1、 第第 2 章对称图形章对称图形圆圆 一解答题（共一解答题（共 20 小题）小题） 1如图，PA、PB 是O 的两条切线，切点分别为 A、B，OP 交O 于点 D，与 AB 相交于点 C （1）直接写出图中所有的全等三角形； （2）已知 PA4cm，PD2cm，求半径 OA 的长 2如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，7） ，点 B 的坐标为（0，3） ，点 C 的坐标为（3，0） （1）若ABC 的外接圆的圆心为 M，则圆心 M 的坐标为 ； （2）ABC 的外接圆与 x 轴的另一个交点坐标是 ； （3）ABC 的外接圆的弧 ABC 的长是 3如图，AB 是O 的直径，弦 CDA
2、B，垂足为 E，K 为弧 AC 上一动点，AK，DC 的延长线相交于点 F，连接 CK，KD （1）求证：AKDCKF； （2）已知 AB8，CD43，求CKF 的大小 4 （2022 秋高新区期中）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 E，且 DCDE （1）求证：AAEB； （2）连接 OE，交 CD 于点 F，若 OECD，求A 的度数 5 （2022 秋太仓市期中）如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O，分别交 AC，BC 于点 D，E，过点 E 作 EFAB，交O 于点 F，垂足为 G，连接 BF （1）若C58，求BFE 的度
3、数； （2）若 AC26，BG8，求弦 EF 的长 6 （2022 秋苏州期中）如图，在边长为 2 的等边OAB 中，以点 O 为圆心画弧，与 AB 边相切于点 C，交OA 于点 D，交 OB 于点 E，求的长 7 （2022 秋高新区期中）如图，点 A，B，C，D 在O 上，= 求证：ACBD 8如图，O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，ABCD，连接 AD，BC求证： （1）ADBC； （2）AECE 9如图所示，O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，ABCD，连接 AD，BC，求证： （1）= ； （2）AECE 10 （2022 秋高新区期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网
4、格点 A（0，4） ，B（4，4） ，C（6，2） （1）该圆弧所在圆的圆心坐标为 （2）求弧 ABC 的长 11如图，ABC 内接于O，B60，CD 是O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点且 APAC （1）求证：PA 是O 的切线； （2）若 AB2+15，BC4，求O 的半径 12 （2022 秋高新区期中）如图，AB 是O 的直径，C 是 BA 延长线上一点，点 D 在O 上，且 CDOA，CD 的延长线交O 于点 E若CEO40，求BOE 的度数 13 （2021 秋工业园区校级期中）已知ABC 内接于O，ABAC，BAC42，BD 为O 的直径，连接 CD，求DBC 和AC
5、D 的大小 14 （2021 秋高新区期中）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 外，ABC 的平分线与O 交于点 D，C90 （1）CD 与O 有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若CDB60，AB6，求 CD 的长 15 （2021 秋苏州期中）如图，ABC 内接于O，AB 是直径，过点 A 作直线 MN，且MACABC （1）求证：MN 是O 的切线 （2）设 D 是弧 AC 的中点，连结 BD 交 AC 于点 G，过点 D 作 DEAB 于点 E，交 AC 于点 F求证：FDFG 16 （2021 秋苏州期中）如图，AB 是O 的直径，点 E、F 在O 上，且=2，连接 OE，AF
6、，过点 B 作O 的切线，分别与 OE、AF 的延长线交于点 C、D （1）若OCB35，则A ； （2）若 ABCB2，求线段 DF 的长 17 （2021 秋高新区期中）如图，AB 是半圆 O 的直径，C、D 是半圆 O 上的两点，且 ODBC，OD 与 AC交于点 E （1）若B70，求CAD 的度数； （2）若 AB4，AC3，求 DE 的长 18 （2021 秋高新区期中）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面 （1）请你补全这个输水管道的圆形截面图； （要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2
