1、 专题专题 8 8 一元二次方程一元二次方程 一、单选题一、单选题 1若 x1 是方程 x2+x+m0 的一个根，则此方程的另一个根是（ ） A1 B0 C1 D2 2一元二次方程 22+ 1 = 0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 3关于的一元二次方程2 4 + = 0无实数解，则的取值范围是（ ） A 4 B 4 C 1 4 （2022 怀化）下列一元二次方程有实数解的是（ ） A2x2x+10 Bx22x+20 Cx2+3x20 Dx2+20 5 （2022 九上 道县期中）已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+3=0
2、 有两个实数根 x1=1，x2=n，则代数式（m+n）2022的值为（ ） A1 B0 C32022 D72022 6 （2022 九上 道县期中）下列是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A21= 2021 B( + 6) = 0 C 5 = 0 D4 3= 2 7 （2022 九上 岳阳楼月考）一元二次方程（a-2）x2-2x+a2-4=0 的一个根是 0，则 a 的值是（ ） A2 B1 C2 或2 D2 8 （2022 九上 长沙开学考）关于的方程2+ 3 1 = 0有实数根，则的取值范围是（ ） A 94 B 94 C 94且 0 D 94且 0 9 （2022 七上 长沙开学考）已
3、知是方程2 2020 +4 = 0的一个解，则2 2019 +80802+4+ 6的值为（ ） A2022 B2021 C2020 D2019 10 （2022 九上 岳麓开学考）对于任意的实数，代数式2 5 + 10的值是一个（ ） A正数 B负数 C非负数 D无法确定 二、填空题二、填空题 11 （2022 长沙）关于 x 的一元二次方程2+ 2 + = 0有两个不相等的实数根，则实数 t 的值为 . 12 （2022 岳阳）已知关于的一元二次方程2+ 2 + = 0有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 . 13 （2022 娄底）已知实数1，2是方程2+ 1 = 0的两根，则12=
4、. 14 （2022 衡阳模拟）若关于 x 的一元二次方程（m3）x2+4x+10 有实数解，则 m 的取值范围是 . 15 （2022 九上 道县期中）已知 m 是一元二次方程2 3 + 1 = 0的根，则代数式2 3 1的值为 16 （2022 九上 道县期中）若( + 2)|+ ( 1) 1 = 0是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是 17 （2022 九上 岳阳楼月考）若一元二次方程2 2 1 = 0的两根分别为1，2，则12 1 2的值为 18 （2022 九上 长沙开学考）一元二次方程2+ 3 = 0的一个根是 = 1， 则另一个根是 19 （2022 九上 溪湖开学考）若一
5、元二次方程2 3 2 = 0的两个实数根为，则 + 的值为 20 （2022 九上 长沙开学考）已知1，2是关于的一元二次方程2+ 3 + = 0的两个实数根，且满足12+ 22= 2 6，则的值为 三、综合题三、综合题 21 （2022 衡阳模拟）某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于 45 元，经市场调查发现：该商品每天的销售量 y（件）与每件售价 x（元）之间符合一次函数关系，如图所示. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）该商场销售这种商品要想每天获得 600 元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ （3） 设商场销售这种商品每天
6、获利 w （元） ， 当每件商品的售价定为多少元时， 每天销售利润最大？最大利润是多少？ 22 （2022 九上 道县期中）某服装店在销售中发现：进货价为每件 50 元，销售价为每件 90 元的某品牌服装平均每天可售出 20 件现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利经市场调查发现：如果每件服装降价 1 元，那么平均每天就可多售出 2 件 （1）求销售价在每件 90 元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利 1200 元，同时又要使顾客得到较多的实惠？ （2）要想平均每天盈利 2000 元，可能吗？请说明理由 23 （2022 九上 岳麓开学考）已知1，2是一元二次
