1、 2022-2023 学年江苏省南京市建邺区九年级学年江苏省南京市建邺区九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分。）分。） 1将方程（x1）26 化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ） Ax22x+50 Bx22x50 Cx2+2x50 Dx2+2x+50 2某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别是按 40%，60%的比例计入学期总成绩，小明数学期中成绩是 85 分，期末成绩是 90 分，那么他的数学学期总成绩为（ ） A88 分 B87.5 分 C87 分 D86 分 3如图，CD 为O 的直径
2、，弦 ABCD，垂足为 E，CE1，AB6，则O 半径的长为（ ） A3 B4 C5 D无法确定 4如图，O 是ABC 的外接圆，若OCA50，则ABC 的度数等于（ ） A30 B40 C50 D60 5三边长分别为 6、8、10 的三角形的内切圆的半径长为（ ） A2 B3 C4 D5 6关于 x 的一元二次方程 ax2+bxc（ac0）一个实数根为 2022，则方程 cx2+bxa 一定有实数根（ ） A2022 B C2022 D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分。）分。） 7方程 x23x 的解为： 8如表中 24
3、位营销人员某月销量的中位数是 件 每人销售量/件 600 5o0 400 350 300 200 人数 4 4 6 7 2 92022 年国庆长假期间七天的气温如图所示，这七天最高气温的方差为，最低气温的方差为 S ，则 S S （填“”、“”或“”） 10一元二次方程 2x2bx+c0 的两根为 x1，x2，若 x1+x25，x1x22，则 b ，c 11若一个圆锥的底面圆的半径为 2，其侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是 12 如图， 半圆 O 的直径 AD8cm， B、 C 是半圆上的两点， 且ABC110， 则的长度为 cm 13如图，正九边形的对角线 AF、CH 相交于点 P，则C
4、PF 14已知 a，b，c 是ABC 的三边长，若一元二次方程（ac）x2+2bx+a+c0 没有实数根，则ABC 是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 15某农场的粮食产量在两年内从 3000t 增加到 3630t，且第一年的增长率是第二年的两倍如果设第二年的增长率为 x，则可列方程为 16如图，在ABC 中，ACB90，AC4，BC3，点 P 在 AB 边上运动（不与点 A、B 重合），过点 P 作 PQPC，交射线 CA 于点 Q，则线段 CQ 长度的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
5、说明、证明过程请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）或演算步骤） 17解下列方程 （1）x22x10； （2）x26x+9（2x1）2 18体育教师要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加校运动会比赛在最近的五次选拔赛中，他们的成绩如表（单位：cm）： 甲 585 596 609 610 595 乙 580 603 613 585 624 （1）已知甲运动员的平均成绩是 599cm，求乙运动员的平均成绩； （2）从两个不同的角度评价这两名运动员的跳远成绩 19 把一根长 80cm 的绳子剪成两段， 并把每段绳子围成一个正方形 要使这两个正方形的面积和等于 250cm
6、2，应该怎样剪？ 20如图，在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆弦 AB、AC 分别与小圆分别相切于点 D、E求证：BC 21某剧院举办文艺演出，经调研，如果票价定为每张 30 元，那么 1200 张门票可以全部售出：如果票价每增加 1 元，那么售出的门票就减少 30 张要使门票收入达到 36750 元，票价应定为多少元？ 22求证：圆内接四边形的对角互补 已知：如图，四边形 ABCD 内接于O 求证：A+CB+D180 证明：作直径 AE，连接 BE、DE 所以ABEADE90 因为CBECDE，（） 所以ABC+CDAABE+EDA180 同理DAB+BCD180 （1）证明过程中依据是
7、 ； （2）请给出另一种证明方法 23如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，CDAB，垂足为 D，且，BE 分别交 CD、AC 于点F、G （1）求证：CABDCB； （2）求证：F 是 BG 的中点 24已知关于 x 的一元二次方程是 x2（m+2）x+m+10 （1）求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求 m 的值 25如图，已知点 D 在ABC 边 AC 上，且 ADAB，以 AB 为直径的O 与 BC 相切，与 AC 相交于点 E （1）求证：BAD2DBC； （2）当 AD3，CD2 时，求 BD 的长 26用圆形纸片可以