7、）若这个输水管道有水部分的水面宽 AB32cm，水最深处的地方高度为 8cm，求这个圆形截面的半径 19 （2020 秋虎丘区校级期中）已知 P（3，5 +2） ，Q（4，3） ，M 中，M（1，2） ，且其半径为 3 （1）求M 的过 P 的切线的方程； （2）求过 Q 的M 的切线长 20 （2020 秋虎丘区校级期中）如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的直径 AB 交小圆于 C，D 两点，ACCDDB，分别以 C，D 为圆心，以 CD 为半径作半圆若 AB6cm，求图中阴影部分面积 参考答案解析参考答案解析 一解答题（共一解答题（共 20 小题）小题） 1如图，PA、PB 是O
8、的两条切线，切点分别为 A、B，OP 交O 于点 D，与 AB 相交于点 C （1）直接写出图中所有的全等三角形； （2）已知 PA4cm，PD2cm，求半径 OA 的长 【解答】解： （1）PA、PB 是O 的两条切线，A、B 为切点且直线 OP 交O 于点 D、E，交 AB 于 C， PAPB， 又OAOB，OPOP， OAPOBP（SSS） ， APOBPO 又PAPB，PCPC， APCBPC（SAS） ， ACBC 又OAOB，OCOC， ACOBCO（SSS） 综上，所有的全等三角形为OAPOBP，APCBPC，ACOBCO （2）设 OAxcm， 则在 RtOAP 中，OAxcm
9、，OPOD+PD（x+2）cm，PA4cm， 由勾股定理得，PA2+OA2OP2， 即 42+x2（x+2）2， 解方程得 x3， 故半径 OA 的长为 3cm 2如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，7） ，点 B 的坐标为（0，3） ，点 C 的坐标为（3，0） （1）若ABC 的外接圆的圆心为 M，则圆心 M 的坐标为 （5，5） ； （2）ABC 的外接圆与 x 轴的另一个交点坐标是 （7，0） ； （3）ABC 的外接圆的弧 ABC 的长是 292 【解答】解： （1）如图，点 M 即为所求，M（5，5） ， 故答案为： （5，5） ； （2）ABC 的外接圆与 x 轴的另
10、一个交点 E 坐标是（7，0） ， 故答案为： （7，0） ； （3）连接 MC，AMCM= 22+ 52= 29，AC= 32+ 72= 58， AM2+CM2AC2， AMC90， ABC 的外接圆的弧 ABC 的长=9029180=292， 故答案为：292 3如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，K 为弧 AC 上一动点，AK，DC 的延长线相交于点 F，连接 CK，KD （1）求证：AKDCKF； （2）已知 AB8，CD43，求CKF 的大小 【解答】 （1）证明：连接 AD、AC， CKF 是圆内接四边形 ADCK 的外角， CKF+AKC180，AKC+ADC18
11、0 CKFADC， AB 为O 的直径，弦 CDAB， = ， = ， ADCAKD， AKDCKF； （2）解：连接 OD， AB 为O 的直径，AB8， ODOA4， 弦 CDAB，CD43， DECE=12CD23， 在 RtODE 中，OE= 2 2=2， AE6， 在 RtADE 中，tanADE=623= 3， ADE60， CKFADE60 4 （2022 秋高新区期中）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，BC 的延长线与 AD 的延长线交于点E，且 DCDE （1）求证：AAEB； （2）连接 OE，交 CD 于点 F，若 OECD，求A 的度数 【解答】证明： （1）
12、四边形 ABCD 是O 的内接四边形， A+BCD180， DCE+BCD180， ADCE， DCDE， DCEAEB， AAEB； （2）AAEB， ABE 是等腰三角形， EOCD， CFDF， EO 是 CD 的垂直平分线， EDEC， DCDE， DCDEEC， DCE 是等边三角形， AEB60， ABE 是等边三角形， A60 5 （2022 秋太仓市期中）如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O，分别交 AC，BC 于点 D，E，过点 E 作 EFAB，交O 于点 F，垂足为 G，连接 BF （1）若C58，求BFE 的度数； （2）若 AC26，BG8，求弦 EF 的
