1、 湖北省襄阳市谷城县石花镇九年级湖北省襄阳市谷城县石花镇九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 10 题）题） 1关于 x 的一元二次方程 2x24x10 的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A2，4 B2，1 C2，4 D2，4 2下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3抛物线 y2（x+3）2+5 的顶点坐标是（ ） A（3，5） B（3，5） C（3，5） D（3，5） 4若关于 x 的方程 x2x+m0 没有实数根，则 m 的值可以为（ ） A1 B C0 D1 5 将抛物线 y （x+1）2+3 向右
2、平移 2 个单位再向上平移 2 个单位后得到的新抛物线的表达式为 （ ） Ay（x+3）2+1 By（x1）2+5 Cy（x+1）2+5 Dy（x+3）2+5 6在二次函数 yx2+2x+1 的图象中，若 y 随 x 的增大而减少，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 7已知方程 2x2+4x30 的两根分别为 x1和 x2，则 x1x2的值等于（ ） A2 B2 C D 8如图，将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转得到ABC，且点 B恰好落在 BC 上，若 ABCB，BAC105，则C的度数是（ ） A22 B23 C24 D25 9 电影 长津湖 讲述了一段波澜壮阔的历
3、史， 一上映就获得全国人民的追捧， 某地第一天票房约 3 亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达 10 亿元，若把增长率记作 x，则方程可以列为（ ） A3（1+x）10 B3（1+x）210 C3+3（1+x）210 D3+3（1+x）+3（1+x）210 10一次函数 yax+b 的图象如图所示，则二次函数 yax2+bx 的图象可能是（ ） A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 6 题）题） 11已知 y（m2）x|m|+2 是 y 关于 x 的二次函数，那么 m 的值为 12如图所示，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴的两个交
4、点分别为 A（1，0）和 B（2，0），当 y0时，x 的取值范围是 13已知点、B（1，y2）在二次函数 yx2+3 的图象上，则 y1 y2 （填“”、 “”、“”） 14在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4），将点 A 绕原点顺时针旋转 90得到点 A，则 A的坐标为 15 已知三角形两边长分别为 4 和 7， 第三边的长是方程 x28x+150 的一个根， 则第三边长是 16在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从 2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为 xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为 ym，y 与
5、x 的函数关系式为 yx2+x+2（0 x20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m 时，竖直高度达到最大值 三、解答题（共三、解答题（共 9 题，共题，共 72 分）分） 17解方程： （1）（2x5）220； （2）x24x40 18如图，平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（1，2），B（2，4），C（4，1）在平面直角坐标系中画出与ABC 关于点 P（1，0）成中心对称的ABC，并分别写出点 A，B，C的坐标 19 某新建火车站站前广场有一块长为 20 米， 宽为 8 米的矩形空地， 计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 56 米2，两块绿地之间及周边留有
6、宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？ 20如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把ADE 绕点 A 顺时针旋转到ABF 的位置，连接 EF （1）求证：AEF 是等腰直角三角形； （2）若四边形 AECF 的面积为 25，DE2，求 AE 的长 21网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年 5 月份与 7 月份完成快递件数分别为 5 万件和 5.832 万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同 （1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率； （2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递 0.8 万件，公司现有 8 个快递小
7、哥，按此快递增长速度，不增加人手的情况下，能否完成今年 9 月份的投递任务？ 22如图，已知抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0）、B（3，0）两点 （1）求 b，c 的值和顶点坐标； （2）当 0 x3 时，求 y 的取值范围； 23某商场要求所有商家商品的利润率不得超过 40%，一商家以每件 16 元的价格购进一批商品该商品每件售价定为 x 元，每天可卖出（1705x）件，每天销售该商品所获得的利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若每天销售该商品要获得 280 元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ （3）请直接写出这个商家每天销售该商品可获得的最大利润为 元
8、 24通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整 原题：如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，EAF45，连接 EF，试猜想 EF、BE、DF 之间的数量关系 （1）思路梳理 把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，可使 AB 与 AD 重合，由ADGB90，得FDG180，即点 F、D、G 共线，易证AFG ，故 EF、BE、DF 之间的数量关系为 （2）类比引申 如图 2，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 CB、DC 的延长线上，EAF45连接 EF，试猜想 EF、BE、DF 之间的数量关系，并给出证
