1、 2022-2023 学年吉林省长春市榆树市九年级学年吉林省长春市榆树市九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1下列方程是一元二次方程的是（ ） Ax10 Bx2+30 Cxa1 Dy2x 2下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A B C D3 3若，则的值为（ ） A B C D3 4下列计算正确的是（ ） A B C D3 5用配方法解方程 x24x40，下列变形正确的是（ ） A（x2）22 B（x2）24 C（x2）26 D（x2）28 6如图，ABCDEF，AF 与 BE 相交于点 G若 AG2，GD1，D
2、F5，BC4，则 BE 的长为（ ） A B C12 D20 7如图ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE：AD1：3，连接 EF 交 DC 于点 G，则 SDEG：SCFG（ ） A2：3 B3：2 C9：4 D4：9 8某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为 200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜如图，试验田一面靠墙，墙长 35m，另外三面用 49m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇 1m 宽的门（不包括篱笆）设试验田垂直于墙的一边 AB 的长为 xm，则下列所列方程正确的是（ ） Ax（49+1x）200 Bx（492x）200 Cx（49+12x）200 Dx（4
3、912x）200 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 10若3x，则 x 的取值范围是 11一元二次方程 x2x30 根的判别式的值是 12若 x1 是关于 x 的一元二次方程 x2+3mx+n0 的解，则 6m+2n 13九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法如图所示，在井口 A 处立一根垂直于井口的木杆 AB，从木杆的顶端 B 观察井水水岸 D，视线 BD 与井口的直径 AC 交于点 E，如果测得 AB1 米，AC1.6 米，AE0.4 米，那么 CD 为 米 14如图，ABC 是等腰直角三角形，C90，D 为边 BC 上一点，连接 AD
4、，过点 B 作 BEAD，交AD 的延长线于点 E若，则的值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15计算： 16解方程：x2+5x+30 17图、图均是 55 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上只用 无刻度的直尺，分别在图、图中，各画一个ABP，使得ABP 与ABC 相似，且点 P 在格点上 18已知关于 x 的一元二次方程 x2mx20 （1）若方程的一个根为 2，求 m 的值 （2）求证：无论 m 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根 19实数 a、b 在数轴上的位置如图所示： 化简 20如图，ADEABC
5、，且，点 D 在ABC 内部，连接 BD、CD、CE （1）求证：ABDACE （2）若 CDCE，BD3，且ABD+ACD90，求 DE 的长 21如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜手电筒的灯泡在点 G 处，手电筒的光从平面镜上点 B 处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点 E处点 E 到地面的高度 DE3.5m，点 F 到地面的高度 CF1.5m，灯泡到木板的水平距离 AC5.4m，墙到木板的水平距离为 CD4m已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D 在同一水平面上 （1）求 BC 的长 （2）求灯泡到地面的高
6、度 AG 22探究：如图，直线 l1l2l3，点 C 在 l2上，以点 C 为直角顶点作ACB90，角的两边分别交 l1与 l3于点 A、B，连接 AB，过点 C 作 CDl1于点 D，延长 DC 交 l3于点 E 求证：ACDCBE 应用：如图，在图的基础上，设 AB 与 l2的交点为 F，若 ACBC，l1与 l2之间的距离为 2，l2与 l3之间的距离为 1，则 AF 的长度是 23直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为 30 元，当每个水杯的售价为 40 元时，平均每月售出 600 个，通过市场调查发现，若售价每上涨 1 元，其月销售量就减少10 个
7、 （1）当每个水杯的售价为 45 元时，平均每月售出 个水杯，月销售利润是 元 （2）若每个水杯售价上涨 x 元（x0），每月能售出 个水杯（用含 x 的代数式表示） （3）若月销售利润恰好为 10000 元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价 24如图，已知直线 yx+8 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，动点 C 从点 B 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 BA 方向匀速运动， 同时动点 D 从点 A 出发， 以每秒 2 个单位的速度沿 AO 方向向点 O 匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为 t 秒（t0） （1）求AOB 的面积； （2）用含有 t
