1、四川省绵阳市游仙区九年级上期中数学试卷一选择题（共36分）1下列方程一定是一元二次方程的是ABCD2在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是ABCD3已知是关于的方程的一个根，则A5B8CD64若关于的方程的两根互为倒数，则A3B1CD5下列关于的一元二次方程中，没有实数根的方程是ABCD6疫情形势下，我国坚持“动态清零”总方针，很多地区疫情得以有效控制，正有序恢复正常生产生活秩序，某商店今年5月份的销售额仅为2万元，恢复生产后，7月份的销售额为4.5万元，设这两个月销售额的月平均增长率为，根据题意，以下方程正确的是ABCD7对于二次函数的图象，下列说法正确的是A开口向下B对称轴是直线C
2、顶点坐标是D当时，随的增大而减小8已知二次函数的图象如图所示，下列结论：；其中正确的是ABCD9已知二次函数为常数）的图象与轴的一个交点是，则关于的一元二次方程的两个实数根是A，B，C，D，10下面的三个问题中都有两个变量：将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积与矩形一条边长；赵老师爬香山所花的时间和平均速度；中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼原价为30元，成本价为10元，单价每降价1元，可以多卖出，月饼利润与降价；其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是ABCD11使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系式，
3、如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为度A36B45C50D4212如图，是由绕点旋转得到的，若，则旋转角的度数分别为ABCD二填空题（共24分）13已知是关于的一元二次方程，则的值为 14若，是一元二次方程的两个根，则的值是 15将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为 16已知抛物线与直线的交点坐标为，则方程的根是 17如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，如果水面下降，那么水面宽度增加 18如图，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好在的延长线上，则三解答题（共
4、90分）19（12分）用适当方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）20（10分）已知关于的一元二次方程（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求的取值范围21（12分）已知二次函数（1）用配方法把这个二次函数的解析式化为的形式；（2）写出这个二次函数图象的开口方向，顶点坐标和对称轴；（3）将该抛物线向左平移个单位，使经过点，求值22（10分）已知二次函数的对称轴是直线，且图象过点，与一次函数的图象交于点（1）求两个函数的解析式（2）设两个函数图象的另一个交点为，坐标原点为，求的面积23（12分）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，喷头高出湖面3米，从喷头
5、每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为米的地点，水柱距离湖面的高度为米（米0.501.001.502.002.50（米3.754.003.753.001.75请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；（3）求所画图象对应的函数表达式；（4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，
6、请直接写出公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）24（10分）某商店以每件16元的价格购进了一批热销商品，当售价为每件36元时，每月可售出160件商品因某些原因商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售，经过市场调查发现：售价每下降1元，每个月多卖出2件，当降价多少元时商品每月的利润可达到1800元？25（12分）利用对称性可以设计美丽的图案，在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的（顶点都在格点上）（1）先作出该三角形关于直线成轴对称的；（2）再作将绕点逆时针方向旋转后的；（3）求的面积26（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为，点坐标为，抛物线的对称轴是直线，且经过、两
7、点，与轴的另一交点为点（1）直接写出点的坐标；求抛物线表达式；（2）在对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点为直线上方抛物线上的一点，连接，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标参考答案解析一选择题（共36分）1下列方程一定是一元二次方程的是ABCD【分析】根据一元二次方程的定义即可解答【解答】解：该方程是分式方程，故本选项不合题意；该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不合题意；该方程是一元二次方程，故本选项符合题意故选：2在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是ABCD【分析
8、】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，然后直接作答即可【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点关于原点中心对称的点的坐标为故选：3已知是关于的方程的一个根，则A5B8CD6【分析】满足方程利用整体代入的思想解决问题；【解答】解：将代入方程，可得，；故选：4若关于的方程的两根互为倒数，则A3B1CD【分析】根据已知和根与系数的关系得出，求出的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的的值【解答】解：，两根互为倒数，解得或；方程有两个实数根，当时，舍去，故的值为故选：5下列关于的一元二次方程中，没有实数根的方程是ABCD【分析】求出各选项中方程的根的判别式的值，取的选项即可【解答】
