1、 第四章相似三角形第四章相似三角形 一、选择题一、选择题（本大题有（本大题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1如图： ，： = 3：1， = 12，那么 CE 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 2如图，在 ABC 中，点 D、E 和点 F、G 分别是边 AB、AC 的三等分点， ABC 的面积为 18，则四边形 DEGF 的面积为（ ） A2 B3 C6 D9 3如图， G为 的重心， 点D在延长线上， 且 =12， 过D、 G的直线交于点E， 则为 （ ） A27 B34 C37 D47 4已知 ，如果 = 6，= 2.4，那么 与 的周长比为（ ）
2、A3：2 B3：4 C2：5 D5：2 5如图，CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的中线，过点 C 作 CECD 交 AB 的延长线于点 E，添加下列条件仍不能判断 CEB 与 CAD 相似的是（ ） ACBA2A B点 B 是 DE 的中点 CCECDCACB D （第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） （第 5 题） 6如图，等边 中，点 E 是的中点，点 D 在上，且 = 2，则（ ） A B C D 7如图所示，已知矩形的边长为 8cm，边长为 6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分） ，如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（ ） A21cm2 B24cm2 C2
3、7cm2 D30cm2 8如图， ，已知 = 90，=12，则的值为（ ） A54 B65 C52 D62 9如图， AD 是 ABC 的边 BC 上的中线， 点 E 是 AD 的中点， 连接 BE 并延长交 AC 于点 F， 则 AF： FC（ ） A1：2 B1：3 C1：4 D2：5 10如图，已知菱形的边长为 4，E 是的中点，平分交于点 F， 交于点G，若 = ，则的长是（ ） A3 B83 C2153 D52 （第 6 题） （第 7 题） （第 8 题） （第 9 题） （第 10 题） 二、填空题二、填空题（本大题有（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 3
4、0 分）分） 11如图，正方形 ABCD 中，点 F 在边 AB 上，且 AF：FB1：2，AC 与 DF 交于点 N （1）当 AB4 时，AN （2）SANF：S四边形CNFB （S 表示面积） 12四边形 ABCD 是一张矩形纸片，点 E 在 AD 上，将 ABE 沿 BE 折叠，使点 A 落在矩形的对角线BD 上，连接 CF，若 DE1，请探究下列问题： （1）如图 1，当 F 恰好为 BD 的中点时，AE ； （2）如图 2，当点 C、E、F 在同一条直线上时，AE 13如图， 矩形 中， = 2 ， E 为 的中点， 连接 、 交于点 P， 过点 P 作 于点 Q，则 = （第 1
5、1 题） （第 12 题） （第 13 题） 14如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，O 为 AB 的中点，OD 平分AOC 交 AC 于点 G，OD =OA，BD 分别与 AC，OC 交于点 E、F，连接 AD、CD，则 OG：BC 的值为 ；若 CE=CF，则 CF：OF 的值为 15如图，是 的中线，E 是上一点，且 = 4连接并延长交于点 F，过点 A 作 /交的延长线于点 G，则= 16如图， 在 中， = 90， = 4， = 6， 半径为 2， P 为圆上一动点， 连接， ， +12的最小值为 . （第 14 题） （第 15 题） （第 16 题） 三、解答题三、解答题（
6、本题有本题有 8 8 小题，第小题，第 17171919 题每题题每题 8 8 分，第分，第 20202222 题每题题每题 1010 分，第分，第 2323 题每题题每题 1212 分，第分，第 2424题题 1414 分，共分，共 8080 分分） 17（1）如图 1，在 ABC 中，D 为 AB 上一点，BCD=A，求证：BC2=BDAB （2）如图 2，在 ABC 中，AB=AC，BAC=36 ，CD 平分ACB，若 BC=1，求 AB 的长 18已知：如图，在 Rt 中， = 90 ， 于 ， 为直角边 的中点，射线 交 的延长线于点 （1）若 = 6 ， = 8 ，求 长； （2）