13、长 【解答】解： （1）EFAB， EGB90，= ， BEBF， BEFBFE， ABAC， CABC， C58， ABC58， BEF32， BFEBEF32； （2）连接 OE， ABAC，AC26， AB26， OEOB13， BG8， OG5， EFAB， EGFG，OGE90， 在 RtOEG 中，EG= 2 2= 132 52=12， EF2EG24， 即弦 EF 的长为 24 6 （2022 秋苏州期中）如图，在边长为 2 的等边OAB 中，以点 O 为圆心画弧，与 AB 边相切于点 C，交OA 于点 D，交 OB 于点 E，求的长 【解答】解：如图，连接 AC， O 与 AB
14、 相切于点 C， ABOC， ACO90， OAB 是边长为 2 等边三角形， OAAB2，DOE60， ACBC=12AB1， OC= 2 2= 22 12= 3， =603180=33， 的长是33 7 （2022 秋高新区期中）如图，点 A，B，C，D 在O 上，= 求证：ACBD 【解答】证明：= ， + = + ， 即= ， ACBD 8如图，O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，ABCD，连接 AD，BC求证： （1）ADBC； （2）AECE 【解答】证明： （1）ABCD， 弧 AB弧 CD， 弧 AB弧 AC弧 CD弧 AC， 弧 AD弧 BC， ADBC； （2）ADB
15、C，ADECBE，AEDCEB， ADECBE（AAS） ， AEEC 9如图所示，O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，ABCD，连接 AD，BC，求证： （1）= ； （2）AECE 【解答】证明： （1）ABCD， = ， + = + ， = （2）= ， ADBC， ADECBE，AEDCEB， ADECBE（AAS） ， AEEC 10 （2022 秋高新区期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点 A（0，4） ，B（4，4） ，C（6，2） （1）该圆弧所在圆的圆心坐标为 （2，0） （2）求弧 ABC 的长 【解答】解： （1）由垂径定理可知，圆心是 AB、BC 中垂线的交
16、点， 由网格可得该点 P（2，0） ， 故答案为： （2，0） ； （2）根据网格可得，OPCQ2，OAPQ4， AOPPQC90， 由勾股定理得， AP= 2+ 2= 22+ 42=25 =PC， AP222+4220，CP222+4220，AC222+6240， AP2+CP2AC2， APC90， 弧 ABC 的长为9025180=5， 答：弧 ABC 的长为5 11如图，ABC 内接于O，B60，CD 是O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点且 APAC （1）求证：PA 是O 的切线； （2）若 AB2+15，BC4，求O 的半径 【解答】 （1）证明：连接 OA， B60，
17、AOC2B120， 又OAOC， OACOCA30， 又APAC， PACP30， OAPAOCP90， OAPA， PA 是O 的切线； （2）解：过点 C 作 CEAB 于点 E 在 RtBCE 中，B60，BC4， BE=12BC2，CE23， AB2+15， AEABBE= 15， 在 RtACE 中，AC= 2+ 2=33， APAC33 在 RtPAO 中，OA=33AP3， O 的半径为 3 12 （2022 秋高新区期中）如图，AB 是O 的直径，C 是 BA 延长线上一点，点 D 在O 上，且 CDOA， CD 的延长线交O 于点 E若CEO40，求BOE 的度数 【解答】解
18、：如图所示，连接 OD， CDOAODOE，CEO40， ODEE2C40， C20， BOEC+E60 13 （2021 秋工业园区校级期中）已知ABC 内接于O，ABAC，BAC42，BD 为O 的直径，连接 CD，求DBC 和ACD 的大小 【解答】解：ABAC，BAC42， ABCACB=12（180BAC）69， 由圆周角定理得：BDCBAC42， BD 为O 的直径， BCD90， DBC904248，ACD906921 14 （2021 秋高新区期中）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 外，ABC 的平分线与O 交于点 D，C90 （1）CD 与O 有怎样的位置关系？请说明理
19、由； （2）若CDB60，AB6，求 CD 的长 【解答】解： （1）相切理由如下： 连接 OD， BD 是ABC 的平分线， CBDABD， 又ODOB， ODBABD， ODBCBD， ODCB， ODCC90， OD 是O 的半径， CD 与O 相切； （2）CDB60， CBD90CDB30， BD 是ABC 的平分线， ABD30， AB 是O 的直径， ADB90， AD=12AB=1263， 在 RtABD 中， BD= 2 2= 62 32=33， 在 RtBCD 中， CBD30， CD=12BD=332 15 （2021 秋苏州期中）如图，ABC 内接于O，AB 是直径，过