7、方程2 2 + + 2 = 0的两个实数根 （1）求的取值范围 （2）是否存在实数，使得等式11+12= 2成立？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由 24 （2022 九上 溪湖开学考）已知：抛物线1： = 2+ + ( 0) （1）若顶点坐标为(1，1)，求和的值(用含的代数式表示)； （2）当 0 ）与反比例函数 = （ 0 ）的“附中函数”的图象 与 x 轴有两个交点分别是 A（ 1 ，0） ，B（ 2 ，0） ，其中 3 ，点 C（3，4） ，求ABC的面积 SABC 的变化范围. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解： x1 是方程 x2+x+m0
8、的一个根 ，设另一个根为 a， -1+a=-1 解之：a=0， 方程的另一个根为 0. 故答案为：B. 【分析】利用一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根为 x1，x2，则 x1+x2=-p，据此设另一个根为 a，可得到关于 a 的方程，解方程求出 a 的值. 2 【答案】A 【解析】【解答】解： = 2 ， = 1 ， = 1 ， = 2 4 = 12 4 2 (1) = 1 + 8 = 9 0 ， 一元二次方程 22+ 1 = 0 有两个不相等的实数根. 故答案为：A. 【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当0 时，方程有两个不相等的实数根，当=0 时，方程有两个相等的实数根，当0
9、 时，方程没有实数根，故确定 a，b，c 的值，代入判别式公式判断出的符号即可得出结论. 3 【答案】A 【解析】【解答】解：关于的一元二次方程2 4 + = 0无实数解， = 16 4 4 故答案为：A. 【分析】一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c 是常数，且 a0）中，当 b2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根；当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；当 b2-4ac0 时，方程没有实数根，据此结合题意列出不等式，求解即可. 4 【答案】C 【解析】【解答】解：A 选项中，= 2 4 = (1)2 4 2 1 = 7 0，故方程无实数根； B 选项中，= (2)
10、2 4 1 2 = 4 0，故方程有两个不相等的实数根； D 选项中，= 8 0 故答案为：A. 【分析】对代数式进行配方可得 x2-5x+10=(x-52)2+154，然后结合偶次幂的非负性可得最小值，据此判断. 11 【答案】t1 【解析】【解答】解：关于 x 的一元二次方程2+ 2 + = 0有两个不相等的实数根， = 22 4 1 0， 0， 解得 m1， 所以实数 m 的取值范围是 m1. 故答案为：m1. 【分析】一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c 是常数，且 a0）中，当 b2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根；当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；
11、当 b2-4ac0 时，方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可. 13 【答案】-1 【解析】【解答】解： 实数1，2是方程2+ 1 = 0的两根， 12=11= 1， 故答案为：-1. 【分析】根据根与系数的关系可得 x1x2=，据此解答. 14 【答案】m7 且 m3 【解析】【解答】解：（m3）x2+4x+1=0 是关于 x 的一元二次方程， m30， 解得 m3， 此一元二次方程有实数根， 42 4( 3) 1 0 ， 解得 m7， m 的取值范围为 m7 且 m3. 故答案为：m7 且 m3. 【分析】根据一元二次方程的概念可得 m3，根据方程有实数解可得=b2-4ac0，代入求解
