1、 专题专题 8 8 二元一次方程组二元一次方程组 一、单选题一、单选题 1下列等式中，是二元一次方程的是（ ） Axy1 By3x1 C +1= 0 Dx2+x30 2观察下列一元二次方程，最适合用加减消元法解的是（ ） A3 2 = 7 = 21 B2 + 4 = 125 4 = 2 C = 42 + = 2 D2 = 53 2 = 4 3 （2022 七下 仓山期末）已知 = 1 = 2与 = 0 = 3都是方程 = + 的解，则与的值分别为（ ） A = 1， = 3 B = 1， = 3 C = 1， = 3 D = 1， = 3 4 （2022 七下 华安月考）如图，射线 OC 的端
2、点 O 在直线 AB 上，设1 的度数为，2 的度数为，且比的 2 倍多 10 ，则列出的方程组正确的是（ ） A + = 180 = + 10 B + = 180 = 2 + 10 C + = 180 = 10 2 D + = 90 = 2 10 5 （2022 七下 晋安期末）下列方程是二元一次方程的是（ ） A + 8 = 0 B2+ = 2 C2 2 4 = 0 D2 + 3 = 7 6 （2022 七下 华安月考）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A32= 13 + 4 = 2 B2 + = 1 + = 2 C3 + 2 = 7 = 5 D5+3=12 + 2 = 3 7
3、 （2022 七下 福州期中）我国古代数学著作增删箅法统宗记载“绳索量竿”问题：一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺，设绳索长 x 尺，竿长 y 尺，则符合题意的方程组是（ ） A = + 512 = 5 B = 512 = + 5 C = + 52 = 5 D = 52 = + 5 8 （2022 七下 仓山期末）我国古代数学著作九章算术的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.如图 1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项
4、，把图 1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是 + 4 = 10，6 + 11 = 34.类似地，表述图 2 所示的算筹图的方程组是（ ） A2 + = 7 + 3 = 11 B2 + = 12 + 3 = 6 C2 + = 12 + 3 = 11 D2 + = 7 + 3 = 6 9 （2022 七下 南安期末）若方程组 + 4 = 1 2 + 3 = 3 的解是 = = 1 = ，则 + + 6的值是（ ） A3 B0 C3 D6 10 （2022 七下 福州期末）已知关于 x，y 的方程组 3 = 4 + = 3，其中3 1，若 = ，则 M 的最小值为（ ） A2
5、B1 C2 D3 二、填空题二、填空题 11 （2022 九上 福建竞赛）若素数 p，使得 42+ + 81 是一个完全平方数，则 p= .（若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数.） 12 （2022 七下 福州期中）若 = = 是方程 3x+y1 的一个解，则 9a+3b+2019 . 13（2022七下 仓山期末）已知 = ， = 是方程3 5 = 2的解， 则代数式6 10 + 3的值是 . 14（2022 七下 仓山期末）若 = 2 = 3是关于 x， y 的二元一次方程3 + = 6的一个解， 则 m= . 15 （2022 九上 福建竞赛）若正数 a，b，c
6、 满足 abc=1， +1= 3， +1= 17 ，则 +1= . 16（2022 七下 龙岩期末）已知 = 2 = 1， 是二元一次方程组 + = 8 = 1的解， 则 + 3的值为 . 17 （2022 七下 福州期中）已知 = 3 = 是方程2 = 9的一个解，则 = . 18 （2022 七下 华安月考）已知方程2 = 3，用关于 x 的代数式表示 y，则 . 19 （2022 七下 华安月考）已知(2 4)2+ | + 2 8|=0，则 = ， = . . 20 （2022 七下 思明期末）规定：“关于 x，y 的二元一次方程 + + = 0 的一个解 = = 可以用平面直角坐标系上
7、的一个点坐标（m，n）表示.”基于上述规定，已知关于 x，y 的二元一次方程 2 + + = 0 ，有以下说法：当 = 0 时， （0，0）是方程的解；当 = 0 时，方程的所有解可以用 (， 2) 表示；若（0，3）是方程的解，则 = 3 .则以上说法正确的是 （填写正确的序号） 三、计算题三、计算题 21 （2022 七下 福州期中）解方程组： （1） + 2 = 83 = 10； （2）2+3= 14 = 8. 22 （2022 七下 华安月考）用适当方法解方程组： （1） = 3 + 2 + 3 = 8 （2）4 3 = 54 + 6 = 14 （3）2 4 = 63 + 2 = 17
