1、 四川省绵阳市三台县九年级四川省绵阳市三台县九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2如图，ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点 A 的坐标是（1，0） 现将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90，则旋转后点 C 的坐标是（ ） A （2，1） B （1，2） C （2，1） D （1，2） 3关于 x 的一元二次方程（a1）x2x+a210 的一个根是 0，则 a 的值为（ ） A1 或1 B1 C1 D 4 将抛物线 y2 （x
2、+3）2+1 向左平移 2 个单位， 再向上平移 1 个单位后所得到的抛物线的解析式为 （ ） Ay2（x+1）2 By2（x+5）2+2 Cy2（x+5）2+3 Dy2（x5）21 5已知关于 x 的方程 kx2+（1k）x10，下列说法正确的是（ ） A当 k0 时，方程无解 B当 k1 时，方程有一个实数解 C当 k1 时，方程有两个相等的实数解 D当 k0 时，方程总有两个不相等的实数解 6一元二次方程 x24x10 配方后可化为（ ） A （x+2）23 B （x+2）25 C （x2）23 D （ x2）25 7如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面， “图上”太阳与海平
3、线交于 A，B 两点，他测得“图上”圆的半径为 10 厘米，AB16 厘米若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为 16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ） A1.0 厘米/分 B0.8 厘米/分 C1.2 厘米/分 D1.4 厘米/分 8宾馆有 50 间房供游客居住，当每间房每天定价为 180 元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10 元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 20 元的费用设房价定为 x 元，宾馆当天利润为 8640 元则可列方程（ ） A （180+x20） （50）8640 B （x+180） （50）50208640 Cx（50
4、）50208640 D （x20） （50）8640 9 已知一次函数 yx+c 的图象如图， 则二次函数 yax2+bx+c 在平面直角坐标系中的图象可能是 （ ） A B C D 10如图，已知BAC60，AB4，AC6，点 P 在ABC 内，将APC 绕着点 A 逆时针方向旋转 60得到AEF则 AE+PB+PC 的最小值为（ ） A B8 C D 11 如图， 利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD， 其中C120 若新建墙 BC 与 CD 总长为 12m，则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是（ ） A18m2 B18m2 C24m2 Dm2 12二次函数 yax2+bx+c（
5、a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0） ，对称轴为直线 x2，下列结论： 4a+b0； 9a+c3b； 8a+7b+2c0； 若点 A（3，y1） 、点 B（，y2） 、点 C（，y3）在该函数图象上，则 y1y3y2； 若方程 a （x+1）（x5） 3 的两根为 x1和 x2， 且 x1x2， 则 x115x2， 其中正确的结论是 （ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）方程 3（x5）22（5x）的解是 14 （4 分）设 x1，x2是关于 x 的方程 x23x+k0 的两个根，且 x12x2，则 k 15 （
6、4 分）如图，O 的直径 BA 的延长线与弦 DC 的延长线交于点 E，且 CEOB，已知DOB72，则E 等于 16（4分） 如图， 在四边形ABCD中， AD4， CD3， ABCACBADC45， 则BD的长为 17 （4 分）已知函数 y的图象如图所示，若直线 ykx3 与该图象有公共点，则 k 的最大值与最小值的和为 18 （4 分）如图，已知直线 yx+1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 yx2+bx+c 与直线交于A、E 两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为（1，0） 在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AMMC|的值最大，求出点 M 的坐标 三
7、、解答题： （共三、解答题： （共 7 个题，共个题，共 90 分）分） 19 （16 分） （1）解方程： （x5） （x+2）8 （2）先化简，再求值： （x+1），其中 x 满足方程：x2+x60 20 （12 分）已知关于 x 的两个一元二次方程： 方程： （1+）x2+（k+2）x10； 方程：x2+（2k+1）x2k30 （1）若方程有两个相等的实数根，求：k 的值； （2）若方程和只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根； （3）在（2）中若一定有实数根的那个方程的两根分别为 x1、x2，且两根的平方和为 3（即 x12+x223）中，求 k 的值 21 （12 分）如
