1、 2021-2022 学年福建省福州市长乐区九年级学年福建省福州市长乐区九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。分。 1我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（ ） A B C D 2关于二次函数 y2（x4）23 最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A有最大值 4 B有最小值 4 C有最大值3 D有最小值3 3O 的半径为 8，圆心 O 到直线 l 的距离为 4，则直线 l 与O 的位置关系是（ ） A相切 B相交 C相离 D不能确定 4如图，将木条 a，b 与
2、c 钉在一起，170，250，要使木条 a 与 b 平行，木条 a 旋转的度数至少是（ ） A10 B20 C50 D70 5抛物线向上平移 1 个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ） A B C D 6如图，已知 AB 是O 的直径，CD 是弦，且 ABCD 于点 E，则下列结论错误的是（ ） ACEDE BAEOE C DCOBDOB 7在平面直角坐标系 xOy 中，以原点为中心，将点 P（4，4）按顺时针方向旋转 135，得到的点 Q 所在的位置是（ ） A第四象限 B第三象限 Cx 轴上 Dy 轴上 8下表中列出的是一个二次函数的自变量 x 与函数 y 的几组对应值： x 2 0 1
3、 3 y 6 4 6 4 下列各选项中，正确的是（ ） A这个函数的图象开口向下 B这个函数的图象与 x 轴无交点 C这个函数的最小值小于6 D当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而增大 9如图，PA、PB 是O 切线，A、B 为切点，点 C 在O 上，且ACB55，则APB 等于（ ） A55 B70 C110 D125 10已知二次函数 y（xh）2（h 为常数）；当 1x3 时，与其对应的函数 y 的最小值为 4，则 h 的值为（ ） A1 或 5 B1 或 3 C1 或 5 D1 或 3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题。每小题小题。每小题 4 分，共分，共 24 分。
4、分。 11抛物线 yx2的开口方向是 12点 A（1，2）关于原点对称点 B 的坐标是 13如图，在圆内接四边形 ABCD 中，若ABC130，则ADC 14飞机着陆滑行的距离 y（m）关于滑行时间 t（s）的函数解析式为 y60t1.5t2，在飞机着陆滑行中，总共滑行的距离是 m 15 用一个半径为 30cm， 面积是 300cm2的扇形围成一个圆锥的侧面， 则该圆锥的底面半径为 cm 16如图，将ABC 绕点 C 逆时针旋转得到DEC，点 A，B 的对应点分别为 D，E，连接 AD当点 A，D，E 在同一条直线上时，下列结论： ACAD；AEBC；BAEBCE；ABCD 其中一定正确的结论
5、是 （填序号） 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，共小题，共 86 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知抛物线 yx2+2x3 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，求ABC 的面积 18如图，某圆形拱门在地面的宽 AB4m，拱门所在O 的半径 OA2.5m求拱门的拱顶到地面的距离CD 的长 19如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，D 是 AB 边上一点（点 D 与 A，B 不重合），连接 CD，将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90 得到线段 CE，连接 BE （1）根据题意将图形补充完整；（
6、要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：BEAB 20如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，若水面上升 1.5m，则水面宽是多少米？（提示：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系） 21如图，O 是ABC 的外接圆，ABC45，过点 A 作 OC 的平行线，交 BC 的延长线于 D （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若O 的半径为 4，求图中阴影部分的面积 22某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为 30 元/件，每天销售 y（件）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系，如图所示 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2
7、）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240 件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 23在 RtABC 中，ACB90，ABC30，AC4，将ABC 绕点 B 顺时针旋转一定的角度得到DBE，点 A，C 的对应点分别是 D，E，连接 AD （1）如图 1，当点 E 恰好在边 AB 上时，求ADE 的大小； （2）如图 2，若 F 为 AD 中点，求 CF 的最大值 24如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 是O 的直径，点 C 为的中点，弦 CEAB 于点 F，与 BD 交于点 G （1）求证：BGCG； （2）若 OF1，求 AD 的长 25 在平面直角坐标系 x
