1、 2022-2023 学年江苏省泰州市靖江市九年级学年江苏省泰州市靖江市九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题：（本大题共有一、选择题：（本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分.） 1下列方程是一元二次方程的是（ ） Ax20 By2+x1 C2x+10 Dx+1 2下列图形中，不一定是相似图形的是（ ） A两个等边三角形 B两个等腰直角三角形 C两个长方形 D两个圆 3已知O 的半径为 3，OA，则点 A 和O 的位置关系是（ ） A点 A 在圆上 B点 A 在圆外 C点 A 在圆内 D不确定 4一条上山直道的坡度为 1：7，沿这条直道上山，则前进 1
2、00 米所上升的高度为（ ） A700 米 B10米 C2米 D4米 5如图，在 66 正方形网格中，ABC 的顶点 A、B、C 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则 sinA的值为（ ） A B2 C D 6如图，ABC 内接于O，DE，FG 是O 的弦，ABDE，FGAC下列结论：DE+FGBC；+；DOE+FOGBOC；DEO+FGOBAC 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.请将答案直接填写在答题卡相应位置上请将答案直接填写在答题卡相应位置上.） 7比例尺是 1：
3、3000 的地图上，某条街道的长度为 25cm，它的实际长度约为 米 8若关于 x 的一元二次方程 x22xm0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 9某品牌运动服原来每件售价 640 元，经过两次降价，售价降为 360 元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 10黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割如图，B 为 AC 的黄金分割点（ABBC），如果 AC 的长度为 10cm，则 BC 的长度为 cm（结果保留根号） 11如图，点 D，E 分别在ABC 的边 AC，AB 上，ADEABC，M，N 分别是 DE，BC 的中点，若，则 12若 m，n 是一元
4、二次方程 x2+3x10 的两个实数根，则的值为 13“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD 为O 的直径，弦ABCD 于 E，CE1 寸，AB10 寸，求直径 CD 的长”（1 尺10 寸）则 CD 14在ABC 中，C90，a、b、c 分别为A、B、C 的对边，若 a2bc，则 sinB 的值为 15如图，在 RtABC 中，C90，AC12，BC16在 RtDEF 中，F90，DF3，EF4用 一条始终绷直的弹性染色线连接 CF，RtDEF 从起始位置（点 D 与点 B
5、 重合）平移至终止位置（点 E与点 A 重合），且斜边 DE 始终在线段 AB 上，则 RtABC 的外部被染色的区域面积是 16如图，O 与 y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点 M、点 N，O 半径为 6，点 A（0，3），点 B（5，0），点 P 在弧 MN 上移动，连接 PA、PB，则 2PA+PB 的最小值为 三、解答题： （本大题共有三、解答题： （本大题共有 10 题，共题，共 102 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.） 17（1）计算：（）0+|3|+tan60
6、； （2）解方程：x22x50 18先化简，再求值：（），其中 a 满足 a2+a10 19若关于 x 的方程 x2+bx+c0 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 2，那么称这样的方程为“隔根方程”例如，方程 x2+2x0 的两个根是 x10，x22则方程 x2+2x0 是“隔根方程” （1）方程 x2x200 是“隔根方程”吗？判断并说明理由； （2）若关于 x 的方程 x2+（m1）xm0 是“隔根方程”，求 m 的值 20第二十届省运会于 2022 年在泰州举行，运动会纪念微章在某网店上进行销售当每枚售价 20 元时，平均每天可售出 100 枚为了扩大销售，现采取了降价措施，在每枚
7、售价不少于 15 元的前提下，销售一段时间后，发现销售单价每降低 I 元，平均每天可多售出 10 枚若每枚微章降价 a（a 为正数）元 （1）降价后平均每天销售数量为 枚（用含 a 的代数式表示），a 的取值范围是 ； （2）当该网店每天销售额为 2210 元时，求 a 的值 21如图是 66 的网格，每个小正方形的顶点称为格点ABC 顶点 A B、C 均在格点上，仅用没有刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹 （1）在图中画出ABC 中 BC 边上的中线 AD； （2）在图中画出BMN，使得BMN 与BAC 是位似图形，且点 B 为位似中心，点 M、N 分别在 AB、BC 边上，位