7、求证： = 19已知，如图，AB/DC，ABC+ADB=180 . （1）求证： ABDBDC； （2）若 AE 平分DAB，BF 平分DBC，且 BF=2AE，S ABD=3，求 S BDC 20已知：如图，在 ABC 中，点 D 在边 BC 上，AEBC，BE 与 AD、AC 分别相交于点 F、G， 2= （1）求证： CADCBG； （2）联结 DG，求证： = 21在四边形 ABCD 中， ， = 2， = 4 点 E 在 AB 上， 过点 E 作 交 CD 于点 F （1）若 = ，如图 1，则 EF 的长1= ； （2）若 = 2，如图 2，则 EF 的长2= ； （3）若 = 3
8、，如图 3，则 EF 的长3= ； （4）根据上述规律，若 = ，则 EF 的长= ，并证明你的猜想 22 中， = 90， = = 1， 点 E 为边上一点， 点 D 为延长线上一点， = ， 连接、，并延长交于 F，设 = （1）求证： ； （2）若 F 恰好是中点，求 x 的值； （3）设 =，当 =13时，求 y 的值 23如图 1， ABCDAE，BAC=ADE=90 。 （1）连接 CE，若 AB=1，点 B、C、E 在同一条直线上，求 AC 的长； （2）将 ADE 绕点 A 逆时针旋转 (090 )，如图 2，BC 与 AD 交于点 F，BC 的延长线与 AE交于点 N，过点
9、D，作/交 BC 于点 M，求证：BM=DM；MN2=NF NB. 24如图，在正方形 ABCD 中，B 为边 BC 上一点，连接 AE，过点 D 作 DNAE 交 AE、AB 分别于点 F、N （1）求证： ABEDAN； （2）若 E 为 BC 中点， 如图，连接 AC 交 DP 于点 M，求 CM：AM 的值； 如图，连接 CF，求 tanCFE 的值 答案与解析答案与解析 一、选择题一、选择题（本大题有（本大题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1如图： ，： = 3：1， = 12，那么 CE 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 【答案】A 【解析
10、】ABCDEF， =， ： = 3：1， = 12， 即31=12， CE3， 故答案为：A. 2如图，在 ABC 中，点 D、E 和点 F、G 分别是边 AB、AC 的三等分点， ABC 的面积为 18，则四边形 DEGF 的面积为（ ） A2 B3 C6 D9 【答案】C 【解析】点 D、E、F、G 分别是边 AB、AC 的三等分点， ，AD：AE：AB1：2：3， ADFAEGABC， S ADF：S AEG：S ABC1：4：9， ABC 的面积为 18， S ADF2，S AEG8， 四边形 DEGF 的面积为 826 故答案为：C 3如图， G为 的重心， 点D在延长线上， 且 =
11、12， 过D、 G的直线交于点E， 则为 （ ） A27 B34 C37 D47 【答案】D 【解析】如图所示， 连接 CG 并延长， 交 AB 于 F， 连接 AG 并延长， 交 BC 于 H， 连接 FH 交 DE 于 N， G 为 ABC 的重心， 是 ABC 的中位线， ， =12 ， = = ， ， =23， =32， ， =12 ，即 = 2， =232=43 ， =47 故答案为：D. 4已知 ，如果 = 6，= 2.4，那么 与 的周长比为（ ） A3：2 B3：4 C2：5 D5：2 【答案】C 【解析】 ， = 6 ， = 2.4 ， 与 的相似比为 =25 ， 与 的周长
12、比为 2：5 ； 故答案为：C. 5如图，CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的中线，过点 C 作 CECD 交 AB 的延长线于点 E，添加下列条件仍不能判断 CEB 与 CAD 相似的是（ ） ACBA2A B点 B 是 DE 的中点 CCECDCACB D 【答案】D 【解析】CECD， EDC90 ， BCA90 ， BCEDCA90 -BCD， CD 是 斜边 AB 上的中线， DCDBDA， DACA， BCEDCAA， CBA2A，CBA+A90 ， ABCEDCA30 ，CBA60 ， ECBA-BCE30 ， BCEDCAEA， CEBCAD， A 不符合题意； 点 B 是
