1、第2章轴对称图形一、单选题1北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（）ABCD2下列手机手势解锁图案中,是轴对称图形的是()ABCD3直角坐标系中的点A（2，-3）关于x轴对称的点B的坐标（）A(2,3 )B(2,-3)C(-2,3)D(-2,-3)4如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中是一个格点三角形，在这个的正方形格纸中，与成轴对称的格点三角形最多有（）A3个B4个C5个D6个5如图，在ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若BAC114，则EAF为（ ）A40B44C48D526如图，ABC、
2、ACD的平分线BP、CP交于点P，PFBD，PGBE，垂足分别为F、G，下列结论：AB：BC；APBACP90；ABC2APC180，其中正确的结论有（）A0个B1个C2个D3个7（2022江苏无锡八年级期末）如图，等腰ABC中，ABAC3，BC5，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E，则ABE的周长是（）A8B9C10D118如图，在RtABC中，C=90，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G若CG=4，AB=10，则ABG的面积是（）A10B20C30D409（2022江
3、苏泰州八年级期末）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AB的长为3.6km，则M、C两点间的距离为（）A1.8kmB3.6kmC3kmD2km10（2022江苏镇江八年级期末）如图，在中，则请在这一结论的基础上继续思考：若，点是的中点，为边上一动点，则的最小值为（）A1BCD2二、填空题11（2022江苏南京八年级期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_12（2022江苏镇江八年级期末）小明用两张完全相同的长方形纸片按如图所示的方式摆放，一张纸片压住射线，另一张纸片压住射线且与第一张纸片交于点，若，则_13（2022江苏镇江八年级期
4、末）如图，在ABC中，C=90，A=30，BD是ABC的平分线若AB=6，则点D到AB的距离是_14（2022江苏无锡八年级期末）如图，已知ABC的周长是10，B和C的平分线交于P点，过P点作BC的垂线交BC于点D，且PD2，则ABC的面积是_15（2022江苏南京八年级期末）如图，在四边形ABCD中，ADCD，ABCB下列结论：BD垂直平分AC；BD平分ADC；ABCD；ABDCBD其中所有正确结论的序号是_16如图，在中，是边的中点，若，则_17如图，等边ABC的边长为6，AD是高，F是边AB上一动点，E是AD上一动点，则BE+EF的最小值为_18（2022江苏南京八年级期末）如图，上午9
5、时，一艘船从小岛A处出发，以12海里/时的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34、68方向，则小岛B处到灯塔C的距离是_海里三、解答题19如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD平分ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE（1）求证：ABD是等腰三角形；（2）求BDE的度数20（2022江苏南京八年级期末）如图，在中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，F是BC的中点（1）求证：是等腰三角形；（2）若，求BC的长21（2022江苏苏州八年级期末）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究图是一块边长为的等边三角形学具，是
6、边上一个动点，由点向点运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为(1)【问题】填空：_；(2)【问题】当时，求的值；(3)【探究】如图，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由22（2022江苏连云港八年级期末）如图，在等边ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点O，且ODAB，OEAC（1）试判定ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC=10，求ODE的周长23（2022江苏镇江八年级期末）如图，于E，交AD的延长线于F，且（1）BE与DF是否相等？请说明理由；（2）
