O 的弦，AEC30 （1）求证：直线 AD 是O 的切线； （2）若 AEBC，垂足为 M，O 的半径为 4，求 AE 的长 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 个小题，共个小题，共 9 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22 （9 分）某网店正在热销一款电子产品，其成本为 10 元/件，销售中发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元
10、/件）之间存在如图所示的关系： （1）请求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元； （3）由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出 300 元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于 450 元，如何确定该款电子产品的销售单价？ 23 （9 分）在ABC 中，BAC90，ABAC，M 是 BC 边的中点，MNBC 交 AC 于点 N动点 P 从点 B 出发沿射线 BA 以每秒厘米的速度运动同时，动点 Q 从点 N 出发沿射线 NC 运动，且始终保持 MQ 丄 MP设运动时间为 t 秒（t
11、0） （1）PBM 与QNM 相似吗？以图 1 为例说明理由； （2）若ABC60，AB4厘米 求动点 Q 的运动速度； 设APQ 的面积为 S（平方厘米） ，求 S 与 t 的函数关系式 六、解答题（本大题共六、解答题（本大题共 1 个小题，共个小题，共 12 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 24 （12 分）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数 ya1x2+b1x+c1（a10，a1，b1，c1是常数）与 ya2x2+b2x+c2（a20，a2，b2，c2是常数）满足 a1+a20，b1b2，c1+c
12、20，则这两个函数互为“旋转函数” 求函数 y2x23x+1 的“旋转函数” 小组同学是这样思考的，由函数 y2x23x+1 可知，a12，b13，c11，根据 a1+a20，b1b2，c1+c20，求出 a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数” 请参照小组同学的方法解决下面问题： （1）函数 yx24x+3 的“旋转函数”是 ； （2）若函数 y5x2+（m1）x+n 与 y5x2nx3 互为“旋转函数” ，求（m+n）2022的值； （3）已知函数 y2（x1） （x+3）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A，B，C 关于原点的对称点分别是 A1，B1，C
13、1，试求证：经过点 A1，B1，C1的二次函数与 y2（x1） （x+3）互为“旋转函数” 2020-2021 学年江西省南昌市初中十校联考九年级（上）期末数学试卷学年江西省南昌市初中十校联考九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）方程 x280 的解为（ ） Ax14，x24 Bx12，x22 Cx10，x22 Dx2 【分析】移项得 x28，然后利用直接开平方法解方程即可 【解答】解：先移项得 x28
14、， 两边开方得 x2， 即 x12，x22 故选：B 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如 x2p 或（nx+m）2p（p0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程 2 （3 分）下列说法正确的是（ ） A为了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式 B从只装有白球和红球的袋中任意摸出一个球，摸出红球是确定事件 C某种彩票中奖的概率是，买 1000 张这种彩票一定会中奖 D在一定条件下大量重复试验时，某个事件发生的频率稳定在 0.6 附近摆动，估计该事件发生的概率为0.6 【分析】利用调查方式的选择、随机事件的判定、概率的意义等知识分别判断后即可确定正确的选项 【解答】
15、解：A、为了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽查的方法，故错误，不符合题意； B、从只装有白球和红球的袋中任意摸出一个球，摸出红球是随机事件，故原命题错误，不符合题意； C、某种彩票中奖的概率是，买 1000 张这种彩票不一定会中奖，故原命题错误，不符合题意； D、在一定条件下大量重复试验时，某个事件发生的频率稳定在 0.6 附近摆动，估计该事件发生的概率为0.6，正确，符合题意， 故选：D 【点评】考查了调查的方式、随机事件的确定及概率的意义等知识，考查知识点比较多，但比较简单 3 （3 分）关于抛物线 yx2+2x3 的判断，下列说法正确的是（ ） A抛物线的开口方向向上 B抛物线的对称轴是直