13、 DE 的中点， BEBC， BCEE， BCEEDCAA， CEBCAD， B 不符合题意； CECDCACB， = BCEDCA， CEBCAD， C 不符合题意； 由=，由于E 和A 不能判断相等，故不能判断 CEB 与 CAD 相似， D 符合题意. 故答案为：D 6如图，等边 中，点 E 是的中点，点 D 在上，且 = 2，则（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 是等边三角形， = ， = = 60， 点 E 是的中点， = = 2， = 2， =12， = = 60， 故答案为：B. 7如图所示，已知矩形的边长为 8cm，边长为 6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分） ，
14、如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（ ） A21cm2 B24cm2 C27cm2 D30cm2 【答案】C 【解析】矩形与矩形相似， =， 86=6， =92， 矩形的面积92 6 = 27 故答案为：C 8如图， ，已知 = 90，=12，则的值为（ ） A54 B65 C52 D62 【答案】C 【解析】 ， =，ACB=ECD， =，ACE=BCD， ， =， = 90，=12， 22=14， 2+22=54即22=54， =52， =52， 故答案为：C 9如图， AD 是 ABC 的边 BC 上的中线， 点 E 是 AD 的中点， 连接 BE 并延长交 AC 于点 F，
15、 则 AF：FC（ ） A1：2 B1：3 C1：4 D2：5 【答案】A 【解析】作 DHAC 交 BF 于 H，如图， DHAF， EDHEAF，EHDEFA， DEAE， EDHEAF（AAS） ， DHAF， 点 D 为 BC 的中点，DHCF， DH 为 BCF 的中位线， CF2DH2AF， AF：FC1：2， 故答案为：A 10如图，已知菱形的边长为 4，E 是的中点，平分交于点 F， 交于点G，若 = ，则的长是（ ） A3 B83 C2153 D52 【答案】B 【解析】如图，作 垂直 于 H，延长 和 交于点 M， = ， = ， = ， 菱形 的边长为 4， = = =
16、= 4 ， ， 是 的中点， = = 2 ， = =12 = 1 ， ， = ， = ， = ， = = = = 4 ， ， = ， 平分 ， = ， = ， = ， 设 = ， 则 = ， = 4 ， = + = 8 ， 由 ， ， = ， 2=48 ， 解得 =83 . 故答案为：B. 二、填空题二、填空题（本大题有（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11如图，正方形 ABCD 中，点 F 在边 AB 上，且 AF：FB1：2，AC 与 DF 交于点 N （1）当 AB4 时，AN （2）SANF：S四边形CNFB （S 表示面积） 【答案】（1）2
17、 （2）1：11 【解析】四边形 ABCD 是正方形， ABCD，AB=CD = ， AF：FB1：2， AF：ABAF：CD1：3， =13 ， =14 ， AC= 2AB， 2=14 ， AN=24AB； AB=4 AN= 2 故答案为 2 ； （2）设 ANF 的面积为 m， AFCD， =13 ， AFNCDN， AFN 和 CDN 高的比=13 AFN 和 ADN 高的比=13 ADN 的面积为 3m， DCN 的面积为 9m， ADC 的面积 ABC 的面积12m， SANF：S四边形CNFB1：11， 12四边形 ABCD 是一张矩形纸片，点 E 在 AD 上，将 ABE 沿 B
18、E 折叠，使点 A 落在矩形的对角线BD 上，连接 CF，若 DE1，请探究下列问题： （1）如图 1，当 F 恰好为 BD 的中点时，AE ； （2）如图 2，当点 C、E、F 在同一条直线上时，AE 【答案】（1）12 （2）512 【解析】(1)当点 F 恰好为中点时，由折叠的性质得 ， = ， = ， 由折叠的性质得 = ， = = ， 又 + + = 90， = 30， = 30， = 30， = = 1， =12 =12 1 =12 故答案为：12； (2)当点 C、E、F 在同一直线上时， 根据翻折的性质可知： = = ， = ， = = 90， ()， = = 1， 设 = ，
19、可得 = ， = ， = ， ， 2= ， 12= ( + 1)， 解得： =1+52或 =152（舍去负值） ， =1+52， 故答案为：512 13如图， 矩形 中， = 2 ， E 为 的中点， 连接 、 交于点 P， 过点 P 作 于点 Q，则 = 【答案】43 【解析】四边形 ABCD 是矩形， ABCD，AB=CD，AD=BC，BAD=90 ， E 为 CD 的中点， DE= 12 CD= 12 AB， ABPEDP， = ， 21= ， =23 ， PQBC， PQCD， BPQDBC， =23 ， CD=2， PQ= 43 ， 故答案为： 43 14如图，在 RtABC 中，A