8、图是一条抛物线形状的拱桥，水面宽 AB 为 6 米，拱顶 C 离水面的距离为 4 米 （1）建立恰当的坐标系，并求出抛物线的解析式； （2）一艘货船的截面如图所示，它是由一个正方形 MNEF 和一个梯形 KLGH 组成的轴对称图形，货船的宽度 KH 为 5 米，货物高度 MN 为 3 米若船弦离水面的安全距离为 0.25 米，请问货船能否安全通过桥洞？说明理由 22 （12 分）如图，在半径为 2 的扇形 OAB 中，AOB90，点 C 是上的一个动点（不与点 A，B 重合） ，ODBC，OEAC，垂足分别为 D，E （1）当 BC2 时，求线段 OD 的长和BOD 的度数； （2）在DOE
9、中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由 （3）在DOE 中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由 23 （12 分）在ABC 中，BABC，D，E 是 AC 边上的两点，且满足DBEABC （1）如图 1，以点 B 为旋转中心，将EBC 按逆时针方向旋转，得到EBA（点 C 与点 A 重合，点 E到点 E处） ，连接 DE求证：DEDE； （2）如图 2，若ABC90，AD4，EC2，求 DE 的长 24 （12 分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x（1x90）天的售价与销量的相关信息如
10、表： 时间 x（天） 1x50 50 x90 售价（元/天） x+40 90 每天销量（件） 2002x 已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元 （1）求出 y 与 x 的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4800 元？ 25 （14 分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+2x+c（a0）与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，连接BC，OA1，对称轴为直线 x2，点 D 为此抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上 C、D
11、 两点之间的距离是 ； （3）点 E 是第一象限内抛物线上的动点，连接 BE 和 CE，求BCE 面积的最大值； （4）点 P 在抛物线对称轴上，平面内存在点 Q，使以点 B、C、P、Q 为顶点的四边形为矩形，请直接写出点 Q 的坐标 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误； C、不
12、是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故选项正确 故选：D 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 2如图，ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点 A 的坐标是（1，0） 现将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90，则旋转后点 C 的坐标是（ ） A （2，1） B （1，2） C （2，1） D （1，2） 【分析】利用网格特点和旋转的性质画出ABC 绕点 A 顺时针旋转 90后的图形，然后写出旋转后点 C的坐标 【解答】解：如
13、图，ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABC，旋转后点 C 的坐标为（2，1） 故选：A 【点评】本题考查了坐标与图形变换旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45，60，90，180 3关于 x 的一元二次方程（a1）x2x+a210 的一个根是 0，则 a 的值为（ ） A1 或1 B1 C1 D 【分析】把 x0 代入已知方程列出关于 a 的新方程，通过解新方程来求 a 的值；注意根据一元二次方程的定义得到：a10 【解答】解：一元二次方程（a1）x2x+a210 的一个根是 0， a210 且 a10 解得：a1
14、或1，且 a1 a1 故选：B 【点评】本题主要考查了方程的解的定义和一元二次方程的解，把求未知系数的问题转化为方程求解和不等式的问题来解决 4 将抛物线 y2 （x+3）2+1 向左平移 2 个单位， 再向上平移 1 个单位后所得到的抛物线的解析式为 （ ） Ay2（x+1）2 By2（x+5）2+2 Cy2（x+5）2+3 Dy2（x5）21 【分析】先利用顶点式得到抛物线 y2（x+3）2+1 顶点坐标为（3，1） ，再根据点平移的坐标特征得到点（3，1）平移后所得对应点的坐标为（5，2） ，然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式即可 【解答】解：抛物线 y2（x+3）2+1 顶点坐标