9、解：，该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；，该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；，该方程没有实数根，符合题意；，该方程有两个相等的实数根，不符合题意故选：6疫情形势下，我国坚持“动态清零”总方针，很多地区疫情得以有效控制，正有序恢复正常生产生活秩序，某商店今年5月份的销售额仅为2万元，恢复生产后，7月份的销售额为4.5万元，设这两个月销售额的月平均增长率为，根据题意，以下方程正确的是ABCD【分析】利用该商店7月份的销售额该商店5月份的销售额这两个月销售额的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解【解答】解：依题意得，故选：7对于二次函数的图象，下列说法正确的是A开口向下B
10、对称轴是直线C顶点坐标是D当时，随的增大而减小【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确【解答】解：二次函数，该函数的图象开口向上，故选项的说法错误，对称轴是直线，故选项中的说法错误；顶点坐标为，故选项中的说法错误；当时，随的增大而减小，故选项中的说法正确；故选：8已知二次函数的图象如图所示，下列结论：；其中正确的是ABCD【分析】把代入抛物线求解即可得到，根据与轴的交点判断出，根据对称轴列出不等式求解即可得到，根据和时的函数值整理即可求出，于是得到结论【解答】解：二次函数经过点，故正确；当时，即，解得，故不正确；对称轴为直线，即，故正确；，由图象可知，
11、即，故正确；综上所述，正确的有，故选：9已知二次函数为常数）的图象与轴的一个交点是，则关于的一元二次方程的两个实数根是A，B，C，D，【分析】先根据二次函数的求出抛物线的对称轴为直线，则利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点是，然后根据抛物线与轴的交点问题得到方程的解【解答】解：二次函数为常数）的图象的对称轴为直线，而抛物线与轴的一个交点是，抛物线与轴的另一个交点是，关于的一元二次方程的两个实数根是，故选：10下面的三个问题中都有两个变量：将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积与矩形一条边长；赵老师爬香山所花的时间和平均速度；中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼原价为30元
12、，成本价为10元，单价每降价1元，可以多卖出，月饼利润与降价；其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是ABCD【分析】根据题意写出两个变量之间的函数关系即可判断【解答】解：矩形的面积，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故符合题意；赵老师爬香山所花的时间是平均速度的反比例函数，变量与变量之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意；根据题意得：，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故符合题意故选：11使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系式，如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮
13、的旋转角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为度A36B45C50D42【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称的取值范围，从而可以解答本题【解答】解：由图象可知，物线开口向上，从18和72两个点可以看出对称轴，所以最终对称轴的范围是，即对称轴位于直线与直线之间，所以此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为故选：12如图，是由绕点旋转得到的，若，则旋转角的度数分别为ABCD【分析】首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解【解答】解：，是由绕点旋转得到的，为旋转角，旋转角的度数为故选：二填空题（共24分）1
14、3已知是关于的一元二次方程，则的值为 【分析】根据一元二次方程的定义得到，且，然后求解即可得出答案【解答】解：方程是关于的一元二次方程，且解得故答案为：14若，是一元二次方程的两个根，则的值是 1【分析】利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算的值【解答】解：根据题意得，所以故答案为：115将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为 【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答【解答】解：将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为，故答案为：16已知抛物线与直线的交点坐标为，则方程的根是 或【分析】抛物线与直线的交点坐标为，则一元二次方程的根为：或，即可求解【解答】解：
15、抛物线与直线的交点坐标为，则一元二次方程的根为：或，的根是：或，故答案为：或17如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，如果水面下降，那么水面宽度增加 【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点，抛物线以轴为对称轴，且经过，两点，米，抛物线顶点坐标为，通过以上条件可设顶点式，其中可通过将点坐标代入抛物线解析式可得出：，所以抛物线解析式为，当水面下降0.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与
16、抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把代入抛物线解析式得出：，解得：，所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了米，故答案为：18如图，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好在的延长线上，则【分析】首先利用旋转的性质可以，然后利用勾股定理即可求解【解答】解：将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好在的延长线上，故答案为：三解答题（共90分）19（12分）用适当方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（3）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方