9、明 （3）联想拓展 如图 3，在ABC 中，BAC90，ABAC，点 D、E 均在边 BC 上，且DAE45若 BD1，EC2，则 DE 的长为 25 在平面直角坐标系中， 直线 ymx2m 与 x 轴， y 轴分别交于 A， B 两点， 顶点为 D 的抛物线 yx2+2mxm2+2 与 y 轴交于点 C （1）如图，当 m2 时，点 P 是抛物线 CD 段上的一个动点 求 A，B，C，D 四点的坐标； 当PAB 面积最大时，求点 P 的坐标； （2）在 y 轴上有一点 M（0，m），当点 C 在线段 MB 上时， 求 m 的取值范围； 求线段 BC 长度的最大值 参考答案参考答案 一、选择题
10、（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 10 题）题） 1关于 x 的一元二次方程 2x24x10 的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A2，4 B2，1 C2，4 D2，4 【分析】根据单项式的系数和多项式的项的定义得出答案即可 解：关于 x 的一元二次方程 2x24x10 的二次项系数和一次项系数分别 2 和4， 故选：D 【点评】本题考查了整式和一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号 2下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图
11、形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形 解：A该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； C该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等 3抛物线 y2（x+3）2+5 的
12、顶点坐标是（ ） A（3，5） B（3，5） C（3，5） D（3，5） 【分析】由抛物线的解析式可求得答案 解： y2（x+3）2+5， 抛物线顶点坐标为（3，5）， 故选：B 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 ya（xh）2+k中，对称轴为 xh，顶点坐标为（h，k） 4若关于 x 的方程 x2x+m0 没有实数根，则 m 的值可以为（ ） A1 B C0 D1 【分析】根据关于 x 的方程 x2x+m0 没有实数根，得到0，求出 m 的取值范围，再找出符合条件 的 m 的值即可 解：关于 x 的方程 x2x+m0 没有实数根， （1）241m14
13、m0， 解得：m 故选：D 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程没有实数根它的判别式小于零是解决问题的关键 5 将抛物线 y （x+1）2+3 向右平移 2 个单位再向上平移 2 个单位后得到的新抛物线的表达式为 （ ） Ay（x+3）2+1 By（x1）2+5 Cy（x+1）2+5 Dy（x+3）2+5 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线 y（x+1）2+3 的顶点坐标为（1，3），再利用点平移的规律，点（1，3）平移后的对应点的坐标为（1，5），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式 解：抛物线 y（x+1）2+3 的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）向右平
14、移 2 个单位，向上平移 2个单位得到对应点的坐标为（1，5），所以平移后的抛物线解析式为 y（x1）2+5， 故选：B 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 6在二次函数 yx2+2x+1 的图象中，若 y 随 x 的增大而减少，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线 x1，然后根据二次函数的性质求解 解：yx2+2x+1（x1）2+
15、2， 抛物线的对称轴为直线 x1， a10， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减少 故选：B 【点评】 本题考查了二次函数的性质： 二次函数 yax2+bx+c （a0） 的顶点坐标是 （，） ，对称轴直线 x， 二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象具有如下性质： 当 a0 时， 抛物线 yax2+bx+c（a0） 的开口向上， x时， y 随 x 的增大而减小； x时， y 随 x 的增大而增大； x时，y 取得最小值，对称即顶点是抛物线的最低点；当 a0 时，抛物线 yax2+bx+c（a0）的开 口向下，x时，y 随 x 的增大而增大；x时，y 随 x 的增大而减小；x时，y
16、 取得最大值，即顶点是抛物线的最高点 7已知方程 2x2+4x30 的两根分别为 x1和 x2，则 x1x2的值等于（ ） A2 B2 C D 【分析】由方程 2x2+4x30 的两根分别为 x1和 x2，利用根与系数的关系可得出 x1x2 解：在方程 2x2+4x30 中，a2，c3 由于方程 2x2+4x30 的两根分别为 x1和 x2， 所以 x1x2 故选：D 【点评】 本题主要考查了根与系数的关系， 一元二次方程 ax2+bx+c0 （a0） 的根与系数的关系为： x1+x2，x1x2 8如图，将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转得到ABC，且点 B恰好落在 BC 上，若 ABCB，B
17、AC105，则C的度数是（ ） A22 B23 C24 D25 【分析】由旋转的性质可得 ABAB，由等腰三角形的性质可得ABBABB，CBAC，由三角形的内角和定理可求解 解：将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转得到ABC， ABAB， ABBABB， ABCB， CBAC， ABB2CABB， BAC105， C+ABB75， C25 故选：D 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键 9 电影 长津湖 讲述了一段波澜壮阔的历史， 一上映就获得全国人民的追捧， 某地第一天票房约 3 亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达 10 亿元，若把