8、 23 （2022 七下 晋安期末）解方程组：3 + 2 = 4 = 3 24 （2022 七下 仓山期末）解二元一次方程组： = 33 + 2 = 4. 四、综合题四、综合题 25 （2022 福建）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共 46 盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的 2 倍.已知绿萝每盆 9 元，吊兰每盆 6 元. （1）采购组计划将预算经费 390 元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？ （2）规划组认为有比 390 元更省钱的购买方案，请求出购买两种
9、绿植总费用的最小值. 26 （2021 福建）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是 70 元，批发一箱该农产品的利润是 40 元. （1）已知该公司某月卖出 100 箱这种农产品共获利润 4600 元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？ （2） 经营性质规定， 该公司零售的数量不能多于总数量的30%.现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？ 27 （2021 厦门模拟）为迎接“国家级文明卫生城市”检查，我市环卫局准备购买 ， 两种型号的垃圾箱通过市场调研发现：购买 1 个 型垃圾箱和 2 个 型垃圾箱共
10、需 340 元；购买 3 个 型垃圾箱和 2 个 型垃圾箱共需 540 元 （1）求每个 型垃圾箱和 型垃圾箱各多少元？ （2）该市现需要购买 ， 两种型号的垃圾箱共 30 个，其中购买 型垃圾箱不超过 16 个 求购买垃圾箱的总花费 （元）与 型垃圾箱 （个）之间的函数关系式； 当购买 型垃圾箱个数多少时总费用最少，最少费用是多少？ 28 （2021 厦门模拟）新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具.某药店三月份共销售 A，B两种型号的口罩 9000 只，共获利润 5000 元，其中 A，B 两种型号口罩所获利润之比为 2：3.已知每只B 型口罩的销售利润是 A 型口罩的 1.2 倍
11、. （1）求每只 A 型口罩和 B 型口罩的销售利润； （2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共 10000 只，其中 B 型口罩的进货量不超过 A型口罩的 1.5 倍，设购进 A 型口罩 m 只，这 10000 只口罩的销售总利润为 W 元.该药店如何进货，才能使销售总利润最大？ 29 （2021 福建模拟）第四届数字中国建设峰会于 2021 年 4 月 25-26 日在福州举行，“福建特产”助力福州打动中国，某特产公司为峰会设计手工礼品，投入 元.若以 2 包茉莉花茶和 1 件脱胎漆器作为一份礼品，则刚好可制作 600 份礼品；若以 1 包茉莉花茶和 3 件脱胎漆器作为一份礼品，则
12、刚好可制作400 份礼品. （1）若 = 240000 ，求 1 包茉莉花茶与 1 件脱胎漆器的制作成本各是多少？ （2）若把 元钱全部用于制作茉莉花茶，总共可以制作多少包茉莉花茶？ 30 （2021 厦门模拟）某水果超市计划从灵宝购进“红富士”与“新红星”两个品种的苹果.已知 2 箱红富士苹果的进价与 3 箱新红星苹果的进价的和为 282 元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵 6 元. （1）求每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？ （2）当每箱红富士苹果销售价定为 80 元时，每周可售出 60 箱，现决定降价销售.市场调查反映：销售价每降低 1 元，则每周可
13、多售出 4 箱（销售单价不低于成本价）.当销售价为多少元时（结果取整数） ，销售红富士苹果每周的利润最大，最大利润为多少元？ 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：A 中 = 1的项数是 2 次，故答案为：不符合题意； B 中 = 3 1是二元一次方程，故答案为：符合题意； C 中 +1= 0是分式方程，故答案为：不符合题意； D 中2+ 3 = 0最高次数为 2 且只含一个未知数，是一元二次方程，故答案为：不符合题意； 故答案为：B. 【分析】二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程，据此判断. 2 【答案】B 【解析】【解答】解：
14、A、 3 2 = 7 = 21此方程组用代入法解，故 A 不符合题意； B、 2 + 4 = 125 4 = 2 此方程组用 加减消元法解，故 B 符合题意； C、 = 42 + = 2 此方程组用代入消元法解，故 C 不符合题意； D、 2 = 53 2 = 4 此方程组可以用代入消元法解也可以用加减消元法解， 故答案为：B. 【分析】观察各选项中的方程组中同一个未知数的系数特点：B 选项中 y 的系数互为相反数，此方程组最适合用加减消元法求解；A，C 选项中其中一个方程是用含一个未知数表示出另一个未知数，适合用代入消元法。可对 A，C 作出判断；D 选项中 y 的系数的绝对值存在 2 倍关
15、系，其中一个方程的系数为-1，此方程组可以用加减消元法也可以用代入消元法求解. 3 【答案】C 【解析】【解答】解： = 1 = 2与 = 0 = 3都是方程 = + 的解， 代入得： + = 2 = 3， 解得： = 1 = 3. 故答案为：C. 【分析】根据方程解的概念，将 x=-1、y=2；x=0、y=3 分别代入 y=kx+b 中可得关于 k、b 的方程组，求解即可. 4 【答案】B 【解析】【解答】解：1 与2 互为邻补角， + = 180， 比的 2 倍多 10 ， = 2 + 10 可列出方程组： + = 180 = 2 + 10 故答案为：B. 【分析】根据邻补角的性质可得 x
