1、2022年浙江省宁波市余姚市中考一模数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1. 下列各数中最小的数为（）A. B. 2C. D. 2. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 3. 2022年9月即将召开的杭州亚运会足球项目比赛场地位于杭州上城区体育中心体育场，它的总建筑面积约为16000平方米，16000用科学记数法表示为（）A. B. C. D. 4. 下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ）A. 球B. 圆锥C. 圆柱D. 长方体5. 为了参加市中学生篮球赛，某校一支篮球队购买了10双运动鞋，尺码如下表：则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（）尺码（）2525.
2、52626527购买量（双）22231A. B. C. D. 6. 已知点在第二象限，则m的取值范围是（）A. B. C. D. 7. 能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题反例是（ ）A. xB. x3C. xD. x8. 如图，在中，中线，相交于点F，交于点G，则的长为（）A 12B. 16C. 20D. 249. 已知A，B两点的坐标分别为，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于两点（P在Q的左侧）若恒成立，则a的取值范围为（）A B. C. D. 10. 如图，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，若，则下列的值能达成这一翻折的是（）A. B
3、. C. D. 试题卷二、填空题（每小题5分，共30分）11. 分解因式：_12. 若二次根式有意义，则x的取值范围为_13. 已知，则的值为_.14. 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是_cm215. 如图，RtABC中，ACB=90，CDAB，AC=10，BC=24，点P是线段CD上一动点，当半径为6的P与ABC的一边相切时，CP的长为_16. 如图，直线交x轴于点A、交y轴于点B，点C在反比例函数的图象上，且，连接交反比例函数图象于点D，若，则k的值为_三、解答题（本大题有8小题，共80分）17. （1）化简：（2）计算：18. 如图，在的方格纸中，A，B是
4、方格纸中的两格点，请按要求作图.（1）在图1中，以为一边作一个矩形，要求C，D两点也在格点上.（2）在图2中，以为一边作一个菱形，要求E，F两点也在格点上.19. 国家教育部规定：初中生睡眠时间应达到9个小时，某中学对全体初中生就睡眠的时长进行抽样调查，调查结果共分为四个层次：A8小时以下；B89小时；C910小时；D10小时以上根据调查统计结果绘制以下两幅不完整的统计图请结合统计图，回答下列问题：（1）本次参与调查学生共有多少人？并补全条形统计图（2）求扇形统计图中层次B的圆心角度数（3）睡眠时间8小时以下的3名同学中有一名男生和二名女生，若心理老师想从这3名同学中任选两名同学进行交流，请用
5、画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学是一名男生和一名女生的概率20. 如图，某渔船沿正东方向以10海里小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁参考数据：，（1）B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（2）如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？21. “一方有难，八方支援”疫情期间，某志愿者组织筹集两车物资送往疫情严重地区图中的折线、线段分别表示甲，乙两车所走的路程（千米），（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象请根据图象所提供的信息，解决下列问题：（1）乙车的速度为_千米/小时
6、，甲车由于发生故障，在途中停留了_小时（2）甲车排除故障后立即提速10千米/小时赶往目的地，求甲车原来的速度（3）排除故障后甲车与乙车第一次相遇时，距出发点的路程为多少千米？22. 已知：一次函数，二次函数为（b，c为常数）.（1）如图，两函数图象交于点.求二次函数的表达式，并写出当时x的取值范围.（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由.23. 若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍，我们把这个三角形叫做和谐三角形（1）已知是和谐三角形，请直接写出所有满足条件的的长；（2）在中，D为边上一点，连接，若为和谐三角形，求的长；（3）如图，在等腰中，D为的中点，且，E
7、为上一点，满足，连接求证：为和谐三角形24. 如图1，在中，于D，E为边上的点，过A、D、E三点的交于F，连接，（1）求证：（2）若，求的面积（3）如图2，点P为上一动点，连接，若P为的中点，设为x，的面积为S，求S关于x的函数表达式；在点P运动过程中，试探索，之间的数量关系，并证明一、选择题（每小题4分，共40分）1. 下列各数中最小的数为（）A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据实数大小的比较方法，即可得出正确选项【详解】，故选：C【点睛】本题考查了实数比较大小，掌握实数大小的比较方法是本题的关键2. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】