16、线 x1 C抛物线对称轴左侧部分是下降的 D抛物线顶点到 x 轴的距离是 2 【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、增减性以及顶点坐标，进一步可得出答案 【解答】解：yx2+2x3（x1）22， 抛物线开口向下，对称轴为 x1，顶点坐标为（1，2） ， 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大， A、B、C 不正确； 抛物线顶点到 x 轴的距离是|2|2， D 正确， 故选：D 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 ya（xh）2+k中，对称轴为 xh，顶点坐标为（h，k） 4 （3 分）如图，AB 是O 的弦，AC 与O 相切于点 A连接 OA
17、，OB，若O140，则BAC 的度数是（ ） A60 B65 C70 D75 【分析】由“AC 与O 相切于点 A“得出 ACOA，根据等边对等角得出OABOBA求出OAC及OAB 即可解决问题 【解答】解：AC 与O 相切于点 A， ACOA， OAC90， OAOB， OABOBA O140， OAB20， BACOACOAB902070 故选：C 【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 5 （3 分）如图是甲、乙两张完全相同的菱形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼接一个与原来面积相等的矩形，则（ ） A甲、乙都可以 B甲、
18、乙都不可以 C甲不可以、乙可以 D甲可以、乙不可以 【分析】甲、乙两张完全相同的菱形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自都可以拼接一个与原来面积相等的矩形 【解答】解：如图， 甲、乙两张完全相同的菱形纸片， 将它们分别沿着虚线剪开后， 各自都可以拼接一个与原来面积相等的矩形 故选：A 【点评】 本题考查了图形的剪拼、 菱形的性质、 矩形的性质， 解决本题的关键是掌握矩形和菱形的性质 6 （3 分） 如图， 点 P 是边长为的正方形 ABCD 的对角线 BD 上的动点， 过点 P 分别作 PEBC 于点 E，PFDC 于点 F，连接 AP 并延长，交射线 BC 于点 H，交射线 DC 于点 M，
19、连接 EF 交 AH 于点 G，当点 P 在 BD 上运动时（不包括 B、D 两点） ，以下结论中：MFMC；AHEF；AP2PMPH；EF 的最小值是其中正确结论是（ ） A B C D 【分析】错误， 正确想办法证明GFM+AMD90即可； 正确只要证明CPMHPC，可得，推出 PC2PMPH，根据对称性可知：PAPC，可得 PA2PMPH； 错误利用矩形的性质可知 EFPC，当 PCBD 时，EF 的值最小，最小值为 1； 【解答】解：错误因为当点 P 与 BD 中点重合时，CM0，显然 FMCM； 正确连接 PC 交 EF 于 O根据对称性可知DAPDCP， 四边形 PECF 是矩形，
20、 OFOC， OCFOFC， OFCDAP， DAP+AMD90， GFM+AMD90， FGM90， AHEF 正确ADBH， DAPH， DAPPCM， PCMH， CPMHPC， CPMHPC， ， PC2PMPH， 根据对称性可知：PAPC， PA2PMPH 错误四边形 PECF 是矩形， EFPC， 当 CPBD 时，PC 的值最小，此时 A、P、C 共线， AC2， PC 的最小值为 1， EF 的最小值为 1； 故选：B 【点评】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题 二、填空题（本大题
21、共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）若关于 x 的方程 x2+ax20 有一个根是 1，则 a 1 【分析】把 x1 代入方程得出 1+a20，求出方程的解即可 【解答】解：关于 x 的方程 x2+ax20 有一个根是 1， 把 x1 代入方程得：1+a20， 解得：a1， 故答案为：1 【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于 a 的一元一次方程是解此题的关键 8 （3 分）若从2，0，1 这三个数中任取两个数，其中一个记为 a，另一个记为 b，则点 A（a，b）恰好落在 x 轴上的概率是 【分析】利
22、用树状图得出所有的情况，从中找到使点 A（a，b）恰好落在 x 轴上的结果数，再根据概率公式计算可得 【解答】解：画树状图如下 由树状图知，共有 6 种等可能结果，其中使点 A 在 x 轴上的有 2 种结果， 故点 A（a，b）恰好落在 x 轴上的概率是 故答案为： 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率 9 （3 分）如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，其位似中心为点 O，且，则 【分析】直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案
23、【解答】解：四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，其位似中心为点 O，且， ， 则 故答案为： 【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键 10 （3 分）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为 m（米） ，某车在标有 R300 处的弯道上从点 A 行驶了 100 米到达点 B，则线段 AB 300 米 【分析】根据弧长公式求出AOB 的度数，根据等边三角形的性质即可求解 【解答】解：设线段 AB 对应的圆心角度数为 n， 100， n60， 又 AOBO， AOB 是等边三角形， ABAOBO300（米） ， 故答案为：300 【点评】本题考查了弧长的计算，