8、折出各种不同的图形如图，点 P 为O 内一点，利用直尺和圆规分别作出一条符合要求的折痕（保留痕迹，给出必要的文字说明） （1）折叠后圆弧经过点 O、P； （2）折叠后圆弧与过点 P 的直径相切，切点为 P 27【新知】 19 世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程 x2+bx+c0 的几何解法：如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 A（0，1）、B（b，c），以 AB 为直径作P若P 交 x 轴于点 M（m，0）、N（n，0），则 m、n 为方程 x2+bx+c0 的两个实数根 【探究】 （1） 由勾股定理得，AM212+m2，BM2c2+ （bm）2，AB2 （1c）2+b2在
9、 RtABM 中，AM2+BM2AB2所以 12+m2+c2+（bm）2（1c）2+b2 化简得：m2+bm+c0同理可得： 所以 m、n 为方程 x2+bx+c0 的两个实数根 【运用】 （2）在图 2 中的 x 轴上画出以方程 x23x20 两根为横坐标的点 M、N （3）已知点 A（0，1）、B（6，9），以 AB 为直径作C判断C 与 x 轴的位置关系，并说明理由 【拓展】 （4）在平面直角坐标系中，已知两点 A（0，a）、B（b，c），若以 AB 为直径的圆与交 x 轴有两个交点 M、N，则以点 M、N 的横坐标为根的一元二次方程是 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（
10、本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分。）分。） 1将方程（x1）26 化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ） Ax22x+50 Bx22x50 Cx2+2x50 Dx2+2x+50 【分析】先去括号，再移项，最后合并同类项即可 解：（x1）26， x22x+160， x22x50， 即将方程（x1）26 化成一般形式为 x22x50， 故选：B 【点评】 本题考查了一元二次方程的一般形式， 能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c0（a、b、c 为常数，a0） 2某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别是
11、按 40%，60%的比例计入学期总成绩，小明数学期中成绩是 85 分，期末成绩是 90 分，那么他的数学学期总成绩为（ ） A88 分 B87.5 分 C87 分 D86 分 【分析】 根据学期数学总成绩期中数学成绩所占的百分比+期末数学成绩所占的百分比即可求得学期总成绩 解：他的数学学期总成绩为 8540%+9060%88（分）， 故选：A 【点评】本题考查的是加权平均数的求法解题的关键是根据期中、期末两次成绩所占的比例，列出算式，是一道基础题 3如图，CD 为O 的直径，弦 ABCD，垂足为 E，CE1，AB6，则O 半径的长为（ ） A3 B4 C5 D无法确定 【分析】连接 OA，根据
12、垂径定理求出 AEBE3，根据勾股定理得出关于 r 是方程，再求出方程的解即可 解：连接 OA，设O 的半径为 r，则 OAOCr， 弦 ABCD，CD 过圆心 O，AB6， AEBE3，AEO90， 由勾股定理得：OA2AE2+OE2， r232+（r1）2， 解得：r5， 即O 的半径是 5， 故选：C 【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦 4如图，O 是ABC 的外接圆，若OCA50，则ABC 的度数等于（ ） A30 B40 C50 D60 【分析】连接 OA，根据等腰三角形的性质得到OACOCA50，根据三角形内角和定理求
13、得AOC80，由圆周角定理即可求出ABC 的度数 解：连接 OA， OAOC， OACOCA50， AOC180（OAC+OCA）80， ABCAOC40， 故选：B 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键 5三边长分别为 6、8、10 的三角形的内切圆的半径长为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】先根据勾股定理的逆定理求出ABC 是直角三角形，然后利用直角边为 a、b，斜边为 c 的三角 形的内切圆半径为进行计算即可 解：ABC 的三边长分别为 6、8、10， 62+82102， ABC 是直角三角形，