18、增长率记作 x，则方程可以列为（ ） A3（1+x）10 B3（1+x）210 C3+3（1+x）210 D3+3（1+x）+3（1+x）210 【分析】若把增长率记作 x，则第二天票房约为 3（1+x）亿元，第三天票房约为 3（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达 10 亿元，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 解：若把增长率记作 x，则第二天票房约为 3（1+x）亿元，第三天票房约为 3（1+x）2亿元， 依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）210 故选：D 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 10一次函数 yax
19、+b 的图象如图所示，则二次函数 yax2+bx 的图象可能是（ ） A B C D 【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出 a，b 的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案 解：一次函数 yax+b 的图象经过一、二、四象限， a0，b0， 二次函数 yax2+bx 的图象：开口方向向下，对称轴在 y 轴右侧， 故选：D 【点评】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象，正确确定 a，b 的符号是解题关键 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 6 题）题） 11已知 y（m2）x|m|+2 是 y 关于 x 的二次函数，那么 m 的值为 2 【分析】直接利用二次函数的定义
20、分析得出答案 解：y（m2）x|m|+2 是 y 关于 x 的二次函数， |m|2，且 m20， 解得：m2 故答案为：2 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握系数与次数是解题关键 12如图所示，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴的两个交点分别为 A（1，0）和 B（2，0），当 y0时，x 的取值范围是 x1 或 x2 【分析】直接从图上可以分析：y0 时，图象在 x 轴的下方，共有 2 部分：一是 A 的左边，即 x1；二是 B 的右边，即 x2 解：观察图象可知，抛物线与 x 轴两交点为（1，0），（2，0）， y0，图象在 x 轴的下方，所以答案是 x1 或 x2
21、【点评】考查了二次函数的图象与函数值之间的联系，函数图象所表现的位置与 y 值对应的关系，典型的数形结合题型 13已知点、B（1，y2）在二次函数 yx2+3 的图象上，则 y1 y2 （填“”、 “”、“”） 【分析】把点的坐标代入函数的关系式，求出 y1、y2进行比较即可，也可以利用抛物线的对称性，通过自变量 x 的大小，得出函数值 y 的大小关系 解：把、B（1，y2）代入二次函数 yx2+3 的关系式得， y1+3，y21+34， 4， y1y2， 故答案为： 【点评】考查二次函数的图象和性质，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法，也可以利用对称性，通过自变量的大小得出函数值的大小 1
22、4在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4），将点 A 绕原点顺时针旋转 90得到点 A，则 A的坐标为 （4，2） 【分析】利用旋转变换的性质作出图形，可得结论 解：如图，A（4，2）， 故答案为：（4，2） 【点评】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是正确作出图形，利用图象法解决问题 15已知三角形两边长分别为 4 和 7，第三边的长是方程 x28x+150 的一个根，则第三边长是 5 【分析】直接利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出答案 解：x28x+150 （x5）（x3）0， 解得：x15，x23， 3+47， x3 无法构成三角形， 第三边长是 5 故答案为：5 【点评
23、】此题主要考查了因式分解法解方程、三角形三边关系，正确分解因式以及掌握三角形三边关系是解题关键 16在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从 2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为 xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为 ym，y 与 x 的函数关系式为 yx2+x+2（0 x20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 8 m 时，竖直高度达到最大值 【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可 解：yx2+x+2（x8）2+4， 0， 当 x8 时，y 有最大值，最大值为 4， 当她与跳台边缘的水平距离为 8m
24、 时，竖直高度达到最大值 故答案为：8 【点评】本题考查二次函数的应用，根据函数的性质求解是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 9 题，共题，共 72 分）分） 17解方程： （1）（2x5）220； （2）x24x40 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得 解：（1）（2x5）220， （2x5）22， 则（2x5）24， 2x52 或 2x52， 解得 x1，x2； （2）x24x40， x24x4， 则 x24x+44+4，即（x2）28， x22， x12+2，x222 【点评】本题主
25、要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法 18如图，平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（1，2），B（2，4），C（4，1）在平面直角坐标系中画出与ABC 关于点 P（1，0）成中心对称的ABC，并分别写出点 A，B，C的坐标 【分析】根据中心对称的性质即可画出与ABC 关于点 P（1，0）成中心对称的ABC，进而可以写出点 A，B，C的坐标 解：如图，ABC即为所求，A（3，2），B（4，4），C（6，1） 【点评】本题考查了作图旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质 19 某新建
