1、 2022-2023 学年吉林省长春市农安县九年级学年吉林省长春市农安县九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列计算中，正确的是（ ） A B6 C4 D 2下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 3下列式子一定是二次根式的是（ ） A B C D 4下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Ax+2y1 Bx2+x1x2 C Dx25x0 5将方程 x26x+10 配方后，原方程可变形为（ ） A（x3）28 B（x3）210 C（x+3）210 D（x+3）28 6如图，学校课外生物小组试验园地的形
2、状是长 40 米、宽 34 米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为 960 平方米则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 x 米，则根据题意，列方程为（ ） A（402x）（34x）960 B403440 x34x+2x2960 C（40 x）（342x）960 D403440 x234x960 7已知 3x5y（y0），则下列比例式成立的是（ ） A B C D 8如图，在ABC 中，DEBC 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，下列式子不成立的是（ ） A B C D 9如图，以点 O 为位似中心，将ABC 放大后得到ABC，已知 OB：OB2：3，则AB
3、C 与ABC的面积之比为（ ） A1：3 B1：9 C2：3 D4：9 10如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90，AB8，AD3，BC4，点 P 为 AB 边上一动点，若PAD 与PBC 是相似三角形，则满足条件的点 P 的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 11要使有意义，则 a 的取值范围是 12如果是整数，则正整数 n 的最小值是 13最简二次根式与是同类二次根式，则 a ，b 14若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有两个实数根，则 k 的取值范围是 15已知实数 m 是
4、方程 x24x20 的一个根，则代数式 2m28m 的值为 16对于任意不相等的两个实数 a，b（ab）定义一种新运算 ab，如 32，那么 123 17如图，直线 abc，直线 l1，l2与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和点 D，E，F若 AB：BC1：2，DE3，则 EF 的长为 18如图，线段 AB 两端点的坐标分别为 A（1，0），B（1，1），把线段 AB 平移到 CD 位置，若线段CD 两端点的坐标分别为 C（1，a），D（b，4），则 a+b 的值为 19如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 为 AD 的中点，若 OE3，则菱形 ABCD 的边长为
5、20如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点 A，在近岸取点 B，C，D，使得 ABBC，CDBC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上若测得 BE20m，EC10m，CD20m，则河的宽度 AB m 三、解答题（三、解答题（21-24 题各题各 5 分，分，25、26 题各题各 7 分，分，27、28 题各题各 8 分，共分，共 50 分）分） 21计算： 22用适当的方法解下列方程：x2+4x50 23已知，如图所示，实数 a、b、c 在数轴上的位置化简： 24某药品经过两次降价，每瓶零售价由 56 元降为 31.5 元已知两次降价的百分比相同，求每次降价的百分率
6、是多少 25已知关于 x 的方程 x2+kx+k30，求证：不论 k 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 26如图，作出与四边形 ABCD 的相似的新四边形，使新图形与原图形的相似比为 2：1 27如图，E 是矩形 ABCD 的边 CB 上的一点，AFDE 于点 F （1）求证：EDCDAF； （2）若 AB3，AD2，CE1，求线段 DF 的长度 28阅读下列材料，完成相应任务 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图 1，ABC 中，ABC90，BD 是斜边 AC 上的中线求证：BDAC 分析：要证明 BD 等于 AC 的一半，可以用“倍长法”将 BD 延长一倍，如图 2延长 BD