17、程，再进一步求解即可；（4）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可【解答】解：（1），则，解得，；（2），则，即，解得，；（3），则或，解得，；（4），则，或，解得，20（10分）已知关于的一元二次方程（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求的取值范围【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法可求出原方程的两个根，结合该方程有一个根是正数，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围【解答】（1）证明：，方程总有两个实数根（2）解：，即，解得：，又该
18、方程有一个根是正数，当该方程有一个根是正数，的取值范围为21（12分）已知二次函数（1）用配方法把这个二次函数的解析式化为的形式；（2）写出这个二次函数图象的开口方向，顶点坐标和对称轴；（3）将该抛物线向左平移个单位，使经过点，求值【分析】（1）根据配方法的操作整理即可得解；（2）根据小于0确定出抛物线开口向下，根据顶点式解析式写出顶点坐标和对称轴（3）根据平移规律即可得到，代入点，即可解得【解答】解：（1），即；（2）因为，所以该抛物线的开口方向向下，由知，抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线；（3）将该抛物线向左平移个单位得到，平移后的抛物线经过点，解得或，22（10分）已知二次函数的对称轴是
19、直线，且图象过点，与一次函数的图象交于点（1）求两个函数的解析式（2）设两个函数图象的另一个交点为，坐标原点为，求的面积【分析】（1）先将交点坐标，代入二次函数的解析式中，再联立抛物线的对称轴方程即可求出二次函数的解析式；将交点坐标代入一次函数的解析式中，即可求得的值，也就求出了一次函数的解析式；（2）两个函数联立方程求得另一个交点的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可【解答】解：（1）二次函数的图象的对称轴是直线，且图象过点，解得：，一次函数的图象交于，（2）由题意得，解得：或，两个函数图象的另一个交点，23（12分）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，喷头高出湖面3米，从喷头每个
20、孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为米的地点，水柱距离湖面的高度为米（米0.501.001.502.002.50（米3.754.003.753.001.75请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；（3）求所画图象对应的函数表达式；（4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请直
21、接写出公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）【分析】（1）根据对应点画图象即可；（2）由图象可得答案；（3）利用待定系数法可得关系式；（4）求出落水点距离喷头的水平距离，进而求出正方形的边长，进而可以求出正方形的周长【解答】解：（1）如图：（2）由图象可知，这条水柱最高点距离湖面的高度是4米；（3）由图象可得，顶点，设二次函数的关系式为，把代入可得，；（4）当时，即，解得（舍去）或，正方形的边长为（米，至少需要准备栏杆（米，公园至少需要准备32米的护栏24（10分）某商店以每件16元的价格购进了一批热销商品，当售价为每件36元时，每月可售出160件商品因某些原因商家需尽快将这批商
22、品售出，决定降价出售，经过市场调查发现：售价每下降1元，每个月多卖出2件，当降价多少元时商品每月的利润可达到1800元？【分析】设降价元时商品每月的利润可达到1800元，由题意：当售价为每件36元时，每月可售出160件商品降价出售，经过市场调查发现：售价每下降1元，每个月多卖出2件，列出一元二次方程，解方程即可【解答】解：设降价元时商品每月的利润可达到1800元，由题意得：，解得：或（不符合题意舍去），答：降价10元时商品每月的利润可达到1800元25（12分）利用对称性可以设计美丽的图案，在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的（顶点都在格点上）（1）先作出该三角形关于直线成轴对称的；（2）
23、再作将绕点逆时针方向旋转后的；（3）求的面积【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，的对应点，即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；（3）利用三角形的面积公式求解即可【解答】（1）解：如图所示，即为所求，（2）如图所示，即为所求；（3）的面积26（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为，点坐标为，抛物线的对称轴是直线，且经过、两点，与轴的另一交点为点（1）直接写出点的坐标；求抛物线表达式；（2）在对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点为直线上方抛物线上的一点，连接，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标【分析】（1
24、）根据，对称轴为，然后利用抛物线的对称性可求得点的坐标；设抛物线的解析式为，然后将点的坐标代入即可求得的值；（2）根据，关于对称轴对称，连接与对称轴交点即为点，然后求出直线解析式，令求出即可；（3）设点、的横坐标为，分别求得点、的纵坐标，从而可得到线段，然后利用三角形的面积公式可求得，然后利用配方法可求得的面积的最大值以及此时的值，从而可求得点的坐标【解答】解：（1），由抛物线的对称性可知：点与点关于对称，点的坐标为；抛物线过，可设抛物线解析式为，又抛物线过点，抛物线表达式为；（2）存在，直线与对称轴的交点即为点，关于对称轴直线对称，当，在同一直线上时，最小，即的周长最小，设直线的解析式为，解得，直线的解析式为，当时，；（3）设，过点作轴交于点，当时，的面积有最大值是4，此时