8、Oy 中， 已知直线 yx+2 与抛物线 yx2+bx+c 交于 A， B 两点 （点 A 在点 B 左边） （1）当点 A 和点 B 都在坐标轴上时，求抛物线的解析式； （2）当线段 AB 被 y 轴平分时，求 b 的值； （3）当AOB 的面积为b 时，求 c 的最大值 参考答案参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。分。 1我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念求解 解：A、不是中心对称图形故错误； B、是中心对称图形故正确； C、不是
9、中心对称图形故错误； D、不是中心对称图形故错误 故选：B 【点评】 本题考查了中心对称图形的概念： 中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后与原图重合 2关于二次函数 y2（x4）23 最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A有最大值 4 B有最小值 4 C有最大值3 D有最小值3 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为3，然后即可判断哪个选项是正确的 解：二次函数 y2（x4）23，a20， 该函数图象开口向上，有最小值，当 x4 取得最小值3， 故选：D 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性
10、质，会求函数的最值 3O 的半径为 8，圆心 O 到直线 l 的距离为 4，则直线 l 与O 的位置关系是（ ） A相切 B相交 C相离 D不能确定 【分析】根据圆 O 的半径和圆心 O 到直线 l 的距离的大小，相交：dr；相切：dr；相离：dr；即可选出答案 解：O 的半径为 8，圆心 O 到直线 l 的距离为 4， 84，即：dr， 直线 l 与O 的位置关系是相交 故选：B 【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键 4如图，将木条 a，b 与 c 钉在一起，170，250，要使木条 a 与 b 平行，木条 a 旋转的度数至少是（
11、 ） A10 B20 C50 D70 【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后2 的同位角的度数，然后用1 减去即可得到木条 a旋转的度数 解：如图 AOC250时，OAb， 要使木条 a 与 b 平行，木条 a 旋转的度数至少是 705020 故选：B 【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后2 的同位角的度数是解题的关键 5抛物线向上平移 1 个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ） A B C D 【分析】根据平移的规律：上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可 解：抛物线向上平移 1 个单位长度，得到新抛物线的解析式为：yx2+1 故选：A 【点
12、评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式 6如图，已知 AB 是O 的直径，CD 是弦，且 ABCD 于点 E，则下列结论错误的是（ ） ACEDE BAEOE C DCOBDOB 【分析】利用垂径定理得到 CEDE，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到COBDOB，从而可对各选项进行判断 解：ABCD， CEDE，所以 A、C 选项正确； ， COBDOB，所以 D 选项正确 故选：B 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了圆心角、弧、弦的关系 7在平面直角坐标系 xOy 中，以原点为中心，将点
13、 P（4，4）按顺时针方向旋转 135，得到的点 Q 所在的位置是（ ） A第四象限 B第三象限 Cx 轴上 Dy 轴上 【分析】过点 P 作 PAy 轴，垂足为 A，根据垂直定义可得PAO90，再根据点 P 的坐标可得 PAOA4，然后利用等腰直角三角形的性质可得AOPAPO45，从而利用平角定义可得1135，即可解答 解：如图：过点 P 作 PAy 轴，垂足为 A， PAO90， 点 P（4，4）， PAOA4， AOPAPO45， 1180AOP135， 以原点为中心，将点 P（4，4）按顺时针方向旋转 135，得到的点 Q 所在的位置在 y 轴上， 故选：D 【点评】本题考查了坐标与图
14、形变化旋转，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 8下表中列出的是一个二次函数的自变量 x 与函数 y 的几组对应值： x 2 0 1 3 y 6 4 6 4 下列各选项中，正确的是（ ） A这个函数的图象开口向下 B这个函数的图象与 x 轴无交点 C这个函数的最小值小于6 D当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而增大 【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断 解：设二次函数的解析式为 yax2+bx+c， 由题知， 解得， 二次函数的解析式为 yx23x4（x4）（x+1）（x）2， A函数图象开口向上，故 A 选项不符合题意； B与 x 轴的交
15、点为（4，0）和（1，0），故 B 选项不符合题意； C当 x时，函数有最小值为，故 C 选项符合题意； D函数对称轴为直线 x，根据图象可知当 x时，y 的值随 x 值的增大而增大，故 D 选项不符合题意 故选：C 【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 9如图，PA、PB 是O 切线，A、B 为切点，点 C 在O 上，且ACB55，则APB 等于（ ） A55 B70 C110 D125 【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接 OA，OB，求得AOB110，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解 解：连接 OA，OB， PA，PB