26、火车站站前广场有一块长为 20 米， 宽为 8 米的矩形空地， 计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 56 米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？ 【分析】设人行通道的宽度为 x 米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（82x）米（0 x4），根据矩形的面积公式结合两块矩形绿地的面积之和为 56 米2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论 解：设人行通道的宽度为 x 米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（82x）米（0 x4）， 根据题意得：2（82x）56， 整理得：3x232x+520， 解得：x12，x2（不合题意，舍去）
27、 答：人行通道的宽为 2 米 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 20如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把ADE 绕点 A 顺时针旋转到ABF 的位置，连接 EF （1）求证：AEF 是等腰直角三角形； （2）若四边形 AECF 的面积为 25，DE2，求 AE 的长 【分析】（1）由旋转的性质可得ABFADE，得出 AFAE，FABDAE，则FAEDAB90 （2）由勾股定理求出 AE 的长 【解答】（1）证明：把ADE 顺时针旋转到ABF 的位置， ABFADE， AFAE，FABDAE， FAEDAB90 AEF 是等
28、腰直角三角形 （2）解：四边形 AECF 的面积正方形 ABCD 的面积， 正方形 ABCD 的面积为 25， ADBCCDAB5， 在 RtADE 中，AD5，DE2， AEAF， 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的 性质是解题的关键 21网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年 5 月份与 7 月份完成快递件数分别为 5 万件和 5.832 万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同 （1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率； （2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递 0.8 万件，公司现有 8
29、 个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的情况下，能否完成今年 9 月份的投递任务？ 【分析】 （1）设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为 x，根据“5 月份快递件数（1+增长率）27 月份快递件数”列出关于 x 的方程，解之可得答案； （2）分别计算出 9 月份的快递件数和 8 名快递小哥可投递的总件数，据此可得答案 解：（1）设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为 x， 根据题意，得：5（1+x）25.832， 解得：x10.088%，x22.08（舍）， 答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为 8%； （2）9 月份的快递件数为 5.832（1+0.08）26.8（万件
30、）， 而 0.886.46.8， 所以按此快递增长速度，不增加人手的情况下，不能完成今年 9 月份的投递任务 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程 22如图，已知抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0）、B（3，0）两点 （1）求 b，c 的值和顶点坐标； （2）当 0 x3 时，求 y 的取值范围； 【分析】（1）把 A、B 两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标； （2）由解析式可求得其对称轴，再结合函数的增减性分 0 x1 和 1x3 分别求 y 的最大值和最小值即可求得
31、y 的取值范围 解：（1）抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0）、B（3，0）两点， ，解得， 抛物线解析式为 yx22x3， yx22x3（x1）24， 顶点坐标为（1，4）； （2）y（x1）24， 抛物线开口向上，对称轴为 x1， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大， 当 0 x1 时，当 x0 时，y 有最大值为3，当 x1 时，y 有最小值为4， 当 1x3 时，当 x3 时，y 有最大值为 0，当 x1 时，y 有最小值为4， 当 0 x3 时，4y0 【点评】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式， 二次函数的性质， 二次函数图
32、象上点的坐标特征，综合性较强，难度适中 23某商场要求所有商家商品的利润率不得超过 40%，一商家以每件 16 元的价格购进一批商品该商品每件售价定为 x 元，每天可卖出（1705x）件，每天销售该商品所获得的利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若每天销售该商品要获得 280 元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ （3）请直接写出这个商家每天销售该商品可获得的最大利润为 371.2 元 【分析】（1）根据：每件盈利销售件数总盈利额；其中每件盈利每件售价每件进价，建立等量关系； （2）由每天销售该商品要获得 280 元的利润，结合（1）列方程即可解出答案； （3）根据自
