1、福建省南平市浦城县九年级上期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40分）1. 一元二次方程x23x0的根是（ ）A. x0B. x3C. x10，x23D. x10，x232. 将正方形绕其对称中心旋转后，恰好能与原来的正方边形重合，那么旋转的角度至少是（）A. B. C. D. 3. 二次函数y=-2x2+4x+3的图象的顶点坐标是（）A. （1，3）B. （-1，3）C. （1，5）D. （-1，5）4. 一元二次方程 的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 只有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根5. 在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形涂黑，使其与图
2、中阴影部分构成中心对称图形该小正方形的序号是（）A. B. C. D. 6. 把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）A. B. C. D. 7. 如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点D的坐标为(3,2)，则点B的坐标为()A. (2，3)B. (3,2)C. (3，2)D. (3，2)8. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（）A 开口向下B. 与x轴有两个交点C. 顶点坐标是D. 它可由向右平移一个单位得到9. 某养殖户的养殖成本逐年增长，第一年的养殖成本为16万元，第3年的养殖成本为25万元设养殖成本
3、平均每年增长的百分率为x，则下面所列方程中正确的（）A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共24分）11. 在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是_12. 抛物线yx24x的对称轴为直线_13. 若，是方程的两根，则 的值_14. 如图，RtABC中，ACB=90，A=30，BC=2将ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得EDC，点D在AB边上，斜边DE交AC于点F，则图中阴影部分面积为_15. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共
4、互赠了件，那么全组有_名同学16. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为_三、解答题（本大题共9小题，共86分）17 解下列方程：（1） （2） 18. 已知抛物线与轴只有一个交点求值；求此抛物线的顶点坐标及与轴交点坐标19. 在平面直角坐标系中，如图所示A（-2，1），B（-4，1），C（-1，4）（1）画出ABC关于原点成中心对称的A1B1C1；（2）ABC绕点C逆时针旋转90得到A2B2C2，那么B的对应点B2的坐标为 ；（3）A3B3C3是ABC绕A点旋转180得到，那么C的对应点C3的坐标为；（4）AC上找一点F，使BF平分ABC的面积，利
5、用网格在AC上标出点F20. 已知关于的一元二次方程（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；（2）若方程的两实数根之积等于，求的值21. 如图，一次函数与二次函数的图象交于A、B两点（1）利用图中条件，求两个函数的解析式；（2）根据图象写出使x的取值范围22. 解读诗词通过列方程算出周瑜去世时的年龄：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄23. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定
6、每箱售价不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.（1）求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式.（2）求该批发商平均每天销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式.（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？24. （1）如图1，等腰的直角顶点在正方形的边上，斜边交于点Q，连接，求证：请利用现在所学的旋转知识，可将旋转到，然后通过证明全等三角形来完成证明（2）如图2，若等腰的直角顶点在正方形的边的延长线上，斜边的延长线交的延长线于点Q，连接，猜想线段，满足怎样的数量关系？并证
7、明你的结论；（3）如图3，中，P为内部一点，且，则_25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，点点P在此抛物线上，其横坐标为m（1）求此抛物线的解析式（2）当点P在轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为求m的值福建省南平市浦城县九年级上期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40分）1. 一元二次方程x23x0的根是（ ）A. x0B. x3C. x10，x23D. x10，x23【答案】C【解析】【分析】利用提公因式法解一元二次方程【详解】解： x23x0或故选：C【点睛】本题考查提公因式法解一元二次
8、方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键2. 将正方形绕其对称中心旋转后，恰好能与原来的正方边形重合，那么旋转的角度至少是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正方形的外角为结合正多边形绕旋转中心恰好旋转一个外角的整数倍时，就与原图形重合即可得出结果【详解】正方形的一个外角是，旋转的角度应该是的整数倍时，恰好能与原来的正方形重合，旋转的角度至少是故选A【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质掌握正多边形绕旋转中心恰好旋转一个外角的整数倍时，就与原图形重合是解题关键3. 二次函数y=-2x2+4x+3的图象的顶点坐标是（）A. （1，3）B. （-1，3）C. （1，5）D.