12、可得 m 的范围，结合 m3 就可得到满足题意的 m 的范围. 15 【答案】-2 【解析】【解答】解：m 是一元二次方程2 3+ 1 = 0的根， 23 + 1=0，即 m2-3m=-1， 23 1 = 1 1 = 2， 故答案为：-2. 【分析】根据方程根的定义，将 x=m 代入方程可得 m2-3m=-1，然后整体代入即可得出答案. 16 【答案】2 【解析】【解答】解：由题意得| = 2且 + 2 0 解得 = 2 故答案为：2 【分析】形如 ax2+bx+c=0（a、b、c 是常数，且 a0）的方程就是一元二次方程，据此可得| = 2且 + 2 0，求解即可得出答案. 17 【答案】-
13、3 【解析】【解答】解：一元二次方程2 2 1 = 0的两根分别为1，2， 1+ 2= 2，12= 1， 12 1 2= 12 (1+ 2) = 1 2 = 3 故答案为：-3 【分析】 利用一元二次方程根与系数的关系可求出 x1+x2， x1x2的值， 再将代数式转化为 x1x2- （x1+x2） ，然后整体代入可求出结果. 18 【答案】-3 【解析】【解答】解：设方程的另一根为，则1 = 3， 解得， = 3 故答案为：-3. 【分析】设方程的另一根为 t，根据根与系数的关系可得 1 t=-3，求解可得 t 的值. 19 【答案】5 【解析】【解答】解：一元二次方程23 2 = 0的两个
14、实数根为， + = 3， = 2， 则原式= ( + ) = 3 (2) = 3 + 2 = 5 故答案为：5 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 + = 3， = 2，然后整体代入即可求解. 20 【答案】-5 【解析】【解答】解：根据题意得 = 32 4 0， 解得 94， 根据根与系数的关系得1+ 2= 3，12= ， 12+ 22= 2 6， (1+ 2)2 212= 2 6， (3)2 2 = 2 6， 整理得2+ 2 15 = 0， 解得1= 5，2= 3， 94， = 5 故答案为：-5 【分析】根据一元二次方程的根的判别式当 b2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根
15、；当b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；当 b2-4ac0 时，方程没有实数根可得关于 m 的不等式，解不等式可得 m 的取值范围；由一元二次方程的根与系数的关系可得 x1+x2=-=-3，x1x2=m，将已知的等式变形得： （x1+x2）2-2x1x2=m2-6，把 x1+x2=-3，x1x2=m 代入变形后的等式可得关于 m 的方程，解方程并结合 m 的取值范围即可求解. 21 【答案】（1）解：设 = + ， 将(25，70)，(35，50) 代入解析式， 可得：25 + = 7035 + = 50 ， 解得： = 2 = 120 ， = 2 + 120 ； （2）解：根据题意
16、可得：( 20)(2 + 120) = 600 ， 整理得：2 80 + 1500 = 0 ， 解得：1= 30，2= 50 ， 20 45 ， = 30 ， 每件商品的售价应定为 30 元； （3）解： = ( 20)(2 + 120) = 22+ 160 2400 = 2( 40)2+ 800 ， 20 45， = 40 时，w 取最大值，且最大值为 800 元. 当每件商品的售价定为 40 元时，每天销售利润最大，最大利润是 800 元. 【解析】【分析】 （1）设 y=kx+b，将（25，70） 、 （35，50）代入求出 k、b 的值，据此可得 y 与 x 之间的函数关系式； （2）
17、根据(售价-进价) 销售量可得关于 x 的方程，求解即可； （3）根据(售价-进价) 销售量可得 w 与 x 的关系式，然后结合二次函数的性质进行解答. 22 【答案】（1）解：设每件服装降价 x 元 由题意得： （90-x-50） （20+2x）=1200， 解得：x1=20，x2=10， 为使顾客得到较多的实惠，应取 x=20； 答：每件降价 20 元时，平均每天销售这种服装能盈利 1200 元，同时又要使顾客得到较多的实惠； （2）解：不可能，理由如下： 依题意得： （90-x-50） （20+2x）=2000， 整理得：x2-30 x+600=0， =（-30）2-4 600=900-
18、2400=-15000， 则原方程无实数解 则不可能每天盈利 2000 元 【解析】【分析】 （1） 设每件服装降价 x 元 ， 则每件的利润为 （90-x-50） 元， 每天的销售量为 （20+2x）件，根据单件的利润 销售数量=总利润建立方程，求解得出 x 的值，进而结合题意进行取舍即可得出答案； （2）根据单件的利润 销售数量=2000 建立方程，并整理成一般形式，算出根的判别式 b2-4ac 的值，由判别式的值的正负即可判断得出答案. 23 【答案】（1）解： 一元二次方程 2 2 + + 2 = 0 有两个实数根， = (2)2 4 1 ( + 2) 0 ， 解得： 1 （2）解：
