1、 河南省开封市东北学区河南省开封市东北学区 2021-2022 学年学年九年级九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2若方程+3x+50 是一元二次方程，则 m 的值等于（ ） A1 B1 C1 D0 3已知二次函数 y2（x1）2+3 的图象经过平移以后得到新的二次函数为 y2（x+1）21 则原图象经过了怎样的平移（ ） A向左平移 2 个单位；向下平移 2 个单位 B向右平移 2 个单位；向下平移 2 个单位 C向左平移 2
2、 个单位；向下平移 4 个单位 D向右平移 2 个单位；向上平移 2 个单位 4如图，D 是ABC 边 AB 上一点，添加一个条件后，仍不能使ACDABC 的是（ ） AACDB BADCACB C DAC2ADAB 5对于函数 y，下列说法正确的是（ ） A当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 B函数图象经过点（3，1） C函数图象位于第一、三象限 D当3x1 时，3y1 6如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 80得到ABC，若点 B恰好落到边 BC 上，则CBC的度数为（ ） A50 B60 C70 D80 7如图，点 B 在反比例函数 y（x0）的图象上，点 C 在反比例函数 y（x
3、0）的图象上，且BCy 轴，ACBC，垂足为点 C，交 y 轴于点 A则ABC 的面积为（ ） A3 B4 C5 D6 8在同一平面直角坐标系中，函数 ykx+k 与 y（k0）的图象大致为（ ） A B C D 9学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升 10，加热到 100，停止加热，水温开始下降此时水温y（）与通电时间 x（min）成反比例关系当水温降至 20时，饮水机再自动加热，若水温在 20时 接通电源，水温 y 与通电时间 x 之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A水温从 20加热到 100，需要 7min B水温下降过程中，y 与 x 的函数关系式是 y C上午 8 点
4、接通电源，可以保证当天 9：30 能喝到不超过 40的水 D水温不低于 30的时间为min 10抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）经过 A（2，0） ，B（4，0）两点，下列四个结论： 一元二次方程 ax2+bx+c0 的根为 x12，x24； 对于任意实数 t，总有 at2+btab； 若点 C（5，y1） ，D（，y2）在该抛物线上，则 y1y2； 对于 a 的每一个确定的值，若一元二次方程 ax2+bx+cp（p 为常数，p0）的根为整数，则 p 的值只有两个其中正确的结论是（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分）
5、 11若点 A（m，5）与点 B（4，n）关于原点成中心对称，则 m+n 12如果两个相似三角形的面积比是 1：9，那么它们的周长比是 13已知二次函数 yx2+6x+c 的图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1，则与 x 轴的另一个交点的横坐标为 14如图，在平面直角坐标系中， 点 A 在 x 轴的正半轴上， 点 B 在第一象限， AOBB15，OA2，将AOB 绕点 O 顺时针旋转 90，点 B 的对应点 B的坐标是 15如图，在平面直角坐标系中，已知菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点与坐标原点 O 重合，DAB60，且点 A 的坐标为（，） 将菱形 ABCD 绕原点 O 逆时针旋
6、转，每次旋转 45，则第 2021次旋转结束时，点 D 的坐标为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （12 分）解方程 （1） （x5）216； （2）2y2+4yy+2； （3）x22x40 17 （6 分）在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为 A（0，2） 、B（1，3） 、C（2，1） （1）在坐标系中原点 O 的异侧，画出以 O 为位似中心与ABC 位似比为 2 的位似图形ABC； （2）ABC的面积为 18 （9 分）如图，平行于 y 轴的直尺（一部分）与双曲线 y（x0）交于点 A 和 C，与 x 轴交于点 B和
7、D，点 A 和 B 的刻度分别为 5cm 和 2cm，直尺的宽度为 2cm，OB2cm，经过 A，C 两点的直线解析式为 ymx+b （注：平面直角坐标系内一个单位长度为 lcm） ， （1）求双曲线 y的解析式和点 C 的坐标； （2）求AOC 的面积； （3）请直接写出关于 x 的不等式 mx+b0 的解集 19 （9 分）为鼓励大学生毕业后自主创业，我市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担赵某按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪” 已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件 10 元，出厂价为每件 12 元，