24、等边三角形的判定和性质，根据弧长公式求得AOB 的度数是解题的关键 11 （3 分）如图，点 A 在反比例函数 y（x0）的图象上，点 B 在 x 轴负半轴上，直线 AB 交 y 轴于点C，若，AOB 的面积为 6，则 k 的值为 6 【分析】 过点 A 作 ADy 轴于 D， 则ADCBOC， 由线段的比例关系求得AOC 和ACD 的面积，再根据反比例函数的 k 的几何意义得结果 【解答】解：过点 A 作 ADy 轴于 D，则ADCBOC， ， ，AOB 的面积为 6， 2， 1， AOD 的面积3， 根据反比例函数 k 的几何意义得， |k|6， k0， k6 故答案为：6 【点评】本题主
25、要考查了反比例函数的 k 的几何意义的应用，考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造相似三角形 12 （3 分）在半径为 5 的O 中，弦 AB8，P 是弦 AB 所对的优弧上的动点，连接 AP，过点 A 作 AP 的垂线交射线 PB 于点 C，当PAB 是等腰三角形时，线段 BC 的长为 8 或或 【分析】分三种情形：当 BABP 时当 ABAP 时，如图 1，延长 AO 交 PB 于点 D，过点 O 作OEAB 于点 E， 则 ADPB， AEAB4 当 PAPB 时， 如图 2， 连接 PO 并延长， 交 AB 于点 F，过点 C 作 CGAB，交 AB 的延长线于点 G，连接 OB，则
26、 PFAB，分别求解即可 【解答】解：当 BABP 时， 则 ABBPBC8，即线段 BC 的长为 8 当 ABAP 时，如图 1，延长 AO 交 PB 于点 D，过点 O 作 OEAB 于点 E，则 ADPB，AEAB4， BDDP， 在 RtAEO 中，AE4，AO5， OE3， OAEBAD，AEOADB90， AOEABD， ， BD， BDPD， 即 PB， ABAP8， ABDP， PACADB90， ABDCPA， ， CP， BCCPBP； 当 PAPB 时，如图 2，连接 PO 并延长，交 AB 于点 F，过点 C 作 CGAB，交 AB 的延长线于点 G，连接 OB，则 P
27、FAB， AFFB4， 在 RtOFB 中，OB5，FB4， OF3， FP8， PAFABPCBG，AFPCGB90， PFBCGB， 2， 设 BGt，则 CG2t， PAFACG，AFPAGC90， APFCAG， ， ，解得 t， 在 RtBCG 中，BCt， 综上所述，当PAB 是等腰三角形时，线段 BC 的长为 8 或或， 故答案为：8 或或 【点评】本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，数形结合，分类讨论是解答此题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 个小题，共个小题，共 30 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答
28、应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13 （3 分）解方程组 【分析】方程组利用代入消元负求解即可 【解答】解：， 由得：xy+2 把代入得：2（y+2）+y3y2， 解得：y， 把 y代入得 x， 方程组的解为： 【点评】此题考查了解二元一次方程组，掌握消元的思想和消元的方法是解题的关键，消元的方法有：代入消元法与加减消元法 14 （3 分）如图，E，F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AD、BC 边上的点，且 AECF，连接 BE，DF求证：四边形 BFDE 是平行四边形 【分析】由平行四边形的性质得到 ADBC，ADBC，由已知得到 EDBF，根据平行四边形的判定即可得到结论 【解答
29、】证明：ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， EDBF， 又AECF， 且 EDADAE，BFBCCF， EDBF， 四边形 BFDE 是平行四边形 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质是本题的关键 15 （6 分）如图，ABC 是O 内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图 （1）在图 1 中，画出一条与 BC 相等的弦； （2）在图 2 中，画出一个与ABC 全等的三角形 【分析】 （1）作直径 BD 和 CE，则利用圆的中心对称的性质得到 DEBC； （2）作点 A、B、C 关于点 O 的对称点得到ABC，则ABCABC 【解答】解： （1
30、）如图 1，DE 为所作； （2）如图 2，ABC为所作 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 16 （6 分）已知：关于 x 的一元二次方程 x2+x20 有两个实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）设方程的两根为 x1、x2，且满足（x1x2）2170，求 m 的值 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出m+80，根据二次根式的意义即可得出 m0，从而得出 m 的取值范围； （2）根据根与系数的