15、为（3，1） ，点（3，1）先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后所得对应点的坐标为 （5， 2） ， 所以平移后的抛物线的解析式为 y2 （x+5）2+2 故选：B 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 5已知关于 x 的方程 kx2+（1k）x10，下列说法正确的是（ ） A当 k0 时，方程无解 B当 k1 时，方程有一个实数解 C当 k1 时，方程有两个相等的实数解 D当 k0
16、 时，方程总有两个不相等的实数解 【分析】利用 k 的值，分别代入求出方程的根的情况即可 【解答】解：关于 x 的方程 kx2+（1k）x10， A、当 k0 时，x10，则 x1，故此选项错误； B、当 k1 时，x210 方程有两个实数解，故此选项错误； C、当 k1 时，x2+2x10，则（x1）20，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确； D、由 C 得此选项错误 故选：C 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，代入 k 的值判断方程根的情况是解题关键 6一元二次方程 x24x10 配方后可化为（ ） A （x+2）23 B （x+2）25 C （x2）23 D （ x2）25
17、【分析】移项，配方，即可得出选项 【解答】解：x24x10， x24x1， x24x+41+4， （x2）25， 故选：D 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键 7如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面， “图上”太阳与海平线交于 A，B 两点，他测得“图上”圆的半径为 10 厘米，AB16 厘米若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为 16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ） A1.0 厘米/分 B0.8 厘米/分 C1.2 厘米/分 D1.4 厘米/分 【分析】连接 OA，过点 O 作 ODAB 于 D，由垂径定理求出 AD 的长，再由勾股定
18、理求出 OD 的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解 【解答】解：设“图上”圆的圆心为 O，连接 OA，过点 O 作 ODAB 于 D，如图所示： AB16 厘米， ADAB8（厘米） ， OA10 厘米， OD6（厘米） ， 海平线以下部分的高度OA+OD10+616（厘米） ， 太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为 16 分钟， “图上”太阳升起的速度16161.0（厘米/分） ， 故选：A 【点评】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 8宾馆有 50 间房供游客居住，当每间房每天定价为 180 元时，宾馆会住满；当每间房每天的定
19、价每增加10 元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 20 元的费用设房价定为 x 元，宾馆当天利润为 8640 元则可列方程（ ） A （180+x20） （50）8640 B （x+180） （50）50208640 Cx（50）50208640 D （x20） （50）8640 【分析】 直接利用 （房间定价180） 10减少的房间数， 进而利用每间房间利润住的房间数8640，进而得出答案 【解答】解：设房价定为 x 元，由题意得： （x20） （50）8640 故选：D 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出减少的居住房间数是解题关键
20、9 已知一次函数 yx+c 的图象如图， 则二次函数 yax2+bx+c 在平面直角坐标系中的图象可能是 （ ） A B C D 【分析】根据一次函数图象经过的象限，即可得出0、c0，由此即可得出：二次函数 yax2+bx+c的图象对称轴 x0，与 y 轴的交点在 y 轴正正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论 【解答】解：观察函数图象可知：0、c0， 二次函数 yax2+bx+c 的图象对称轴 x0，与 y 轴的交点在 y 轴正正半轴 故选：C 【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出0、c0 是解题的关键 10如图，已知BAC60，AB4，A
21、C6，点 P 在ABC 内，将APC 绕着点 A 逆时针方向旋转 60得到AEF则 AE+PB+PC 的最小值为（ ） A B8 C D 【分析】 连接 PE， BF， 过 B 作 AF 垂线交 FA 延长线于 G， 由旋转性质得 APAE， PAECAF60，PCEF，再证明APE 为等边三角形，将 AE+PB+PC 转化为 PB+PE+EFBF，再在直角BGF 中由勾股定理求出 BF 即可 【解答】解：如图，连接 PE，BF，过 B 作 AF 垂线交 FA 延长线于 G， APC 绕着点 A 逆时针方向旋转 60得到AEF， APAE，PAECAF60，PCEF， APE 为等边三角形，