8、每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系近似满足一次函数：y10 x+500 （1）赵某在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ （2）物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于 28 元如果赵某想要每月都不亏损，那么政府每月为他承担的总差价最少为多少元？ （3）设赵某获得的利润为 W（元） ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 20 （9 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AC 上一点，射线 BE 与 CD 的延长线交于点 P，与边AD 交于点 F，连接 FC （1）若ABFACF，求证：CE2EFEP
9、； （2）若点 D 是 CP 中点，BE2，求 EF 的长 21 （9 分）在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式画函数图象利用函数图象研究函数性质利用图象解决问题”的学习过程在画函数图象时，我们常常通过描点，或平移，或翻折的方法画函数图象小明根据学到的函数知识探究函数 y1的图象与性质，并利用图象解决问题小明列出了 y1与 x 的几组对应的值如表： x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y1 4 2 m 2 4 2 n （1）根据表格中 x，y1的对应关系可得 m ，n ； （2）在平面直角坐标系中，根据表格中的对应值描各个点，画出该函数图象；根据函数图象，写出该函数的一条性质 （3）
10、当函数 y1的图象与直线 y2mx+1 有三个交点时，直接写出 m 的取值范围 22 （10 分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图 1 所示的位置摆放（点 E、A、D 在同一条直线上） ，小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）如图 2，将正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转，则 BE 与 DG 的数量关系为 ，位置关系为 .（直接写出答案） （2）如图 3，把背景中的正方形分别改写成矩形 AEFG 和矩形 ABCD，且，AE4，AB8，将矩形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，求 BE 与 DG 的数量关系和位置关系； （3）在（2）的条件下，小组
11、发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值 （直接写出答案） 23 （11 分）平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ymx22m2x+2 交 y 轴于 A 点，交直线 x4 于 B 点 （1）抛物线的对称轴为 x （用含 m 的代数式表示） ； （2）若 ABx 轴，求抛物线的表达式； （3）记抛物线在 A，B 之间的部分为图象 G（包含 A，B 两点） ，若对于图象 G 上任意一点 P（xp，yp） ， yp2，求 m 的取值范围 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对
12、称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转 180，能够与自身重合的图形轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形依据定义判断 【解答】解：A是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意 故选：A 【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解 此题的关键 2若方程+3x+50 是一元二次方程，则 m 的值等于
13、（ ） A1 B1 C1 D0 【分析】根据一元二次方程的定义求解一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0； （3）是整式方程由这三个条件得到相应的关系式，再求解即可 【解答】解：由题意得， 解得 m1， 故选：C 【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c0（且 a0） 特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点 3已知二次函数 y2（x1）2+3 的图象经过平移以后得到新的二次函数为 y2（x+1）21 则原图象经过了怎样的平移（ ） A向左平
14、移 2 个单位；向下平移 2 个单位 B向右平移 2 个单位；向下平移 2 个单位 C向左平移 2 个单位；向下平移 4 个单位 D向右平移 2 个单位；向上平移 2 个单位 【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项 【解答】解：抛物线 y2（x1）2+3 的顶点坐标是（1，3） ，抛物线线 y2（x+1）21 的顶点坐标是（1，1） ， 所以将顶点（1，3）向左平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位得到顶点（1，1） ， 即将抛物线 y2（ x1）2+3 向左平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位得到二次函数 y2（x+1）21的图象 故选：C 【点评】主要考查了函数图象的平移，抛