8、 的代数式表示 C 点的坐标； （3）直接写出 t 为何值时，ACD 面积为； （4）直接写出ACD 与AOB 相似时 t 的值 参考答案参考答案 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1下列方程是一元二次方程的是（ ） Ax10 Bx2+30 Cxa1 Dy2x 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可 解：Ax10 是一元一次方程，故本选项不符合题意； Bx2+30 是一元二次方程，故本选项符合题意； Cxa1 是分式方程，故本选项不符合题意； Dy2x 是二元一次方程，故本选项不符合题意 故选：B 2下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A B
9、C D3 【分析】首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定 解：A、2，它的被开方数是 3，与是同类二次根式，故本选项符合题意； B、3，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、3 与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A 3若，则的值为（ ） A B C D3 【分析】根据已知条件得出，再把化成+1，然后进行计算即可得出答案 解：， ， +1+1； 故选：C 4下列计算正确的是（ ） A B C D3 【分析】根据二次根式的减法对 A 选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对 B 选项进行判断；根据二次根
10、式的除法法则对 C 选项进行判断；根据二次根式的性质对 D 选项进行判断 解：A 与不能合并，所以 A 选项不符合题意； B ，所以 B 选项不符合题意； C ，所以 C 选项符合题意； D原式6318，所以 D 选项不符合题意； 故选：C 5用配方法解方程 x24x40，下列变形正确的是（ ） A（x2）22 B（x2）24 C（x2）26 D（x2）28 【分析】先将常数项移到等式右边，再将两边都配上一次项系数一半的平方，最后依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可得 解：x24x40， x24x4， 则 x24x+44+4，即（x2）28， 故选：D 6如图，ABCDEF，AF 与 BE
11、 相交于点 G若 AG2，GD1，DF5，BC4，则 BE 的长为（ ） A B C12 D20 【分析】利用平行线分线段成比例定理求解 解：ABCDEF， ， ADAG+GD，AG2，GD1，DF5，BC4， ， CE， BEBC+CE4+； 故选：B 7如图ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE：AD1：3，连接 EF 交 DC 于点 G，则 SDEG：SCFG（ ） A2：3 B3：2 C9：4 D4：9 【分析】先设出 DEx，进而得出 AD3x，再用平行四边形的性质得出 BC3x，进而求出 CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论 解：设 DEx， DE：AD1：
12、3， AD3x， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，BCAD3x， 点 F 是 BC 的中点， CFBCx， ADBC， DEGCFG， （）2（）2， 故选：D 8某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为 200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜如图，试验田一面靠墙，墙长 35m，另外三面用 49m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇 1m 宽的门（不包括篱笆）设试验田垂直于墙的一边 AB 的长为 xm，则下列所列方程正确的是（ ） Ax（49+1x）200 Bx（492x）200 Cx（49+12x）200 Dx（4912x）200 【分析】设当试验田垂直于墙的一边长为 xm 时，则
13、另一边的长度为（49+12x）m，根据花园的面积为200m2，列出方程并解答； 解：设当试验田垂直于墙的一边长为 xm 时，则另一边的长度为（49+12x）m， 依题意得：x（49+12x）200， 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 10 【分析】利用|a|进行化简即可 解：原式|10|10， 故答案为：10 10若3x，则 x 的取值范围是 x3 【分析】根据二次根式的性质列出关于 x 的不等式，求出 x 的值即可 解：3x， 3x0，解得 x3 故答案为：x3 11一元二次方程 x2x30 根的判别式的值是 13 【分析】根据一元二次方程