22、即 AEPE， AE+PB+PCPB+PE+EFBF， BAC60， BAF120， BAG60， AGAB2，GF2+68， BG2， BF2 故选：D 【点评】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，将 AE+PB+PC 转化为PB+PE+EFBF 是解决本题的关键 11 如图， 利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD， 其中C120 若新建墙 BC 与 CD 总长为 12m，则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是（ ） A18m2 B18m2 C24m2 Dm2 【分析】过点 C 作 CEAB 于 E，则四边形 ADCE 为矩形，CDAE，DCECEB90，设
23、CDAExm，则BCEBCDDCE30，BC（12x）m，由直角三角形的，性质得出 BEBC（6x）m，得出 ADCEBE（6x）m，ABAE+BEx+6x（x+6）m，由梯形面积公式得出梯形 ABCD 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解 【解答】解：如图，过点 C 作 CEAB 于 E， 则四边形 ADCE 为矩形， CDAE，DCECEB90， 设 CDAExm， 则BCEBCDDCE30，BC（12x）m， 在 RtCBE 中，CEB90， BEBC（6x）m， ADCEBE（6x）m，ABAE+BEx+6x（x+6）m， 梯形ABCD面积S （CD+AB）
24、 CE （x+x+6） （6x） x2+3x+18（x4）2+24， 当 x4 时，S最大24 即 CD 长为 4m 时，使梯形储料场 ABCD 的面积最大为 24m2； 故选：C 【点评】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含 30角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键 12二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0） ，对称轴为直线 x2，下列结论： 4a+b0； 9a+c3b； 8a+7b+2c0； 若点 A（3，y1） 、点 B（，y2） 、点 C（，y3）在该函数图象上，则 y1y3y2； 若方程 a （x+
25、1）（x5） 3 的两根为 x1和 x2， 且 x1x2， 则 x115x2， 其中正确的结论是 （ ） A B C D 【分析】根据抛物线对称轴为直线 x2 可得 a 与 b 的关系，从而判断，由 x3 时 y0 可判断，由抛物线经过（1，0）及抛物线对称轴可求出 b 与 a，c 与 a 的关系，从而判断，由 A，B，C 三点到对称轴的距离大小判断，将方程的解转化为抛物线与直线 y3 的交点问题，从而判断 【解答】解：抛物线对称轴为直线 x2， b4a，即 4a+b0，正确 由图象可得 x3 时，y0， 9a+c3b，错误 抛物线经过（1，0） ， ab+c0， b4a， c5a， 8a+7
26、b+2c8a28a10a30a， 抛物线开口向下， a0，30a0，正确 点 C，点 B，点 A 到抛物线对称轴距离依次增大， y3y2y1，错误 抛物线经过（1，0） ，对称轴为直线 x2， 抛物线经过（5，0） ， 抛物线解析式为 ya（x+1） （x5） ， a（x+1） （x5）3 的两根为抛物线与直线 y3 的交点的横坐标， 由图象可得 x115x2，正确 故选：A 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）方程 3（x5）22（5x
27、）的解是 5 或 【分析】观察知，可用换元法把 5x 看作一个整体，求解方程即可 【解答】解：根据题意，令 y5x，代入原方程得：3y22y，解得 y10，y2， x15，x2； 【点评】本题考查换元法解一元二次方程，是基础题型 14 （4 分）设 x1，x2是关于 x 的方程 x23x+k0 的两个根，且 x12x2，则 k 2 【分析】根据根与系数的关系求得 x21，将其代入已知方程，列出关于 k 的方程，解方程即可 【解答】解：根据题意，知 x1+x23x23，则 x21， 将其代入关于 x 的方程 x23x+k0，得 1231+k0 解得 k2 故答案是：2 【点评】此题主要考查了根与
28、系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 15 （4 分）如图，O 的直径 BA 的延长线与弦 DC 的延长线交于点 E，且 CEOB，已知DOB72，则E 等于 24 【分析】根据圆的半径相等，可得等腰三角形；根据三角形的外角的性质，可得关于E 的方程，根据解方程，可得答案 【解答】解：如图： CEOBCO，得 E1 由2 是EOC 的外角，得2E+12E 由 OCOD，得D22E 由3 是三角形ODE 的外角，得3E+DE+2E3E 由372，得 3E72 解得E24 故答案为：24 【点评】本题考查了圆的认识，利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键，又