9、 （-1，5）【答案】C【解析】【分析】先化成顶点式，然后直接得到顶点坐标即可【详解】解：y2x2+4x+32（x22x）+32（x22x+11）+32（x1）2+5，顶点坐标为（1，5）故选：C【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，可以使用配方法将一般式化为顶点式求解，也可以利用顶点坐标公式进行求解4. 一元二次方程 的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 只有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根【答案】A【解析】【分析】将原方程变形为一般式，求出根的判别式的值，可得出一元二次方程有两个不相等的实数根【详解】解：，一元二次方程有两个不相等的实数根故选：A【点睛】本题考查
10、了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根5. 在方格纸中，选择标有序号中一个小正方形涂黑，使其与图中阴影部分构成中心对称图形该小正方形的序号是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用中心对称图形的定义判断即可【详解】解：根据中心对称图形的定义可知，满足条件故选：【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，明确将一个图形绕一点旋转180后与本身重合的图形叫做中心对称图形是解题的关键6. 把抛物线的图象向左平移2个单位
11、，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可【详解】将抛物线向左平移2个单位所得解析式为：；再向上平移3个单位为：故选：C【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键7. 如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点D的坐标为(3,2)，则点B的坐标为()A. (2，3)B. (3,2)C. (3，2)D. (3，2)【答案】D【解析】【分析】由平行四边形的性质得出B与D关于原点O对称，即可得出点B的坐标【详解】四边形
12、ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点，B与D关于原点O对称，点D的坐标为(3,2)，点B的坐标为(3,2)故答案选：D【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形的性质8. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（）A. 开口向下B. 与x轴有两个交点C. 顶点坐标是D. 它可由向右平移一个单位得到【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的解析式可判断该二次函数图象开口向上，顶点坐标为，从而可判断A和C再根据其对称轴为直线，即可判断该二次函数图象与x轴有两个交点，可判断B根据二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”即可判断D【详解】二次函数的解析式为：，该二次
13、函数图象开口向上，故A错误，不符合题意；由解析式可知该二次函数顶点坐标为，故C错误，不符合题意；由解析式可知该二次函数对称轴为直线，该二次函数图象与x轴有两个交点，故B正确，符合题意；将函数图象向右平移一个单位得到的新函数的解析式为，故D错误，不符合题意；故选B【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象平移的规律熟练掌握上述知识是解题关键9. 某养殖户的养殖成本逐年增长，第一年的养殖成本为16万元，第3年的养殖成本为25万元设养殖成本平均每年增长的百分率为x，则下面所列方程中正确的（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设养殖成本平均每年增长的百分率为x，则第二年的成本为
14、万元，第三年的成本为万元，再根据第三年的养殖成本为25万元列出方程即可【详解】解：设养殖成本平均每年增长的百分率为x，则第二年的成本为万元，第三年的成本为万元，由题意得，故选C【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键10. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，y的值随x值的增大而减小，由于时，y的值随x值的增大而减小，于是得到【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，当时，y的值随x值的增大而减小又时，y
15、的值随x值的增大而减小，故选B【点睛】本题考查二次函数的图象和性质掌握二次函数的对称轴为直线，当，时，y的值随x值的增大而增大当，时，y的值随x值的增大而减小；当，时，y的值随x值的增大而减小当，时，y的值随x值的增大而增大是解题关键二、填空题（本大题共6小题，共24分）11. 在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是_【答案】（3，2）【解析】【分析】根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案【详解】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，2），故答案为（3，2）【点睛】本题主要考查了平面
