1、河北省2022-2023学年高一上期中数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1. 设集合，则（ ）A. B. ）C. D. 2. 下列函数是幂函数的是（ ）A. B. C. D. 3. 已知函数定义域为，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 4. 若与都是等腰三角形，则“”是“且”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 关于命题“至少有一个，使得为偶函数”，下列判断正确的是（ ）A. 该命题是全称量词命题，且是真命题B. 该命题是存在量词命题，且是真命题C. 该命题是全称量词命题，且是假命题D. 该命题存在量词命题
2、，且是假命题6. 已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）A B. C. D. 7. 已知，则的最小值为（ ）A. B. C. 20D. 48. 已知圆锥的体积为，其中S为圆锥的底面积，h为圆锥的高现有一个空杯子，盛水部分为圆锥（底面半径为3cm，高为6cm），现向杯中以6ml/s的速度匀速注入水，则注水t（0t5）s后，杯中水的高度为（ ）A. cmB. cmC. cmD. cm二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的很2分，有选错的得0分9. 若函数满足），则的解析式可能为（ ）A. B. C. D
3、. 10. 已知集合，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（ ）A. B. C. D. 11. 下列命题是真命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则的最大值为C. 若，则D. 若，则的最小值为312. 已知是定义在R上的函数，且存在满足条件，则可能为（ ）A. B C. D. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上13. 命题p：的否定为_14. 若函数在上是增函数，则取值范围是_15. 若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值：_16. 如图所示，定义域和值域均为R的函数的图象给人以“一波三折”的曲线之美（1）若在上有最大值，则a的取值范围
4、是_；（2）方程的解的个数为_四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知集合，（1）若，求，；（2）若，且，求的值18. 已知函数（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在2，4上单调递减，证明：19. 已知f（x）是定义在3，3上的偶函数（1）设g（x）是定义在3，3上的奇函数，将下面两个图补充完整；（2）当时，讨论f（x）在3，m上的值域20. 小张同学在求解“若，求的最小值”这道题时，他的解答过程如下：（第一步）因为，所以a，b同号，所以均为正数，（第二步）所以，（第三步）所以，故的最小值为请你指出他在解答过程中存在的问题，并作出相应的修改
5、21. 近几年，极端天气的天数较往年增加了许多，环境的保护越来越受到民众的关注，企业的节能减排被国家纳入了发展纲要中，这也为检测环境的仪器企业带来了发展机遇某仪器公司的生产环境检测仪全年需要固定投入500万元，每生产x百台检测仪器还需要投入y万元，其中，且每台检测仪售价2万元，且每年生产的检测仪器都可以售完（1）求该公司生产的环境检测仪的年利润（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式；（2）求该公司生产的环境检测仪年利润的最大值22. 已知函数（1）判断在上的单调性，并用定义加以证明；（2）设函数，若，求a的取值范围河北省2022-2023学年高一上期中数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小
6、题5分，共40分1. 设集合，则（ ）A. B. ）C. D. 【答案】A【解析】【分析】解二次不等式化简集合，再利用集合的补集运算即可求得结果.【详解】由得或，故或，所以.故选：A.2. 下列函数是幂函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据幂函数概念即可得解.【详解】因为函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数，对于A，是二次函数；对于B，是一次函数；对于C，由前的系数不为，故不是幂函数；对于D，满足幂函数的概念，故是幂函数.故选D.3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用抽象函数定义域的求法求解即可.