16、是O 的切线， PAOA，PBOB， ACB55， AOB110， APB360909011070 故选：B 【点评】 本题考查了多边形的内角和定理， 切线的性质， 圆周角定理的应用， 关键是求出AOB 的度数 10已知二次函数 y（xh）2（h 为常数）；当 1x3 时，与其对应的函数 y 的最小值为 4，则 h 的值为（ ） A1 或 5 B1 或 3 C1 或 5 D1 或 3 【分析】由解析式可知该函数在 xh 时取得最小值 0，xh 时，y 随 x 的增大而增大；当 xh 时，y 随 x 的增大而减小；根据1x3 时，函数的最小值为 4 可分如下两种情况：若 h1x3，x1时， y
17、取得最小值 4； 若1x3h， 当 x3 时， y 取得最小值 4， 分别列出关于 h 的方程求解即可 解：当 xh 时，y 随 x 的增大而增大，当 xh 时，y 随 x 的增大而减小， 若 h1x3，x1 时，y 取得最小值 4， 可得：（1h）24， 解得：h1 或 h3（舍）； 若 1x3h，当 x3 时，y 取得最小值 4， 可得：（3h）24， 解得：h5 或 h1（舍）； 若1h3 时，当 xh 时，y 取得最小值为 0，不是 4， 此种情况不符合题意，舍去 综上，h 的值为1 或 5， 故选：A 【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的
18、关键 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题。每小题小题。每小题 4 分，共分，共 24 分。分。 11抛物线 yx2的开口方向是 上 【分析】根据二次项系数的符号即可判断开口方向 解：抛物线 yx2中，a10， 抛物线 yx2的开口方向向上， 故答案为：上 【点评】本题考查了二次函数的性质在抛物线 yax2+bx+c 中，a0，抛物线开口向上 12点 A（1，2）关于原点对称点 B 的坐标是 （1，2） 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：它们的坐标符号相反可直接得到答案 解：点 A（1，2）关于原点对称点 B 的坐标是（1，2）， 故答案为：（1，2） 【点评】此题主要考查了关
19、于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反 13如图，在圆内接四边形 ABCD 中，若ABC130，则ADC 50 【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可求出ADC 解：四边形 ABCD 是圆内接四边形， ADC+ABC180， ABC130， ADC18013050 故答案为：50 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键 14飞机着陆滑行的距离 y（m）关于滑行时间 t（s）的函数解析式为 y60t1.5t2，在飞机着陆滑行中，总共滑行的距离是 600 m 【分析】将函数解析式配方成顶点式求出 y 的最大值即可得
20、解：y60t1.5t2，1.5（t20）2+600， 1.50， 当 t20 时，y 取得最大值 600， 即飞机着陆后滑行 600 米才能停下来， 故答案为：600 【点评】此题考查二次函数的实际运用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键 15 用一个半径为 30cm， 面积是 300cm2的扇形围成一个圆锥的侧面， 则该圆锥的底面半径为 10 cm 【分析】根据扇形面积公式可求出扇形的弧长，再根据扇形的弧长与圆锥底面周长相等，可求出圆锥的底面半径 解：设扇形的弧长为 lcm，圆锥的底面半径为 rcm， 扇形的半径为 30cm，面积是 300cm2， l30300， 解得 l2
21、0， 由扇形的弧长等于圆锥底面周长得， 2r20， 解得 r10（cm）， 故答案为：10 【点评】本题考查圆锥的计算，掌握扇形面积、弧长的计算公式是正确解答的前提 16如图，将ABC 绕点 C 逆时针旋转得到DEC，点 A，B 的对应点分别为 D，E，连接 AD当点 A，D，E 在同一条直线上时，下列结论： ACAD；AEBC；BAEBCE；ABCD 其中一定正确的结论是 （填序号） 【分析】由旋转的性质可得 ACCD，BE，ACBECD，由三角形内角和定理可证BAEECB 解：如图，设 AE 与 BC 的交点为 O， 将ABC 绕点 C 逆时针旋转得到DEC， ABCDEC， ACCD，B
22、E，ACBECD， 又AOBCOE， BAEECB， 故答案为： 【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，共小题，共 86 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知抛物线 yx2+2x3 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，求ABC 的面积 【分析】求出点 A，B，C 的坐标，再用三角形面积公式求面积即可 解：令 y0，则 x2+2x30， 即（x1）（x+3）0， 解得：x11，x23， A（3，0），B（1，0）， AB4， 令 x0，则 y3， C（0，
23、3）， OC3， SABCABOC436 ABC 的面积为 6 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点以及三角形的面积，关键是求出抛物线与坐标轴的交点 18如图，某圆形拱门在地面的宽 AB4m，拱门所在O 的半径 OA2.5m求拱门的拱顶到地面的距离CD 的长 【分析】根据垂径定理求出 AD，再根据勾股定理求出 OD 即可 解：ABCD，AB 是弦，CD 过圆心， ADBDAB2m， 在 RtAOD 中，OD1.5（m）， CDOC+OD 2.5+1.5 4（m）， 答：拱门的拱顶到地面的距离 CD 的长为 4m 【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键 19