29、利用了三角形外角的性质 16 （4 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD4，CD3，ABCACBADC45，则 BD 的长为 【分析】根据等式的性质，可得BAD 与CAD的关系，根据 SAS，可得BAD 与CAD的关系，根据全等三角形的性质，可得 BD 与 CD的关系，根据勾股定理，可得答案 【解答】解：在 AD 的上方过点 A 作 ADAD，使得 ADAD，连接 CD，DD，如图： BAC+CADDAD+CAD， 即BADCAD， 在BAD 与CAD中， ， BADCAD（SAS） ， BDCD DAD90 由勾股定理得 DD， DDA+ADC90 由勾股定理得 CD， BDCD， 故答案
30、为： 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出全等图形是解题关键 17 （4 分）已知函数 y的图象如图所示，若直线 ykx3 与该图象有公共点，则 k 的最大值与最小值的和为 17 【分析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线 ykx3 与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时， （x5）2+8kx3，可得出 k 的最大值是 15，最小值是 2，即可得它们的和为 17 【解答】解：当直线经过点（1，12）时，12k3，解得 k15； 当直线与抛物线只有一个交点时， （x5）2+8kx3， 整理得 x2（10+k）x+360， 10
31、+k12，解得 k2 或 k22（舍去） ， k 的最大值是 15，最小值是 2， k 的最大值与最小值的和为 15+217 故答案为：17 【点评】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出 k 的最大值和最小值是解题的关键 18 （4 分）如图，已知直线 yx+1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 yx2+bx+c 与直线交于A、E 两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为（1，0） 在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AMMC|的值最大，求出点 M 的坐标 （，） 【分析】 根据直线的解析式求得点 A （0， 1） ， 那么把 A，
32、 B 坐标代入 yx2+bx+c 即可求得函数解析式， 据此知抛物线的对称轴易得|AMMC|的值最大，应找到 C 关于对称轴的对称点 B，连接 AB 交对称轴的一点就是 M应让过 AB 的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点 M 坐标 【解答】解：直线 yx+1 与 y 轴交于点 A， 点 A 的坐标为（0，1） ， 将 A（0，1） 、B（1，0）坐标代入 yx2+bx+c 得， 解得： 物线的解析式为 yx2x+1（x）2； 则抛物线的对称轴为 x，B、C 关于直线 x对称， MCMB， 要使|AMMC|最大，即是使|AMMB|最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当 A、B、M 在同
33、一直线上时|AMMB|的值最大 知直线 AB 的解析式为 yx+1 ， 解得： 则 M（，） ， 故答案为： （，） 【点评】本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等；求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点 三、解答题： （共三、解答题： （共 7 个题，共个题，共 90 分）分） 19 （16 分） （1）解方程： （x5） （x+2）8 （2）先化简，再求值： （x+1），其中 x 满足方程：x2+x60 【分析】 （1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程； （2）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再进行
34、约分得到原式，接着利用因式分解法解方程 x2+x60，然后把符合题意的 x 的值代入计算即可 【解答】解： （1）x23x108， x23x180， （x6） （x+3）0， x60 或 x+30， 所以 x16，x23； （2）原式 ， 解方程 x2+x60 得：x12，x23， 当 x2 时，原式的分母为 0，故舍去， 当 x3 时，原式 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法： 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了公式法和分式的化简计算 20 （12 分）已知关于 x 的两个一元二次方程： 方程： （1+）x2+（k+