15、物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式 4如图，D 是ABC 边 AB 上一点，添加一个条件后，仍不能使ACDABC 的是（ ） AACDB BADCACB C DAC2ADAB 【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案 【解答】解：A、当ACDB 时，再由AA，可得出ACDABC，故此选项不合题意； B、当ADCACB 时，再由AA，可得出ACDABC，故此选项不合题意； C、当时，无法得出ACDABC，故此选项符合题意； D、当 AC2ADAB 时，即，再由AA，可得出ACDABC，故此选项不合题意； 故选：C 【点评】此题
16、主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键 5对于函数 y，下列说法正确的是（ ） A当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 B函数图象经过点（3，1） C函数图象位于第一、三象限 D当3x1 时，3y1 【分析】根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项 【解答】解：A、k30，在每一象限内，y 随着 x 的增大而增大，所以 A 选项符合题意； B、当 x3 时，y1，函数图象经过点（3，1） ，所以 B 选项不符合题意； C、k30，函数图象位于第二、四象限，所以 C 选项不符合题意； D、当3x1 时，1y3，所以 D 选项不符合题意 故选：A 【点评】本题考查
17、了反比例函数的性质：反比例函数 y（k0）的图象是双曲线；当 k0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大 6如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 80得到ABC，若点 B恰好落到边 BC 上，则CBC的度数为（ ） A50 B60 C70 D80 【分析】依据旋转的性质可求得 ABAB，ABC的度数，依据等边对等角的性质可得到BBBA，于是可得到CBC的度数 【解答】解：由旋转的性质可知：ABAB，BAB80， BABC， ABAB， BBBA50 BBC50+50100
18、 CBC18010080， 故选：D 【点评】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质，求得ABC和BBA 的度数是解题的关键 7如图，点 B 在反比例函数 y（x0）的图象上，点 C 在反比例函数 y（x0）的图象上，且BCy 轴，ACBC，垂足为点 C，交 y 轴于点 A则ABC 的面积为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】过 B 点作 BHy 轴于 H 点，BC 交 x 轴于 D，如图，利用反比例函数系数 k 的几何意义得到 S矩形OACD2，S矩形ODBH6，则 S矩形ACBH8，然后根据矩形的性质得到ABC 的面积 【解答】解：过 B 点作 BHy 轴于 H 点，BC 交 x
19、 轴于 D，如图， BCy 轴，ACBC， 四边形 ACDO 和四边形 ODBH 都是矩形， S矩形OACD|2|2， S矩形ODBH|6|6， S矩形ACBH2+68， ABC 的面积S矩形ACBH4 故选：B 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义：在反比例函数 y图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变 8在同一平面直角坐标系中，函数 ykx+k 与 y（k0）的图象大致为（ ） A B C D 【分析】分别根据反比例
20、函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可 【解答】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知k0，k0，由一次函数的图象过一、二、四象限可知 k0，且 k0，两结论相矛盾，故本选项错误； B、由反比例函数的图象在二、四象限可知k0，k0，由一次函数的图象与 y 轴交点在 y 轴的正半轴且过一、二、三象限可知 k0，两结论一致，故本选项正确； C、由反比例函数的图象在一、三象限可知k0，k0，由一次函数的图象与 y 轴交点在 y 轴的正半轴可知 k0，两结论矛盾，故本选项错误 D、由反比例函数的图象在二、四象限可知k0，k0，由一次函数的图象过一、二、四象限可知 k0 且 k，两结论相矛
21、盾，故本选项错误； 故选：B 【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此 题的关键 9学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升 10，加热到 100，停止加热，水温开始下降此时水温y（）与通电时间 x（min）成反比例关系当水温降至 20时，饮水机再自动加热，若水温在 20时接通电源，水温 y 与通电时间 x 之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A水温从 20加热到 100，需要 7min B水温下降过程中，y 与 x 的函数关系式是 y C上午 8 点接通电源，可以保证当天 9：30 能喝到不超过 40的水 D水温不低于 30的时间为