7、若，则AB的长为_cm24如图，在四边形ABCD中，AB = 2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留作图痕）（1）在图1中，画出ABD的BD边上的中线;（2）在图2中，若BA = BD，画出ABD的ABD的角平分线.25（2022江苏无锡八年级期末）如图，在ABC中，ACB90，ACBC，D是AB边上的一个动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F（1）连接CE，求证：CAECEA（2）当BDAD时，求AFC的大小；（3）若ADAC，试猜想AE与CD的数量关系，并证明26（2022江苏盐城八年级期末）如图1，在RtABC中，ACB=90
8、，A=30，BD是ABC的角平分线，DEAB于E(1)发现：如图1，连接CE，则BCE的形状是_，CDB=_；(2)探索：如图2，点P为线段AC上一个动点，当点P在CD之间运动时，连接BP，作BPQ=60，PQ交射线DE于Q，连接BQ，即BPQ是等边三角形；思路：在线段BD上截取点H，使DH=DP，得等边DPH，由DPQ=HPB，PD=PH，QDP=BHP，易证PDQPHB（ASA），得PQ=PB，即BPQ是等边三角形试判断线段DQ、DP、AD之间的关系，并说明理由；(3)类比：如图3，当点P在AD之间运动时连接BP，作BPQ=60，PQ交射线DE于Q，连接BQ试判断BPQ的形状，并说明理由；
9、若AD=2，设AP=x，DQ=y，请直接写出y与x之间的函数关系式27在ABC中，ABC=45，点D(与点B、C不重合)为线段BC上一动点，连接AD，以AD为直角作等腰直角形DAF，使DAF=90，连接BF(1)如果AB=AC，如图1，且点D在线段BC上运动，试判断线段BF与CD所在直线之间的位置关系，并证明你的结论(2)如果ABAC，如图2，且点D在线段BC上运动(ADAB)，(1)中结论是否成立，为什么？28如图，在中，(1)作垂直平分线交于点，垂足为；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)连接，求的度数29如图，在ABC中，ABAC，高BD、CE相于点O证明OBOC参考答案：1
10、D【解析】根据轴对称图形的定义判断即可A,B,C都不是轴对称图形，故不符合题意；D是轴对称图形，故选D.本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义是解题的关键2C【解析】直接根据轴对称图形的概念求解即可解：A不是轴对称图形，故此选项错误；B不是轴对称图形，故此选项错误；C是轴对称图形，故此选项正确；D不是轴对称图形，故此选项错误故选：C本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合3A【解析】根据对称的性质知，直角坐标系中的点A（2，-3）关于x轴对称，则x不变，y变相反数，即可求出B点坐标.根据对称的性质知，直角坐标系中的点A（2，-3）关于x轴对称，则x不变，
11、y变相反数，则B的坐标为（2，3），故选A.本题是对坐标系中对称点的考查，熟知点关于x轴对称，则x不变，y变相反数；关于y轴对称，则y不变，x变相反数是解决本题的关键.4D【解析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解；解：与ABC成轴对称的格点三角形最多有6个故答案为：D本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴5C【解析】根据三角形内角和定理求出B+C，根据线段垂直平分线的性质得到EAEB，根据等腰三角形的性质得到EABB，结合图形计算即可解：在ABC中，BAC114，则B+C180BAC1
12、8011466，EG是AB的垂直平分线，EAEB，EABB，同理：FACC，EAB+FACB+C66，EAFBAC（EAB+FAC）1146648，故选：C本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键6D【解析】根据角平分线的性质，得到PG=PF，结合面积公式，可以判断结论；过点P作PMAC，垂足为M，则PF=PM=PG，得到PA平分EAC，利用角的平分线定义，1=2+3，1+2=3+4+5，4=5，得证2=4，从而判断结论，利用四边形内角和定理结合角的平分线判断最后结论ABC、ACD的平分线BP、CP交于点P，PFBD，PGBE，PG=P
13、F，：=AB：BC，结论正确；过点P作PMAC，垂足为M，根据题意，得PF=PM=PG，PA平分EAC，PAG=PAM，PA=PA，PGA=PMA=90PAGPAM，同理可证，PCMPCF，PBGPBF，1=2+3，1+2=3+4+5，4=5，2=4，4ACP90，2ACP90，APBACP90，结论正确，ABCBGP+ GPF+PFB360，BGP=BFP90，ABCGPF180，1=2+3，1+2=3+4+5，4=5，GPF=2APC，ABC2APC180，结论正确，故选D本题考查了角平分线的性质和判定，四边形的内角定理，三角形面积公式，熟练掌握角的平分线的性质和判定是解题的关键7A【解析