14、 ABC 的内切圆半径 r2 故选：A 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点记住直角边为 a、b，斜边为 c 的三角形的内切圆半径为 6关于 x 的一元二次方程 ax2+bxc（ac0）一个实数根为 2022，则方程 cx2+bxa 一定有实数根（ ） A2022 B C2022 D 【分析】根据一元二次方程根的定义：将 x2022 代入方程 ax2+bxc 中，再两边同时除以 2022，可得结论 解：关于 x 的一元二次方程 ax2+bxc
15、（ac0）一个实数根为 2022， 20222a+2022bc， a+， a， x是方程 cx2+bxa 的实数根 故选：D 【点评】 此题考查了一元二次方程的解， 熟练掌握等式的性质和一元二次方程解的定义是解本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分。）分。） 7方程 x23x 的解为： x10，x23 【分析】首先把方程移项，把方程的右边变成 0，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是 0，则这几个因式中至少有一个是 0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解 解：移项得：x23x0， 即 x（x3）0， 于是得：x
16、0 或 x30 则方程 x23x 的解为：x10，x23 故答案是：x10，x23 【点评】本题考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键 8如表中 24 位营销人员某月销量的中位数是 350 件 每人销售量/件 600 5o0 400 350 300 200 人数 4 4 6 7 2 【分析】根据求中位数的方法求即可 解：表中的数据是按从小到大的顺序排列的，处于中间位置的是 350 和 350， 因而中位数是350， 故答案为：350 【点评】本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，
17、如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 92022 年国庆长假期间七天的气温如图所示，这七天最高气温的方差为，最低气温的方差为 S ，则 S S （填“”、“”或“”） 【分析】根据气温统计图可知：这七天最低气温比最高气温的波动要小，由方差的意义知，波动越小，数据越稳定，即方差越小 解：观察气温统计图可知：这七天最低气温比较稳定，波动较小；故最低气温的方差小 所以 S S 故答案为： 【点评】本题考查了方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平
18、均数越小，即波动越小，数据越稳定 10一元二次方程 2x2bx+c0 的两根为 x1，x2，若 x1+x25，x1x22，则 b 10 ，c 4 【分析】根据根与系数的关系解答 解：x1+x25，x1x22， b10，c4 故答案是：10；4 【点评】 本题主要考查了根与系数的关系 一元二次方程 ax2+bx+c0 （a0） 的根与系数的关系为： x1+x2，x1x2 11若一个圆锥的底面圆的半径为 2，其侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是 8 【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长2 解：底面半径为 2，则底面周长4，侧
19、面展开图是半圆，则母线长4224， 圆锥的侧面积448 故答案为：8 【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解牢记圆锥与扇形各个元素之间的关系是解决此类题目的关键 12 如图， 半圆 O 的直径 AD8cm， B、 C 是半圆上的两点， 且ABC110， 则的长度为 cm 【分析】 连接 OC，CD，由ABC110，得D18011070，根据 OCOD，所以OCDD70，COD40，即可求出答案 解：如图，连接 OC，CD， ABC110， D18011070， OCOD， OCDD70， COD40， 弧 CD 的长度为（cm） 故答案为： 【点评】本题考查了圆周角定理和弧长公式，熟
20、记弧长公式和正确求出COD40是关键 13如图，正九边形的对角线 AF、CH 相交于点 P，则CPF 100 【分析】设正九边形外接圆的外心为 O，连接 OA，OB，OC，AH，根据正多边形的性质得到AOBBOC40，根据三角形的内角和定理即可得到结论 解：设正九边形外接圆的外心为 O，连接 OA，OB，OC，AH， 则AOBBOC40， AOC80， AHCAOB40， 同理PAH40， CPFAPH180PAHPHA100， 故答案为：100 【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，三角形的内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键 14 已知 a， b， c 是ABC 的三边长， 若一