22、min 【分析】 因为开机加热时， 饮水机每分钟上升 10， 所以开机加热到 100， 所用时间为8min，故 A 不合题意，利用点（8，100） ，可以求出反比例函数解析式，故 B 不符合题意，令 y20，则 x40，求出每 40 分钟，饮水机重新加热，故时间为 9 点 30 时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了 10 分钟，令 x10， 代入到反比例函数中， 求出 y，即可得到 C 不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到 30所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为 30时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于 30时的时间 【解答】解：开机加热时每分钟上升
23、 10， 水温从 20加热到 100，所需时间为：8min， 故 A 选项不合题意； 由题可得， （8，100）在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为 y， 代入点（8，100）可得，k800， 水温下降过程中，y 与 x 的函数关系式是 y， 故 B 选项不合题意； 令 y20，则20， x40， 即饮水机每经过 40 分钟，要重新从 20开始加热一次， 从 8 点 9 点 30 分钟，所用时间为 90 分钟， 而水温加热到 100，仅需要 8 分钟， 故当时间是 9 点 30 时，饮水机第三次加热，从 20加热了 10 分钟， 令 x10，则 y8040， 故 C 选项不符合题意； 水
24、温从 20加热到 30所需要时间为：min， 令 y30，则30， ， 水温不低于 30的时间为min， 故选：D 【点评】本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键 10抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）经过 A（2，0） ，B（4，0）两点，下列四个结论： 一元二次方程 ax2+bx+c0 的根为 x12，x24； 对于任意实数 t，总有 at2+btab； 若点 C（5，y1） ，D（，y2）在该抛物线上，则 y1y2； 对于 a 的每一个确定的值，若一元二次方程 ax2+bx+cp（p 为常数，p0）的根为整数，则 p 的值只有两个其中正确的结论是（ ）
25、 A B C D 【分析】根据抛物线 yax2+bx+c 经过 A（2，0） ，B（4，0）两点，可得一元二次方程 ax2+bx+c0的根； 根据抛物线的对称轴可以得出函数在 x1 时取得最大值； 根据抛物线的对称性和增减性，可得离对称轴越远函数值越大； 先求出 y 大于零时，x 的范围，从而确定整数解的个数，进而确定 p 的取值个数 【解答】解：抛物线经过 A（2，0） ，B（4，0）两点， 一元二次方程 ax2+bx+c0 的根为 x12，x24，所以正确； A，B 为抛物线上的对称点， 对称轴为直线 x1， a0， 当 x1 时，ymaxab+c， 对于任意实数 t，有 at2+bt+c
26、ab+c， at2+btab， 所以正确， |5（1）|（1）|， y2y1， 故错误； 当 ax2+bx+c0 时，有4x2， 若 ax2+bx+cp（p0）的根为整数， 则它的根为3，1 或2，0，或1，1， 满足条件的 p 的值有 3 个，故错误； 正确的是，有两个， 故选：A 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程；还考查了二次函数的性质，根与系数的关系 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11若点 A（m，5）与点 B（4，n）关
27、于原点成中心对称，则 m+n 1 【分析】两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，直接利用关于原点对称点的性质得出 m，n 的值，进而得出答案 【解答】解：点 A（m，5）与点 B（4，n）关于原点成中心对称， m4，n5， m+n1 故答案为：1 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解题时注意：点 P（x，y）关于原点 O 的对称点是 P（x，y） 12如果两个相似三角形的面积比是 1：9，那么它们的周长比是 1：3 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得结论 【解答】解：两个相似三角形的面积比是 1：9， 两个三角形的相似比为，1：3， 它们的周
28、长比是 1：3， 故答案为：1：3 【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长之比等于相似比 13已知二次函数 yx2+6x+c 的图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1，则与 x 轴的另一个交点的横坐标为 5 【分析】 利用二次函数对称轴的公式也是对应点的中点公式， 可得：， 即，解得 x25，即可求出与 x 轴的另一个交点的横坐标为5 【解答】解：由题意，得： 可得：， 即， 解得 x25， 则与 x 轴的另一个交点的横坐标为5 故答案为：5 【点评】本题主要考查二次函数与 x 轴的交点，解题的关键是利用二次函数的对称轴公式也是对应点的中点公式