19、1 ， 2 是一元二次方程 2 2 + + 2 = 0 的两个实数根， 1+ 2= 2 ， 12= + 2 11+12= 2 ， 1+212=2+2= 2 ， 2 6 = 0 ， 解得： 1= 6 ， 2=6 又 1 ， = 6 存在这样的 值，使得等式 11+12= 2 成立， 值为 6 【解析】【分析】 （1）根据方程有两个实数根可得0，代入求解可得 k 的范围； （2） 根据根与系数的关系可得 x1+x2=2，x1x2=k+2，根据已知条件可得1+212=2+2= 2 ，求解可得 k 的值，然后利用 k 的范围进行取舍. 24 【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标为(1，1)， = ( 1
20、)2+ 1 = 2 2 + + 1， = 2， = + 1 （2）解： = 2+ + ， 0， 0， 抛物线 = 2+ + ( 0)与轴有两个交点， |2+ + | 0， 2022|2+ + | 0， 2022|2+ + | 1 1， 函数 = 2022|2+ + | 1的最大值为-1； （3）解：直线 = ( 1) 24与抛物线1有且只有一个公共点， 方程组 = ( 1) 24 = 2+ + 只有一组解， 2+ ( ) +24+ + = 0有两个相等的实数根， = 0， ( )2 4(24+ + ) = 0， 整理得：(1 )2 2(2 + ) + 2 4 = 0， 不论为任何实数，(1 )
21、2 2(2 + ) + 2 4 = 0恒成立， 1 = 02(2 + ) = 02 4 = 0， = 1， = 2， = 1 此时，抛物线解析式为 = 2 2 + 1 = ( 1)2， 抛物线的对称轴为直线 = 1，开口向上， 当 + 1时，抛物线的最小值为， 分三种情况： 1， 当 0时， + 1 1时，随着的增大而增大，则当 = 时，的最小值为， ( 1)2= ， 解得： =352或3+52， 1， =3+52， 综上所述，若 + 1时，抛物线的最小值为，的值为 0 或3+52 【解析】【分析】 （1）根据抛物线顶点式可得 = ( 1)2+ 1 = 2 2 + + 1， 从而得解； （2）
22、 由题意可得 = 2 4 0， 易得 |2+ + | 0， 故2022|2+ + | 1 1， 从而求解； （3）由直线与抛物线有且只有一个公共点，可得方程 2+ ( ) +24+ + = 0有两个相等的实数根， 即=0，可得(1 )2 2(2 + ) + 2 4 = 0， 进而可得 1 = 02(2 + ) = 02 4 = 0， 从而求出 a=1，b=-2，c=1，即得抛物线解析式为 = 2 2 + 1 = ( 1)2，由于抛物线的对称轴为直线 x=1，开口向上，由于当 + 1时，抛物线的最小值为 k，可分三种情况：k0 或 0k1 或k1，据此利用二次函数的性质分别求解即可. 25 【答
23、案】（1）解：存在， a3，b6，c9， + = 2 ， 存在“附中函数”为 = 32+ 6 + 9 ； （2）解：由题可知：a=1，1+c=2b， c=2b1， “附中函数”为： = 2+ + 2 1 ， “附中函数”的图象与直线 = 2 + 7 有唯一交点， 2+ + 2 1 = 2 + 7 ，即 2+ ( 2) +2 8 = 0 有两个相等的实数根， = ( 2)2 4 1 (2 8) = 0 ， 解得： 1= 2= 6 ，即 b=6， c11； （3）解：由题可知：ac=2b， =2 ， “附中函数”为： = 2+2 ， 令 = 0 得： 2+2 = 0 ， 解得： 1=+2+2+14
24、4 ， 2=2+2+144 ， =2+2+142 ， 又点 C(3，4)， =122+2+142 4 =2+2+14 ， 当 c=a 时， =162=4|=4= 4 ， 当 c=3a 时， =522=213|=213= 213 ， 4 213 . 【解析】【分析】 （1）易得 a=3，b=6，c=9，a+c=2b，然后利用“附中函数”的概念进行解答； （2）易得“附中函数”为 y=x2+bx+2b-1，联立 y=2x+7 可得关于 x 的一元二次方程，结合判别式=0 即可求出 b 的值，进而可得 c 的值； （3）由题可知：a-c=2b，表示出 b，可得“附中函数”为 y=ax2+2x-c，令 y=0，求出 x，进而可得 AB，利用三角形的面积公式表示出 S ABC，求出 c=a、c=3a 的 S ABC的值，进而可得 S ABC的范围