21、元二次方程 （ac） x2+2bx+a+c0 没有实数根， 则ABC 是 钝角 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【分析】利用判别式的意义得到 ac0 且4b24（ac）（a+c）0，则 b2+c2a2，然后利用勾股定理的逆定理可判断ABC 是钝角三角形 解：根据题意得 ac0 且4b24（ac）（a+c）0， 即 b2a2+c20， 所以 b2+c2a2， 所以ABC 是钝角三角形 故答案为：钝角 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实
22、数根 15某农场的粮食产量在两年内从 3000t 增加到 3630t，且第一年的增长率是第二年的两倍如果设第二年的增长率为 x，则可列方程为 3000（1+2x）（1+x）3630 【分析】由第一年及第二年增长率间的关系，可得出第一年的增长率为 2x，根据该农场的粮食产量在两年内从 3000t 增加到 3630t，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 解：第一年的增长率是第二年的两倍第二年的增长率为 x， 第一年的增长率为 2x 依题意得：3000（1+2x）（1+x）3630 故答案为：3000（1+2x）（1+x）3630 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系
23、，正确列出一元二次方程是解题的关键 16如图，在ABC 中，ACB90，AC4，BC3，点 P 在 AB 边上运动（不与点 A、B 重合），过点 P 作 PQPC，交射线 CA 于点 Q，则线段 CQ 长度的最小值为 3 【分析】先取 QC 的中点 O，连接 PO，根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系可以得到 OP 和 CQ的关系，然后可以得到当 OP 取得最小值时，CQ 就可以取得最小值，然后根据题意可知，当 OPAB 时取得最小值，再根据相似三角形的判定和性质可以得到 OP 的值，从而可以得到 CQ 的最小值 解：取 QC 的中点 O，连接 PO，如图所示， PQPC， OPCQOQOC
24、， 如果线段 CQ 长度的最小，只要 OP 的长度最小即可，故当 OPAB 时，OP 取得最小值， 设 OPx，则 AO4x， OAPBAC，APOACB， APOACB， ， ACB90，AC4，BC3， AB5， ， 解得 x， CQ2x3， 即 CQ 的最小值为 3， 故答案为：3 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）或演算步
25、骤） 17解下列方程 （1）x22x10； （2）x26x+9（2x1）2 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可 解：（1）x22x10， x22x1， x22x+12，即（x1）22， x1， x11+，x21； （2）x26x+9（2x1）2， （x3）2（2x1）20， （x3）+（2x1）（x3）（2x1）0， 3x40 或x20， x1，x22 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型 18体育教师要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加校运动会比赛在最近的五次选拔赛中，他们的成绩如表（单位：cm）： 甲 585
26、 596 609 610 595 乙 580 603 613 585 624 （1）已知甲运动员的平均成绩是 599cm，求乙运动员的平均成绩； （2）从两个不同的角度评价这两名运动员的跳远成绩 【分析】（1）根据平均数的计算公式进行解答即可； （2）从中位数和平均数两方面进行分析，即可得出乙运动员的跳远成绩好 解：（1）乙运动员的平均成绩是（580+603+613+585+624）601（分）； （2）把甲运动员的成绩从小到大排列为：585，595，596，609，610， 中位数是 596 分； 把甲运动员的成绩从小到大排列为：580，585，603，613，624， 中位数是 603 分
27、； 从中位数来看，乙运动员的跳远成绩好，从平均成绩来看，也是乙运动员的跳远成绩好 【点评】本题考查了平均数，中位数，方差的意义平均数平均数表示一组数据的平均程度中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量 19 把一根长 80cm 的绳子剪成两段， 并把每段绳子围成一个正方形 要使这两个正方形的面积和等于 250cm2，应该怎样剪？ 【分析】利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可 解：设剪成的一段为 xcm，则另一段就为（80 x）cm， 由题意得（）2+（）2250； 解得：x142，x238 答：剪