20、CB=90 ，O 为 AB 的中点，OD 平分AOC 交 AC 于点 G，OD =OA，BD 分别与 AC，OC 交于点 E、F，连接 AD、CD，则 OG：BC 的值为 ；若 CE=CF，则 CF：OF 的值为 【答案】12；2 【解析】为的中点，ACB=90 ， OB=OA=OC， OD 平分AOC 交 AC 于点 G， 点 G 为的中点， OG 为 ABC 的中位线， ，且 =12，即=12； = ， = ， = ， ， = 90， + = 90， = ， = ， = ， = ， = ， + = 90， = 90，即 ， 是等腰直角三角形， ： = 2：1； 由（1）知，/ ， = 2
21、故答案为：12；2 15如图，是 的中线，E 是上一点，且 = 4连接并延长交于点 F，过点 A 作/交的延长线于点 G，则= 【答案】421 【解析】AG/BC，AD= 4AE， =13 D 为 BC 的中点， BD=DC=12BC， AG/ BC， =16， BE= 3(GF+ FE)， BF= 6GF， 6GF- EF= 3GF+ 3EF， EF= 34GF， GF： BE=4： 21， 故答案为：421 16如图， 在 中， = 90， = 4， = 6， 半径为 2， P 为圆上一动点， 连接， ， +12的最小值为 . 【答案】37 【解析】如图， 在 CB 上取点 D，使 = 1
22、，则有=12， 又 = ， ， =12， =12， +12 = + . 要使 +12最小，只要 + 最小， 当点 A，P，D 在同一条直线时， + 最小， 即： +12最小值为 AD， 在 中， = 1， = 6， = 2+ 2= 37， +12的最小值为37. 故答案为：37. 三、解答题三、解答题（本题有本题有 8 8 小题，第小题，第 17171919 题每题题每题 8 8 分，第分，第 20202222 题每题题每题 1010 分，第分，第 2323 题每题题每题 1212 分，第分，第 2424题题 1414 分，共分，共 8080 分分） 17 （1）如图 1，在 ABC 中，D
23、为 AB 上一点，BCD=A，求证：BC2=BDAB （2）如图 2，在 ABC 中，AB=AC，BAC=36 ，CD 平分ACB，若 BC=1，求 AB 的长 【答案】（1）解：BCDA，BB BDCBCA = 2= （2）解：ABAC，BAC=36 BACB72 CD 平分ACB ACDBCD36 A BDC72 ACB BB ABCCBD = BDCB72 BC=CD=1 ACDA36 AD=BC=CD=1 设 BD=x，则 AB=x+1 1=+11 即2+ 1 = 0 解得： =152（负值舍去） =1+52 = + 1 =1+52+ 1 =1+52 18已知：如图，在 Rt 中， =
24、 90 ， 于 ， 为直角边 的中点，射线 交 的延长线于点 （1）若 = 6 ， = 8 ，求 长； （2）求证： = 【答案】（1）解：在 Rt 中， = 6 ， = 8 ， = 2+ 2= 62+ 82= 10 ， = 90 ， ， = = 90 ， B=B， ， = ， =2=3610= 3.6 ， = 3.6 ； （2）证明： 是 Rt 斜边 边上的中线， = = ， EAD=EDA，C=CDE， CDA=CAF=90 ， CDE=FAD=C， FDB=FAD， F=F， ， = ， 又= tan = tan = ， = ，即 = 19已知，如图，AB/DC，ABC+ADB=180
25、. （1）求证： ABDBDC； （2）若 AE 平分DAB，BF 平分DBC，且 BF=2AE，S ABD=3，求 S BDC 【答案】（1）证明：AB/DC， ABD=BDC，ABC+C=180 ， ABC+ADB=180 ， C=ADB， 在 ABD 和 BDC 中； ABD=BDC，C=ADB， ABDBDC； （2）解： ABDBDC， DC：BD=BF：AE=2：1； S BDC：S ABD =（DC：BD）=4：1； S BDC=12； 20已知：如图，在 ABC 中，点 D 在边 BC 上，AEBC，BE 与 AD、AC 分别相交于点 F、G， 2= （1）求证： CADCBG
26、； （2）联结 DG，求证： = 【答案】（1）证明：2= ， = 又AFG=EFA， FAGFEA FAG=E AEBC， E=EBC EBC =FAG 又ACD=BCG， CAD CBG （2）证明： CAD CBG， = 又DCG=ACB， CDG CAB， = AEBC， = = ， = ， = 21在四边形 ABCD 中， ， = 2， = 4 点 E 在 AB 上， 过点 E 作 交 CD 于点 F （1）若 = ，如图 1，则 EF 的长1= ； （2）若 = 2，如图 2，则 EF 的长2= ； （3）若 = 3，如图 3，则 EF 的长3= ； （4）根据上述规律，若 = ，