8、根据合并同类项、积的乘方、同底数幂乘法和单项式除以单项式法则进行计算并判断即可【详解】解：A. ，原计算错误，不合题意；B. ，原计算错误，不合题意；C. ，计算正确，符合题意；D. ，原计算错误，不合题意，故选：C【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方法则：、同底数幂乘法法则：和单项式除以单项式法则，熟练掌握相关计算法则是解题的关键3. 2022年9月即将召开的杭州亚运会足球项目比赛场地位于杭州上城区体育中心体育场，它的总建筑面积约为16000平方米，16000用科学记数法表示为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1|a|10，n为整数确定
9、n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同【详解】解：16000用科学记数法表示为，故A正确故选：A【点睛】本题主要考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值4. 下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ）A. 球B. 圆锥C. 圆柱D. 长方体【答案】A【解析】【详解】试题解析：A、球的主视图、左视图与俯视图均是圆形，故本选项符合题意；B、圆锥的主视图和左视图是相同的，都为一个三角形，但是俯视图是一个圆形，故本选项不符合题意；C、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，故本选项不符合题意；D、长方体的主视图和
10、左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，故本选项不符合题意故选A考点：简单几何体的三视图5. 为了参加市中学生篮球赛，某校一支篮球队购买了10双运动鞋，尺码如下表：则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（）尺码（）2525.52626.527购买量（双）22231A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据“众数是一组数据中出现最多的数据”和中位数“将一组数据按照由小到大（由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数，称为这组数据的中位数”进行解答即可得【详解】解：根据表格可
11、知，26.5出现次数最多，则众数为26.5，将这10双运动鞋尺码由小到大排序为：25，25，25.5，25.5，26，26，26.5，26.5，26.5，27，则中位数是26，即这10双运动鞋尺的众数为26.5，中位数是26，故选：B【点睛】本题考查了众数，中位数，解题的关键是掌握众数和中位数6. 已知点在第二象限，则m的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据第二象限点坐标的特点，得到关于m的不等式组，解答即可【详解】解：点P（m+1，2-3m）在第二象限，解得m1，故选：A【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点四个象限的符号特点分别是
12、：第一象限（+，+）；第二象限（，+）；第三象限（，）；第四象限（+，）也考查了一元一次不等式组的解法7. 能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）A. xB. x3C. xD. x【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则、无理数的概念判断即可【详解】解：A、当x时，x2（）23，3不是无理数，则命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题，故本选项符合题意；B、x3不是无理数，不能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题，故本选项不符合题意；C、当x时，x2（）2，是无理数，不能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题，故本选项不符合题
13、意；D、当x时，x22，2是无理数，不能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假理解要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可是解题的关键8. 如图，在中，中线，相交于点F，交于点G，则的长为（）A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】D【解析】【分析】首先根据三角形重心的定义可得点F为的重心，由重心的性质得到AF2DF，再证明，求出DF2GF4，可得AF2DF8，AD12，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出BC2AD24【详解
14、】解：中线AD，BE相交于点F，点F是的重心，BDCD，AF2DF，EGBC，EGBC，DF2GF4，AF2DF8，ADDFAF4812，BAC90，AD是的中线，BC2AD24，故选：D【点睛】本题考查了三角形重心的定义和性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟知重心的性质“重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1”9. 已知A，B两点的坐标分别为，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于两点（P在Q的左侧）若恒成立，则a的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据两点的坐标，得出线段AB（B除外）位于第四象限，再根据抛