14、】根据线段垂直平分线的性质可得AECE，进而可得AEBEBC5，进而可得答案解：边AC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，AECE，BC5，BECE5，AB3，ABE的周长为358故选：A此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等8B【解析】根据作图可知为的角平分线，过点作，则，继而根据三角形面积公式求解即可解：根据作图可知为的角平分线，如图，过点作， CG=4，AB=10，ABG的面积是故选B本题考查了角平分线的性质，角平分线的作图，理解题意中为的角平分线是解题的关键9A【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求解解：ACB
15、C，ACB90，M点是AB的中点，AB3.6km，CMAB1.8km故选：A本题主要考查直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键10C【解析】过作于，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质可得，再两点之间线段最短、垂线段最短可得的最小值为，利用勾股定理求出即可解：如图，过作于，过点作于，连接，点是的中点，为正三角形，由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为，由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，即的最小值为的长，即的最小值为，故选：C本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
16、等知识点，正确找出当点与点重合时，取得最小值是解题关键1110解：因为2+2=4，所以腰长为2时不能构成三角形；所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10，答：它的周长是10，故答案为：1012【解析】过点作于点，于点，然后由长方形纸片完全相同得到，再用定理证明，进而得到，进而可得到的大小解：如图，过点作于点，于点，则，两张长方形纸片完全相同，在和中，故答案为：本题考查了三角形全等的判定与性质，折叠的性质解题的关键在于证明三角形全等13【解析】根据三角形的内角和可求出ABC=60，然后根据角平分线的性质求出DBC=ABC=30，根据含30角的直角三角形性质求出BC=AB=3
17、，CD=BCtan30=3=，然后根据角平线上点到角两边距离相等，可求得点D到AB的距离=CD=1410【解析】过P点分别作PEAB，PFAC，垂足分别为E，F，由角平分线的性质可求PEPFPD2，结合三角形的周长，利用SABCSABP+SPBC+SAPC可求解解：过P点分别作PEAB，PFAC，垂足分别为E，F，连接AP，B和C的平分线交于P点，PDBC，PEPFPD2，ABC的周长是10，AB+BC+AC10，SABCSABP+SPBC+SAPC10本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积，运用角平分线的性质求解PEPFPD2是解题的关键15【解析】根据垂直平分线及全等三角形的判定和性质依
18、次对各个结论进行判断即可得解：，BD垂直平分AC，正确；在与中，正确；由可得：，BD平分，正确；无法证明；故正确结论有：，故答案为：题目主要考查垂直平分线的性质和全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键163【解析】根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”解答解：在RtABC中，ACB=90，D为边AB的中点，则CD=ABAB=6，CD=AB=3故答案为：3本题考查了直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，属于中考常考题型17【解析】要求BE+EF的最小值，需考虑通过作辅助线转化EF，BE的值，从而找出其最小值求
19、解解：连接CF，与AD交于点EAD是BC边上的中线，ADBC，AD是BC的垂直平分线，B、C关于AD对称，CF就是BE+EF的最小值等边ABC的边长为6，AD=，当CFAB时，CF的值最小AF=BF=3，CF是AB的垂直平分线，CF=AD=，EF+BE=CFEF+BE的最小值为故答案为：考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是本题的关键1820【解析】根据所给的角的度数，容易证得是等腰三角形，而的长易求，所以根据等腰三角形的性质，的值也可以求出解：据题意得，（海里）故答案是：20本题考查了等腰三角形的性质及方向角的问题，解题的关键
20、是由已知得到三角形是等腰三角形，要学会把实际问题转化为数学问题，用数学知识进行解决实际问题的方法19（1）证明见解析；（2）54【解析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出DBC=36，进而根据等腰三角形的判定解答即可；（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可（1）AB=AC，A=36，ABC=C=72BD平分ABC，ABD=DBC=36，A=36，BD=AD，即ABD是等腰三角形；（2）点E是AB的中点，AE=EB，DEB=90，BDE=9036=54此题考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解题的关键20（1）见解析；（2）4【解析】（1）根据