16、直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，难度较小12. 抛物线yx24x的对称轴为直线_【答案】x2【解析】【分析】用对称轴公式直接求解.【详解】抛物线yx24x的对称轴为直线x=2故答案为x2【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式x是本题的解题关键.13. 若，是方程的两根，则 的值_【答案】【解析】【分析】根据根与系数的关系即可得出，代入求解即可【详解】，是方程的两根，故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握，是解题的关键14. 如图，RtABC中，ACB=90，A=30，BC=2将ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得EDC，点D在A
17、B边上，斜边DE交AC于点F，则图中阴影部分面积为_【答案】【解析】【详解】解：将ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到EDC，BC=DC，在RtABC中，ACB=90，A=30，B=90-A=60，DBC是等边三角形，n=DCB=60，DCA=90-DCB=90-60=30，BC=2，DC=2，FDC=B=60，DFC=90，DF=DC=1，FC=，S阴影=SDFC=DFFC=1=【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质以及勾股定理，此题综合性较强，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用.15. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本
18、组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，那么全组有_名同学【答案】【解析】【分析】根据题意先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程，求解即可【详解】解：设全组有名同学，则每名同学所赠的标本为：件，那么名同学共赠：件，则，解得不合题意舍去，故全组共有名同学故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程16. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点
19、的坐标为_【答案】（，1）【解析】【分析】首先根据点A在抛物线yax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可；【详解】解：RtOAB的顶点A（1，2）在抛物线yax2上，2a（1）2，解得：a2解析式为y2x2，RtOAB的顶点A（1，2），OBOD1，RtOAB绕点O顺时针旋转90，得到OCD，CDx轴，点D和点P的纵坐标均为1，令y1，得12x2，解得：x，点P在第一象限，点P的坐标为：（，1）故答案为：（，1）【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题关键是根据点的坐标求出函数解析式，再利用解析式求点的坐标三、
20、解答题（本大题共9小题，共86分）17. 解下列方程：（1） （2） 【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解；【小问1详解】解：，解得：；【小问2详解】解：，解得：【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键18. 已知抛物线与轴只有一个交点求的值；求此抛物线的顶点坐标及与轴交点坐标【答案】； 抛物线与轴交点坐标为【解析】【分析】根据题意可知抛物线与轴只有一个交点，说明，依此得到关于的方程，解方程即可求得的值；由题意把代入即可得到函数解析式，
21、令即可求出抛物线与轴的交点坐标，再把抛物线的解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标【详解】解：抛物线与轴只有一个交点，整理得：，解得：，；由知，抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为，令，则，抛物线与轴交点坐标为【点睛】本题考查抛物线与轴的交点以及求函数解析式，解题的关键是掌握，抛物线与轴有两个交点；，抛物线与轴有一个交点；，抛物线与轴无交点的应用19. 在平面直角坐标系中，如图所示A（-2，1），B（-4，1），C（-1，4）（1）画出ABC关于原点成中心对称的A1B1C1；（2）ABC绕点C逆时针旋转90得到A2B2C2，那么B的对应点B2的坐标为 ；（3）A3B3C3是ABC绕A点旋转180得
22、到，那么C的对应点C3的坐标为；（4）AC上找一点F，使BF平分ABC的面积，利用网格在AC上标出点F【答案】（1）见解析；（2）图见见解析，（2，1）（3）图见见解析，（-3，-2）；（4）见解析【解析】【分析】（1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；（2）分别作出点A、B绕点C逆时针旋转90得到的对应点，再首尾顺次连接即可；（3）分别作出点B、C绕A点旋转180得到的对应点，再首尾顺次连接即可；（4）结合网格，以AC、MN为矩形的对角线，其交点即为所求【详解】解：（1）如图所示，A1B1C1即为所求（2）如图所示，A2B2C2即为所求，B2的坐标为（2，1），故答案为：
23、（2，1）；（3）如图所示，A3B3C3即为所求，C3的坐标为（-3，-2），故答案为：（-3，-2）；（4）如图所示，点F即为所求【点睛】本题主要考查了作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点20. 已知关于的一元二次方程（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；（2）若方程的两实数根之积等于，求的值【答案】（1）或；（2）【解析】【详解】（1）由于方程有两个相等的实数根，所以可据根的判别式来确定m的值；（2）根据根与系数的关系来确定m的值，最后要根据判别式来取舍m的值解：（1）由题意得：， 解得：， 的值为或（2）由题意得： 即：解得：，当时，舍去 当时，