7、【详解】由，得，所以的定义域为.故选：C.4. 若与都是等腰三角形，则“”是“且”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由全等三角形性质易证充分性，举反例排除必要性，由此得证.【详解】若，则且，故“”是“且”的充分条件；若且，则AB与AC可能都是等腰三角形的腰，从而推不出，故“”是“且”的不必要条件；综上：“”是“且”的充分不必要条件；故选：A.5. 关于命题“至少有一个，使得为偶函数”，下列判断正确的是（ ）A. 该命题是全称量词命题，且是真命题B. 该命题是存在量词命题，且是真命题C. 该命题是全称量词命题，且是假
8、命题D. 该命题是存在量词命题，且是假命题【答案】B【解析】【分析】先判断命题是存在量词命题，再找出一个满足条件的即可判断其为真.【详解】“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词，因此该命题是存在量词命题；当时，此时，的定义域为，又，所以为偶函数，因此该命题是真命题故选：B.6. 已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分析可知，可得出，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解.【详解】由图可知，函数的图象与轴相切，对称轴为直线，且该函数的图象开口向下，所以，且，则，所以，不等式即为，即，解得.故不等式的解集为.故选：A.7. 已知，则的
9、最小值为（ ）A. B. C. 20D. 4【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式中“1”的妙用解之即可.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故最小值为4.故选：D.8. 已知圆锥的体积为，其中S为圆锥的底面积，h为圆锥的高现有一个空杯子，盛水部分为圆锥（底面半径为3cm，高为6cm），现向杯中以6ml/s的速度匀速注入水，则注水t（0t5）s后，杯中水的高度为（ ）A cmB. cmC. cmD. cm【答案】C【解析】【分析】利用注入的水的体积与杯中水的体积相等即可求解.【详解】假设注水后，杯中水的水面半径为xcm，则杯中水的高度，则由注入的水的体积与杯中水的体积相等得，解得，
10、故杯中水的高度cm故选：C.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的很2分，有选错的得0分9. 若函数满足），则的解析式可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断即可.【详解】解：因为，均为奇函数，所以，均满足，故A、C、D正确；对于B：，则，即为偶函数，则，故B错误故选：ACD10. 已知集合，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据题意讨论和情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案.
11、【详解】由题意集合，因为，所以当时，即 ；当时，有 ，解得，故,则M的一个真子集可以是或，故选：BC.11. 下列命题是真命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则的最大值为C. 若，则D. 若，则的最小值为3【答案】ACD【解析】【分析】根据基本不等式、结合比较法逐一判断即可.【详解】A：因为，所以，即，所以本选项是真命题；B：因为，所以，当且仅当时，即时取等号，所以本选项是假命题；C：因为，所以，即，所以本选项是真命题；D：由，当且仅当时，即时取等号，因此本选项是真命题，故选：ACD【点睛】关键点睛：运用比较法、基本不等式是解题的关键.12. 已知是定义在R上的函数，且存在满足条件，则可能为（
12、 ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据函数的概念，利用赋值法结合条件逐项分析即得.【详解】若，则且，所以A正确；由，令，得，又，所以B错误；若，则且，所以C正确；由，令，得，又，所以，令，得，所以D错误故选：AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上13. 命题p：的否定为_【答案】【解析】【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得命题的否定.【详解】命题p：的否定为.故答案为：.14. 若函数在上是增函数，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据分段函数在上的单调性，列式求解即可.【详解】解：函数在上是增函数，由题意可得解得故答
13、案为：.15. 若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值：_【答案】7（答案不唯一，实数a满足即可）【解析】【分析】由题意知区间长度大于7不大于9，据此求出集合中最小整数，得到集合中最大整数为10，建立不等式求解.【详解】依题意可得，解得，则所以集合的整数元素的最小值为3，从而最大值为10，所以，解得故答案为：7（答案不唯一）.16. 如图所示，定义域和值域均为R的函数的图象给人以“一波三折”的曲线之美（1）若在上有最大值，则a的取值范围是_；（2）方程的解的个数为_【答案】 . ； . 【解析】【分析】（1）利用数形结合思想，结合最大值的定义进行求解即可；（2）利用换元法，结合数形结合法进行求