27、则 EF 的长= ，并证明你的猜想 【答案】（1）3 （2）103 （3）72 （4）解：=4+2+1证明如下：如图，过点 A 作 ，分别交 EF，BC 于点 M，N，易知四边形 ADFM，MFCN 为平行四边形， = = = 2， = = 4 2 = 2 ， ， =， 即+1=2， =2+1， = + =2+1+ 2 =4+2+1，即=4+2+1 【解析】(1)由题意， 四边形 ABCD 中， 四边形 ABCD 是梯形， = ， 点 E 是 AB 的中点， ， EF 是梯形的中位线， = 2， = 4， =12 ( + ) =12 (2 + 4) = 3； 1= 3； 故答案为：3 (2)根
28、据题意，过点 A 作 ，分别交 EF，BC 于点 M，N，如图： 易知四边形 ADFM，MFCN 为平行四边形， ， = = 2， =23 =23， = 4， = = = 2， = 4 2 = 2， 2=23， =43， = 2=43+ 2 =103 (3)与（2）同理，可得=34， = 2， 2=34 =32 = 3=32+ 2 =72； 22 中， = 90， = = 1， 点 E 为边上一点， 点 D 为延长线上一点， = ， 连接、，并延长交于 F，设 = （1）求证： ； （2）若 F 恰好是中点，求 x 的值； （3）设 =，当 =13时，求 y 的值 【答案】（1）证明：在和中，
29、 = = = ， ()， = ， = ， ； （2）解： = = ，则 = + = 1 + ， = 90， = = 1， = 2， ， = = 90， ， 恰好是中点， 垂直平分， = ， 即1 + = 2， = 2 1； （3）解： ， =， =， ， = ， =2=11+2， 当 =13时， =1131+(13)2=35 23如图 1， ABCDAE，BAC=ADE=90 。 （1）连接 CE，若 AB=1，点 B、C、E 在同一条直线上，求 AC 的长； （2）将 ADE 绕点 A 逆时针旋转 (090 )，如图 2，BC 与 AD 交于点 F，BC 的延长线与 AE交于点 N，过点 D
30、，作/交 BC 于点 M，求证：BM=DM；MN2=NF NB. 【答案】（1）解： ABCDAE， ADAB1，ACDE， BACADE90 ， ABDE， ABCDEC， =， 1=1， 解得 =512； （2）证明：连接 BD， ABCDAE， ABCDAE，ABDA， DMAE， MDADAE， ABCMDA， ABDA， ABDADB， ABDABCADBMDA， MBDMDB， BMDM； 连接 MA， 由知，BMDM，ABDA， AMAM， AMBAMD（SSS） ， BAMDAM， 由知，ABCDAE， ABC+BAMDAE+DAM， AMNNAM， MNAN， BNAANF，
31、ABCDAE， ANFBNA， =， AN2BNNF， MN2NFNB 24如图，在正方形 ABCD 中，B 为边 BC 上一点，连接 AE，过点 D 作 DNAE 交 AE、AB 分别于点 F、N （1）求证： ABEDAN； （2）若 E 为 BC 中点， 如图，连接 AC 交 DP 于点 M，求 CM：AM 的值； 如图，连接 CF，求 tanCFE 的值 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是正方形， ABDA，BDAN90 ， DNAE， AFN90 ， FAN+ANF90 ADN+ANF90 ， FANAND，即BEAAND， 在 ABE 和 DAN 中， = = = ， ABE
32、DAN（AAS） ； （2）解：(2)四边形 ABCD 是正方形， /，ABBCCD E 为 BC 中点， BECE12BC， 同（1）得： ABEDAN（AAS） ， BEAN12BC，AN12AD12CD， /， CDMANM，= 2； 过点 C 作 CMDN 于 M，如图所示： 设 ABADCD2a，则 BEa， 在 中，由勾股定理得： = 2+ 2= (2)2+ 2= 5， 同（1）得： ABEDAN（AAS） ， BEANa，AEDN5 DAN90 ，DNAE， =25=255， = 2 2=2 (255)2=55 CMDN， CMD90 DAN，DCM+CDM90 CDM+NDA90 ，DCMNDA， CDMDNA， =，即2=25， 解得： =455， =255， = = 5 55 255 =255， tan =255455=12 DNAE，CMDN，/， CFEMCF， tanCFEtanMCF12