33、变量的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题 解：（1）y（x16）（1705x） 5x2+250 x2720； （2）由 y280，得5x2+250 x2720280 化简整理得 x250 x+6000 解得 x120，x230 由题意可知，x16（1+40%）22.4， x20， 答：每件商品的售价应定为 20 元； （3）在 y5x2+250 x2720 中， a50，x25， 当 x22.4 时，y 随 x 的增大而增大 当 x22.4 时，y 的值最大，此时 y（22.416）（170522.4）371.2， 故答案为：371.2 【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解
34、答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解 24通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整 原题：如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，EAF45，连接 EF，试猜想 EF、BE、DF 之间的数量关系 （1）思路梳理 把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，可使 AB 与 AD 重合，由ADGB90，得FDG180，即点 F、D、G 共线，易证AFG AFE ，故 EF、BE、DF 之间的数量关系为 BE+FDEF （2）类比引申 如图 2，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 CB、DC 的延长
35、线上，EAF45连接 EF，试猜想 EF、BE、DF 之间的数量关系，并给出证明 （3）联想拓展 如图 3，在ABC 中，BAC90，ABAC，点 D、E 均在边 BC 上，且DAE45若 BD1，EC2，则 DE 的长为 【分析】（1）把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，可使 AB 与 AD 重合，证出AFGAFE，根据全等三角形的性质得出 EFFG，即可得出答案； （2）把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，可使 AB 与 AD 重合，证出AFEAFG，根据全等三角形的性质得出 EFFG，即可得出答案； （3）把ACE 旋转到 ABF 的位置，连接 DF，证明AFEAFG
36、（SAS），则 EFFG，CABF45，BDF 是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断 解：（1）如图 1 所示： ABAD， 把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，可使 AB 与 AD 重合， ADCB90， FDG180，点 F、D、G 共线， DAGBAE，AEAG， FAGFAD+GADFAD+BAE904545EAF，即EAFFAG 在EAF 和GAF 中， ， AFGAFE EFFG EFDF+DGDF+BE，即 EFBE+DF 故答案为：AFE；BE+FDEF （2）DFEF+BE 理由：如图 2 所示 ABAD， 把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，可使 AB
37、 与 AD 重合， ADCABE90， 点 C、D、G 在一条直线上 EBDG，AEAG，EABGAD 又BAG+GAD90， EAGBAD90 EAF45， FAGEAGEAF904545 EAFGAF 在EAF 和GAF 中， ， EAFGAF EFFG FDFG+DG， DFEF+BE （3）把ACE 旋转到 ABF 的位置，连接 DF，则FABCAE BAC90，DAE45， BAD+CAE45， 又FABCAE， FADDAE45， 则在ADF 和ADE 中， ， ADFADE DFDE，CABF45 BDF90 BDF 是直角三角形 BD2+BF2DF2 BD2+CE2DE2 DE
38、 故答案为： 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度 25 在平面直角坐标系中， 直线 ymx2m 与 x 轴， y 轴分别交于 A， B 两点， 顶点为 D 的抛物线 yx2+2mxm2+2 与 y 轴交于点 C （1）如图，当 m2 时，点 P 是抛物线 CD 段上的一个动点 求 A，B，C，D 四点的坐标； 当PAB 面积最大时，求点 P 的坐标； （2）在 y 轴上有一点 M（0，m），当点 C 在线段 MB 上时， 求 m 的取值范围； 求线段 BC 长度的最大值 【分析】（1）根据函数上
39、点的坐标特点可分别得出 A，B，C，D 的坐标；当 m2 时，代入上述坐标即可得出结论； 过点 P 作 PEy 轴交直线 AB 于点 E， 设点 P 的横坐标为 t， 所以 P （t， t2+4t2） ， E （t， 2t4） 根据三角形的面积公式可得PAB 的面积，再利用二次函数的性质可得出结论； （2）由（1）可知，B（0，2m），C（0，m2+2），y 轴上有一点 M（0，m），点 C 在线段 MB上，需要分两种情况：当点 M 的坐标大于点 B 的坐标时；当点 M 的坐标小于点 B 的坐标时，分别得出m 的取值范围即可； 根据中的条件可知，分两种情况，分别得出 BC 的长度，利用二次函数
40、的性质可得出结论 解：（1）直线 ymx2m 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点， A（2，0），B（0，2m）； y（xm）2+2， 抛物线的顶点为 D（m，2）， 令 x0，则 ym2+2， C（0，m2+2） 当 m2 时，2m4，m2+22， B（0，4），C（0，2），D（2，2） 由上可知，直线 AB 的解析式为：y2x4，抛物线的解析式为：yx2+4x2 如图，过点 P 作 PEy 轴交直线 AB 于点 E， 设点 P 的横坐标为 t， P（t，t2+4t2），E（t，2t4） PEt2+4t2（2t4）t2+2t+2， PAB 的面积为：（20）（t2+2t+2）（t1）
41、2+3， 10， 当 t1 时，PAB 的面积的最大值为 3 此时 P（1，1） （2）由（1）可知，B（0，2m），C（0，m2+2）， y 轴上有一点 M（0，m），点 C 在线段 MB 上， 需要分两种情况： 当mm2+22m 时，可得m1+， 当mm2+22m 时，可得3m1， m 的取值范围为：m1+或3m1 当m1+时， BCm2+2（2m）m2+2m+2（m1）2+3， 当 m1 时，BC 的最大值为 3； 当mm2+22m 时，即3m1， BC2m（m2+2）m22m2（m1）23， 当 m3 时，点 M 与点 C 重合，BC 的最大值为 13 当 m3 时，BC 的最大值为 13 【点评】 本题属于二次函数综合题， 主要考查二次函数上点的坐标特点， 三角形的面积， 不等式的应用，分类讨论思想等相关内容，第二问注意需要分类讨论