14、解即可.【详解】（1）由图象可知：该函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，要想在上有最大值，则有，a的取值范围是；（2）令，或，若，根据函数图象，可知该方程有三个不相等实根；若，根据函数图象，可知该方程有一个实根，所以方程的解的个数为，故答案为：；四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知集合，（1）若，求，；（2）若，且，求的值【答案】（1）， （2）或【解析】【分析】（1）首先求出集合，再根据交集、并集的定义计算可得；（2）首先表示出集合，由，可得，即可求出参数的值.小问1详解】解：当时，又，所以，.【小问2详解】解：当时，因为，所
15、以，所以或.18. 已知函数（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在2，4上单调递减，证明：【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用换元法令，得代入原函数中化简即可得f（x）的解析式（2）利用二次函数的性质，即可证明.【小问1详解】令，得由，得故f（x）的解析式为【小问2详解】证明：由（1）知f（x）的图像关于直线对称因为f（x）在2，4上单调递减，所以解得故19. 已知f（x）是定义在3，3上的偶函数（1）设g（x）是定义在3，3上的奇函数，将下面两个图补充完整；（2）当时，讨论f（x）在3，m上的值域【答案】（1）作图见解析 （2）当时，函数f（x）在上的值域为3m5
16、，4，当时，函数（x）在3，m上的值域为2，4.【解析】【分析】(1)根据偶函数图像关于轴对称，奇函数图象关于原点对称即可求解；(2)根据图象，设其解析式，再根据图象上点的坐标列出方程组，解之即可求出函数解析式，然后根据图象进行分类讨论即可.【小问1详解】补充完整的两个图如下图所示：【小问2详解】由图可知，f（x）在3，1上的图象为线段，设其对应的解析式为，由题意可知：则，解得，所以当时，f（x）在3，m上单调递减，所以f（x）在3，m上的最大值为4，最小值为f（m），则f（x）在上的值域为3m5，4，当时，由图可知（x）在3，m上的值域为2，4，综上可知：当时，函数f（x）在上的值域为3m5
17、，4，当时，函数（x）在3，m上的值域为2，4.20. 小张同学在求解“若，求的最小值”这道题时，他的解答过程如下：（第一步）因为，所以a，b同号，所以均为正数，（第二步）所以，（第三步）所以，故的最小值为请你指出他在解答过程中存在的问题，并作出相应的修改【答案】答案见解析过程.【解析】【分析】根据基本不等式成立的条件进行判断，再通过乘法运算法则，结合基本不等式进行求解即可.【详解】从第三步是错误的，理由如下：因为当且仅当时，即时，不等式才能取等号，当且仅当时，即时，不等式才能取等号，因为，所以两个不等式不能同时取等号，所以不等式，因此此法求不出最小值，正确的做法如下：因为，所以a，b同号，所
18、以均为正数，由，当且仅当时，即当时取等号，因此的最小值为.21. 近几年，极端天气的天数较往年增加了许多，环境的保护越来越受到民众的关注，企业的节能减排被国家纳入了发展纲要中，这也为检测环境的仪器企业带来了发展机遇某仪器公司的生产环境检测仪全年需要固定投入500万元，每生产x百台检测仪器还需要投入y万元，其中，且每台检测仪售价2万元，且每年生产的检测仪器都可以售完（1）求该公司生产的环境检测仪的年利润（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式；（2）求该公司生产的环境检测仪年利润的最大值【答案】（1）; （2）5400万元.【解析】【分析】（1）根据利润=销售收入固定成本一投入成本，即可得到年利
19、润（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；（2）当时，利用二次函数的性质，求出的最大值，当 时利用导数求得的最大值，再比较两者的大小，取较大者即得答案.【小问1详解】由题意知，当时， ，当，, 综上， ;【小问2详解】当时， ，所以当 时，取得最大值2383，当，令，当时，递增，当时，递减，故当 时，取得最大值 ，因为 ，故当（百台），该公司生产的环境检测仪年利润最大，最大值为5400万元.22. 已知函数（1）判断在上的单调性，并用定义加以证明；（2）设函数，若，求a的取值范围【答案】（1）单调递减，证明见解析 （2）,2【解析】【分析】（1）在上单调递减，根据单调性的定义设，作差判断符号，即可得单调性；（2）先确定函数在上的值域，再根据，确定与值域的关系，即可得a的取值范围【小问1详解】解：上单调递减，理由如下：证明：设，则，即，在上单调递减【小问2详解】解：当时，同（1）可得为增函数若，则，则在上的值域为.所以若，则，则依题意可得则,解得，故a的取值范围为,2