28、成的一段为 42 cm，则另一段就为 38 cm 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据正方形的性质表示出正方形的边长是解题关键 20如图，在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆弦 AB、AC 分别与小圆分别相切于点 D、E求证：BC 【分析】连接 OD、OE，OA，如图，先根据切线的性质得到 ODAB，OEAC，再根据垂径定理得到ADBD，AECE，则利用勾股定理可证明 ADAE，所以 ABAC，然后根据等腰三角形的性质得到结论 【解答】证明：连接 OD、OE，OA，如图， 大圆弦 AB、AC 分别与小圆分别相切于点 D、E， ODAB，OEAC， ADBD，AECE， AD，AE，
29、 ADAE， ABAC， BC 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了垂径定理 21某剧院举办文艺演出，经调研，如果票价定为每张 30 元，那么 1200 张门票可以全部售出：如果票价每增加 1 元，那么售出的门票就减少 30 张要使门票收入达到 36750 元，票价应定为多少元？ 【分析】可设票价应定为 x 元，根据票价销售的票数获得门票收入，即可列出一元二次方程解题 解：设票价应定为 x 元，依题意有 x120030（x30）36750， 30 x22100 x+367500， 解得：x1x235 答：票价应定 35 元 【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，
30、找出销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键 22求证：圆内接四边形的对角互补 已知：如图，四边形 ABCD 内接于O 求证：A+CB+D180 证明：作直径 AE，连接 BE、DE 所以ABEADE90 因为CBECDE，（） 所以ABC+CDAABE+EDA180 同理DAB+BCD180 （1）证明过程中依据是 在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等 ； （2）请给出另一种证明方法 【分析】（1）根据圆周角定理可得答案； （2）连接 BO，DO，根据圆周角定理证得A2，C1，进而根据1+2360，证得A+C180即可证得结论 【解答】证明：连接 BO，DO， 由圆周角定理得：A2，C1，
31、1+2360， A+C180， 同理B+D180 即圆内接四边形的对角互补 【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握运用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 23如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，CDAB，垂足为 D，且，BE 分别交 CD、AC 于点F、G （1）求证：CABDCB； （2）求证：F 是 BG 的中点 【分析】 （1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到ACD+DCB90，CAB+ACD90，所以CABDCB； （2）由弧 CE弧 BC，CBECAB，所以CBEBCD，FBFC，再根据CGB+CBGDCG+BCF90，得
32、CGBDCG，所以 FCFG，即可得 FBFG 【解答】证明：（1）AB 是O 的直径， ACB90， ACD+DCB90， CDAB， CDA90， CAB+ACD90， CABDCB； （2）弧 CE弧 BC， CBECAB， CABDCB， CBEBCD， FBFC， CGB+CBGDCG+BCF90， CGBDCG， FCFG， FBFG， F 是 BG 的中点 【点评】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，注意直径对的圆周角是直角 24已知关于 x 的一元二次方程是 x2（m+2）x+m+10 （1）求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的一个实数根是另一个
33、实数根的两倍，求 m 的值 【分析】（1）根据根的判别式得出（2m+1）241（m2）4m2+90，据此可得答案； （2）设方程有两个实数根 x1，x2，根据根与系数的关系得出 x1+x2（2m+1），x1x2m2，且 x12x2得出关于 m 的方程，解之可得答案 【解答】（1）证明：（m+2）241（m+1） m2+4m+44m4 m20， 无论 m 取何值，此方程总有两个实数根； （2）解：设方程 x2（m+2）x+m+10 有两个实数根 x1，x2， x1+x2，x1x2m+1，且 x12x2 3x2，2m+1， m214m140， m 【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解