31、关系可得 x1+x2，x1x22，结合（x1x2）2170 即可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1）关于 x 的一元二次方程 x2+x20 有两个实数根， （）241（2）m+80，且 m0， 解得：m0 （2）关于 x 的一元二次方程 x2+x20 有两个实数根 x1、x2， x1+x2，x1x22， （x1x2）217（x1+x2）24x1x2170，即 m+8170， 解得：m9 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是： （1）牢记“当0 时，方程有两个实数根” ； （2）根据根与系数的关系结合（x1x2）2170 找
32、出关于 m 的一元一次方程 17 （6 分）如图，已知平行四边形 OABC 中，点 O 为坐标原点，点 A（3，0） ，C（1，2） ，函数 y（k0）的图象经过点 C （1）求 k 的值及直线 OB 的函数表达式： （2）求四边形 OABC 的周长 【分析】 （1）根据函数 y（k0）的图象经过点 C，可以求得 k 的值，再根据平行四边形的性质即可求得点 B 的坐标，从而可以求得直线 OB 的函数解析式； （2）根据题目中各点的坐标，可以求得平行四边形各边的长，从而可以求得平行四边形的周长 【解答】解： （1）依题意有：点 C（1，2）在反比例函数 y（k0）的图象上， kxy2， A（3，
33、0） CBOA3， 又 CBx 轴， B（4，2） ， 设直线 OB 的函数表达式为 yax， 24a， a， 直线 OB 的函数表达式为 yx； （2）作 CDOA 于点 D， C（1，2） ， OC， 在平行四边形 OABC 中， CBOA3，ABOC， 四边形 OABC 的周长为：3+3+6+2， 即四边形 OABC 的周长为 6+2 【点评】 本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式， 反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 18 （6 分）一副直角三角板叠放如图所示，现将含 45角的三角板 ADE 固定不动，把含
34、30角的三角板ABC 绕顶点 A 顺时针旋转（BAD 且 0180） ，使两块三角板至少有一组边平行 （1）如图， 15 时，BCDE； （2）请你分别在图、图的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出 ，并完成各项填空： 图中 60 时， BC DA ；图中 105 时， BC EA 【分析】 （1）利用两直线平行同位角相等，并求得 453015； （2）利用平行线的性质及旋转不变量求得旋转角即可 【解答】解： （1）CADCAB453015 （2）图中 60时，BCDA，图中 105时，BCEA 【点评】 本题考查了图形的旋转变化， 学生主要看清是顺时针还是逆时针旋转， 并判断旋转角为多少度
35、，难度不大，但易错 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 3 个小题：每小题个小题：每小题 8 分共分共 24 分，解应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 19 （8 分） 2020 年， 一场突然而来的新型冠状病毒肺炎疫情阻挡了学生们开学的脚步， 多地学校进行了 “战役在家，线上课堂”活动，保证学生离校不离学，为减少初中生被网络诈骗的案件，因此要求学生掌握防诈骗知识并进行网络测评为了解某校学生的测试情况，从中随机抽取部分学生的成绩进行统计，并把测试成绩分为 ABCD 四个等次，绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题： （1）a 2
36、 ，b 45 ，c 20 （2）请将条形统计图补充完整，并计算表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数 （3）学校决定从 A 等次的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机选取两名学生参加全市中学生防网络诈骗知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名学生同时被选中的概率 【分析】 （1）用 A 等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用总人数除以 5%得到 a 的值，用 8 乘以调查的总人数可得 b 的值，用 1 减去 A、C、D 等级的百分比得到 b 的值； （2）先计算出 B 等级人数，再补全条形统计图；然后用 360乘以 C 等级所占的百分比得到 C 等次的扇形所对的圆心角的度数； （3）