8、似比为； （3）若每个小正方形的边长为 1，则四边形 AMND 的面积是 22 如图， 为了测量河对岸两点 A、 B 之间的距离， 在河岸这边取点 C、 D 测得 CD100 米， ACD90，BCD45，ADC1917，BDC5619设 A、B、C、D 在同一平面内 （1）求 AC 的长； （2）求 A、B 两点之间的距离（参考数据：tan19170.35，tan56191.50） 23如图，在O 中，AB 为直径，延长 AB 至点 P，C 是O 上一点，连接 PC 并延长交O 于点 D （1）若：1：2：3，O 的半径为 2，求弦 CD 的长； （2）若O 的半径为 3，OP4，AOD90
9、，求弦 CD 的长 24在如图中，每个正方形由边长为 1 的小正方形组成 （1）观察图形，请填写下列表格： 正方形边长 1 2 3 4 5 6 7 8 黑色小正方形1 4 5 8 个数 （2）在边长为 n（n1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为 P1，白色小正方形的个数为 P2，问是否存在偶数 n，使 P25P1？若存在，请写出 n 的值；若不存在，请说明理由 25感知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，B90，点 P 在 BC 边上，当APD90时，ABP 与PCD 是否相似？ （填“是”或“否”） 探究：如图， 在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当BCAPD 时，求证
10、：ABPPCD 拓展：如图，在ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上若BCDPE45， BC，CE9，则 DE 的长为 26如图，已知ABC 中，ACB90，AB6，BC4，D 是边 AB 上一点（与点 A、B 不重合），DE平分CDB，交边 BC 于点 E，EFCD，垂足为点 F （1）当 DEBC 时，求 DE 的长； （2）当CEF 与ABC 相似时，求CDE 的正切值； （3）如果BDE 的面积是DEF 面积的 2 倍，求这时 AD 的长 参考答案参考答案 一、选择题：（本大题共有一、选择题：（本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分
11、，共 18 分分.） 1下列方程是一元二次方程的是（ ） Ax20 By2+x1 C2x+10 Dx+1 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可 解：A方程 x20 是一元二次方程，故本选项符合题意； B方程 y2+x1 是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C方程 2x+10 是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D方程 x+1 是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是 2 的整式方程，叫一元二
12、次方程 2下列图形中，不一定是相似图形的是（ ） A两个等边三角形 B两个等腰直角三角形 C两个长方形 D两个圆 【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项 解：A、两个等边三角形一定相似，不符合题意； B、两个等腰直角三角形一定相似，不符合题意； C、两个长方形的对应角相等但对应边的比不一定相等，故不一定相似，符合题意； D、两个圆一定相似，不符合题意 故选：C 【点评】本题考查了相似图形的定义，牢记相似图形的定义是解答本题的关键，难度不大 3已知O 的半径为 3，OA，则点 A 和O 的位置关系是（ ） A点 A 在圆上 B点 A 在圆外 C点 A 在圆内 D不确定 【分析】由
13、O 的半径为 3，OA知点到圆心的距离小于半径，从而得出答案 解：O 的半径为 3，OA， 点到圆心的距离小于半径， 点 A 在圆内， 故选：C 【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有 3 种设O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OPd，则有 点 P 在圆外dr；点 P 在圆上dr；点 P 在圆内dr 4一条上山直道的坡度为 1：7，沿这条直道上山，则前进 100 米所上升的高度为（ ） A700 米 B10米 C2米 D4米 【分析】设上升的高度为 x 米，根据坡度的概念得到水平距离为 7x 米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案 解：设上升的高度为 x 米， 上山直
