1、江苏省常州市教育学会2022-2023学年高三上期中数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分1设全集,集合,则集合( )ABCD2记的内角为A,B,C,则“AB”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件3已知等比数列的公比q0,且,则( )A8B12 C16 D204如图,该图象是下列四个函数中的某个函数的大致图象,则该函数是( )ABCD5若的展开式中含的项的系数为21,则a( )A3B2C1D16设随机变量,函数没有零点的概率是0.5,则( )附:随机变量服从正态分布,A0.1587B0.1359C0.2718D0.34137如图是一
2、个近似扇形的湖面,其中OAOBr,弧AB的长为l(lr)为了方便观光,欲在A,B两点之间修建一条笔直的走廊AB若当时,则的值约为( )ABCD8设,则( )AabcBcbaCcabDacb二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分 9已知等差数列的公差d0,且的前n项和记为,若是的最大值,则k的可能值为( )A5B6C10D1110记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,则( )AB的最小值为BCD的取值范围为11已知函数及其导函数定义域均为,若,对任意实数x都成立,则( )A函数是周期函数B函数是偶函数C函数的图象关于中心对称D函数与的图象关于直线对称12在棱长
3、为1的正方体中,以8个顶点中的任意3个顶点作为顶点的三角形叫做K三角形,12条棱中的任意2条叫做棱对,则( )A一个K三角形在它是直角三角形的条件下,它又是等腰直角三角形的概率为B一个K三角形在它是等腰三角形的条件下,它又是等边三角形的概率为C一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下,它们的距离为的概率为D一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下,它们异面的概率为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13函数的最小正周期为_14已知正方体中,过点A作平面的垂线,垂足为H,则直线AH与平面所成角的正弦值为_15在中,BC边上的中线长为,则的面积为_16将数列与的所有项放在一起,按从小
4、到大的顺序排列得到数列,则_四、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知等差数列的公差为2,前n项和为,且,成等比数列(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和18(本小题满分12分)已知两个变量y与x线性相关,某研究小组为得到其具体的线性关系进行了10次实验,得到10个样本点研究小组去掉了明显偏差较大的2个样本点,剩余的8个样本点满足,根据这8个样本点求得的线性回归方程为(其中)后为稳妥起见,研究小组又增加了2次实验,得到2个偏差较小的样本点,根据这10个样本点重新求得线性回归方程为(其中,)(1)求的值;(2)证明回归直线经过点,
5、并指出与3的大小关系参考公式:线性回归方程,其中,19(本小题满分12分)记函数的最小正周期为T若,且的图象关于直线对称(1)求的值;(2)将函数的图象向左平移个单位,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,求在上的值域20(本小题满分12分)甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”,即通过对毕业生进行笔试,面试,模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生,已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核,当3项程序均通过后即可签约去年,该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表(不存在通过3项程序考核放弃签约的情况) 性
6、别 人数参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数男生4515女生6010今年,该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”,假定他参加各程序的结果相互不影响,且他的辅导员作出较客观的估计:小明通过甲地的每项程序的概率均为,通过乙地的各项程序的概率依次为,m,其中0m1(1)判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关;(2)若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件A,B,他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X,Y当E(X)E(Y)时,证明:P(A)P(B)参考公式与临界值表:,nabcd0.100.050.0250.010k2.706
7、3.8415.0246.63521(本小题满分12分)如图,在三棱锥ABCD中,已知平面平面BCD,BD2,E为BC的中点(1)若,求直线BD与AE所成角的余弦值;(2)已知点F在线段AC上,且,求二面角FDEC的大小22(本小题满分12分)已知函数,(1)若在x0处的切线与在x1处的切线相同,求实数a的值;(2)令,直线ym与函数的图象有两个不同的交点,交点横坐标分别为,证明:参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.【答案】B【解析】,选B2【答案】C【解析】中,AB是的充要条件,选C3【答案】A【解析】等比数列中,又q0,
8、q2,选A4【答案】D【解析】,排除B,排除AC,选D5【答案】C【解析】展开式第r1项,的系数,a1,选C6【答案】B【解析】时,选B7【答案】D【解析】令,则,则,选D8【答案】C【解析】法一:x0.2,令,0x1时,ab,令,在,ac,cab,选C法二:秒杀,运用到(,),cab,选C二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分 9【答案】AB【解析】,d0,是的最大值,选AB10【答案】BC【解析】a,b,c成等比数列,A错,B对,C对令,则,baq,D错11【答案】ABC【解析】为奇函数关于原点对称,关于x2对称,是周期为8的周期函数,A对,即,即,即为偶函数,B对,即,关于对称,
9、C对,选ABC与关于x2对称,与不关于x2对称,D错12【答案】BCD【解析】方法一:正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上,在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个,4624,即24个等腰直角三角形,显然直角三角形不可能有72个,则A错对于B,等边三角形有:,共8个,等腰三角形共有32个,B对对于C,相互平行的棱共有个结果,距离为的有326个结果,C对对于D中一组棱对中相互垂直的共有个结果,共面的有444224个结果,D对方法二:对于A,直角三角形共有,为等腰直角三角形的概率,A错对于B,等腰三角形共有,为等边三角形的有8个,故又是等边三角形的概率,
10、B正确对于C,相互平行的棱有对,距离为的有6对,C正确对于D,相互垂直的棱有12448对,相互异面的有12224对,故,D正确选:BCD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13【答案】【解析】,14【答案】【解析】平面,与平面所成角与AH与平面所成角相等,平面,为与平面所成角,15【答案】【解析】,则AC4,设BC中点为D,则,16【答案】2022【解析】36842052,当等差数列算到3(68410)2022(第674项)时,包含恰好的前10项,四、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【解析】(1)等差数列的公差为2,前n项和为,则,因为,成等比
11、数列,所以,即,化为,解得所以(2),18【解析】(1)这8个样本点横坐标平均数,纵坐标平均数,则(2)样本点,分别记为,则这10个样本点横坐标平均数,纵坐标平均数根据线性回归方程系数公式得,故ynxm过点19【解析】(1),所以因为函数图象关于直线对称,所以,所以,因为函数的最小正周期T满足,所以,解得,所以(2)由(1)得,所以因为,所以,在上的值域为20【解析】(1)因为,且,所以没有90%的把握认为去年该校130名数学系毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关(2)因为小明参加各程序的结果相互不影响,所以,则Y的可能取值为0,1,2,3,随机变量Y的分布列:Y0123P
12、因为E(X)E(Y),所以,即,所以,所以P(A)P(B)21【解析】(1)取BD中点O,连结OA,OC,因为,O为BD中点,所以,又因为平面平面BCD,平面平面BCDBD,平面BCD,所以平面ABD,又因为平面ABD,所以,因为,OC,平面OAC,所以平面OAC,又因为平面OAC,所以中,O为BD中点,BD2,所以OC2中,O为BD中点,BD2,所以OA1以OB,OC,OA为坐标轴,建立平面直角坐标系Oxyz,则,所以,所以,所以直线BD与AE所成角的余弦值为(2)设OAa,则,则,设平面FDE法向量为,则,所以,取x2,y3,z0,得到平面FDE的一个法向量,又因为平面DEC的一个法向量为,所以,可得平面平面DEC,所以二面角FDEC的大小为22【解析】(1),1aa1,a1检验a1时两个函数切线方程都是y1(2)方法一:,x0,令,则,在递增,因为函数连续不间断,所以存在唯一实数,从而在递减,递增不妨设,则,当时,当,则,在递减,令,令,令,在递减,因为,在递减,所以在递减,所以,即,即,因为,在递减,所以,所以综上可得,