24、如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，D 是 AB 边上一点（点 D 与 A，B 不重合），连接 CD，将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90 得到线段 CE，连接 BE （1）根据题意将图形补充完整；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：BEAB 【分析】（1）连接 CD，在 CD 右边作DCMACB，再在射线 CM 上截取 CECD，连接 BE； （2）由旋转的性质可得 CDCE，DCE90ACB，由“SAS”可证ACDBCE，可得 BEAD，CBECAD45，可得结论 【解答】（1）解：根据题意作图如下： （2）证明：将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转
25、90得到线段 CE， CDCE，DCE90ACB， ACDBCE， ACB90，ACBC， CABCBA45， 在ACD 和BCE 中， ， ACDBCE（SAS）， BEAD，CBECAD45， ABEABC+CBE90， BEAB 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键 20如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，若水面上升 1.5m，则水面宽是多少米？（提示：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系） 【分析】根据题意设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式，再计算水面上升 1.5 米
26、时水面的宽即可 解：由题意，设二次函数的解析式为 yax2， 把 B（2，2）代入得，a， 二次函数的解析式为 yx2； 当水面上升 1.5m 时，水面与抛物线交点的纵坐标为0.5， 把 y0.5 代入解析式 yx2得：x2， 解得 x1， 此时水面宽为 1+12（米） 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立合适的平面直角坐标系及熟练掌握待定系数法求函数解析式 21如图，O 是ABC 的外接圆，ABC45，过点 A 作 OC 的平行线，交 BC 的延长线于 D （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若O 的半径为 4，求图中阴影部分的面积 【分析】（1）连接 OA，利用
27、圆周角定理和切线的判定定理解答即可； （2）利用扇形的面积公式与三角形的面积公式解答即可 【解答】（1）证明：连接 OA，如图， COA2ABC，ABC45， COA90 CODA， COA+OAD180， OAD90， OADA， OA 为O 的半径， AD 是O 的切线； （2）解：COA90， OAOC 阴影部分的面积S扇形OACSOCA OCOA 444 48 【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的判定定理，扇形与三角形的面积，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线 22某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为 30 元/件，每天销售 y（件）与销售单价 x（元）之间存在
28、一次函数关系，如图所示 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240 件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润每件利润销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式，再结合 x 的取值范围，利用二次函数的性质求解可得 解：（1）设 ykx+b， 将（40，300）、（55，150）代入，得：， 解得：， 则 y10 x+700； （2）设每天获取的利润为 W， 则 W（x30）（10 x+700） 10 x2+1000 x21000 10（x50）2+4000， 又10 x+
29、700240， x46， x50 时，W 随 x 的增大而增大， 当 x46 时，W 取得最大值，最大值为1016+40003840， 答：当销售单价为 46 元时，每天获取的利润最大，最大利润是 3840 元 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质 23在 RtABC 中，ACB90，ABC30，AC4，将ABC 绕点 B 顺时针旋转一定的角度得到DBE，点 A，C 的对应点分别是 D，E，连接 AD （1）如图 1，当点 E 恰好在边 AB 上时，求ADE 的大小； （2）如图 2，若 F 为 AD 中点，求 CF 的最大
30、值 【分析】（1）由旋转可得：BABD，EBDCBA30，DEBACB90，再运用三角形内角和定理即可得出答案； （2）如图 2，连接 BF，利用等腰三角形的性质证明AFB90，然后证明 A、C、B、F 四点共圆，接着利用圆是圆中最长的弦即可求解 解：（1）如图 1，ABC 绕点 B 顺时针旋转 得到DEB，点 E 恰好在 AB 上， BABD，EBDCBA30，DEBACB90， BADBDA75， ADE907515； （2）如图 2，连接 BF， BABD，F 为 AD 中点， BFAD， AFB90， 而ACB90， A、C、B、F 四点共圆， AB 为这个圆的直径，CF 为这个圆的一