21、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的判定解答即可；（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证得，进而证得=60，则DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质求得即可求解（1）证明：BD，CE分别是AB、AC边上的高，点F是BC中点，是等腰三角形；（2）解：，同理，又是等腰三角形，是等边三角形，本题考查直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键21(1)24(2)4(3)线段DE的长度不改变，DE=6【解析】（1）由线段和差关系可求解；（2）由直角三角形的性质可列方程，即可求t的
22、值；（3）连接EQ，PF，由全等三角形的性质可证AB=EF，由题意可证四边形PEQF是平行四边形，可得DE=DF（1）解：ABC是边长为12的等边三角形，ACB=60，AB=BC=AC=12，设AP=t cm，则PC=（12-t）cm，QB=t cm，QC=QB+BC=（12+t）cm，CP+CQ=12-t+12+t=24（cm），故答案为：24（2）解：ACB=60，BQD=30，QPC=90，QC=2PC，12+t=2（12-t），t=4；（3）解：线段DE的长度不改变，过点Q作QFAB交AB延长线于点F，连接EQ，PF，PEAB，QFABQFPE点P、Q速度相同，AP=BQ，ABC是等边
23、三角形，A=ABC=FBQ=60，AP=BQ，AEP=QFB，A=QBF，AEPBFQ（AAS），AE=BF，QF=PE，BE+AE=BF+BE，AB=EF=12，PEAB，QFAB，QFEP，QF=PE，四边形PEQF是平行四边形，DE=DF=EF=6本题考查的是三角形综合题，等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键22（1）ODE是等边三角形；理由见解析；（2）ODE的周长为10【解析】(1)根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到ODE是等边三角形；(2)根据角平分线的性质及平行线的性质可得到DBO=DOB，根据等角对等边可得到D
24、B=DO，同理可证明EC=EO，问题得解.解：（1）ODE是等边三角形；理由如下：ABC是等边三角形，ABC=ACB=60；ODAB，OEAC，ODE=ABC=60，OED=ACB=60，ODE为等边三角形（2）BO平分ABC，ODAB，ABO=DBO，ABO=DOB，DOB=DBO，BD=OD；同理可证CE=OE；ODE的周长=BC=10故答案为(1)ODE是等边三角形；理由见解析；(2)10本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形的三条边相等，三个内角都是60是解答此题的关键23（1）BE=DF，见解析；（2）5【解析】（1）根据角平分线的性质即可得到CE=CF，然后利用HL证明，即可
25、得到BE=DF；（2）先证明AFCAEC，得到AE=AF，再由AD=3cm，DF=1cm，可得AE=AF=AD+DF=4cm，BE=DF=1cm，则AB=AE+BE=5cm解：（1）BE=DF，理由是： 1=2，CEAB于E，CFAD于F，CE=CF，F=CEB=90，在RtCEB和RtCFD中，BE=DF；（2）在AFC和AEC中，AFCAEC（AAS），AE=AF，AD=3cm，DF=1cm，AE=AF=AD+DF=4cm，BE=DF=1cm，AB=AE+BE=5cm本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的性质24（1）见解析；（2）见解析
26、.【解析】（1）如图，连接交于 则即为所求作的中上的中线；（2）如图，连接交于 再连接 相交于点 连接 并延长交于 则线段即为所求.解：（1）如图，即为所求作的中上的中线，（2）如图，是所求作的中ABD的角平分线，本题考查的是三角形中线，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，同时考查利用图形的性质进行作图，熟练的运用三角形的全等与等腰三角形的性质是解本题的关键.25（1）见解析；（2）45；（3）AECD，证明见解析【解析】（1）根据轴对称的性质，得，根据全等三角形的性质，通过证明，推导得ACEC，再根据等腰三角形的性质分析，即可得到答案；（2）设BCD，结合题意，得；根据