29、 14如图，在平面直角坐标系中， 点 A 在 x 轴的正半轴上， 点 B 在第一象限， AOBB15，OA2，将AOB 绕点 O 顺时针旋转 90，点 B 的对应点 B的坐标是 （1，2） 【分析】如图，过点 B作 BHOA于 H解直角三角形求出 OH，HB，可得结论 【解答】解：如图，过点 B作 BHOA于 H 由旋转变换的性质可知，OAAB2，AOBABO15， HABAOH+ABO30， HBAB1，AH，BH， OHOA+AH2+， B（1，2） ， 故答案为： （1，2） 【点评】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题 15如图，在平面直角
30、坐标系中，已知菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点与坐标原点 O 重合，DAB60，且点 A 的坐标为（，） 将菱形 ABCD 绕原点 O 逆时针旋转，每次旋转 45，则第 2021次旋转结束时，点 D 的坐标为 （，0） 【分析】菱形的对角线相互垂直，点 A 横纵坐标相等，得到对角线与坐标轴形成的角都是 45，所以旋转后对应的点，都在坐标轴和对角线上，求出 OD 的长，即可得出逆时针旋转每次后的 D 点坐标，8 次一个循环，即可得出答案 【解答】解：A 点坐标为（，） ， 直线 AC 是一三象限角平分线，且 OA， 在菱形 ABCD 中，DAB60， DAO30，BDAC， BD 是
31、二四象限角平分线，ODAO， 此时，D 点坐标是（1，1） ， 由题意，每次旋转角为 45， 逆时针旋转第 1 次后 D1坐标为（，0） ， 逆时针旋转第 2 次后 D2坐标为（1，1） ， 逆时针旋转第 3 次后 D3坐标为（0，） ， 逆时针旋转第 4 次后 D4坐标为（1，1） ， 逆时针旋转第 5 次后 D5坐标为（，0） ， 逆时针旋转第 6 次后 D6坐标为（1，1） ， 逆时针旋转第 7 次后 D7坐标为（0，） ， 逆时针旋转第 8 次后 D8坐标为（1，1） ； 2021 次旋转，8 次一个循环，剩余 5 次，等同于 D5， D 坐标为（，0） ， 故答案为： （，0） 【点
32、评】本题考查了菱形的性质、锐角三角函数、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、规律型、旋转等知识，熟练掌握菱形的性质，找出点 D 的坐标规律是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （12 分）解方程 （1） （x5）216； （2）2y2+4yy+2； （3）x22x40 【分析】 （1）开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）分解因式后即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）配方后开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解： （1） （x5）216， 开方得：x54， x1
33、9，x21； （2）2y2+4yy+2， 2y2+3y20， （2y1） （y+2）0， 2y10 或 y+20， y1，y22； （3）x22x40， x22x4， x22x+11+4，即（x1）25， x1， x11+，x21 【点评】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力 17 （6 分）在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为 A（0，2） 、B（1，3） 、C（2，1） （1）在坐标系中原点 O 的异侧，画出以 O 为位似中心与ABC 位似比为 2 的位似图形ABC； （2）ABC的面积为 6 【分析】 （1）根据位似的性质，分别作出 A、B、C 三点关于原点 O 的位
34、似点，连接即可； （2）利用分割法即可求解 【解答】解： （1）如图，ABC为所作； （2）ABC的面积446， 故答案为：6 【点评】本题考查了作图位似变换，三角形的面积，熟练掌握位似的性质、画出图形是解题的关键 18 （9 分）如图，平行于 y 轴的直尺（一部分）与双曲线 y（x0）交于点 A 和 C，与 x 轴交于点 B和 D，点 A 和 B 的刻度分别为 5cm 和 2cm，直尺的宽度为 2cm，OB2cm，经过 A，C 两点的直线解析式为 ymx+b （注：平面直角坐标系内一个单位长度为 lcm） ， （1）求双曲线 y的解析式和点 C 的坐标； （2）求AOC 的面积； （3）请直
35、接写出关于 x 的不等式 mx+b0 的解集 【分析】 （1）由题意可直接得 A（2，3） ，OD4，把 A 点坐标代入解析式中即可得 k 的值，进而求得 B的坐标； （2）连接 OA、OC，根据反比例函数系数 k 的几何意义由 SAOCSAOB+S梯形ABDCSCODS梯形ABDC求得即可； （3）观察图象即可得答案 【解答】解： （1）由题意可知 A（2，3） ，OD4， 将 A 点坐标代入 y（x0）中，得：3， k6， 双曲线的解析式为 y， 把 x4 代入得，y， C（4，） ； （2）连接 OA、OC， SAOCSAOB+S梯形ABDCSCOD，SAOBSCODk， SAOCS梯形