14、道的坡度为 1：7， 水平距离为 7x 米， 由勾股定理得：x2+（7x）21002， 解得：x110，x210（舍去）， 故选：B 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度 h 和水平宽度l 的比是解题的关键 5如图，在 66 正方形网格中，ABC 的顶点 A、B、C 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则 sinA的值为（ ） A B2 C D 【分析】通过平移将ABC 的顶点 A、B、C 移到格点上，利用网格构造直角三角形及直角边的长，由勾股定理求出斜边的长，由锐角三角函数的定义可得答案 解：ABC 的顶点 A、B、C 都在网格线上，且都是小正方形边
15、的中点， 因此可将ABC 向右平移正方形边长的一半得到ABC，如图所示，则点 A、B、C在格点上， 过点 C作 CDAB，垂足为 D，则 AD3，CD4， AC5， sinAsinA， 故选：C 【点评】本题考查解直角三角形，平移将ABC 的顶点 A、B、C 移到格点上是解决问题的关键，掌握锐角三角函数的定义是正确解答的前提 6如图，ABC 内接于O，DE，FG 是O 的弦，ABDE，FGAC下列结论：DE+FGBC；+；DOE+FOGBOC；DEO+FGOBAC 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 【分析】利用已知条件与三角形的任意两边之和大于第三边可以判定错误；利用在同圆或等圆
16、中，等弦对等弧，以及等式的性质可以判定正确；利用在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等以及等式的性质可以判定正确；利用等腰三角形的性质以及的结论可以判定正确 解：AB+ACBC，ABDE，FGAC， DE+FGBC 错误； ABDE，FGAC， ， ， + 正确； 连接 OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，如图， ABDE，FGAC， AOBDOE，AOCFOG AOB+AOCDOE+FOG 即DOE+FOGBOC 正确； OAOB， OABOBA90AOB 同理可得： OAC90AOC， DEO90DOE， FGO90FOG OAB+OAC180（AOB+AOC）180BOC， DEO+
17、FGO180（DOE+FOG） 由知：DOE+FOGBOC， OAB+OACDEO+FGO 即：DEO+FGOBAC 正确； 正确的序号为： 故选：D 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆心角，弧，弦的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，充分利用圆心角，弧，弦的关系定理解答是解题的关键 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.请将答案直接填写在答题卡相应位置上请将答案直接填写在答题卡相应位置上.） 7比例尺是 1：3000 的地图上，某条街道的长度为 25cm，它的实际长度约为 750 米
18、【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式，根据比例的基本性质即可求得结果 解：设它的实际长度为 xcm，则： ， 解得 x75000 75000cm750m 故答案为：750 【点评】本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题 8若关于 x 的一元二次方程 x22xm0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 1 【分析】根据方程有两个相等的实数根得出0，据此列出关于 m 的方程，解之即可 解：关于 x 的一元二次方程 x22xm0 有两个相等的实数根， （2）241（m）0， 解得 m1， 故答案为：1 【点评】 本题主要考查根的判别式， 一元二次方程 ax2+bx+c
19、0 （a0） 的根与b24ac 有如下关系： 当0 时，方程有两个不相等的两个实数根； 当0 时，方程有两个相等的两个实数根； 当0 时，方程无实数根 上面的结论反过来也成立 9某品牌运动服原来每件售价 640 元，经过两次降价，售价降为 360 元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 25% 【分析】设每次降价的百分率为 x，根据该服装的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论 解：设每次降价的百分率为 x， 依题意，得：640（1x）2360， 解得：x10.2525%，x21.75（不合题意，舍去） 故答案为：25% 【点评】本