7、到 E，使得 DEBD 连接 AE，CE可证 BEAC，进而得到 BDAC （1）请你按材料中的分析写出证明过程； （2）如图 3，点 C 是线段 AB 上一点，CDAB，点 E 是线段 CD 上一点，分别连接 AD，BE，点 F，G分别是 AD 和 BE 的中点，连接 FG若 AB12，CD8，CE3，则 FG 参考答案参考答案 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列计算中，正确的是（ ） A B6 C4 D 【分析】根据合并同类二次根式对 A 进行判断；根据二次根式的乘法法则对 B 进行判断；根据二次根式的除法法则对 C 进行判断；先把化为最简二次根
8、式，然后根据合并同类二次根式对 D 进行判断 解：A、与不是同类二次根式，不能合并，所以 A 选项错误； B、，所以 B 选项错误； C、2，所以 C 选项错误； D、2，所以 D 选项正确 故选：D 2下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可 解：A的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D 3下列式子一定是二次根式的是
9、（ ） A B C D 【分析】直接利用二次根式的定义：一般地，我们把形如（a0）的式子叫做二次根式分别分析得出答案 解：A、，a 有可能小于 0，故不一定是二次根式，不合题意； B、，若1b1，a1 时，无意义，不合题意； C、，（a1）20，故一定是二次根式，符合题意； D、，若1a1 时，无意义，不合题意； 故选：C 4下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Ax+2y1 Bx2+x1x2 C Dx25x0 【分析】 根据只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程进行分析即可 解：A该方程是二元一次方程，故本选项不合题意； B该方程化简后可得 x10，
10、是一元一次方程，故此选项不符合题意； C该方程是分式方程，故本选项不合题意； D、该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D 5将方程 x26x+10 配方后，原方程可变形为（ ） A（x3）28 B（x3）210 C（x+3）210 D（x+3）28 【分析】 将常数项移到方程的右边， 两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案 解：x26x+10， x26x1， 则 x26x+91+9，即（x3）28， 故选：A 6如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长 40 米、宽 34 米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为 960 平方米则
11、小道的宽为多少米？若设小道的宽为 x 米，则根据题意，列方程为（ ） A（402x）（34x）960 B403440 x34x+2x2960 C（40 x）（342x）960 D403440 x234x960 【分析】根据题意和图形，可以将小路平移到最上端和对左端，则阴影部分的长为（402x）米，宽为（34x）米，然后根据长方形的面积长宽，即可列出相应的方程 解：由题意可得， （492x）（34x）960， 故选：A 7已知 3x5y（y0），则下列比例式成立的是（ ） A B C D 【分析】直接利用比例的性质得出 x，y 之间关系，进而得出答案 解：A、，可以化成：5x3y，故此选项错误；
12、 B、，可以化成：3x5y，故此选项正确； C、，可以化成：5x3y，故此选项错误； D、，可以化成：xy15，故此选项错误 故选：B 8如图，在ABC 中，DEBC 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，下列式子不成立的是（ ） A B C D 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可 解：DEBC， ，选项 A 成立，不符合题意； ，选项 B 成立，不符合题意； ，选项 C 成立，不符合题意； ，选项 D 不成立，符合题意； 故选：D 9如图，以点 O 为位似中心，将ABC 放大后得到ABC，已知 OB：OB2：3，则ABC 与ABC的面积之比为（ ） A1：3 B1：9
13、C2：3 D4：9 【分析】根据位似变换的性质得到 ABAB，ACAC，根据平行线的性质求出ABC与ABC的相似比，根据相似三角形的性质得到面积比 解：由位似变换的性质可知，ABAB，ACAC， ， ABC与ABC 的相似比为 3：2 ABC 与ABC的面积之比为 4：9 故选：D 10如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90，AB8，AD3，BC4，点 P 为 AB 边上一动点，若PAD 与PBC 是相似三角形，则满足条件的点 P 的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】 由于PADPBC90， 故要使PAD 与PBC 相似， 分两种情况讨论： APDBP