36、ABDC（AB+CD） BD（3+）2； （3）由图象可知，点 D 横坐标为 4，则关于 x 的不等式 mx+b0 的解集是 0 x2 或 x4 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，注意数形结合思想的运用是解题关键 19 （9 分）为鼓励大学生毕业后自主创业，我市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担赵某按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪” 已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件 10 元，出厂价为每件 12 元，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元
37、）之间的关系近似满足一次函数：y10 x+500 （1）赵某在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ （2）物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于 28 元如果赵某想要每月都不亏损，那么政府每月为他承担的总差价最少为多少元？ （3）设赵某获得的利润为 W（元） ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 【分析】 （1）求出销售量，根据政府每件补贴 2 元，即可解决问题 （2）根据条件确定出自变量的取值范围，求出 y 的最小值即可解决问题 （3）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可 【解答】解： （1）当 x20 时，y10
38、 x+5001020+500300， 300（1210）3002600 元， 即政府这个月为他承担的总差价为 600 元； （2）赵某想要每月都不亏损，x12， 又x28， 当 12x28 时， 设政府每个月为他承担的总差价为 p 元， p（1210）（10 x+500） 20 x+1000 k200 p 随 x 的增大而减小， 当 x28 时，p 有最小值 440 元 即销售单价定为 28 元时，政府每个月为他承担的总差价最少为 440 元； （3）由题意得，W（x10） （10 x+500） 10 x2+600 x5000 10（x30）2+4000 a100， 当 x30 时，W 有最大
39、值 4000 元 即当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 4000 元 【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、利润、销售量、单价之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数利用二次函数的增减性，解决实际问题中的最值问题 20 （9 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AC 上一点，射线 BE 与 CD 的延长线交于点 P，与边AD 交于点 F，连接 FC （1）若ABFACF，求证：CE2EFEP； （2）若点 D 是 CP 中点，BE2，求 EF 的长 【分析】 （1）由平行四边形的性质可得ABFP，从而有ACFP，即可证得CEFPEC，根据相似
40、三角形的性质：对应边成比例即可得证； （2）由平行四边形的性质可得ABFP，ABCD，ADBC，加上对顶角相等得AEBCEP，得BEAPEC，结合点 D 是 CP 的中点，可求得 PE4；再由 D 是 CP 的中点，得点 F 是 BP 的中点，从而可求得 PF 的长度，即可求 EF 的长度 【解答】解： （1）平行四边形 ABCD，射线 BE 与 CD 的延长线交于点 P， ABCD， ABFP， ABFACF， ACFP， CEFPEC， CEFPEC， ， 即 CE2EFPE； （2） ）平行四边形 ABCD，射线 BE 与 CD 的延长线交于点 P， ABCD，ABCD，ADBC， AB
41、FP， AEBCEP， BEAPEC， ， 点 D 是 CP 的中点， CP2CD2AB，点 F 是 BP 的中点， ， 解得：PE4， PFBP （BE+PE） 3， EFPEPF 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件与性质，平行四边形的性质，并灵活运用 21 （9 分）在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式画函数图象利用函数图象研究函数性质利用图象解决问题”的学习过程在画函数图象时，我们常常通过描点，或平移，或翻折的方法画函数图象小明根据学到的函数知识探究函数 y1的图象与性质，并利用图象解决问题小明列出了 y1与 x 的几
42、组对应的值如表： x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y1 4 2 m 2 4 2 n （1）根据表格中 x，y1的对应关系可得 m 0 ，n 1 ； （2）在平面直角坐标系中，根据表格中的对应值描各个点，画出该函数图象；根据函数图象，写出该函数的一条性质 当 x2 时，y 随 x 的增加而减小或当2x0 时，y 随 x 的增加而增大或当 x0时，y 随 x 的增加而减小 （3）当函数 y1的图象与直线 y2mx+1 有三个交点时，直接写出 m 的取值范围 【分析】 （1）根据表格信息，利用待定系数法解决问题即可 （2）利用描点法画出函数图象即可，结合图形描述函数的性质即可 （3）判断出直