20、题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 10黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割如图，B 为 AC 的黄金分割点（ABBC），如果 AC 的长度为 10cm，则 BC 的长度为 （155） cm（结果保留根号） 【分析】根据黄金分割的定义可得 ABAC，从而求出 AB 的长，然后根据线段的和差关系求出BC 的长，即可解答 解：B 为 AC 的黄金分割点（ABBC），AC 的长度为 10cm， ABAC（55）（cm）， BCACAB10（55）（155）（cm）， 故答案为：（155） 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割
21、的定义是解题的关键 11如图，点 D，E 分别在ABC 的边 AC，AB 上，ADEABC，M，N 分别是 DE，BC 的中点，若，则 【分析】 根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可 解：M，N 分别是 DE，BC 的中点， AM、AN 分别为ADE、ABC 的中线， ADEABC， ， （）2， 故答案为： 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键 12若 m，n 是一元二次方程 x2+3x10 的两个实数根，则的值为 3 【分析】先根据一元二次方程的解的定义
22、得到 m2+3m10，再根据根与系数的关系得到 m+n3，再将其代入所求式子即可求解 解：m，n 是一元二次方程 x2+3x10 的两个实数根， m2+3m10， 3m1m2， m+n3， 3， 故答案为 3 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解与方程的关系得到 3m1m2是解题的关键 13“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD 为O 的直径，弦ABCD 于 E，CE1 寸，AB10 寸，求直径 CD 的长”（1 尺10 寸）则 CD 26 寸 【分析】
23、根据垂径定理和勾股定理求解 解：连接 OA，如图所示， 设直径 CD 的长为 2x 寸，则半径 OCx 寸， CD 为O 的直径，弦 ABCD 于 E，AB10 寸， AEBEAB105 寸， 连接 OA，则 OAx 寸， 根据勾股定理得 x252+（x1）2， 解得 x13， CD2x21326（寸） 故答案为：26 寸 【点评】 此题考查了垂径定理和勾股定理； 熟练掌握垂径定理， 由勾股定理得出方程是解决问题的关键 14 在ABC 中， C90， a、 b、 c 分别为A、 B、 C 的对边， 若 a2bc， 则 sinB 的值为 【分析】根据锐角三角函数的定义以及一元二次方程进行解答即可
24、 解：a2bc，即 b， sinB（）2sin2A， 又sin2A+sin2B1， sin2B+sinB10， sinB（取正值）， 故答案为： 【点评】本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义以及解一元二次方程是正确解答的前提 15如图，在 RtABC 中，C90，AC12，BC16在 RtDEF 中，F90，DF3，EF4用一条始终绷直的弹性染色线连接 CF，RtDEF 从起始位置（点 D 与点 B 重合）平移至终止位置（点 E与点 A 重合），且斜边 DE 始终在线段 AB 上，则 RtABC 的外部被染色的区域面积是 21 【分析】如图，连接 CF 交 AB 于点 M，连接 CF交
25、 AB 于点 N，过点 F 作 FGAB 于点 H，过点 F作 FHAB 于点 H， 连接 FF， 则四边形 FGHF是矩形， RtABC 的外部被染色的区域是梯形 MFFN求出梯形的上下底以及高，可得结论 解：如图，连接 CF 交 AB 于点 M，连接 CF交 AB 于点 N，过点 F 作 FGAB 于点 H，过点 F作 FHAB 于点 H，连接 FF，则四边形 FGHF是矩形，RtABC 的外部被染色的区域是梯形 MFFN 在 RtDEF 中，DF3，EF4， DE5， 在 RtABC 中，AC9，BC12， AB15， DFEFDEGF， FG， BG， GEBEBG，AHGE， FHF
26、G， FFGHABBGAH15510， BFAC， ， BMAB， 同法可证 ANAB， MN15， RtABC 的外部被染色的区域的面积（10+）21， 故答案为：21 【点评】本题考查勾股定理，梯形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题在的压轴题 16如图，O 与 y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点 M、点 N，O 半径为 6，点 A（0，3），点 B（5，0），点 P 在弧 MN 上移动，连接 PA、PB，则 2PA+PB 的最小值为 13 【分析】取点 C（0，12），连接 CP，可以证明COPPOA，可得