35、2）x10； 方程：x2+（2k+1）x2k30 （1）若方程有两个相等的实数根，求：k 的值； （2）若方程和只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根； （3）在（2）中若一定有实数根的那个方程的两根分别为 x1、x2，且两根的平方和为 3（即 x12+x223）中，求 k 的值 【分析】 （1）由方程有两个相等的实数根，由根的判别式可得到关于 k 的方程则可求得 k 的值； （2）由方程的判别式可求得该方程总有两个实数根，则可知方程没有实数根； （3）根据根与系数的关系求出两根之积和两根之和的关于 k 的表达式，再将 x12+x223 变形，将表达式代入变形后的等式，解方程即可
36、【解答】解： （1）方程有两个相等的实数根， ， 则 k2，k2+4k+4+4+2kk2+6k+8， 则（k+2） （k+4）0， k2，k4， k2， k4； （2）4k2+12k+13（2k+3）2+40， 无论 k 为何值时，方程总有实数根， 方程、只有一个方程有实数根， 此时方程没有实数根 （3）由根与系数的关系知：x1+x22k1，x1x22k3， x12+x22（x1+x2）2x1x2（2k1）22（2k3）4（k+1）2+3，x12+x223， 4（k+1）2+33， 解得 k1 【点评】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题
37、的关键 21 （12 分）如图是一条抛物线形状的拱桥，水面宽 AB 为 6 米，拱顶 C 离水面的距离为 4 米 （1）建立恰当的坐标系，并求出抛物线的解析式； （2）一艘货船的截面如图所示，它是由一个正方形 MNEF 和一个梯形 KLGH 组成的轴对称图形，货船的宽度 KH 为 5 米，货物高度 MN 为 3 米若船弦离水面的安全距离为 0.25 米，请问货船能否安全通过桥洞？说明理由 【分析】 （1）建立适当的平面直角坐标系，可得二次函数的解析式； （2）假设点 K 点 H 刚刚与抛物线相交，求 M 点的纵坐标，如果点 M 到 x 轴的距离大于 3.25 就能通过否则就不能通过 【解答】解
38、： （1）以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系； 由题意可知：A（3，0） ，C（0，4） ； 设抛物线的关系式：yax2+k， k4，a， 此抛物线解析式为：yx2+4 （2）货船不能通过，理由如下： 货船是由一个正方形 MNEF 和一个梯形 KLGH 组成的轴对称图形，把它加入坐标轴中， 当点 K、点 H 在抛物线上，设 F（1.5，m） ， 把 x1.5，ym 代入得 m3， 33.25， 此船不能通过 【点评】考查二次函数解析式的求法，数形结合思想，二次函数在实际生活中的运用，掌握如何建立适当的平面直角坐标系，设出关系式，把对应点的坐标代入是解题关
39、键 22 （12 分）如图，在半径为 2 的扇形 OAB 中，AOB90，点 C 是上的一个动点（不与点 A，B 重合） ，ODBC，OEAC，垂足分别为 D，E （1）当 BC2 时，求线段 OD 的长和BOD 的度数； （2）在DOE 中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由 （3）在DOE 中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据垂径定理及勾股定理即可解决问题； （2）利用三角形的中位线定理即可解决问题； （3）利用等腰三角形的性质即可解决问题 【解答】解： （1）如图， ODBC， B
40、DCD， ， BOD30； 由勾股定理得： OD222123， OD； 即线段 OD 的长和BOD 的度数分别为、30 （2）存在，DE； 如图，连接 AB； AOB90，OAOB2， AB2OB2+OA28， AB； ODBC，OEAC， BDCD，AEEC， DE 是ABC 的中位线， DE （3）存在，DOE45； ODBC，OEAC，且 OAOBOC， BODCOD，AOECOE， DOE， 即DOE45 【点评】该命题以圆为载体，在考查垂径定理、三角形中位线定理、勾股定理的同时，还渗透了对动态观念、直觉思维等能力的考查；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求 23 （12 分）在A
41、BC 中，BABC，D，E 是 AC 边上的两点，且满足DBEABC （1）如图 1，以点 B 为旋转中心，将EBC 按逆时针方向旋转，得到EBA（点 C 与点 A 重合，点 E到点 E处） ，连接 DE求证：DEDE； （2）如图 2，若ABC90，AD4，EC2，求 DE 的长 【分析】 （1）先根据旋转的性质得 BEBE，EBAEBC，则EBEABC，再利用DBEABC 易得DBEDBE，根据“SAS”判断BDEBDE，所以 DEDE； （2）以点 B 为旋转中心，将EBC 按逆时针方向旋转 90得到EBA（点 C 与点 A 重合，点 E 到点E处） ，如图 2，利用等腰直角三角形的性质
42、得BCEBAD45，利用旋转的性质得BAEBCE45，AECE2，则DAE90，在 RtDAE中利用勾股定理可计算出 DE2，然后就根据（1）的结论即可得到 DEDE2 【解答】 （1）证明：以点 B 为旋转中心，将EBC 按逆时针方向旋转，得到EBA（点 C 与点 A 重合，点 E 到点 E处） ， BEBE，EBAEBC， EBEABC， DBEABC， DBEEBE，即DBEDBE， 在BDE和BDE 中， ， BDEBDE（SAS） ， DEDE； （2）解：以点 B 为旋转中心，将EBC 按逆时针方向旋转 90得到EBA（点 C 与点 A 重合，点 E到点 E处） ，如图 2， AB