20、点 A 作直线 MN，且MACABC （1）求证：MN 是O 的切线 （2）设 D 是弧 AC 的中点，连结 BD 交 AC 于点 G，过点 D 作 DEAB 于点 E，交 AC 于点 F求证：FDFG 【解答】解： （1）AB 是O 的直径， ACB90， ABC+CAB90， MACABC， MAC+CAB90， 即 MNAB， OA 是O 的半径， MN 是O 的切线； （2）D 是弧 AC 的中点， CBDABD， 又DEAB， ABD+BDE90， 又ACB90， CBD+BGC90， BGCDGF， DGFBDE， FDFG 16 （2021 秋苏州期中）如图，AB 是O 的直径，
21、点 E、F 在O 上，且=2，连接 OE，AF，过点B 作O 的切线，分别与 OE、AF 的延长线交于点 C、D （1）若OCB35，则A 55 ； （2）若 ABCB2，求线段 DF 的长 【解答】 （1）证明：如图，取的中点 M，连接 OM、OF， =2， = = ， COB=12BOF， A=12BOF， COBA， CD 是O 的切线， ABC90， OCB35， COB55， A55， 故答案为：55； （2）解：连接 BF，如图， CD 为O 的切线， ABCD， OBCABD90， COBA， OBCABD，ABCB2， =， 12=2， 解得 BD4， 在 RtABD 中，根据
22、勾股定理，得 AD= 2+ 2= 22+ 42=25， AB 是O 的直径， AFB90， BDFADB， RtDBFRtDAB， =， 4=425， 解得 DF=855 17 （2021 秋高新区期中）如图，AB 是半圆 O 的直径，C、D 是半圆 O 上的两点，且 ODBC，OD 与 AC交于点 E （1）若B70，求CAD 的度数； （2）若 AB4，AC3，求 DE 的长 【解答】解： （1）AB 是半圆 O 的直径， ACB90， 又ODBC， AEO90，即 OEAC， CAB90B907020，AODB70 OAOD， DAOADO=12（180AOD）=12（18070）55，
23、 CADDAOCAB552035； （2）在直角ABC 中，BC= 2 2= 42 32= 7 OEAC， AEEC， 又OAOB， OE=12BC=72 又OD=12AB2， DEODOE272 18 （2021 秋高新区期中）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面 （1）请你补全这个输水管道的圆形截面图； （要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若这个输水管道有水部分的水面宽 AB32cm，水最深处的地方高度为 8cm，求这个圆形截面的半 径 【解答】解： （1）如图所示； （2）作 ODAB 于
24、 D，并延长交O 于 C，则 D 为 AB 的中点， AB32cm， AD=12AB16 设这个圆形截面的半径为 xcm， 又CD8cm， OCx8， 在 RtOAD 中， OD2+AD2OA2，即（x8）2+162x2， 解得，x20 圆形截面的半径为 20cm 19 （2020 秋虎丘区校级期中）已知 P（3，5 +2） ，Q（4，3） ，M 中，M（1，2） ，且其半径为 3 （1）求M 的过 P 的切线的方程； （2）求过 Q 的M 的切线长 【解答】解： （1）P（3，5 +2） ，M（1，2） ， MP=(3 1)2+ (5+ 2 2)2=3， P 点在M 上， 过 P 点作M 的
25、切线 l，连接 MP，如图，则 MPl， 设直线 MP 的解析式为 ykx+b， 把 P（3，5 +2） ，M（1，2）代入得3 + = 5 + 2 + = 2，解得 =52 = 2 52， 直线 MP 的解析式为 y=52x+252， MPl， 直线 l 的解析式可设为 y= 25x+m， 把 P（3，5 +2）代入得5 +2= 253+m，解得 m=1155+2， M 的过 P 的切线的方程为 y= 255x+1155+2； （2）过 Q 作M 的切线，切点为 A，连接 MA，如图， MAQA，MA3， MQ= (4 1)2+ (3 2)2= 10， QA=(10)2 32=1， 即过 Q 的M 的切线长为 1 20 （2020 秋虎丘区校级期中）如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的直径 AB 交小圆于 C，D 两点，ACCDDB，分别以 C，D 为圆心，以 CD 为半径作半圆若 AB6cm，求图中阴影部分面积 【解答】解：观察图形，发现：阴影部分的面积是两半圆面积差的一半，即 S阴影=12（S大圆S小圆）=12（3212）4