27、，即 CP2AP，所以当 C，P，B 三点共线时，CP+PB 最小，进而可得 2PA+PB 的最小值 解：取点 C（0，12），连接 CP，BC， O 半径为 6，点 A（0，3），点 B（5，0）， OA3，OP6，OC12，OB5， ， AOPPOC， COPPOA， AP：PC1：2， PC2PA， 2PA+PBCP+PB， CP+PBBC， C，P，B 三点共线时，CP+PB 最小， 在 RtCOB 中，BC13， 即 2PA+PB 的最小值为 13 故答案为：13 【点评】 本题考查了坐标与图形变换旋转、 最小值问题， 解决本题的关键是 C， P， B 三点共线时， CP+PB最小
28、三、解答题： （本大题共有三、解答题： （本大题共有 10 题，共题，共 102 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.） 17（1）计算：（）0+|3|+tan60； （2）解方程：x22x50 【分析】（1）根据零指数幂，绝对值的意义以及特殊角的三角形计算|，然后合并即可； （2）利用配方法求解即可 解：（1）原式1+3+ 4； （2）x22x50， x22x5， x22x+16，即（x1）26， x1， x11+，x21 【点评】此题主要考查了实数运算以及配方法解方程，正确配
29、方是解题关键 18先化简，再求值：（），其中 a 满足 a2+a10 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除数分母利用平方差公式分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，由已知方程求出 a 的值，代入计算即可求出值 解：a2+a10，即 a2（a1）， 原式 1 【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式 19若关于 x 的方程 x2+bx+c0 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 2，那么称这样的方程为“隔根方程”例如，方程 x2+
30、2x0 的两个根是 x10，x22则方程 x2+2x0 是“隔根方程” （1）方程 x2x200 是“隔根方程”吗？判断并说明理由； （2）若关于 x 的方程 x2+（m1）xm0 是“隔根方程”，求 m 的值 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到 x15，x24，然后根据“隔根方程”的定义计算判断； （2）利用因式分解法解方程得到 x1m，x21，则根据“隔根方程”的定义得到m1+2 或m+21，然后解关于 m 的方程即可 解：（1）方程 x2x200 不是“隔根方程”； 理由如下；（x5）（x+4）0， x50 或 x+40， 解得 x15，x24， 5（4）92， 方程 x2x200
31、不是“隔根方程”； （2）x2+（m1）xm0， （x+m）（x1）0， x+m0 或 x10， 解得 x1m，x21， 当m1+2 时，解得 m3； 当m+21 时，解得 m1 综上所述，m 的值为3 或 1 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法： 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法 20第二十届省运会于 2022 年在泰州举行，运动会纪念微章在某网店上进行销售当每枚售价 20 元时，平均每天可售出 100 枚为了扩大销售，现采取了降价措施，在每枚售价不少于 15 元的前提下，销售一段时间后，发现销售单价每降低 I 元，平均每
32、天可多售出 10 枚若每枚微章降价 a（a 为正数）元 （1）降价后平均每天销售数量为 （100+10a） 枚（用含 a 的代数式表示），a 的取值范围是 0a5 ； （2）当该网店每天销售额为 2210 元时，求 a 的值 【分析】（1）根据降价前平均每天可售出 100 枚，销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 10 枚，得出降价 a 元，每天的销售量，再根据每枚售价不少于 15 元求出 a 的取值范围； （2）根据销售额单价销售量列出方程并求解，取小于 5 的解即可 解：（1）销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 10 枚， 每枚商品降价 a 元，平均每天多售出 10a 枚， 降价
33、前平均每天可售出 100 枚， 降价后平均每天可售出（100+10a）枚， 每枚售价不少于 15 元，降价后售价为（20a）元， 20a15， 解得：0a5， 故答案为：（100+10a），0a5； （2）由（1）知：（20a）（100+10a）2210， 整理得：a210a+210， 解得：a13，a27， a5， a3 【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据等量关系列出方程 21如图是 66 的网格，每个小正方形的顶点称为格点ABC 顶点 A B、C 均在格点上，仅用没有刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹 （1）在图中画出ABC 中 BC 边上的中线 AD； （2）在