43、线与双曲线有交点的 m 的取值范围，再求出直线经过（2，0）时 m 的值即可判断 【解答】解： （1）y1， x2 时，m|2（2）+4|0 x0 时，y14， b4， x3 时，n1， 故答案为：0，1 （2）函数图象如图所示（图中实线） 性质：当 x2 时，y 随 x 的增加而减小 当2x0 时，y 随 x 的增加而增大 当 x0 时，y 随 x 的增加而减小 故答案为：当 x2 时，y 随 x 的增加而减小或当2x0 时，y 随 x 的增加而增大或当 x0 时，y 随 x 的增加而减小 （3）由，消去 y 得到：mx2+（m+1）x30， 当0 时，m2+14m+10， 解得 m7+4或
44、74（舍弃） ， 当直线 ymx+1 经过（2，0）时，m， 观察图象可知，函数 y1的图象与直线 y2m+1 有三个交点时，m 的取值范围 0m或7+4 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型 22 （10 分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图 1 所示的位置摆放（点 E、A、D 在同一条直线上） ，小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）如图 2，将正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转，则 BE 与 DG 的数量关系为 BEDG ，位置关系为 BEDG .（直接写出答案） （2）如图
45、 3，把背景中的正方形分别改写成矩形 AEFG 和矩形 ABCD，且，AE4，AB8，将矩形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，求 BE 与 DG 的数量关系和位置关系； （3）在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值 （直接写出答案） 【分析】 （1） 延长 DG 交 BE 于 M， 交 AB 于 N， 证明DAGBAE， 根据全等三角形的性质解答即可； （2）连接 BD、EG，根据勾股定理求出 EG2+BD2，证明EABGAD，根据相似三角形的性质得到BEDG； （3）根据勾股定理计算，得到答案 【解答】解： （1）如图 2，延长 DG 交 B
46、E 于 M，交 AB 于 N， 四边形 ABCD、四边形 EFGA 为正方形， ABAD，AEAG，GADEAB90， BHGGAD 在DAG 和BAE 中， ， DAGBAE（SAS） ， BEDG，ADGABE， ANDBNM， BMNNAD90，即 BEDG； 故答案是：BEDG；BEDG； （2）BEDG，BEDG，理由如下： 如图 3，设 BE 与 DG 交于 Q，BE 与 AG 交于点 P， ，AE4，AB8， AG6，AD12 四边形 AEFG 和四边形 ABCD 为矩形， EAGBAD， EABGAD， ， EABGAD， ，BEAAGD， APEGPQ， EAPGQP90，
47、BEDG （3）如图 3，由（2）知，AE4，AG6，AD12 EG2AE2+AG242+6252，BD2AD2+AB2122+82208， 又由（2）知 BEDG， 则 DE2+BG2DQ2+QE2+QG2+QB2EG2+BD252+208260 【点评】本题考查的是正方形和矩形的性质、全等三角形和相似三角形的判定定理和性质定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键 23 （11 分）平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ymx22m2x+2 交 y 轴于 A 点，交直线 x4 于 B 点 （1）抛物线的对称轴为 x m （用含 m 的代数式表示） ； （2）若 AB
48、x 轴，求抛物线的表达式； （3）记抛物线在 A，B 之间的部分为图象 G（包含 A，B 两点） ，若对于图象 G 上任意一点 P（xp，yp） ，yp2，求 m 的取值范围 【分析】 （1）根据抛物线的对称轴为直线 x，代入数据即可得出结论； （2）由 ABx 轴，可得出点 B 的坐标，进而可得出抛物线的对称轴为 x2，结合（1）可得出 m2，将其代入抛物线表达式中即可； （3）分 m0 及 m0 两种情况考虑，依照题意画出函数图象，利用数形结合即可得出 m 的取值范围 【解答】解： （1）抛物线的对称轴为 xm 故答案为：m （2）当 x0 时，ymx22m2x+22， 点 A（0，2）
49、ABx 轴，且点 B 在直线 x4 上， 点 B（4，2） ，抛物线的对称轴为直线 x2， m2， 抛物线的表达式为 y2x28x+2 （3）当 m0 时，如图 1 A（0，2） ， 要使 0 xp4 时，始终满足 yp2，只需使抛物线 ymx22m2x+2 的对称轴与直线 x2 重合或在直线 x2 的右侧 m2； 当 m0 时，如图 2， 在 0 xp4 中，yp2 恒成立 综上所述，m 的取值范围为 m0 或 m2 【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是： （1）牢记抛物线的对称轴为直线 x； （2）根据二次函数的性质找出对称轴为 x2； （3）分 m0 及 m0 两种情况考虑