43、C90，BABC， BCEBAD45， EBC 按顺时针方向旋转 90得到EBA， BAEBCE45，AECE2， DAEBAD+BAE90， 在 RtDAE中，DE2AD2+AE242+2220， DE2， 由（1）的结论得 DEDE2 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理 24 （12 分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x（1x90）天的售价与销量的相关信息如表： 时间 x（天） 1x50 50 x90 售价（元/天） x+40 90 每天销量
44、（件） 2002x 已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元 （1）求出 y 与 x 的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4800 元？ 【分析】 （1）根据题意可以分别求得 1x50 和 50 x90 时的 y 与 x 的函数关系式； （2）根据题意可以分别求得两段的函数的最大值，从而可以解答本题； （3）根据题意分两种情况列出相应的不等式，从而可以解答本题 【解答】解： （1）当 1x50 时，y（2002x） （x+4030）2x2+180 x+2000， 当 5
45、0 x90 时，y（2002x） （9030）120 x+12000， 综上所述：y 与 x 的函数关系式为 y； （2）当 1x50 时， 二次函数 y2x2+180 x+2000 的图象开口向下，对称轴为 x45， 当 x45 时，y最大2452+18045+20006050， 当 50 x90 时，y120 x+12000， 1200， y 随 x 的增大而减小， 当 x50 时，y最大6000， 综上所述，该商品第 45 天时，当天销售利润最大，最大利润是 6050 元； （3）当 1x50 时，令2x2+180 x+20004800， 解得：x120，x270， 20， 当 20 x
46、70 时，利润不低于 4800 元， 1x50， 20 x50 时，利润不低于 4800 元， 利润不低于 4800 元的天数是 30 天， 当 50 x90 时， 120 x+120004800， 解得：x60， 利润不低于 4800 元的天数是 50 x60，共 11 天， 综上所述，共有 41 天利润不低于 4800 元 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件 25 （14 分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+2x+c（a0）与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，连接BC，OA1，对称轴为直线 x
47、2，点 D 为此抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上 C、D 两点之间的距离是 2 ； （3）点 E 是第一象限内抛物线上的动点，连接 BE 和 CE，求BCE 面积的最大值； （4）点 P 在抛物线对称轴上，平面内存在点 Q，使以点 B、C、P、Q 为顶点的四边形为矩形，请直接写出点 Q 的坐标 【分析】 （1）先由题意得出 A，B 的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）根据两点的距离公式即可求出 CD 的长度； （3）先设出 E 的坐标，然后将BCE 的面积表示出来，求出最大值即可； （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点 Q 的坐标 【解答】解：
48、 （1）OA1， A（1，0） ， 又对称轴为 x2， B（5，0） ， 将 A，B 代入解析式得： ， 解得， ，自变量 x 为全体实数； （2）由（1）得：C（0，） ，D（2，） ， CD， 故答案为 2； （3）B（5，0） ，C（0，） ， 直线 BC 的解析式为：， 设 E（x，） ，且 0 x5， 作 EFy 轴交 BC 于点 F， 则 F（x，） ， EF（）， ， 当 x时，SBCE有最大值为； （4）设 P（2，y） ，Q（m，n） ， 由（1）知 B（5，0） ，C（0，） ， 若 BC 为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， 又BPC90， PC2+PB2BC
49、2， 即：， 解得 y4 或 y， n或 n4， Q（3，）或 Q（3，4） ， 若 BP 为矩形的对角线， 由中点坐标公式得， 解得， 又BCP90， BC2+CP2BP2， 即：， 解得 y， Q（7，4） ， 若 BQ 为矩形的对角线， 由中点坐标公式得， 解得：， 又BCQ90， BC2+CQ2BQ2， 即：， 解得 n， Q（3，） ， 综上，点 Q 的坐标为（3，）或（3，4） ，或（7，4）或（3，） 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，其中求解析式是基础，一般用待定系数法即可，像求三角形面积问题都用的是切割法，有固定的公式，记住即可，对于特殊四边形的题，要根据对角线的情况分类讨论