34、图中画出BMN，使得BMN 与BAC 是位似图形，且点 B 为位似中心，点 M、N 分别在 AB、BC 边上，位似比为； （3）若每个小正方形的边长为 1，则四边形 AMND 的面积是 【分析】（1）根据三角形的中线作出图形即可； （2）取格点 T，N，使得 BN2，连接 NT 交 AN 于点 M，BMN 即为所求； （3）分别求出ABD，BMN 的面积，可得结论 解：（1）线段 AD 即为所求； （2）如图，BMN 即为所求； （3）ABC 的面积6412，BDCD， ABD 的面积126， BMNBAC，相似比为 1：3， BMN 的面积12， 四边形 AMND 的面积6 故答案为： 【点
35、评】本题考查作图位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型 22 如图， 为了测量河对岸两点 A、 B 之间的距离， 在河岸这边取点 C、 D 测得 CD100 米， ACD90，BCD45，ADC1917，BDC5619设 A、B、C、D 在同一平面内 （1）求 AC 的长； （2）求 A、B 两点之间的距离（参考数据：tan19170.35，tan56191.50） 【分析】（1）在 RtACD 中利用直角三角形的边角间关系直接求出 AC； （2）过点 B 作 BECD，过点 A 作 AFBE，构造矩形 ACEF 和直角三角形先说明BCE
36、 是等腰直角三角形，再利用等腰三角形的性质得到 CE、BE 间关系，在 RtBED 中，利用直角三角形的边角间关系求出 BE、DE，再利用线段的和差关系求出 BF，最后在 RtABF 中利用勾股定理求出 AB 解：（1）在 RtACD 中， ADC1917，CD100 米，tanADC， ACtan1917CD0.3510035（米） 答：AC 的长约是 35 米； （2）如图，过点 B 作 BECD，垂足为点 E，过点 A 作 AFBE，垂足为点 F ACD90， 四边形 ACEF 是矩形 EFAC35 米，AFCE BCD45，BECD， BCE 是等腰直角三角形 设 CEx 米，则 AF
37、BEx 米，ED（100 x）米， 在 RtBED 中， tanBDC，BDC5619， tan5619，即1.50， x60， AFBE60 米， BFBEEF603525（米） 在 RtABF 中， AB65（米） 答：A、B 两点之间的距离约是 65 米 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系、等腰三角形的性质和判定、矩形的性质和判定及勾股定理是解决本题的关键 23如图，在O 中，AB 为直径，延长 AB 至点 P，C 是O 上一点，连接 PC 并延长交O 于点 D （1）若：1：2：3，O 的半径为 2，求弦 CD 的长； （2）若O 的半径为 3，OP4
38、，AOD90，求弦 CD 的长 【分析】（1）根据三条弧之间的比例关系可求出相应的圆心角的度数，进而得出三角形 COD 是正三角形，得出答案； （2）根据勾股定理求出 PD，再根据垂径定理以及锐角三角函数的定义列方程求出 DE 即可 解：（1）如图，连接 OC， AB 是O 的直径，：1：2：3， BOC18030， COD18060， AOD18090， 又OCOD， COD 是正三角形， CDOCOD2； （2）如图，过点 O 作 OECD，垂直为 E，则 CEDECD， AOD90POD，OD3，OP5， PD5， cosODE， ， 解得 DE， CD2DE 【点评】本题考查圆心角、弧
39、、弦的关系，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理以及等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键 24在如图中，每个正方形由边长为 1 的小正方形组成 （1）观察图形，请填写下列表格： 正方形边长 1 2 3 4 5 6 7 8 黑色小正方形个数 1 4 5 8 9 12 13 16 （2）在边长为 n（n1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为 P1，白色小正方形的个数为 P2，问是否存在偶数 n，使 P25P1？若存在，请写出 n 的值；若不存在，请说明理由 【分析】（1）此题找规律时，显然应分两种情况分析：当 n 是奇数时，黑色小正方形的个数是对应的奇数；当 n 是偶数时，黑色小正方形的个数是对应的
40、偶数 （2）分别表示偶数时 P1和 P2的值，然后列方程求解，进行分析 解：（1）分 n 为奇数和偶数时 正方形边长 1 3 5 7 n（奇数） 黑色小正方形个数 1 5 9 13 2n1 正方形边长 2 4 6 8 n（偶数） 黑色小正方形个数 4 8 12 16 2n 故答案为：9；12；13；16； （2）由（1）可知 n 为偶数时 P12n，白色与黑色的总数为 n2， P2n22n， 根据题意假设存在，则 n22n52n， n212n0， 解得 n12，n0（不合题意舍去） 存在偶数 n12 使得 P25P1 【点评】此题考查了数字的变化规律及一元二次方程的应用，弄清题意找到图形中黑色