14、根的判别式b24ac 即可求出值 解：a1，b1，c3， b24ac1+1213 所以一元二次方程 x2x30 根的判别式的值为 13 故答案为：13 12若 x1 是关于 x 的一元二次方程 x2+3mx+n0 的解，则 6m+2n 2 【分析】先把 x1 代入 x2+3mx+n0，得到 3m+n1，再把要求的式子进行整理，然后代入即可 解：把 x1 代入 x2+3mx+n0 得： 1+3m+n0， 3m+n1， 则 6m+2n2（3m+n）2（1）2； 故答案为：2 13九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法如图所示，在井口 A 处立一根垂直于井口的木杆 AB，从木杆的顶端 B
15、 观察井水水岸 D，视线 BD 与井口的直径 AC 交于点 E，如果测得 AB1 米，AC1.6 米，AE0.4 米，那么 CD 为 3 米 【分析】由题意知：ABECDE，得出对应边成比例即可得出 CD 解：由题意知：ABCD， 则BAEC，BCDE， ABECDE， ， ， CD3 米， 故答案为：3 14如图，ABC 是等腰直角三角形，C90，D 为边 BC 上一点，连接 AD，过点 B 作 BEAD，交AD 的延长线于点 E若，则的值为 【分析】设 CDk，BD2k，则 CBCA3k，想办法用 k 表示 AD，BE 即可解决问题 解：， 可以假设 CDk，BD2k，则 CBCA3k，
16、C90， ADk， BEAE， EC90， CDABDE， ACDBED， ， ， BEk， ， 故答案为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15计算： 【分析】先进行化简，再进行加减运算即可 解： 16解方程：x2+5x+30 【分析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定 a，b，c 的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解 解：a1，b5，c3 b24ac13 x x1，x2 17图、图均是 55 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，分别在图、图中，各画一个ABP，使得ABP
17、与ABC 相似，且点 P 在格点上 【分析】作ABP90，ABP 与ABC 的相似比为，如图；作BAP90，ABP 与ABC的相似比为，如图 解：如图、，ABP 为所作 18已知关于 x 的一元二次方程 x2mx20 （1）若方程的一个根为 2，求 m 的值 （2）求证：无论 m 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根 【分析】（1）把 x2 代入原方程，得到关于 m 的方程，解之即可， （2）根据判别式公式，得到0，即可得到答案 解：（1）根据题意得：222m20， 解得：m1， （2）b24acm2+8， 无论 m 取何实数，m20， 0， 无论 m 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根
18、 19实数 a、b 在数轴上的位置如图所示： 化简 【分析】应用二次根式的定义化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简 解：由数轴知，a0，且 b0， ab0， |a|b|+|ab| （a）b+（ba） ab+ba2a 20如图，ADEABC，且，点 D 在ABC 内部，连接 BD、CD、CE （1）求证：ABDACE （2）若 CDCE，BD3，且ABD+ACD90，求 DE 的长 【分析】（1）由相似三角形的性质可得，BACDAE，可得BADCAE，由两组对边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证ABDACE； （2）由相似三角形的性质可得，可求 CE2，由等腰直角三角形的性质可求解 【解
19、答】证明：（1）ADEABC， ，BACDAE， BADCAE， ABDACE； （2）ABDACE， ，ABDACE， 又BD3， CE2， CDCE2， ABD+ACD90， ACD+ACE90， DCE90， DECD2 21如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜手电筒的灯泡在点 G 处，手电筒的光从平面镜上点 B 处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点 E 处点 E 到地面的高度 DE3.5m，点 F 到地面的高度 CF1.5m，灯泡到木板的水平距离 AC5.4m，墙到木板的水平距离为 CD4m已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，
20、图中点 A、B、C、D 在同一水平面上 （1）求 BC 的长 （2）求灯泡到地面的高度 AG 【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出 BC 的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出 AG 的长 解：（1）由题意可得：FCDE， 则BFCBED， 故， 即， 解得：BC3； （2）AC5.4m， AB5.432.4（m）， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， FBCGBA， 又FCBGAB， BGABFC， ， ， 解得：AG1.2（m）， 答：灯泡到地面的高度 AG 为 1.2m 22探究：如图，直线 l1l2l3，点 C 在 l2上，以点 C 为直角顶点作ACB90，角的两