27、三角形内角和性质，推导得CAE，结合三角形外角的性质分析，即可得到答案；（3）连接BF，根据题意，得ADBC，根据垂直平分线和全等三角形性质，通过证明ADFCBF，得AFCF，DFBFEF，通过计算即可得到答案（1）点B关于直线CD的对称点为ECD垂直平分BE， ，在和中 ，BCDECD又ACBC ACEC CAECEA；（2）设BCD，由（1）知BCDECDACB90 CAECEA45+ ECD+AFCCEA45+，AFCCEA -ECD =45；（3）连接BFACAD，ACBCADBCCD垂直平分BE， FEFBAFDBFD由（2）得CAECAB+DAF45+ ， CAB45BCDFAD在
28、ADF和CBF中 ADFCBFAFCF，DFBFEFAF-EFCF-DF，即AECD本题考查了三角形、轴对称、垂直平分线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形、等腰三角形、轴对称、直角三角形、三角形外角的性质，从而完成求解26(1)等边三角形，60；(2)AD=DQ+DP，见解析；(3)BPQ是等边三角形，见解析； y=-x+4【解析】（1）根据直角三角形的两锐角互余求得ABC=60，再根据角平分线的定义求得ABD=CBD=A=30，则AD=BD，根据等腰三角形的性质证得AE=BE，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=BE，根据等边三角形的判定即可得出结论；（2）根据思路和全等三
29、角形的性质得出BH=DQ，结合AD=BD，BD=DH+BH即可解答；（3）延长BD至F，使DF=PD，连接PF，可证得PDF是等边三角形，则有PF=PD，F=PDF=DPF=60，进而可得F=PDQ=60，证明BPF=QPD，利用ASA证明PBFPQD，得出PB=PQ，BF=DQ，结合BPQ=60和AD=BD即可得出的结论(1)解：如图1，在RtABC中，ACB=90，A=30，ABC=60，BD是ABC的角平分线，ABD=CBD=ABC=30，ABD=A，CDB=90CBD=60，AD=BD，又DEAB，AE=BE=AB，又ACB=90，CE=AB=BE，又ABC=60，BCE是等边三角形，
30、故答案为：等边三角形，60；(2)解：AD=DQ+DP，理由为：在线段BD上截取点H，使DH=DP，如图2，CDB=60，DPH为等边三角形，DP=PH，DPH=DHP=60，又BPQ=60，DPQ+QPH=HPB+QPH=60，BHP=120，DPQ=HPB，A=30，DEAB，QDP=A+AED=30+90=120，QDP=BHP，在PDQPHB中，PDQPHB（ASA），DQ=BH，PQ=PB，AD=BD，BPQ=60，BPQ为等边三角形，AD=BD=BH+DH=DQ+DP，即AD=DQ+DP；(3)解：BPQ为等边三角形，理由为：延长BD至F，使DF=DP，连接PF，设DQ和BP相交于
31、O，如图3，PDF=CDB=60，PDF为等边三角形，PF=DP，F=PDF=DPF=60，A=30，DEAB，PDQ=90A=60，F=PDQ=60，DPF+DPB =BPQ+DPB，又BPQ=60，BPF=QPD，在PBF和PQD中，PBFPQD（ASA），PB=PQ，BF=DQ，又BPQ=60，BPQ为等边三角形； DF=DP，BF=DQ，AD=BD，DQ=BF=BD+DF=AD+DP，AD=2， AP=x，DQ=y，y=2+2x，即y=x+4本题考查含30角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与
32、性质、三角形的外角性质等知识，知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系和运用，利用类比的方法解决问题是解答的关键27(1)，理由见解析(2)成立，理由见解析【解析】（1）通过证明，即可得出，可得，即（2）如图2在线段CD上取一点E，使AE=AB，连接AE，通过证明可得，即，故（1）的结论成立(1)如果AB=AC，且点D在线段BC上运动，则线段BF与CD之间的位置关系是互相垂直，证明如下 ，故为等腰直角三角形，则为等腰直角三角形，故 则即(2)如果ABAC，如图2，且点D在线段BC上运动(ADAB)，（1）中结论成立如图2在线段CD上取一点E，使AE=AB，连接AE为等腰直角三角形，即故（1
33、）的结论成立本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键28(1)作图见解析(2)【解析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的两个交点，过这两个交点作直线即可；（2）连接 利用等腰三角形的性质，先求解 再证明 再利用角的和差关系可得答案.（1）解：如图，直线是所求作的线段的垂直平分线，（2）解：如图，连接 ， 是的垂直平分线， 本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握“线段的垂直平分线的作图与线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键.29见解析【解析】根据等腰三角形的性质证得，再根据三角形的高和全等三角形的判定证明，再根据全等三角形的性质和等角对等边即可证得结论证明：，又是的高， 在和中，（），本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识的联系与运用是解答的关键29