41、正方形随序数的变化规律是解本题的关键 25感知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，B90，点 P 在 BC 边上，当APD90时，ABP 与PCD 是否相似？ 是 （填“是”或“否”） 探究：如图， 在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当BCAPD 时，求证：ABPPCD 拓展：如图，在ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上若BCDPE45， BC，CE9，则 DE 的长为 5 【分析】 感知： 先证明BAPCPD， 然后根据平行线的性质证明BC， 即可证明ABPDCP； 探究：根据三角形外角的性质可得BAP+BAPD+CPD由BAPD，
42、推出BAPCPD，据此即可证明ABPDCP； 拓展：同探究的方法得出，BDPCPE，得到，继而求出 BD8，再证明A90，ADABBD4，AEACCE3，即可利用勾股定理求出答案 【解答】感知：解：APD90， APB+DPC90， B90， APB+BAP90， BAPCPD， ABCD，B90， C180B90B， ABPDCP， 故答案为：是； 探究：证明：APCBAP+B，APCAPD+CPD， BAP+BAPD+CPD BAPD， BAPCPD BC， ABPPCD， 拓展：解：同探究的方法得出，BDPCPE， ， 点 P 是边 BC 的中点， BPCP， CE9， ， BD8， B
43、C45， A180BC90，即 ACAB 且 ACAB， ， ADABBD4，AEACCE3， 在 RtADE 中，DE 故答案是：5 【点评】此题是相似三角形综合题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角定理解本题的关键是证明ABPPCD 26如图，已知ABC 中，ACB90，AB6，BC4，D 是边 AB 上一点（与点 A、B 不重合），DE平分CDB，交边 BC 于点 E，EFCD，垂足为点 F （1）当 DEBC 时，求 DE 的长； （2）当CEF 与ABC 相似时，求CDE 的正切值； （3）如果BDE 的面积是DEF 面积的 2 倍，求这时 AD
44、 的长 【分析】 （1） 证明DCEDBE （ASA） ，可得 CEBE2，根据tanB，即可求得答案； （2）分两种情况：当CEFABC 时，可证得CDB90，再根据 DE 平分CDB，可得CDE45，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；当CEFBAC 时，则ECFABC，得出 DCDB，再由 DE 平分CDB，可得 DEBC，推出CDEBAC，利用三角函数定义即可求得答案； （3） 如图，过点 E 作 EGAB 于点 G，根据角平分线性质可得出 EFEG，推出 DFDG，再由BDE的面积是DEF 面积的 2 倍，可得出 BD2DF，进而推出 DEBE，设 BEx，则 DEx，CEBCBE4
45、x，BGBEcosBx，BD2BGx，DGDFBGx，ADABBD6x，根据CDECBD，得出，建立方程求解即可 解：（1）在 RtABC 中，ACB90，AB6，BC4， AC2， DE 平分CDB， CDEBDE， DEBC， DECDEB90， 在DCE 和DBE 中， ， DCEDBE（ASA）， CEBE， CE+BEBC4， CEBE2， tanB， ， DE； （2）EFCD， CFE90ACB， CEF 与ABC 相似， CEFABC 或CEFBAC， 当CEFABC 时， 则ECFBAC， ACB90， BAC+ABC90， ECF+ABC90， CDB90， DE 平分CD
46、B， CDECDB9045， tanCDEtan451； 当CEFBAC 时， 则ECFABC， DCDB， DE 平分CDB， DEBC， CDE+ECF90， BAC+ABC90， CDEBAC， tanCDEtanBAC， 综上所述，CDE 的正切值为 1 或； （3）如图，过点 E 作 EGAB 于点 G， DE 平分CDB，EFCD，EGAB， EFEG， DEDE， RtDEFRtDEG（HL）， DFDG， BDE 的面积是DEF 面积的 2 倍， BD2DF， DGBG， EGBD， DEBE， 设 BEx，则 DEx，CEBCBE4x，BGBEcosBx， BD2BGx，DGDFBGx， ADABBD6x， DE 平分CDB， CDEBDE， DEBE， BDEB， CDEB， DCEBCD， CDECBD， ，即， 解得：CD3，x， AD6x6， 故这时 AD 的长为 【点评】本题是几何综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题