16、+y=180，根据 x 比 y 的 2 倍多 10 可得 x=2y+10，联立可得方程组. 5 【答案】D 【解析】【解答】解：A、 + 8 = 0，含有两个未知数，但方程的最高次数是 2 次，此方程不是二元一次方程，故 A 选项错误； B、2+ = 2中含有分式，此方程不是二元一次方程，故 B 选项错误； C、2 2 4 = 0中含有一个未知数，且方程的最高次数是 2 次，此方程不是二元一次方程，故 C 选项错误； D、2 + 3 = 7中含有 2 个未知数，且方程的最高次数是 1 次，此方程是二元一次方程，故 D 选项正确. 故答案为：D. 【分析】二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含
17、未知数的项的次数都是 1 的整式方程，据此判断. 6 【答案】A 【解析】【解答】解：A、符合定义； B、含有三个未知数，不符合定义； C、含有未知数的项的最高次数为 2，故不符合定义； D、含有分式方程，故不符合定义. 故答案为：A. 【分析】如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组为二元一次方程组，据此判断. 7 【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得： = + 512 = 5； 故答案为：A. 【分析】根据绳索比竿长 5 尺可得 x=y+5；根据将索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺可得12x=y-5，联立可得方程组. 8 【答案】A 【解析】【解答】
18、解：由题意得2 + = 7 + 3 = 11. 故答案为：A. 【分析】观察图 1 可知|表示 1，|表示 4，表示 5 或 10，由此可得到图 2 中的方程组. 9 【答案】A 【解析】【解答】解：方程组 + 4 = 1 2 + 3 = 3 的解是 = = 1 = ， + 4 = 1 2+ 3 = 3， 由-得： + = 2， = 2 ， 把 = 2 代入，得： (2 ) + 4 = 1， + 5 = 1， + + 6 = + 5 + + = 1 2 = 3. 故答案为：A. 【分析】由题意把 x、y、z 的值代入方程组可得关于 a、b、c 的方程组，将 c 作为常数，用含 c 的式子表示出
19、 a、b，整体代换计算即可求解. 10 【答案】B 【解析】【解答】解： 3 = 4 + = 3 +得 2x-2y=4+2t 即 x-y=2+t， = ， M=2+t， t=M-2 3 1， 3 2 1 即1 3 M 的最小值为-1. 故答案为：B. 【分析】将方程组中的两个方程相加并化简可得 x-y=2+t，根据 M=x-y 可得 M=2+t，则 t=M-2，结合 t的范围可得 M 的范围，进而可得 M 的最小值. 11 【答案】11 【解析】【解答】解：设 42+ + 81 = 2 ， 为正整数. 则 642+ 16 + 16 81 = 162 ，即 (8 + 1)2+ 1295 = 16
20、2 . (4 8 1)(4 + 8 + 1) = 1295 = 5 7 37 . 由 4 8 1 为整数， 4 + 8 + 1 为正整数，且 4 + 8 + 1 4 8 1 ，得 4 8 1 = 14 + 8 + 1 = 1295 ， 或 4 8 1 = 54+ 8 + 1 = 7 37 ， 或 4 8 1 = 74 + 8 + 1 = 5 37 ， 或 4 8 1 = 354 + 8 + 1 = 37 . 解得 = 162 =3234 ，或 = 33 =634 ，或 = 24 = 11 ，或 = 9 = 0 . 又 为素数，所以 = 11 . 所以当素数 = 11 时， 42+ + 81 是
21、一个完全平方数. 故答案为：11. 【分析】设 4p2+p+81=n2（n 为正整数） ，两边同时乘以 16，再利用完全平方公式化简可得(8p+1)2+1295=16n2，利用平方差公式分解可得(4n-8p-1)(4n+8p+1)=5 7 37，据此可得 n、p 的方程组，求出 n、p 的值，结合 P 为素数就可得到 p 的值. 12 【答案】2022 【解析】【解答】解： = = 是方程3 + = 1的一个解， 3a+b=1， 9a+3b=3， 9 + 3 + 2019 = 2022. 故答案为：2022. 【分析】根据二元一次方程的解可得 3a+b=1，待求式可变形为 3(3a+b)+20
22、19，据此计算. 13 【答案】7 【解析】【解答】解： 已知 = ， = 是方程3 5 = 2的解， 3a-5b=2， 6a-10b=4， 6a-10b+3=4+3=7. 故答案为：7. 【分析】将 = ， = 代入方程，可求出 3a-5b 的值，即可得到 6a-10b 的值；然后整体代入求出 6a-10b+3的值. 14 【答案】4 【解析】【解答】解： = 2 = 3是关于 x，y 的二元一次方程3 + = 6的一个解， 3 (2) + 3 = 6， 解得： = 4. 故答案为：4. 【分析】根据方程解的概念，将 x=-2、y=3 代入 3x+my=6 中可得关于 m 的方程，求解即可.