15、物线解析式，得出抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限，得出，再结合图象，得出若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值，即可联立不等式组，解出即可得出结论【详解】解：如图，由题意得：线段AB（B除外）位于第四象限，过点M且平行x轴的直线在x轴的下方，抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限，结合图象可知，若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值，即，解得：，又，故选：D【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元一次不等式组，根据图象正确理解恒成立是解本题的关键10. 如图，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，若，则下列的值能达成这一翻折
16、的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用矩形的性质和折叠的性质证明BMPDQN，从而得出BM=QD，再设出BM，利用AB与AD的比例和勾股定理，分别表示出MN，QN，MQ，利用勾股定理即可求解【详解】解：四边形ABCD是矩形，B=D=90，矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形PMNQ，AP=PE=BP，BM=ME，MF=MC，QD=QF，DN=FN=CN，BMP=EMP，CMN=FMN，CNM=FNM，DNQ=FNQ，BMP+CMN=90，CMN+CNM=90，CNM+DNQ=90，DNQ+DQN=90，BMP=CNM，CNM=DQN，MNQ
17、=90，BMP=DQN，BMPDQN（AAS），BM=ME=DQ=QF，MQ=MF+QF=MC+BM=BC，设AB=CD=6a，BM=ME=QF=DQ=x，AB：AD=3：5，BC=AD=10a，MF=MC=10a-x，AP=PE=BP=3a，DN=FN=CN=3a，MQ=10a，解得：x=a或x=9a，当x=a时，BM=a，MC=BC-BM=9a，BM：MC=1：9，MC=BC-BM=9a，MC=BC-BM=a，BM：MC=9：1，故选：C【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是利用折叠的性质和勾股定理将BM表示出来试题卷
18、二、填空题（每小题5分，共30分）11. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】先提取公因式，然后再根据平方差公式进行因式分解即可【详解】解：=，=故答案为：【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解方法是解题的关键12. 若二次根式有意义，则x的取值范围为_【答案】x3【解析】【分析】根据二次根式有意义时，被开方数是非负数，即可求得x的取值范围【详解】二次根式有意义3x0x3故答案为：x3【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，它要求被开方数非负，掌握这点是关键13. 已知，则的值为_.【答案】5【解析】【分析】将变形为，再将整体代入即可得出答案【详解】解：，故答案为：5【点睛】本题考
19、查了代数式求值，整体思想是本题的关键14. 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是_cm2【答案】15【解析】【分析】圆锥的侧面积=底面周长母线长2，把相应数值代入即可求解【详解】解：圆锥的侧面积=2352=15故答案是：15【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长15. 如图，RtABC中，ACB=90，CDAB，AC=10，BC=24，点P是线段CD上一动点，当半径为6的P与ABC的一边相切时，CP的长为_【答案】或【解析】【分析】分三种情况，P与BC边相切，P与AC边相切，P与AB边相切利
20、用相似三角形的判定和性质，切线的性质以及勾股定理求解即可【详解】解：在RtABC中，AC=10，BC=24，AB=26，CDAB，ABC的面积=ABCD=ACBC，26CD=1024，CD=，分三种情况：当P与BC边相切，如图：过点P作PEBC，垂足为E，PEBC，PEC=90，CPE+PCE=90，CDAB，ADC=CDB=90，PCE+B=90，B=CPE，CEP=ACB=90，BCAPEC，PC=；当P与AB边相切，如图：PDAB，CP=CD-PD=-6=；当P与AC边相切，如图：过点P作PFAC，垂足为F，PFAC，PFC=90，CPF+PCF=90，CDAB，ADC=CDB=90，P
21、CF+A=90，A=CPF，CFP=ACB=90，BCACFP，PC=，PC=（舍去），综上所述，当半径为6的P与ABC的一边相切时，CP的长为：或，故答案为：或【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质分三种情况讨论是解题的关键16. 如图，直线交x轴于点A、交y轴于点B，点C在反比例函数的图象上，且，连接交反比例函数图象于点D，若，则k的值为_【答案】4【解析】【分析】过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，可得，设，可得，结合，可得，由点C、点D都在反比例函数的图象上，可求，从而可得点的坐标，则k的值即可求解详解】解：如图，过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，则，在