37、画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出甲、乙两名学生同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）1230%40， 所以这次活动共调查了 40 人； 所以 a405%2， c%100%20%，即 c20， b%130%20%5%45%，即 b45； 故答案为 2，45，20； （2）B 级的人数为 4045%18（人） ， 条形统计图补充为： 表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数36020%72； （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中甲、乙两名学生同时被选中的结果数为 2， 所以甲、乙两名学生同时被选中的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用
38、列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率也考查了统计图 20 （8 分）已知二次函数 yx2+2x+m （1）如果二次函数的图象与 x 轴有两个交点，求 m 的取值范围； （2）如图，二次函数的图象过点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 B，直线 AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点 P，求点 P 的坐标 【分析】 （1）由二次函数的图象与 x 轴有两个交点，得到22+4m0 于是得到 m1； （2）把点 A（3，0）代入二次函数的解析式得到 m3，于是确定二次函数的解析式为：yx2+2x+3，
39、求得 B（0，3） ，得到直线 AB 的解析式为：yx+3，把对称轴方程 x1，代入直线 yx+3 即可得到结果 【解答】解： （1）二次函数的图象与 x 轴有两个交点， 22+4m0 m1； （2）二次函数的图象过点 A（3，0） ， 09+6+m m3， 二次函数的解析式为：yx2+2x+3， 令 x0，则 y3， B（0，3） ， 设直线 AB 的解析式为：ykx+b， ， 解得：， 直线 AB 的解析式为：yx+3， 抛物线 yx2+2x+3，的对称轴为：x1， 把 x1 代入 yx+3 得 y2， P（1，2） 【点评】本题考查了二次函数与 x 轴的交点问题，求函数的解析式，知道抛物
40、线的对称轴与直线 AB 的交点即为点 P 的坐标是解题的关键 21 （8 分）已知 BC 是O 的直径，点 D 是 BC 延长线上一点，ABAD，AE 是O 的弦，AEC30 （1）求证：直线 AD 是O 的切线； （2）若 AEBC，垂足为 M，O 的半径为 4，求 AE 的长 【分析】 （1）先求出ABC30，进而求出BAD120，即可求出OAB30，结论得证； （2）先求出AOC60，用三角函数求出 AM，再用垂径定理即可得出结论 【解答】解： （1）如图， AEC30， ABC30， ABAD， DABC30， 根据三角形的内角和定理得，BAD120， 连接 OA，OAOB， OABA
41、BC30， OADBADOAB90， OAAD， 点 A 在O 上， 直线 AD 是O 的切线； （2）连接 OA，AEC30， AOC60， BCAE 于 M， AE2AM，OMA90， 在 RtAOM 中，AMOAsinAOM4sin602， AE2AM4 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理，求出AOC60是解本题的关键 五、解答五、解答题（本大题共题（本大题共 2 个小题，共个小题，共 9 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22 （9 分）某网店正在热销一款电子产
42、品，其成本为 10 元/件，销售中发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元/件）之间存在如图所示的关系： （1）请求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元； （3）由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出 300 元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于 450 元，如何确定该款电子产品的销售单价？ 【分析】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）设该款电子产品每天的销售利润为 w 元，根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得；
43、 （3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，根据题意得出 z10 x2+400 x300030010 x2+400 x3300，求出 z450 时的 x 的值，求解可得 【解答】解： （1）设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b，将（20，100） ， （25，50）代入 ykx+b， 得， 解得， y 与 x 的函数关系式为 y10 x+300； （2）设该款电子产品每天的销售利润为 w 元， 由题意得 w（x10） y （x10） （10 x+300） 10 x2+400 x3000 10（x20）2+1000， 100， 当 x20 时，w 有最大值，w 最大值为 1000 答：该款电子