24、的值为10.21. 如图，一次函数与二次函数的图象交于A、B两点（1）利用图中条件，求两个函数的解析式；（2）根据图象写出使的x的取值范围【答案】（1）一次函数，二次函数 （2）【解析】【分析】（1）把B坐标代入二次函数解析式即可求得二次函数解析式，把A横坐标代入二次函数解析式即可求得点A坐标；把A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求得一次函数的解析式；（2）应从交点看一次函数的值大于二次函数的值时x的取值【小问1详解】解：由图象可知：B（2，4）在二次函数上，a=1，则二次函数，又二次函数上，n=1，则，又A、B两点在一次函数上，解得：，则一次函数，一次函数，二次函数；【小问2详解】根据图象
25、可知：当时，【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，根据交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键22. 解读诗词通过列方程算出周瑜去世时的年龄：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄【答案】周瑜去世时的年龄为岁【解析】【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为根据题意建立方程求出其值即可【详解】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为，依题意得：，解得，当时，（不合题意，舍去）
26、，当时，（符合题意），答：周瑜去世时的年龄为岁【点睛】本题是一道数字问题的应用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中根据题意设未知数，列出正确的方程是解题的关键23. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.（1）求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式.（2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式.（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）；（2），；（3）当每箱
27、苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元.【解析】【分析】（1）根据题意找到平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式；（2）根据题意找到平均每天销售利润W（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式；（3）根据二次函数解析式求最值【详解】解：（1）由题意，得，化简，得.（2）由题意，得，.（3）.，抛物线开口向下.当时，有最大值.又当时，随的增大而增大，当元时，的最大值为1125元.当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用和求最值，其中：利润=（售价-进价）销量24. （1）如图1，等腰的直角顶点
28、在正方形的边上，斜边交于点Q，连接，求证：请利用现在所学的旋转知识，可将旋转到，然后通过证明全等三角形来完成证明（2）如图2，若等腰的直角顶点在正方形的边的延长线上，斜边的延长线交的延长线于点Q，连接，猜想线段，满足怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，中，P为内部一点，且，则_【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）15【解析】【分析】（1）通过证明，证明即可（2）将绕点B顺时针旋转到，证明得到即可得到（3）将翻转得到正方形将反向延长交于F点证明是等边三角形即可详解】（1）证明：如图1，将绕点顺时针旋转到， 点E，点C，点D三点共线， ，又， ，即；（2）理由如下：如图2，将绕
29、点B顺时针旋转到， ， ， ， ，又，即；（3）如图，将翻转得到正方形连接，取中点E， 将反向延长交于F点则且点F是的中点，是以为底边的等腰三角形所以有，则是等边三角形，则【点睛】本题主要考查旋转的性质，涉及到三角形全等证明，能够熟练证明三角形全等并利用全等性质求出线段的关系是解题关键25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，点点P在此抛物线上，其横坐标为m（1）求此抛物线的解析式（2）当点P在轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为求m的值【答案】（1） （2）或 （3）或【解析】【分析】（1）把点A、B的坐标代入解析式进行求解即可；（2）根据二次函数的图形及（1）可直接进行求解；（3）由题意易得抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，然后可分当时和当时，进而分类求解即可【小问1详解】解：将，代入得：，解得， 【小问2详解】解：由（1）可令，解得，抛物线与x轴交点坐标为，抛物线开口向上，根据图象可知当或时，点Px轴上方【小问3详解】解：，抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，当时，抛物线顶点为最低点，解得，当时，点P最低点，将代入得，解得（舍），或【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式及二次函数的图象与性质是解题的关键