22、与中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，令，得；令，得，即；设，则，即EF=2OF，所以，点C、点D都在反比例函数的图象上，解得：（舍去）或，故答案为：4【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是作出辅助线，利用数形结合的思想求出点点C、点D的坐标三、解答题（本大题有8小题，共80分）17. （1）化简：（2）计算：【答案】（1）9（2）4【解析】【分析】（1）利用整式乘法和完全平方公式展开即可；（2）利用绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂进行运算即可【详解】（1）（2）【点睛】本题考查的是整式乘法、实数运算，解题的关键是熟练掌握整式乘法法则，绝对值的意义，负整数指数幂的运
23、算，以及零指数幂的运算18. 如图，在的方格纸中，A，B是方格纸中的两格点，请按要求作图.（1）在图1中，以为一边作一个矩形，要求C，D两点也在格点上.（2）在图2中，以为一边作一个菱形，要求E，F两点也在格点上.【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的性质作出图形即可（答案不唯一）；（2）作出边长为的菱形即可【小问1详解】解：如图中，矩形即为所作；【小问2详解】如图中，矩形即为所作；【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，菱形与矩形的性质等知识点，解题的关键是利用数形结合的思想解题，属于中考常考题型19. 国家教育部规定：初中生睡眠时间应达到9个小时，某中学对全体初中
24、生就睡眠的时长进行抽样调查，调查结果共分为四个层次：A8小时以下；B89小时；C910小时；D10小时以上根据调查统计结果绘制以下两幅不完整的统计图请结合统计图，回答下列问题：（1）本次参与调查的学生共有多少人？并补全条形统计图（2）求扇形统计图中层次B的圆心角度数（3）睡眠时间8小时以下的3名同学中有一名男生和二名女生，若心理老师想从这3名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学是一名男生和一名女生的概率【答案】（1）本次参与调查的学生共有100人，补全图形见解析； （2）扇形统计图中层次B的圆心角度数为90； （3）恰好抽中一名男生一名女生的概率为 【解析】
25、【分析】（1）由D等级人数及其所占百分比即可求出总人数；（2）根据四个等级人数之和等于总人数即可求出B等级人数，再用360乘以B等级人数所占比例即可得出答案；（3）画树状图展示所有等可能的结果数，找出恰好抽中一名男生一名女生的结果数，然后根据概率公式求解即可【小问1详解】解：本次参与调查的学生共有1515%=100（人），C等级人数为100-（3+25+15）=57（人），补全图形如下：【小问2详解】解：扇形统计图中等级B的圆心角度数为360=90；【小问3详解】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果数，其中恰好抽中一名男生一名女生的结果数为4，恰好抽中一名男生一名女生的概率为 【点睛】本题考
26、查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率也考查了统计图20. 如图，某渔船沿正东方向以10海里小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁参考数据：，（1）B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（2）如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？【答案】（1）B处离岛C有10海里；有触礁危险，证明见解析 （2）没有触礁危险，证明见解析【解析】【分析】（1）过C作于O，通过证明，即可求出CB的长；判断
27、C到AB的距离即CO是否大于9，如果大于则无触礁危险，反之则有；（2）过C作交BF于D，交BO于E，求出CD的长度即可作出判断【小问1详解】过C作于O，CO为渔船向东航行到C的最短距离，在A处测得岛C在北偏东的方向，又B处测得岛C在北偏东方向，（海里），如果渔船继续向东航行，有触礁危险；【小问2详解】过C作交BF于D，交BO于E，没有触礁危险【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决21. “一方有难，八方支援”疫情期间，某志愿者组织筹集两车物资送往疫情严重地区图中的折线、线段分别表示甲，乙两车所走的路程（
28、千米），（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象请根据图象所提供的信息，解决下列问题：（1）乙车的速度为_千米/小时，甲车由于发生故障，在途中停留了_小时（2）甲车排除故障后立即提速10千米/小时赶往目的地，求甲车原来的速度（3）排除故障后甲车与乙车第一次相遇时，距出发点的路程为多少千米？【答案】（1）65，1 （2）80千米/小时 （3）286千米【解析】【分析】（1）根据图像得到乙车走完全程的路程和时间，即可求出乙车的速度；根据图像即可得到甲车停留时间；（2）设甲车原来的速度为x千米/小时，则提速后速度为（x+10）千米/小时，根据图像可知，甲车提速前行驶了2小时，提速后行驶了4小
29、时，根据等量关系列出方程求解即可；（3）设经过t小时后两车相遇，根据相遇时两车行驶路程相等即可列出方程求解【小问1详解】解：由图可知：乙车的速度=（千米/小时），由图知，甲车在中途停留了1个小时，故答案为：65，1【小问2详解】设甲车原来的速度为x千米/小时，则提速后速度为（x+10）千米/小时，2x+（7-3）（x+10）=520，解得：x=80，答：提速前甲车的速度为80千米/小时【小问3详解】设：经过t小时后两车相遇，65t=802+（80+10）（t-3），解得：t=，距离出发点距离为：（千米），答：相遇时距离出发点286千米【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，熟练掌握函数图像的相关