21、边分别交 l1与 l3于点 A、B，连接 AB，过点 C 作 CDl1于点 D，延长 DC 交 l3于点 E 求证：ACDCBE 应用：如图，在图的基础上，设 AB 与 l2的交点为 F，若 ACBC，l1与 l2之间的距离为 2，l2与 l3之间的距离为 1，则 AF 的长度是 【分析】 探究：根据已知条件得到ADCCEB90，于是得到ACD+DAC90，由于ACB90，于是得到ACD+ECB90，根据余角的性质得到DACECB，即可得到结论； 应用：通过ACDBCE，得到 ADCE1，CDBE2，根据勾股定理得到 ACBC，AB，然后根据平行线分线段成比例即可得到结论 【解答】探究：证明：
22、l1l3，CDl1， ADCCEB90， ACD+DAC90， ACB90， ACD+ECB90， DACECB， ACDCBE； 应用：在ACD 与CBE 中， ， ACDBCE， ADCE1，CDBE2， ADCCEB90， ACBC， ACB90， AB， l1l2l3， ， AF 故答案为： 23直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为 30 元，当每个水杯的售价为 40 元时，平均每月售出 600 个，通过市场调查发现，若售价每上涨 1 元，其月销售量就减少10 个 （1）当每个水杯的售价为 45 元时，平均每月售出 550 个水杯，月销售利润是 8
23、250 元 （2） 若每个水杯售价上涨 x 元 （x0） ， 每月能售出 （60010 x） 个水杯 （用含 x 的代数式表示） （3）若月销售利润恰好为 10000 元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价 【分析】（1）利用平均每月的销售量60010每个水杯上涨的价格，即可求出当每个水杯的售价为45 元时平均每月可售出 550 个水杯，利用月销售利润每个水杯的销售利润平均每月的销售量，即可求出当每个水杯的售价为 45 元时月销售利润为 8250 元； （2）利用每月的销售量60010每个水杯上涨的价格，即可用含 x 的代数式表示出每个水杯售价上涨 x 元时的月销售量； （3）利用月销售利润每个
24、水杯的销售利润月销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x 的值，再结合要尽量减少库存，即可确定 x 的值，再将其代入（40+x）中即可求出每个水杯的售价为 50 元 解：（1）60010（4540）60010560050550（个）， （4530）550155508250（元） 故答案为：550；8250 （2）依题意得：若每个水杯售价上涨 x 元（x0），每月能售出（60010 x）个水杯 故答案为：（60010 x） （3）依题意得：（40+x30）（60010 x）10000， 整理得：x250 x+4000， 解得：x110，x240 当 x10 时，60010 x6
25、001010500； 当 x40 时，60010 x6001040200 又要尽量减少库存， x10， 40+x40+1050 答：每个水杯的售价为 50 元 24如图，已知直线 yx+8 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，动点 C 从点 B 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 BA 方向匀速运动， 同时动点 D 从点 A 出发， 以每秒 2 个单位的速度沿 AO 方向向点 O 匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为 t 秒（t0） （1）求AOB 的面积； （2）用含有 t 的代数式表示 C 点的坐标； （3）直接写出 t 为何值时，ACD 面积为； （4
26、）直接写出ACD 与AOB 相似时 t 的值 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征结合一次函数图象上点的坐标特征求得点 A 和点 B 的坐标，然后利用三角形面积公式计算即可； （2）过点 C 作 CMx 轴，CNy 轴，然后利用平行线分线段成比例定理，列比例式求解； （3）根据三角形的面积公式列方程计算即可； （4）分ADC90和ACD90两种情况，根据相似三角形的判定和性质定理列出比例式，计算即可 解：如图： （1）在 yx+8 中， 当 x0 时，y8， 当 y0 时，x+80， 解得：x6， A（6，0），B（0，8）， 即 OA6，OB8， SAOBOAOB6824， 即AOB 的面
27、积为 24； （2）过点 C 作 CMx 轴，CNy 轴， CNx 轴，CMy 轴， 在 RtAOB 中，AB10， 由题意可得，BCt，则 AC10t， ，即， 解得：CNt， ，即， 解得：CM， C 点坐标为（t，）； （3）由题意可得：AD2t， OA6， 0t3， 又当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动， 点 C 在线段 AB 上， SACDADCM，即2t， 解得：t3 或 t7（不合题意，舍去） t 的值为 3 时，ACD 的面积为； （4）当ADC90时，ADCAOB， 又BAOCAD， ACDABO， ，即， 解得：t， 当ACD90时，ACDAOB， 又BAOCAD， ACDAOB， ，即， 解得：t3（不符合题意，舍去）， 综上，ACD 与AOB 相似时 t 的值为