23、 15 【答案】1125 【解析】【解答】解：由 = 1 +1= 3 +1= 17 ，得 =1= 17 = 3 1 ， 因此 17 = 3 1 ， =92 . 由此可得 =259 ， =225 . 所以 +1=225+925=1125 故答案为： 1125 . 【分析】联立已知条件可得 a、b、c 的值，然后代入 c+1中进行计算即可. 16 【答案】9 【解析】【解答】解：将 = 2 = 1代入方程组中，得 2 + = 82 = 1 由+得 + 3 = 9 故答案为：9. 【分析】将 x=2、y=1 代入方程组中可得关于 m、n 的方程组，将两个方程组相加可得 m+3n 的值. 17 【答案
24、】-3 【解析】【解答】解：把 = 3 = 代入二元一次方程2 = 9得：6 = 9， 解得： = 3； 故答案为：-3. 【分析】将 x=3、y=n 代入方程中可得关于 n 的方程，求解即可. 18 【答案】y=2x-3 【解析】【解答】解：移项得，-y=3-2x， 系数化为 1 得，y=2x-3. 故答案为：y=2x-3. 【分析】首先将不含 y 的项移至右边，然后将 y 的系数化为 1 即可. 19 【答案】2；3 【解析】【解答】解：由题意，得：2 40 + 2 80 解得23 故答案为：2，3. 【分析】根据偶次幂的非负性以及绝对值的非负性，由两个非负数的和为 0，则每一个数都为 0
25、 可得2x-4=0、x+2y-8=0，求解即可. 20 【答案】 【解析】【解答】解：当 C=0 时，二元一次方程为 2 + = 0 ， x=0，y=0 满足方程等式关系， （0，0）是方程的解， 故正确； 当 C=0 时，二元一次方程为 2 + = 0 ， 当 x=t 时，y=-2t， 方程的所有解可以用 (， 2) 表示， 故正确； x=0，y=3 代入二元一次方程 2 + + = 0 可得 3+C=0，C=-3， 故错误； 故答案为：. 【分析】 将C=0代入方程， 再将x=0， y=0代入方程检验即可； 当C=0时， 方程为 2 + = 0， 将x=t代入方程求出 y 值，即可判断；将
26、 x=0，y=3 代入方程 2 + + = 0中求出 c 值，即可判断. 21 【答案】（1）解： + 2 = 83 = 10 2 得： + 6 = 28 解得 = 4 将 = 4代入得：12 = 10 解得 = 2 原方程组的解为： = 4 = 2 （2）解：2+3= 14 = 8 原方程组可化为：3 + 2 = 64 = 8 2 得：3 + 8 = 6 + 16 解得 = 2 将 = 2代入得：8 = 0 解得 = 0 原方程组的解为： = 2 = 0 【解析】【分析】 （1）利用第一个方程加上第二个方程的 2 倍可得 x 的值，将 x 的值代入第二个方程中求出 y 的值，进而可得方程组的
27、解； （2）将方程组中的第一个方程整理为 3x+2y=6，加上第二个方程的 2 倍可得 x 的值，将 x 的值代入第二个方程中求出 y 的值，进而可得方程组的解. 22 【答案】（1）解： = 3 + 2 + 3 = 8， 将代入，得 3y+2+3y=8， 解得 y=1， 将 y=1 代入，得 x=5， 方程组的解为 = 5 = 1； （2）解：4 3 = 54 + 6 = 14 ， -，得 9y=9， 解得 y=1， 将 y=1 代入，得 4x-3=5， 解得 x=2， 方程组的解为 = 2 = 1； （3）解：2 4 = 63 + 2 = 17 ， +2，得 8s=40， 解得 s=5，
28、将 s=5 代入，得 10-4t=6， 解得 t=1， 方程组的解为 = 5 = 1. 【解析】【分析】 （1）将第一个方程代入第二个方程中可得 y 的值，将 y 的值代入第一个方程中求出 x的值，进而可得方程组的解； （2）利用第二个方程减去第一个方程可得 y 的值，将 y 的值代入第一个方程中求出 x 的值，进而可得 方程组的解； （3）利用第二个方程的 2 倍加上第一个方程可得 s 的值，将 s 的值代入第一个方程中求出 t 的值，进而可得方程组的解. 23 【答案】解：法一： （加减消元法） 解： 2+，得2 2 + 3 + 2 = 10， 化简，得5 = 10， = 2 ， 把 =