34、题的关键是掌握 x1，x2是方程 x2+px+q0 的两根时，x1+x2p，x1x2q 25如图，已知点 D 在ABC 边 AC 上，且 ADAB，以 AB 为直径的O 与 BC 相切，与 AC 相交于点 E （1）求证：BAD2DBC； （2）当 AD3，CD2 时，求 BD 的长 【分析】（1）连接 AF，如图，根据圆周角定理得到AFB90，则利用等腰三角形的性质得到 AF 平分BAD，所以BAD2BAF，再根据切线的性质得到ABC90，则利用等角的余角相等得到BAFDBC，从而得到BAD2DBC； （2）连接 BE，如图，先利用勾股定理计算出 BC4，再利用面积法计算出 BE，接着利用勾
35、股定理计算出 AE，所以 DE，然后在 RtBDE 中利用勾股定理可计算出 BD 【解答】（1）证明：连接 AF，如图， AB 为直径， AFB90， AFBD， ABAD， AF 平分BAD， 即BAD2BAF， 以 AB 为直径的O 与 BC 相切， ABBC， ABC90， BAF+ABF90，ABF+DBC90， BAFDBC， BAD2DBC； （2）解：连接 BE，如图， AD3，CD2， AB3，AC5， BC4， AB 为直径， AEB90， BEACABBC， BE， AE， DEADAE3， 在 RtBDE 中，BD 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半
36、径也考查了圆周角定理和勾股定理 26用圆形纸片可以折出各种不同的图形如图，点 P 为O 内一点，利用直尺和圆规分别作出一条符合要求的折痕（保留痕迹，给出必要的文字说明） （1）折叠后圆弧经过点 O、P； （2）折叠后圆弧与过点 P 的直径相切，切点为 P 【分析】（1）连接 OP，作线段 O 判定垂直平分线交O 于点 T，连接 OT，作线段 OT 的垂直平分线交O 于点 E，F，以 T 为圆心作即可； （2）连接 PO，延长 PO 交O 于点 K，作线段 PK 的垂直平分线交O 于点 R，J，作即可 解：（1）如图中，折痕 TQ，即为所求 （2）如图中，折痕 RJ，即为所求 【点评】本题考查作
37、图复杂作图，垂径定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 27【新知】 19 世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程 x2+bx+c0 的几何解法：如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 A（0，1）、B（b，c），以 AB 为直径作P若P 交 x 轴于点 M（m，0）、N（n，0），则 m、n 为方程 x2+bx+c0 的两个实数根 【探究】 （1） 由勾股定理得，AM212+m2，BM2c2+ （bm）2，AB2 （1c）2+b2在 RtABM 中，AM2+BM2AB2所以 12+m2+c2+（bm）2（1c）2+b2 化简得：m2+bm+c
38、0同理可得： n2+bn+c0 所以 m、n 为方程 x2+bx+c0 的两个实数根 【运用】 （2）在图 2 中的 x 轴上画出以方程 x23x20 两根为横坐标的点 M、N （3）已知点 A（0，1）、B（6，9），以 AB 为直径作C判断C 与 x 轴的位置关系，并说明理由 【拓展】 （4）在平面直角坐标系中，已知两点 A（0，a）、B（b，c），若以 AB 为直径的圆与交 x 轴有两个交点 M、N，则以点 M、N 的横坐标为根的一元二次方程是 ax2+bx+c0 【分析】（1）根据题目中给定的解法求解即可； （2）用尺规作图法做出以 AB 为直径的圆即可； （3）先根据题意得出方程 x
39、26x+90，再根据判别式0，得出圆与 x 轴的位置关系； （4）由题意直接得出结论 解：（1）AN212+n2，BN2c2+（bn）2，AB2（1c）2+b2， 在 RtABM 中，AN2+BN2AB2， 12+n2+c2+（bn）2（1c）2+b2， 化简得：n2+bn+c0， 故答案为：n2+bn+c0； （2）先在坐标系内找到 A（0，1），B（3，2），连接 AB， 分别 A，B 为圆心，以大于AB 为半径画弧，连接两弧的交点与 AB 交于点 P， 以 P 为圆心，以 AB 为直径画圆，圆与 x 轴的交点即为 M，N 点 如图所示： （3）由题意得：x26x+90， b24ac（6）24190， 方程 x26x+90 有两个相等的实数根， C 与 x 轴只有一个交点，即C 与 x 轴相切； （4）由题意得，以 AB 为直径的圆与交 x 轴有两个交点 M、N，则以点 M、N 的横坐标为根的一元二次方程是 ax2+bx+c0 故答案为：ax2+bx+c0 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用，关键是对一元二次方程 x2+bx+c0 的几何解法的理解和运用