44、产品销售单价定为 20 元时，每天销售利润最大，最大销售利润为 1000 元； （3）设捐款后每天剩余利润 z 元， 由题意可得 z10 x2+400 x300030010 x2+400 x3300， 令 z450，即10 x2+400 x3300450， x240 x+3750， 解得 x115，x225， 100， 当该款电子产品的销售单价每件不低于 15 元，且不高于 25 元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于450 元 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是理解题意，得出利润关于销售单价的函数关系式 23 （9 分）在ABC 中，BAC90，A
45、BAC，M 是 BC 边的中点，MNBC 交 AC 于点 N动点 P 从点 B 出发沿射线 BA 以每秒厘米的速度运动同时，动点 Q 从点 N 出发沿射线 NC 运动，且始终保持 MQ 丄 MP设运动时间为 t 秒（t0） （1）PBM 与QNM 相似吗？以图 1 为例说明理由； （2）若ABC60，AB4厘米 求动点 Q 的运动速度； 设APQ 的面积为 S（平方厘米） ，求 S 与 t 的函数关系式 【分析】 （1）可以证明两个三角形中的两个角对应相等，则两个三角形一定相似； （2）若 BP，根据PBMQNM，求得 NQ 的长，即 Q 一分钟移动的距离，即 Q 的速度； 分别用时间 t 表
46、示出 AP，AQ 的长，根据直角三角形的面积即可求得函数解析式 【解答】解： （1）相似 证明：MNBC 交 AC 于点 N，MQ 丄 MP， BMNPMQ90， 即BMP+PMNPMN+NMQ， PMBNMQ， ABC 与MNC 中，CC，ANMC90， ABCMNC， BMNC， PBMQNM； （2）在直角ABC 中，ABC60，AB4厘米， 则 BC8cm，AC12cm 由 M 为 BC 中点，得 BMCM4（cm） ， 若 BPcm 在 RtCMN 中，CMN90，MCN30， NC8cm， PBMQNM， ， 即 NQ1， 则求动点 Q 的运动速度是每秒钟 1cm APABBP4t
47、， AQAN+NQACNC+NQ128+t4+t， 则当 0t4 时，APQ 的面积为：SAPAQ（4t） （4+t）， 当 t4 时，APt4（t4） 则APQ 的面积为：SAPAQ（t4） （4+t） 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及相似三角形与函数的综合应用，利用时间 t 正确表示出题目中线段的长度是解题的关键 六、解答题六、解答题（本大题共（本大题共 1 个小题，共个小题，共 12 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 24 （12 分）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数 ya1x2+b
48、1x+c1（a10，a1，b1，c1是常数）与 ya2x2+b2x+c2（a20，a2，b2，c2是常数）满足 a1+a20，b1b2，c1+c20，则这两个函数互为“旋转函数” 求函数 y2x23x+1 的“旋转函数” 小组同学是这样思考的，由函数 y2x23x+1 可知，a12，b13，c11，根据 a1+a20，b1b2，c1+c20，求出 a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数” 请参照小组同学的方法解决下面问题： （1）函数 yx24x+3 的“旋转函数”是 yx24x3 ； （2）若函数 y5x2+（m1）x+n 与 y5x2nx3 互为“旋转函数” ，求（m+n）2022的
49、值； （3）已知函数 y2（x1） （x+3）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A，B，C 关于原点的对称点分别是 A1，B1，C1，试求证：经过点 A1，B1，C1的二次函数与 y2（x1） （x+3）互为“旋转函数” 【分析】 （1）由二次函数的解析式可得出 a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出 a2，b2，c2的值，此问得解； （2） 由函数 y5x2+ （m+1） x+n 与 y5x2nx3 互为 “旋转函数” ， 可求出 m， n 的值， 将其代入 （m+n）2021即可求出结论； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 A，B，C 的
50、坐标，结合对称的性质可求出点 A1，B1，C1的坐标，由点 A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点 A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出 a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由 a1+a20，b1b2，c1+c20 可证出经过点 A1，B1，C1的二次函数与函数 y2（x1） （x+3）互为“旋转函数” 【解答】 （1）解：由函数 yx24x+3 知，a11，b14，c13， a1+a20，b1b2，c1+c20， a21，b24，c23， yx24x3， 故答案为：yx24x3； （2）解：根据题意得：，解得， （m+n）2022（32）20221； （3）证