29、2代入，得2 = 3 = 1 ， 原方程组的解是 = 2 = 1 法二： （代入消元法） 解：由得 = + 3， 把代入，得3 + 9 + 2 = 4， 解得 = 1， 把 = 1代入，解得 = 2， 原方程组的解是 = 2 = 1. 【解析】【分析】方法一：利用第二个方程的 2 倍加上第一个方程可得 x 的值，将 x 的值代入第二个方程中求出 y 的值，据此可得方程组的解； 方法二：由第二个方程可得 x=y+3，代入第一个方程中可得 y 的值，将 y 的值代入 x=y+3 中求出 x 的值，据此可得方程组的解. 24 【答案】解： = 33 + 2 = 4， 2+得：5x=10，解得 x=2
30、； 将 x=2 代入中，得 y=-1， 方程组的解为： = 2 = 1. 【解析】【分析】利用第一个方程的 2 倍加上第二个方程可得 x 的值，将 x 的值代入第一个方程中求出y 的值，据此可得方程组的解. 25 【答案】（1）解：设购买绿萝盆，购买吊兰盆 计划购买绿萝和吊兰两种绿植共 46 盆 + = 46 采购组计划将预算经费 390 元全部用于购买绿萝和吊兰，绿萝每盆 9 元，吊兰每盆 6 元 9 + 6 = 390 得方程组 + = 469 +6 = 390 解方程组得 = 38 = 8 382 8，符合题意 购买绿萝 38 盆，吊兰 8 盆 （2）解：设购买绿萝盆，购买吊兰吊盆，总费
31、用为 + = 46， = 9 + 6 = 414 3 总费用要低于过 390 元，绿萝盆数不少于吊兰盆数的 2 倍 414 3 390 2 将 = 46 代入不等式组得414 3 39046 2 8 0 ，所以 w 随着 m 的增大而增大， 所以 = 300 时，取得最大值 49000 元， 此时 1000 = 700 . 所以该公司应零售农产品 300 箱、批发农产品 700 箱才能使总利润最大，最大总利润是 49000 元. 【解析】【分析】 （1） 设该公司当月零售农产品 x 箱，批发农产品 y 箱. 根据“ 该公司某月卖出 100 箱这种农产品共获利润 4600 元 ”列出方程组，求解
32、即可； （2）设该公司零售农产品 m 箱，获得总利润 w 元.则批发农产品的数量为 (1000 ) 箱， 由该公司零售的数量不能多于总数量的 30% ，求出 m 的范围，根据总利润=零售利润+批发的利润，列出 w关于 m 的关系式，利用一次函数的性质求解即可. 27 【答案】（1）解：设每个 型垃圾箱 元，每个 型垃圾箱 元 由题意得： + 2 = 3403 + 2 = 540 解得： = 100 = 120 答：每个 型垃圾箱 100 元，每个 型垃圾箱 120 元 （2）解：设购买 个 型垃圾箱，则购买 (30 ) 个 型垃圾箱 由题意得： = 100 + 120(30 ) = 20 +
33、3600 （ 0 16 ，且 为整数） 由知， = 20 + 3600 ， 是 的一次函数 = 20 60) 元，利润为 元， 则 = ( 60)60 + 4(80 ) = ( 60)(380 4) = 42+ 620 22800 = 4( 1552)2+ 24025 22800 = 4( 1552)2+ 1225 当 = 77.5 时，最大值为 1225 元. 取整数， = 77 或 78 时，最大利润为 1224 元. 答：当 = 77 或 78 时，销售红富士苹果每周的利润最大，最大利润为 1224 元. 【解析】【分析】 （1）设每箱红富士苹果的进价为 x 元，每箱新红星苹果的进价为 y 元，根据两种水果的进价和与进价的关系列出二元一次方程组求解即可； （2）设每箱红富士苹果销售价为 a(a 60)元，利润为 w，然后用含 a 的代数式分别表示每箱利润和销售数量，再根据“利润=每箱利润 销售数量”列出关于 w 和 a 的函数关系式，然后根据二次函数的性质求最大值即可