30、内容，根据图像得出相应数据，找出等量关系列出方程求解是解题的关键22. 已知：一次函数，二次函数为（b，c为常数）.（1）如图，两函数图象交于点.求二次函数的表达式，并写出当时x的取值范围.（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由.【答案】（1），-2x3； （2）b=2，c=-2，（答案不唯一）【解析】【分析】（1）将（3，m），（n,-6）代入直线解析式求出点坐标，然后通过待定系数法求解，根据图象可得时x的取值范围（2）令，由=0求解【小问1详解】将（3，m）代入得m=6-2=4，将（n,-6）代入得-6=2n-2，解得n=-2，抛物线经过点（3，4），（-2，-
31、6），将（3，4），（-2，-6）代入得，解得，由图象可得-2x3时，抛物线在直线上方，时x的取值范围是-2x3【小问2详解】令，整理得，当时，两函数图象只有一个公共点，b=2，c=-2，满足题意【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系23. 若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍，我们把这个三角形叫做和谐三角形（1）已知是和谐三角形，请直接写出所有满足条件的的长；（2）在中，D为边上一点，连接，若为和谐三角形，求的长；（3）如图，在等腰中，D为的中点，且，E为上一点，满足，连接求证：为和谐三角形【答案】（1）2或5或； （2
32、）的长为6； （3）见解析【解析】【分析】（1）先确定出1AC7，再分三种情况，利用和谐三角形的定义求解即可；（2）先求出2AD6，再分三种情况：当ABAD2BD时，AD2BDAB0，不符合题意；当ABBD2AD时，AD（ABBD）3，过点A作AFBC于F，利用勾股定理求出DF，然后可求AC；当BDAD2AB时，AD2ABBD2426，不符合题意；（3）设AE6x，则EB4x，进而表示出ABC10x，ADCD5x，再判断出，得出比例式求出BDBC，过点A作AMBC于M，则BMCMBC，进而求出AM，过点D作DGBC于G，进而求出DG，MG，BG，过点D作DHAB于H，证明，可得，求出AH，DH
33、，再用勾股定理求出DE，即可得出结论【小问1详解】解：根据三角形的三边关系得，1AC7，是和谐三角形，当ACBC2AB时，AC2ABBC2342，当ACAB2BC时，AC2BCAB2435，当ABBC2AC时，AC（ABBC）（34），即满足条件的AC的长为：2或5或；【小问2详解】解：在中，AB4，BC8，4AC12，在中，CDBCBD6，AB4，BD2，根据三角形的三边关系得，2AD6，为和谐三角形，当ABAD2BD时，AD2BDAB0，不符合题意；当ABBD2AD时，AD（ABBD）（42）3，如图，过点A作AFBC于F，在Rt中，在Rt中，DF，CF6，在Rt中，根据勾股定理得AC；当
34、BDAD2AB时，AD2ABBD2426，不符合题意；综上，的长为6；【小问3详解】证明：AE：EB3：2，设AE6x，则EB4x，ABAEEB10x，ABAC，AC10x，点D为AC的中点，ADCDAC5x，DBCA，CC，BDBC，如图，过点A作AMBC于M，则BMCMBC，根据勾股定理得，AM，过点D作DGBC于G，DGAM，ADCD，DGAM，MGCM，BGBMMG，过点D作DHAB于H，AHD90BGD，ADBC，AH，DH，EHAEAH，在Rt中，根据勾股定理得，DE，AE6x，AD5x，AEDE2AD，为和谐三角形【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边
35、关系定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理以及二次根式的运算等知识，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键24. 如图1，在中，于D，E为边上的点，过A、D、E三点的交于F，连接，（1）求证：（2）若，求的面积（3）如图2，点P为上一动点，连接，若P为的中点，设为x，的面积为S，求S关于x的函数表达式；在点P运动过程中，试探索，之间的数量关系，并证明【答案】（1）见解析； （2）； （3）S；PFPEPD，证明见解析【解析】【分析】（1）求出CDAB，CFDAED，利用AAS证明，根据全等三角形的性质解答即可；（2）连接EF，先求出EDF90，可得EF为直径，再利用tanAEFtanADF3
36、，求出AF3AE，可得AF3CF，求出AF和AE，利用勾股定理求得EF的值，则的面积可求；（3）连接EF，OP，OD，利用勾股定理求得直径EF，利用平行线之间的距离相等和同底等高的三角形的面积相等，得到，证明FOD2CAD90，通过计算的面积即可得出结论；连接EF，过点D作DNDP，交PF于点N，通过证明，得到EPFN，DNDP，利用等腰直角三角形的性质和线段的和差即可得出结论【小问1详解】证明：在Rt中，ABAC，CB45，ADBC，CAD45，BAD45，ADCDBDBC，CDAB，四边形FAED是圆内接四边形，CFDAED，在和中，（AAS）AECF；【小问2详解】解：连接EF，如图，A
37、DBC，ADC90，ADFFDC90，CDFADE，ADFADE90，FDE90，EF为O的直径，ADFAEF，tanAEFtanADF3，tanAEF，AF3AE，AECF，AF3CF，AC4，CF1，AF3，AE1，EF，O的面积为：；【小问3详解】解：连接EF，OP，OD，如图，AE为x，AECF，CFx，AFACCF4x，EF，OFOD，P为的中点，EOPDOPEOD，EFDEOD，EOPEFD，OPFD，FOD2CAD90，ODOF，S；PD，PE，PF之间的数量关系为：PFPEPD，证明：连接EF，过点D作DNDP，交PF于点N，如图，DNDP，NDEEDP90，EDF90，NDENDF90，EDPFDN，DEFDAC45，为等腰直角三角形，DEDF，在和中，（ASA），EPFN，DNDP，为等腰直角三角形，NPPD，PFNFNPPEPD【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，圆的面积，圆内接四边形的性质，三角形的面积，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，依据题意添加适当的辅助线是解题的关键