14、C，APDBCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出 AP 的长，即可得到 P 点的个数 解：ABBC， B90 ADBC， A180B90， PADPBC90AB8，AD3，BC4， 设 AP 的长为 x，则 BP 长为 8x 若 AB 边上存在 P 点，使PAD 与PBC 相似，那么分两种情况： 若APDBPC，则 AP：BPAD：BC，即 x：（8x）3：4，解得 x； 若APDBCP，则 AP：BCAD：BP，即 x：43：（8x），解得 x2 或 x6 满足条件的点 P 的个数是 3 个， 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分）
15、 11要使有意义，则 a 的取值范围是 a0 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列不等式解答即可 解：根据二次根式有意义的条件可得， a0， 所以 a0， 故答案为：a0 12如果是整数，则正整数 n 的最小值是 7 【分析】根据二次根式的定义解答即可 解：因为是整数，可得：正整数 n 的最小值是 7， 故答案为：7 13最简二次根式与是同类二次根式，则 a 3 ，b 2 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案 解：最简二次根式与是同类二次根式， 2b+17b，a12， 解得：b2，a3， 故答案为：3，2 14若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有两个
16、实数根，则 k 的取值范围是 k1 且 k0 【分析】首先利用根的判别式b24ac4+4k0，根据一元二次方程的意义得出 k0，两者结合得出答案即可 解：关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有两个实数根， b24ac4+4k0，k0， 解得：k1 且 k0 故答案为：k1 且 k0 15已知实数 m 是方程 x24x20 的一个根，则代数式 2m28m 的值为 4 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到 m24m2，再把 2m28m 变形为 2（m24m），然后利用整体代入的方法计算 解：m 是方程 x24x20 的一个根， m24m20， m24m2， 2m28m2（m24m）224
17、 故答案为：4 16对于任意不相等的两个实数 a，b（ab）定义一种新运算 ab，如 32，那么 123 【分析】直接利用新定义代入计算得出答案 解：123 故答案为： 17如图，直线 abc，直线 l1，l2与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和点 D，E，F若 AB：BC1：2，DE3，则 EF 的长为 6 【分析】由 abc，可得，由此即可解决问题 解：abc， ， ， EF6， 故答案为 6 18如图，线段 AB 两端点的坐标分别为 A（1，0），B（1，1），把线段 AB 平移到 CD 位置，若线段CD 两端点的坐标分别为 C（1，a），D（b，4），则 a+b 的值为 6 【分析
18、】根据平移的性质分别求出 a、b 的值，计算即可 解：点 A 的横坐标为1，点 C 的横坐标为 1， 则线段 AB 先向右平移 2 个单位， 点 B 的横坐标为 1， 点 D 的横坐标为 3，即 b3， 同理，a3， a+b3+36， 故答案为：6 19如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 为 AD 的中点，若 OE3，则菱形 ABCD 的边长为 6 【分析】由菱形的性质可得出 ACBD，ABBCCDDA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 AD 的长 解：四边形 ABCD 为菱形， ACBD，ABBCCDDA， AOD 为直角三角形 OE3，且点 E 为线
19、段 AD 的中点， AD2OE6 菱形 ABCD 的边长为 6， 故答案为：6 20如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点 A，在近岸取点 B，C，D，使得 ABBC，CDBC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上若测得 BE20m，EC10m，CD20m，则河的宽度 AB 40 m 【分析】由两角对应相等可得BAECDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离 AB 解：ABBC，CDBC， BAECDE， ， BE20m，CE10m，CD20m， 解得：AB40， 故答案为：40 三、解答题（三、解答题（21-24 题各题各 5 分，分，25、26 题各题各 7
20、分，分，27、28 题各题各 8 分，共分，共 50 分）分） 21计算： 【分析】直接化简二次根式，进而合并同类二次根式得出答案 解：原式223+3 22用适当的方法解下列方程：x2+4x50 【分析】利用因式分解法把原方程转化为 x+50 或 x10，然后解两个一次方程即可 解：x2+4x50， （x+5）（x1）0， x+50 或 x10， 所以 x15，x21 23已知，如图所示，实数 a、b、c 在数轴上的位置化简： 【分析】先根据数轴判断 a，b，c 的正负数，再根据绝对值的意义化简求解 解：根据数轴可得：cb0a， ab0，ca0，b+c0， a（ab）（ca）（b+c） aa+