31、条弦， AC4，ABC30， AB8， CF 的最大值为 8 【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了含 30角的直角三角形的性质，有一定的综合性 24如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 是O 的直径，点 C 为的中点，弦 CEAB 于点 F，与 BD 交于点 G （1）求证：BGCG； （2）若 OF1，求 AD 的长 【分析】（1）根据垂径定理以及圆周角定理可得，进而得到CBDCDBBCE，再根据等腰三角形的判定可得 BGCG； （2）利用圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系以及垂径定理、三角形中位线定理可得答案 【解答】（1）证明：点 C 为的中点， ， 又弦 CEAB，AB 是直
32、径， ， ， CBDCDBBCE， BGCG； （2）解：如图，过点 O 作 OMBD，垂足为 M， ， +， 即， BDCE， 又OMBD，OFCE， OMOF1，DMBM， OAOB， OM 是ABD 的中位线， OMAD， AD2OM2 【点评】本题考查垂径定理、圆周角定理以及圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理，掌握垂径定理、圆周角定理，圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理以及等腰三角形的判定方法、三角形中位线定理是正确解答的前提 25 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知直线 yx+2 与抛物线 yx2+bx+c 交于 A， B 两点 （点 A 在点 B 左边） （1）当点 A 和点
33、 B 都在坐标轴上时，求抛物线的解析式； （2）当线段 AB 被 y 轴平分时，求 b 的值； （3）当AOB 的面积为b 时，求 c 的最大值 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）依据题意画出图形，设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 与 y 轴交于点 P，则 AEx1，BFx2，分别过点 A，B 作 y 轴的垂线，垂足分别为 E，F，利用全等三角形的判定与性质得到 x1+x20；将直线与抛物线的解析式联立得到关于 x 的一元二次方程，利用韦达定理解答即可得出结论； （3）分三种情况求得，AOB 的面积x2x1，利用（2）的结论和韦达定理得到 x2x1b，整理即可得到
34、 c 关于 b 的函数关系式，再利用配方法即可求得结论 解：（1）令 x0，则 y2， 令 y0，则 x2， 直线 yx+2 与坐标轴交于点（0，2），（2，0） 直线 yx+2 与抛物线 yx2+bx+c 交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左边），点 A 和点 B 都在坐标轴上， A（0，2），B（2，0） ， 抛物线的解析式为 yx23x+2； （2）当线段 AB 被 y 轴平分时，如图， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 与 y 轴交于点 P， 则：AEx1，BFx2 由（1）知：P（0，2） 分别过点 A，B 作 y 轴的垂线，垂足分别为 E，F， 线段 AB 被
35、 y 轴平分， PAPB 在PAE 和PBF 中， ， PAEPBF（AAS）， AEBF， x1x2， x1+x20 直线 yx+2 与抛物线 yx2+bx+c 交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左边）， ， x2+bx+cx+2， x2+（b+1）x+c20， x1，x2是方程 x2+（b+1）x+c20 的两根， x1+x2（b+1）， （b+1）0， b1； （3）当 A（x1，y1），B（x2，y2）在 y 轴的两侧时，如图， 分别过点 A，B 作 y 轴的垂线，垂足分别为 E，F，设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 与 y 轴交于点P，则 P（0，2）， OP2
36、，AEx1，BFx2 SAOBSAOP+SBOP， SAOBOPAE+OPBF x1+x2； 当 A（x1，y1），B（x2，y2）在 y 轴的左侧时，如图， 分别过点 A，B 作 y 轴的垂线，垂足分别为 E，F，设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 与 y 轴交于点P，则 P（0，2）， OP2，AEx1，BFx2 SAOBSAOPSBOP， SAOBOPAEOPBF （x1）（x2） x1+x2； 当 A（x1，y1），B（x2，y2）在 y 轴的右侧时，如图， 分别过点 A，B 作 y 轴的垂线，垂足分别为 E，F，设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 与
37、y 轴交于点P，则 P（0，2）， OP2，AEx1，BFx2 SAOBSBOPSAOP， SAOBOPBFOPAE x2x1 x2x1， 综上，AOB 的面积x2x1， 由（2）知：x1，x2是方程 x2+（b+1）x+c20 的两根， x1+x2（b+1），x1x2c2 AOB 的面积为b， x2x1b， 两边平方得： ， 2b2 即：（b+1）24（c2）2b2 c+b+ + 0， 当 b1 时，c 的最大值为 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图形与性质，待定系数法求得函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，三角形的面积，配方法求得函数的极值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键