21、bc+abc a2c 24某药品经过两次降价，每瓶零售价由 56 元降为 31.5 元已知两次降价的百分比相同，求每次降价的百分率是多少 【分析】 设该药品平均每次降价的百分率为 x， 根据降价后的价格降价前的价格 （1降价的百分率） ，则第一次降价后的价格是 56（1x），第二次后的价格是 56（1x）2，据此即可列方程求解 解：根据题意得：56（1x）231.5， 解得：x10.25，x21.75， 经检验 x21.75 不符合题意， 则 x0.2525% 答：每次降价百分率为 25% 25已知关于 x 的方程 x2+kx+k30，求证：不论 k 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 【
22、分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出（k2）2+80，由此即可证出：不论 k 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 【解答】证明：在方程 x2+kx+k30 中，k241（k3）k24k+12（k2）2+80， 不论 k 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 26如图，作出与四边形 ABCD 的相似的新四边形，使新图形与原图形的相似比为 2：1 【分析】根据相似图形的性质，分别将四边形 ABCD 的四条边扩大 2 倍即可 解：如图，四边形 EFGH 即为所求， 27如图，E 是矩形 ABCD 的边 CB 上的一点，AFDE 于点 F （1）求证：EDCDAF； （2）若 AB3，A
23、D2，CE1，求线段 DF 的长度 【分析】（1）根据四边形 ABCD 是矩形可得出ADCC90，再根据相似三角形的判定定理可得出ADFDCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）由矩形的性质可得出 DC 的长及ADCC90，利用勾股定理可求出 DE 的长，由垂直的定义可得出AFDC，利用同角的余角相等可得出EDCDAF，进而可得出EDCDAF，再利用相似三角形的性质可求出 DF 的长度 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ADCC90， ADF+CDE90， AFDE， AFDDAF+FDA90， FADCDE， 又CAFD90， EDCDAF； （2）解：四边形 A
24、BCD 是矩形， DCAB3，ADCC90 CE1， DE AFDE， AFD90C，ADF+DAF90 又ADF+EDC90， EDCDAF， EDCDAF， ，即， FD， 即 DF 的长度为 28阅读下列材料，完成相应任务 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图 1，ABC 中，ABC90，BD 是斜边 AC 上的中线求证：BDAC 分析：要证明 BD 等于 AC 的一半，可以用“倍长法”将 BD 延长一倍，如图 2延长 BD 到 E，使得 DEBD 连接 AE，CE可证 BEAC，进而得到 BDAC （1）请你按材料中的分析写出证明过程； （2）如图 3，点 C 是线段 AB 上一
25、点，CDAB，点 E 是线段 CD 上一点，分别连接 AD，BE，点 F，G分别是 AD 和 BE 的中点，连接 FG若 AB12，CD8，CE3，则 FG 【分析】（1）延长 BD 到 E，使得 DEBD，连接 AE、CE，证四边形 ABCE 是平行四边形，再由ABC90，得平行四边形 ABCE 是矩形，则 BEAC，进而得出结论； （2）过点 A 在 AB 上方作 AHAB，过点 D 作 DHAH 于 H，过点 B 在 AB 上方作 BRAB，过点 E 作ERBR 于 R，连接 CH、CR、HR，延长 RE 交 AH 于 Q，证四边形 HQED、四边形 QACE 均为矩形，得HQDECDC
26、E5，QRAB12，再由勾股定理得 HR13，然后证 FG 是CHR 的中位线，即可求解 【解答】（1）证明：延长 BD 到 E，使得 DEBD，连接 AE、CE，如图 2 所示： BD 是斜边 AC 上的中线， ADCD， 又DEBD， 四边形 ABCE 是平行四边形， 又ABC90， 平行四边形 ABCE 是矩形， BEAC， DEBDBE， BDAC； （2）解：过点 A 在 AB 上方作 AHAB，过点 D 作 DHAH 于 H，过点 B 在 AB 上方作 BRAB，过点E 作 ERBR 于 R，连接 CH、CR、HR，延长 RE 交 AH 于 Q，如图 3 所示： 则四边形 ACDH、四边形 CBRE、四边形 ABRQ 都为矩形， 四边形 HQED、四边形 QACE 均为矩形， HQDECDCE835，QRAB12， 在 RtHQR 中，由勾股定理得：HR13， 点 F，G 分别是 AD 和 BE 的中点，四边形 ACDH、四边形 CBRE 都是矩形， 点 F，G 分别是 CH 和 CR 的中点， FG 是CHR 的中位线， FGHR， 故答案为：
